广东省肇庆市德庆县2023-2024学年九年级上学期期末数学试题(含解析)

这是一份广东省肇庆市德庆县2023-2024学年九年级上学期期末数学试题(含解析)，共21页。试卷主要包含了二次函数的常数项为，下列方程中是一元二次方程的是，点关于原点对称点的坐标是，下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。

数学测试试题
本试卷共6页，25小题，满分120分，用时120分钟。
选择题：（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑）
1．二次函数的常数项为（ ）
A．2B．3C．4D．
2．下列方程中是一元二次方程的是（ ）
A．B．C．D．
3．如图，已知⊙O的半径为13，弦AB长为24，则点O到AB的距离是( )
A．6B．5C．4D．3
4．点关于原点对称点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
5．每年的4月22日是世界地球日，2023年世界地球日的主题是“众生的地球”，某校在此期间组织学生开展“爱护地球”图标设计征集活动，下列图标是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
6．已知的直径为9，圆心O到直线l的距离为4，则直线l和的位置关系是（ ）
A．相交B．相切C．相离D．不确定
7．把抛物线y=x2向左平移2个单位得到的抛物线是（ ）
A．y=（x+2）2B．y=（x﹣2）2C．y=x2+2D．y=x2﹣2
8．下列说法正确的是 （ ）
A．“经过有交通信号的路口遇到红灯”是必然事件
B．已知某篮球运动员投篮投中的概率为0.6，则他投10次一定可投中6次
C．投掷一枚硬币正面朝上是随机事件
D．明天太阳从东方升起是随机事件
9．神奇的自然界中处处蕴含着数学知识，如图，动物学家发现翩翩起舞的蝴蝶双翅展开后的长度与其身长之比约为0.618，这体现了数学中的 （ ）
A．平移B．旋转C．轴对称D．黄金分割
10．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图，则下列结论正确的是（ ）
A．a＞0，b＞0，c＞0 B．a＞0，b＜0，c＜0 C．a＜0，b＞0，c＜0 D．a＜0，b＜0，c＜0
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．请将下列各题的正确答案填写在答题卡相应的位置上．）
11．二次函数的顶点坐标是 ．
12．如图，点A、B、C都在⊙O上，若∠C＝35°，则∠AOB＝ 度．
13．如图，在△ABC中，∠BAC＝33°，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转50°，对应得到△AB′C′，则∠B′AC的度数为 ．
14．任意抛掷一枚均匀的骰子一次，朝上的点数大于4的概率等于 ．
15．已知，计算的值为 ．
16．如图，在菱形中，，，分别以点A，C为圆心，，为半径画弧，图中阴影部分面积为 （结果保留π）．

三、解答题（一）（本大题3小题，每小题6分，共18分）
17．解方程：．
18．如图，中，弧弧，，求的度数．
19．在下列网格图中，每个小正方形的边长均为1个单位．在中，，，．
(1)试在图中作出以A为旋转中心，沿顺时针方向旋转后的图形；
(2)若点B的坐标为，试在图中画出直角坐标系，并标出，两点的坐标．
四、解答题（二）（本大题3小题，每小题8分，共24分）
20．已知二次函数．
(1)用配方法将其化为的形式；
(2)写出它的图象的开口方向和对称轴．
21．新能源汽车节能、环保，越来越受消费者喜爱，我国新能源汽车近几年出口量逐年增加，2021年出口量为20万台，2023年出口量增加到45万台．
(1)求2021年到2023年新能源汽车出口量的年平均增长率是多少？
(2)按照这个增长速度，预计2024年我国新能源汽车出口量为多少？
22．中国古代有着辉煌的数学成就，《周髀算经》，《九章算术》，《海岛算经》，《孙子算经》等是我国古代数学的重要文献．
(1)小聪想从这4部数学名著中随机选择1部阅读，则他选中《九章算术》的概率为 ；
(2)某中学拟从这4部数学名著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，求恰好选中《九章算术》和《孙子算经》的概率．
五、解答题（三）（本大题3小题，每小题10分，共30分）
23．如图，在中，，点O是上的中点，将绕着点O旋转得．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)如果，，求菱形的面积．
24．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径作⊙O交AB于D点，连接CD．
（1）求证：∠A=∠BCD；
（2）若M为线段BC上一点，试问当点M在什么位置时，直线DM与⊙O相切？并说明理由．
25．如图，已知顶点为的抛物线过点，交x轴于A，B两点，交y轴于点C、点P是抛物线上一动点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当点P在直线上方时，求面积的最大值，并求出此时点P的坐标．
参考答案与解析
1．D
【分析】本题考查二次函数的定义，根据常数项是指不含字母的项，即可解答．
【详解】二次函数的常数项为，
故选：D．
2．C
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．
根据一元二次方程的定义逐项分析判断即可求解．
【详解】解：A、是一元一次方程不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
B、是二元一次方程不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
C、是一元二次方程，故此选项符合题意；
D、是二元二次方程不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
故选：C．
3．B
【详解】过点O作OC⊥AB，垂足为C，
则有AC=AB=×24=12，
在Rt△AOC中，∠ACO=90°，AO=13，
∴OC==5，即点O到AB的距离是5．
故选：B．
4．D
【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标，解题的关键是掌握关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
【详解】解：点关于原点对称点的坐标是，
故选：D．
5．C
【分析】根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
【详解】解：选项A、B、D都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，
选项C能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，
故选：C．
【点睛】本题考查的是中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合．
6．A
【分析】本题考查了直线与圆的位置关系的知识，解决本题的关键是熟记位置关系及名称．在判断直线与圆的位置关系时，通常要得到圆心到直线的距离d和圆的半径r，然后再利用d与r的大小关系进行判断．直线与圆的位置关系：①当时，直线与圆相离；②当时，直线与圆相切；③当时，直线与圆相交．据此求解即可．
【详解】解：∵的直径为9，
∴的半径为4.5，
∵圆心O到直线l的距离为4，，
∴直线l和的位置关系是相交．
故选A．
7．A
【分析】根据平移规律“左加右减”可得平移后的抛物线解析式.
