辽宁省丹东市东港市2023-2024学年九年级上学期期末数学试题(含解析)

这是一份辽宁省丹东市东港市2023-2024学年九年级上学期期末数学试题(含解析)，共35页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．如图是一个正五棱柱，它的俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
2．一元二次方程的根是（ ）
A．B．C．，D．，
3．菱形的对角线长分别为，则此菱形的周长为（ ）
A．B．C．D．
4．如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，点A的坐标为，则点B的坐标为（ ）
A．B．C．D．
5．在平面直角坐标系内，线段的两个端点的坐标分别为，以原点O为位似中心，相似比为，将线段缩小得到线段，则点A的对应点的坐标为（ ）
A．B．或C．D．或
6．某服装原价为200元，连续两次涨价后，售价为338元，则平均每次的上涨率为（ ）
A．B．C．D．
7．大约在两千四五百年前，如图1墨子和他的学生做了世界上第一个小孔成倒像的实验．并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．如图2所示的小孔成像实验中，若物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是（ ）
A．B．C．D．
8．已知反比例函数在每个象限内y随着x的增大而增大，点在这个反比例函数图象上，则a的值可以是（ ）
A．1B．2C．3D．4
9．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点A，B，C在坐标轴上，两对角线交于点E．若点B的坐标为，，则点E的坐标为（ ）
A．B．C．D．
10．如图，现有一张矩形纸片，其中，点E是的中点．将纸片沿直线折叠，使点B落在点，则，C两点之间的距离是（ ）
A．B．C．D．
第二部分 非选择题（共90分）
二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）
11．在一个不透明的盒子里，装有红球、黑球和白球共20个，它们除颜色外都相同．通过多次摸球试验后，发现摸到红球和黑球的频率稳定在和，则据此估计盒子中大约有白球 个．
12．若实数a，b，c满足，则 ．
13．若关于x的一元二次方程kx2+2x+1＝0有实数根，则k的取值范围是 ．
14．如图，矩形与反比例函数（是非零常数，）的图象交于M，N，与反比例函数（是非零常数，）的图象交于点B，连接，．若四边形的面积为4，则的值为 ．
15．如图，中，．四边形是正方形，点D是直线上一点，且．P是线段上一点，且．过点P作直线a与平行，分别交线段，线段于点G，H，则的长是 ．
三、解答题（本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
16．计算
(1)
(2)
17．如图，在中，，点E是的中线的中点，过点A作交的延长线于点F，连接．
(1)判断四边形的形状并证明；
(2)若，其他条件不变，四边形又是什么特殊的四边形，请证明你的判断．
18．为促进消费，助力经济发展，某商场决定举办抽奖促销活动．活动规定：凡在商场消费一定金额的顾客，均可获得一次抽奖机会．抽奖方案如下：从装有大小质地完全相同的1个红球和编号为①②的2个黄球的袋中，随机摸出1个球，若摸得红球，则中奖，可获得奖品；若摸得黄球，则不中奖．同时，还允许未中奖的顾客将其摸得的球放回袋中，并再往袋中加入1个红球或黄球（它们的大小质地与袋中的3个球完全相同），然后从中随机摸出1个球，记下颜色后不放回，再从中随机摸出1个球，若摸得的两球的颜色相同，则该顾客可获得精美礼品一份．现已知某顾客获得抽奖机会．
(1)求该顾客首次摸球中奖的概率；
(2)假如该顾客首次摸球未中奖，为了有更大机会获得精美礼品，他应往袋中加入哪种颜色的球？说明你的理由．
19．某工厂生产的一种产品按供需要求分成十个档次，若生产第一档次（最低档次）的产品，一天可生产76件，每件的利润为10元，每提高一个档次，每件的利润增加2元，每天的产量将减少4件．若该产品一天的总利润为1080元，求这天生产这种产品的档次．
20．如图，公路旁有两个高度相等的路灯AB、CD，小明上午上学时发现路灯AB在太阳光下的影子恰好落在路牌底部E处，他自己的影子恰好落在路灯CD的底部C处；晚自习放学时，站在上午同一个地方，发现在路灯CD的灯光下自己的影子恰好落在E处．
(1)在图中画出小明的位置(用线段FG表示)．
(2)若上午上学时，高1米的木棒的影子为2米，小明身高为1.5米，他距离路牌底部E恰好2米，求路灯高．
21．如图，在菱形中，对角线相交于点O．过点A作，过点D作交于点E．

(1)求证：四边形是矩形；
(2)连接，交于点M，过点D作，垂足为点N，若，求的长．
22．如图，点和是一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点，直线交y轴于点C．
(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
