湖南省长沙市平高教育集团2024-2025学年高三上学期8月联合考试数学试题（Word版附解析）

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一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的
1. 若集合中有且只有一个元素，则值的集合是（ ）
A. B. C. D.
2. 对于函数，部分与的对应关系如下表：
则值为（ ）
A. B. C. D.
3. 设，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
4. 已知函数的大致图象如图所示，则其解析式可能为（ ）
A B.
C. D.
5. 已知非零向量，，若，则（ ）
A. B. C. D.
6. 已知随机变量，且，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知函数的定义域为，满足是奇函数，且，若，则（ ）
A. -100B. -3C. 3D. 2025
8. 已知，分别是椭圆的左、右焦点，是坐标原点，是椭圆上一点，与轴交于点．若，，则椭圆的离心率为（ ）
A. 或B. 或C. 或D. 或
二､多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 设，则下列不等式中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
10. 为庆祝中国共产党成立100周年，某单位组织开展党史知识竞赛活动．某支部在5道党史题中(有3道选择题和2道填空题)，不放回地依次随机抽取2道题作答，设事件A为“第1次抽到选择题”，事件B为“第2次抽到选择题”，则下列结论中正确是( )
A. B.
C. D.
11. 如图，在棱长为1的正方体中，点在侧面内运动（包括边界），为棱中点，则下列说法正确的有（ ）
A. 存在点满足平面平面
B. 当为线段中点时，三棱锥的外接球体积为
C. 若，则最小值为
D. 若，则点的轨迹长为
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知为等比数列，为数列的前项和，，则的值为__________.
13. 已知函数在上是减函数，则实数的取值范围是__________.
14. 已知是定义在R上的函数，，且对于任意都有，，若，则__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 记内角的对边分别为，已知.
（1）求；
（2）若，求的面积.
16. 已知定义在上的函数对任意实数，恒有，且当时，.
（1）求证为奇函数；
（2）试判断在上的单调性并证明；
（3）解关于的不等式.
17. 如图，在四棱锥中，，设分列为棱的中点．
（1）证明：平面；
（2）若，求与平面所成角正弦值．
18. 已知F为抛物线C：焦点，点A在C上，.点P（0，-2），M，N是抛物线上不同两点，直线PM和直线PN的斜率分别为，.
（1）求C的方程；
（2）存在点Q，当直线MN经过点Q时，恒成立，请求出满足条件的所有点Q的坐标；
（3）对于（2）中的一个点Q，当直线MN经过点Q时，|MN|存在最小值，试求出这个最小值.
19. 定义函数．
（1）求曲线在处的切线斜率；
（2）若对任意恒成立，求k的取值范围；
（3）讨论函数的零点个数，并判断是否有最小值．若有最小值m﹐证明：；若没有最小值，说明理由．
（注：…是自然对数的底数）