【详解】解：把抛物线y=x2向左平移2个单位得到的抛物线是：y=（x+2）2，
故选A.
【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，熟练掌握平移规律是解题关键.
8．C
【详解】试题解析：A. “经过有交通信号的路口遇到红灯”是随机事件, 说法错误.
B. 已知某篮球运动员投篮投中的概率为0.6，则他投10次一定可投中6次,说法错误.
C. 投掷一枚硬币正面朝上是随机事件,说法正确.
D. 明天太阳从东方升起是必然事件.说法错误.
故选C.
9．D
【分析】利用黄金分割比的意义解答即可．
【详解】解：∵蝴蝶双翅展开后的长度与其身长之比约为0.618，
又∵黄金分割比为：，
∴蝴蝶双翅展开后的长度与其身长之比约为0.618，这体现了数学中的黄金分割，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了数学知识与自然界的联系，熟练掌握线段的黄金分割比是解题的关键．
10．C
【分析】根据二次函数开口向下即可判断a的正负，根据二次函数与y轴的交点即可判断c的符号，根据二次函数对称轴在y轴右侧即可判断的符号从而可以判断b的符号．
【详解】解：∵抛物线的开口向下，
∴a＜0；
∵抛物线与y轴交于负半轴，
∴c＜0；
∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，
∴
∴b＞0；
故选C．
【点睛】本题主要考查了二次函数图像与系数之间的关系，解题的关键在于能够熟练掌握二次函数图像与系数之间的关系．
11．
【分析】利用顶点式表达式的特点求解即可．
【详解】解：，
二次函数的顶点坐标为，
故答案为：
【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是熟记顶点式表达式的特点．
12．70°
【详解】本题考查圆的相关性质
已知点A、B、C都在⊙O上，若∠C＝35°
由在圆里面，同弧所对的圆周角是圆心角的一半可知∠AOB＝2∠C=70°
13．17°
【详解】解：∵∠BAC=33°，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转50°，对应得到△AB′C′，
∴∠B′AC′=33°，∠BAB′=50°，
∴∠B′AC的度数=50°−33°=17°.
故答案为17°.
