初中数学人教版（2024）九年级上册24.1.2 垂直于弦的直径授课课件ppt

这是一份初中数学人教版（2024）九年级上册24.1.2 垂直于弦的直径授课课件ppt，共28页。PPT课件主要包含了复习回顾，什么是轴对称图形，圆是轴对称图形吗，情景导入，新知探究，线段AEBE，归纳小结，垂径定理，∴AEBE，推导格式等内容，欢迎下载使用。
教学目标/Teaching aims
进一步认识圆，了解圆是轴对称图形.
灵活运用垂径定理解决有关圆的问题.
理解垂直于弦的直径的性质和推论，并能应用它解决一些简单的计算、证明和作图问题.
轴对称图形是平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形。
圆是周对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴。
该如何证明圆是轴对称图形呢？
要证圆是轴对称图形，只需证明圆上任意一点关于直径所在直线（轴对称）的对称点也在圆上。
设CD是⊙O的任意一条直径
A为⊙O上点C、D以外的任意一条直径。
过点A作AA′⊥CD，交⊙O于点A′，垂足为M，连接OA，OA′。
在△OAA′中，∵OA=OA′∴△OAA′是等腰三角形又∵AA′⊥CD，∴AM=MA′即CD使AA′的垂直平分线。
由上可得，对于圆上任意一点A，在圆上都有关于直线CD的对称点A′，因此⊙O关于直线CD对称。
结论：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴。
思考：如图,AB是⊙O的一条弦, 直径CD⊥AB, 垂足为E.你能发现图中有那些相等的线段和劣弧? 为什么?
垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.
∵ CD是直径，CD⊥AB，
思考：下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什么？
不是，因为CD没有过圆心
可运用垂径定理的几种常见图形
1.如图，OE⊥AB于E，若⊙O的半径为10 cm，OE=6 cm，则AB= cm.
解: 连接OA，∵ CE⊥AB于D，∴设OC=x，则OD=x-2，根据勾股定理，得x2=42+(x-2)2，解得 x=5.即半径OC的长为5cm.
2.如图，⊙O的弦AB＝8cm ，直径CE⊥AB于D，DC＝2cm，求半径OC的长.
思考： 如果把垂径定理的结论与题设交换一条，命题还是真命题吗？①过圆心(是直径)；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧.上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论吗？
请你举例，并论证你的猜想
如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使AE=BE.（1）CD⊥AB吗？为什么？（2）
AC与BC相等吗？ AD与BD相等吗？为什么？
（1）连接AO,BO,则AO=BO,
又AE=BE，∴△AOE≌△BOE（SSS），
∴∠AEO=∠BEO=90°，
思考：“不是直径”这个条件能去掉吗？如果不能，请举出反例.
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧.
不能去掉，因为圆的两条直径是互相平分的.
1. 已知：⊙O中弦AB∥CD，求证：AC=BD .
解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的弦心距，或作垂直于弦的直径，连接半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件.
问题 (教材P82例2)赵州桥是我国隋代建造的石拱桥，距今约有1400年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37m，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.23m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？
解：如图，用AB表示主桥拱，设AB所在圆的圆心为O，半径为R.
经过圆心O作弦AB的垂线OC垂足为D，与弧AB交于点C，则D是AB的中点，C是弧AB的中点，CD就是拱高.
∴ AB=37m，CD=7.23m.
解得R≈27.3（m）.
即主桥拱半径约为27.3m.
弓形中的重要数量关系弦长a，弦心距d，弓形高h，半径r之间有以下关系：d + r = h
1.已知⊙O中，弦AB=8cm，圆心到AB的距离为3cm， 则此圆的半径为 cm.2.⊙O的直径AB=20cm，∠BAC=30°则弦AC= cm.
3.(分类讨论题)已知⊙O的半径为10cm，弦MN∥EF，且MN=12cm，EF=16cm，则弦MN和EF之间的距离为 .
4.如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证：四边形ADOE是正方形．
证明：∵OD⊥AB，OE⊥AC，AB⊥AC,∴∠OEA=∠ODA=∠EAD=90°.∴四边形ADOE为矩形，AE= AC,AD= AB.又∵AC=AB,∴AE=AD.∴四边形ADOE为正方形.
5.如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点．你认为AC和BD有什么关系？为什么？
解：AB=CD. 过O作OE⊥AB，垂足为E，则AE＝BE，CE＝DE.∴ AE－CE＝BE－DE即 AC＝BD.
6.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中弧CD，点O是弧CD的圆心)，其中CD=600 m，E为弧CD上的一点，且OE⊥CD，垂足为F，EF=90 m.求这段弯路的半径.
解:连接OC.设这段弯路的半径为R m,则OF=(R-90) m.∵OE⊥CD，CF= CD=600=300(m) 根据勾股定理，得解得R=545.∴这段弯路的半径为545 m.