(2)求的面积；
(3)从下面A，B两题中任选一题作答．
A．设y轴上有一点，点D是坐标平面内一个动点，当以点A，B，P，D为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出符合条件的所有点D的坐标；
B．设点M是坐标平面内一个动点，点Q在y轴上运动，当以点A，C，Q，M为顶点的四边形是菱形时，请直接写出点Q的坐标．
23．问题情境：数学课上，老师提出如下问题：将图1中的矩形纸片沿对角线剪开，得到两个全等的三角形纸片，表示为和，其中．将和按图2所示方式摆放，其中点B与点F重合（标记为点B）．当时，延长交于点G．试判断四边形的形状，并说明理由．
（1）数学思考：请你解答老师提出的问题；
（2）深入探究：老师将图2中的绕点B逆时针方向旋转，使点E落在内部，并让同学们提出新的问题．
①“善思小组”提出问题：如图3，当时，过点A作交的延长线于点M，与交于点N．试猜想线段和的数量关系，并加以证明．请你解答此问题；
②“智慧小组”提出问题：如图4，当时，过点A作于点H，若，求的长．
参考答案与解析
1．D
【分析】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．找到从上面看所得到的图形即可，注意看见的棱用实线表示．
【详解】解：从上面看，是一个矩形，矩形的中间有一条纵向的实线，两侧分别有一条纵向的虚线．
故选：D．
2．D
【分析】本题考查解一元二次方程，掌握解方程的方法，即可解题．
【详解】解：
或，
解得，．
故选：D．
3．C
【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，根据菱形的对角线互相垂直平分线得到，进而利用勾股定理求出，据此可得答案．
【详解】解；如图，在菱形中，对角线交于O，且，
∴，
∴，
∴菱形的周长为，
故选C．
4．C
【分析】本题考查了正比例函数与反比例函数的性质，掌握正比例函数与反比例函数图象关于原点对称的性质是解题的关键．根据正比例函数与反比例函数图象关于原点对称可得点与点关于原点对称，根据关于原点中心对称的点的坐标特点“纵坐标，横坐标都互为相反数”，即可求得点坐标．
【详解】解：正比例函数的图象与反比例函数的图象交于，B两点，
点与点关于原点对称，
，
故选：C．
5．D
【分析】本题主要考查了位似变换的坐标变换规律，掌握位似变换中的坐标变换规律是解决此题的关键．
利用位似图形的性质结合对应点坐标与位似比的关系得出点坐标．
【详解】解：∵以原点O为位似中心，在第一象限内将线段缩小得到线段，
∴A点与点是对应点，
∵点的对应点A的坐标为位似比为：，
∴点的坐标为：或．
故选：D．
6．D
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
【详解】解：设平均每次涨价的百分率为，
由题意可得：，
解得，（舍去），
∴平均每次涨价的百分率为，
故选：D．
7．B
【分析】根据小孔成像的性质及相似三角形的性质求解即可．
【详解】根据小孔成像的性质及相似三角形的性质可得：蜡烛火焰的高度与火焰的像的高度的比值等于物距与像距的比值，设蜡烛火焰的高度为xcm，则
，x=4，
即蜡烛火焰的高度为4cm，
故答案为：B．
【点睛】本题考查了相似三角形性质的应用，解题的关键在于理解小孔成像的原理得到相似三角形．
8．A
【分析】此题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，要熟悉反比例函数的性质，同时要注意数形结合．根据函数的增减性判断出图象所在象限，进而得出图象上点的坐标特征，将四个选项的数值代入验证即可．
【详解】解：∵反比例函数，在每个象限内y随着x的增大而增大，
∴函数图象在二、四象限，，
∴图象上的点的横、纵坐标异号．
A、时，得，故本选项正确；
B、时，得，故本选项错误；
C、时，得，故本选项错误；
D、时，得，故本选项错误．
故选：A．
9．A
【分析】本题考查菱形的性质、30度所对的直角边等于斜边的一半和勾股定理，根据菱形边相等，对角线平分对角，结合，得到为等边三角形，E为的中点，利用点B的坐标为，以及30度所对的直角边等于斜边的一半和勾股定理，推出、、的长度，得出点A、C的坐标即可解题．
【详解】解：在菱形中，、为菱形的对角线，且，
，
为等边三角形，
又有，
，即E为的中点，
，
，
点B的坐标为，
，
，
,即，
又，
,即点C的坐标为，
．
故选：A．
10．B
【分析】本题主要考查了矩形与折叠问题，勾股定理，熟知相关知识是解题的关键．
过点作，垂足为F，连接，设与交于点O，由折叠的性质可得，，先求出，利用勾股定理求出，利用三角形面积公式求出，则，设，在中，，在中，，则，解得，则，，，，在中，．
【详解】解：如图所示：过点作，垂足为F，连接，设与交于点O，
由折叠的性质可得，，
∵点E是的中点，
∴，
在中，，
∵
∴，
∴，
设，
在中，，
在中，，
∴，
∴，
解得，
∴，
∴，
∴，
在中，，
故选B．
11．15
【分析】本题考查了用频率估计概率，概率公式等知识，属于基础题．关键掌握用频率估计概率．
【详解】解：由题意得，白球的频率稳定在，