14．
【分析】此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
由任意抛掷一枚均匀的骰子一次，朝上的点数大于4的有2种情况，直接利用概率公式求解即可求得答案．
【详解】解：∵任意抛掷一枚均匀的骰子一次，朝上的点数大于4的有2种情况，
∴任意抛掷一枚均匀的骰子一次，朝上的点数大于4的概率为：，
故答案为：．
15．
【分析】本题考查了多项式乘以多项式运算和整体代入求值，解题的关键是求出．
【详解】解：，
，
，
故答案为：．
16．
【分析】本题考查菱形的性质，勾股定理，扇形的面积．过点D作于点E，由得到，从而，运用勾股定理求得，从而得到菱形的面积，利用扇形的面积公式可求得扇形和扇形的面积，而阴影部分的面积等于扇形和扇形的面积和减去菱形的面积，即可解答．
【详解】过点D作于点E，

∵四边形是菱形，
∴，，
∵，即，
∴，
∴，
，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
17．，
【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，解一元二次方程的方法有：公式法、直接开平方法、配方法、因式分解法，选择合适的方法进行计算是解此题的关键．
【详解】解：，
，
或，
，．
18．
【分析】本题主要考查了等边对等角，弧与弦之间的关系，三角形内角和定理，根据同圆中等弧所对的圆周角相等得到，再根据三角形内角和为180度即可求出答案．
【详解】解：∵中，弧弧，
∴，
∴．
19．(1)图见解析
(2)图见解析，，
【分析】本题考查了平面直角坐标系，作图旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．
（1）利用网格特点和旋转的性质画出、的对应点、即可；
（2）利用点坐标画出直角坐标系，从而得到，两点的坐标．
【详解】（1）解：如图，为所作；
（2）解：如图所示，由图可得，．
20．(1)
(2)开口方向向上，对称轴为直线．
【分析】本题考查将抛物线一般式化成顶点式，抛物线的图象性质．
（1）用配方法将函数式右边同时加上和减去一次项系数一半的平方即可求解；
（2）根据抛物线的顶点式确定开口和对称轴即可．
【详解】（1）解：
即．
（2）解：∵
∴， ，
∴开口方向向上， 对称轴为直线．
21．(1)2021年到2023年新能源汽车出口量的年平均增长率是；
(2)预计2024年我国新能源汽车出口量为67.5万辆．
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
（1）根据2021年某款新能源车销售量为20万辆，到2023年销售量为45万辆，若年增长率不变，可得关于的一元二次方程；
（2）利用（1）中所求，进而利用2024年出口量年出口量增长率），即可得出答案．
【详解】（1）解：设年平均增长率为，
根据题意可列方程：，
解得：，（不合题意舍去），
答：2021年到2023年新能源汽车出口量的年平均增长率是；
（2）解：由（1）得，（万，
答：预计2024年我国新能源汽车出口量为67.5万辆．
22．(1)
(2)
【分析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
（1）根据小聪选择的数学名著有四种可能，而他选中《九章算术》只有一种情况，再根据概率公式详解即可；
（2）此题需要两步完成，所以可采用树状图法或者采用列表法求解．
【详解】（1）解：小聪想从这4部数学名著中随机选择1部阅读，则他选中《九章算术》的概率为．
（2）将四部名著《周髀算经》，《九章算术》，《海岛算经》，《孙子算经》分别记为A，B，C，D，记恰好选中《九章算术》和《孙子算经》为事件M．
根据题意可以画出如下的树状图：
由树状图可以看出，所有可能的结果有12种，并且这12种结果出现的可能性相等，所有可能的结果中，满足事件M的结果有2种，即，，
∴
23．(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据旋转的性质可得，，从而得到，即可求证；
（2）过点作于点，先证明是等边三角形，可得，，再由勾股定理可得，再由菱形的面积公式计算，即可求解．
【详解】（1）证明：将绕着点旋转得，
，，
，
，
四边形是菱形；
（2）解：如图，过点作于点，
，，
是等边三角形，
，，
，
．
故菱形的面积为．
【点睛】本题主要考查了菱形的判定和性质，旋转的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理是解题的关键．
24．（1）证明见试题解析；（2）M为BC的中点．
【详解】试题分析：（1）根据圆周角定理可得∠ADC=90°，再根据直角三角形的性质可得∠A+∠DCA=90°，再由∠DCB+∠ACD=90°，可得∠DCB=∠A；
（2）当MC=MD时，直线DM与⊙O相切，连接DO，根据等等边对等角可得∠1=∠2，∠4=∠3，再根据∠ACB=90°可得∠1+∠3=90°，进而证得直线DM与⊙O相切．
试题解析：（1）证明：∵AC为直径，
∴∠ADC=90°，
∴∠A+∠DCA=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠DCB+∠ACD=90°，
∴∠DCB=∠A；
（2）当MC=MD（或点M是BC的中点）时，直线DM与⊙O相切；
解：连接DO，
∵DO=CO，
∴∠1=∠2，
∵DM=CM，
∴∠4=∠3，
∵∠2+∠4=90°，
∴∠1+∠3=90°，
∴直线DM与⊙O相切，
故当MC=MD（或点M是BC的中点）时，直线DM与⊙O相切．
考点：切线的判定．
25．(1)
(2)有最大值4，此时点P的坐标为．
【分析】（1）用待定系数法求解即可；
（2）先求出直线的解析式为，设点P的坐标为，则点H的坐标为，由面积，即可求解；
【详解】（1）根据题意设抛物线解析式为
把点的坐标代入得
解得 ．
所以抛物线解析式为．
（2）如图，由已知抛物线过点交x轴于A，B两点，交y轴于点C，
所以可得A，B，C的坐标为，且轴
经过两点的直线的解析式为
把A，D的坐标代入得 解得
所以直线的解析式为
过点P作x轴的垂线，分别交，x轴于点G，H，E，连结
因为点P在抛物线上，故设点P的坐标为
则点H的坐标为
所以
所以
当时，有最大值4，此时点p的坐标为．
【点睛】此题考查了待定系数法求二次函数和一次函数解析式，二次函数与三角形的面积，二次函数的图象与性质，数形结合是解题的关键．