∴摸出白球的概率为，
由概率公式得白球个数为，
故答案为：15．
12．2或##或
【分析】本题考查了等比性质，解题的关键是熟练掌握等比性质进行解题，注意掌握分类讨论的思想进行解题． 根据题意，可分为和两种情况进行分析，分别求出m的值即可
【详解】解：根据题意，
∵，
当时，利用等比性质，得
，
∴；
当时，有，
∴，
∴．
故答案为：2或．
13．k≠0且k≤1
【分析】根据方程根的情况可以判定其根的判别式的取值范围，进而可以得到关于k的不等式，解不等式即可，同时还应注意二次项系数不能为0．
【详解】由题意可知：△＝4﹣4k≥0，
∴k≤1，
∵k≠0，
∴k≠0且k≤1，
故答案为：k≠0且k≤1；
【点睛】考查了一元二次方程根的判别式，解题关键是了解根的判别式如何决定一元二次方程根的情况．
14．8
【分析】本题考查反比例函数中k的几何意义的应用，读懂题意，数形结合，将所求代数式准确用k的几何意义对应的图形面积表示出来是解决问题的关键．
根据反比例函数中k的几何意义：反比例函数图像上点向坐标轴作垂线，与原点构成的直角三角形面积等于，数形结合可以得到，，根据图像均在第一象限可知，，再由四边形的面积为4，得到，即可得到答案．
【详解】矩形与反比例函数（是非零常数，）的图象交于M，N，
由反比例函数中k的几何意义：，，
矩形与反比例函数（是非零常数，）的图象交于点B，
由反比例函数中k的几何意义知：，
四边形的面积为4，
由图可知，
即，
解得：，
，
故答案为：8
15．或##或
【分析】结合勾股定理逆定理判断是直角三角形，通过证明，，然后利用相似三角形的性质求解，注意对于点C的位置要进行分类讨论．
【详解】解：∵中，，
∴，
∴，
∴为直角三角形，
①当点D位于C点右侧时，如图：
设直线a交于点M，
∵，
∴，，
又∵四边形是正方形，且，
∴，
∴，
解得：，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得：；
②当点D位于C点左侧时，如图：
与①同理，此时，
∴，
解得：，
综上，GH的长为或，
故答案为：或．
【点睛】本题考查勾股定理逆定理，相似三角形的判定和性质，以及正方形的性质，理解题意，证明出，特别注意分类思想的运用是解题关键．
16．(1)，
(2)，
【分析】本题主要考查了一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的集中常用解法：直接开方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
（1）利用配方法求解即可；
（2）先将方程整理为一般式，再利用公式法求解即可．
【详解】（1）
即，或
，
（2）
整理得：
，，
即，
17．(1)四边形是菱形，证明见解析
(2)四边形是正方形，证明见解析
【分析】本题考查直角三角形斜边中线的性质，全等三角形的判定和性质，菱形的判定，正方形的判定：
（1）根据直角三角形斜边中线的性质可得，再证，推出，结合可证四边形是平行四边形，结合可证平行四边形是菱形；
（2）时，根据等腰三角形三线合一可得，结合（1）中结论，可得四边形是正方形．
【详解】（1）解：四边形是菱形，证明如下：
在中，，是的中线，
，
又点D是的中点，
，
，
点E是的中线的中点，
，
，
，
，
，
，
又，
∴四边形是平行四边形，
又，
∴四边形是菱形．
（2）解：四边形是正方形，证明如下：
，是的中线，
，
，
由（1）知四边形是菱形
∴菱形是正方形．
18．(1)
(2)他应往袋中加入黄球，理由见解析
【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率，注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
（1）用概率公式直接可得答案；
（2）记往袋中加入的球为“新”，列表求出所有等可能的情况，分别求出新球为红色，黄色时获得精美礼品的概率，比较概率大小即可得到答案．
【详解】（1）顾客首次摸球的所有可能结果为红，黄①，黄②，共3种等可能的结果．
“首次摸得红球”的结果只有1种，
所以P（首次摸得红球），所以顾客首次摸球中奖的概率为．
（2）他应往袋中加入黄球
理由：记往袋中加入的球为“新”，摸得的两球所有可能的结果列表如下：
共有12种等可能结果．
①若往袋中加入的是红球，两球颜色相同的结果共有4种，此时该顾客获得精美礼品的概率
；
②若往袋中加入的是黄球，两球颜色相同的结果共有6种，此时该顾客获得精美礼品的概率
；
因为，
所以，
所以他应往袋中加入黄球．
19．生产这种产品为5档时，一天的总利润为1080元
【分析】此题考查的是一元二次方程的应用，难度一般，设这天生产这种产品为x档，则每件的利润为，生产件数为；列出方程，求出的实际值即可．
【详解】解：这天生产这种产品为x档，由题意可得：
，
整理得：，
解得，，
因为，不符合题意，舍去．
因此取，
答：生产这种产品为5档时，一天的总利润为1080元．
20．(1)见解析
(2)路灯高3.75米
【分析】（1）作出太阳光线，过点作的平行线，与的交点即为小明的位置；
（2）易得小明的影长，利用可得路灯的长度．
【详解】（1）解：如图，FG就是所求作的线段.
（2）上午上学时，高1米的木棒的影子为2米，
，
，
，，
，
，
，
解得，
路灯高3.75米．
【点睛】综合考查了中心投影和平行投影的运用，注意平行投影的光线是平行的；用到的知识点为：在相同时间段，垂直于地面的物高与影长是成比例的；两三角形相似，对应边成比例．
21．(1)见解析
(2)3
【分析】本题考查了矩形的判定与性质，掌握矩形的判定与性质、菱形的性质、平行四边形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识是解题的关键．
（1）先证四边形是平行四边形，再由菱形的性质得，则，即可得出结论；
（2）由四边形是菱形，可得，再由，可得是等边三角形，从而得出，，再由四边形是矩形可得，推出，再由直角三角形性质即可求解．
【详解】（1）证明：，，
四边形是平行四边形，
四边形是菱形，
，
，
平行四边形为矩形；
（2）解：四边形是菱形，

，
是等边三角形，
，
四边形是矩形
在中，
22．(1)；
(2)8
(3)A．，，
B．,,,
【分析】（1）将点A的坐标代入反比例函数表达式，求出，利用反比例函数求点B的坐标为，将点A、B坐标代入一次函数表达式解方程组即可；
（2）过点A作轴于点E，过点B作轴于点F，先求出点C的坐标，再利用即可求出的面积；
（3）A：先确定点A、B、P的坐标，设点D的坐标为，当是边时，利用平移可得，或，，求出s、t，当是对角线时，由中点公式得：，求即可；
B：由直线求点，由点A、C的坐标求，设点Q的坐标为，点M的坐标为，当为边时，则或，即或，求出s、m，当是对角线时，则且的中点即为的中点，则，解方程组即可．
【详解】（1）解：点在反比例函数的图象上，
，
得，
反比例函数的表达式为；
点在反比例函数的图象上，
，
解得：，
点B的坐标为，
将点和的坐标分别代入，
得，
解得，
一次函数的表达式为．
（2）解：在中，当时，
点C的坐标为，
过点A作轴于点E，过点B作轴于点F，如图所示：
的面积为8．
（3）解：能，理由：
A：由（1）（2）知，点A、B、P的坐标分别为、、，
设点D的坐标为,
当是边时，
则点A向右平移2个单位向下平移4个单位得到B，同样点P（D）向右平移2个单位向下平移4个单位得到D（P），
则，或，，
解得或；
当是对角线时，
由中点公式得：，,
解得；
故点D的坐标为或或．
B：由直线的表达式知，点，由点A、C的坐标知，
设点Q的坐标为，点M的坐标为，
当为边时，
则或，
即或，
解得或8（舍去）或4，
即或4；
当是对角线时，
则且的中点即为的中点，
则，
解得，
综上，点Q的坐标为或或或．
【点睛】本题考查待定系数法求一次函数解析式与反比例函数解析式，轴对称性质，两点之间线段最短，平行四边形性质，菱形性质，本题综合性强，难度较大，灵活掌握知识是解题关键．
23．（1）正方形；（2）①AM=BE，理由见解析；②
【分析】（1）先证明四边形是矩形，再由可得，从而得四边形是正方形;
（2）①由已知可得出，再证出，再利用全等性质即可证明结论；②设与的交点为M，过点M作于点G，则易得，结合已知，利用三角函数知识可求得的长，进而求得的长，利用相似三角形的性质即可求得结果．
【详解】解：（1）四边形是正方形．
理由：
四边形为矩形
由题意知
矩形为正方形．
（2）①
理由：
交BE的延长线于点M，
又
由题意知
．
②设与的交点为M，过点M作于点G．
即
点G是BD的中点
在中，
又
即
于点H
又
即
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、正方形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、三角函数、勾股定理等知识点，适当添加的辅助线、构造相似三角形是解题的关键．