人教版（2024）九年级上册第二十一章 一元二次方程21.1 一元二次方程优质课件ppt

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《一元二次方程的根与系数的关系》是人教版初中数学九年级上册第二十一章21.2.4的内容,一元二次方程根与系数的关系(也称韦达定理)，该内容是在学习了一元二次方程的解法和根的判别式之后引入的。它深化了两根与系数之间的关系，是今后继续研究一元二次方程根的情况的主要工具，是方程理论的重要组成部分。利用这一关系可以解决许多问题，同时在高中数学的学习中有着更加广泛的应用。
1.熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系.2.灵活运用一元二次方程的根与系数的关系解决实际问题.3.经历探索一元二次方程的根与系数的关系，发展学生的逻辑推理和数学运算的核心素养，培养学生观察、分析、归纳和判断的能力.
1. 一元二次方程的一般形式?2. 一元二次方程有实数根的条件是什么？3. 一元二次方程的求根公式是什么?
ax2+bx+c=0（a≠0）
思考 从因式分解法可知，方程(x-x1)(x-x2)=0(x1，x2为已知数)的两根为x1和x2，将方程化为x2+px+q=0的形式，你能看出x1，x2与p，q之间的关系吗？
把方程(x-x1)(x-x2)=0的左边展开，化成一般形式，得方程 x2-(x1+x2)x+x1x2=0  
这个方程的二次项系数为1，一次项系数p=-(x1+x2)，常数项q=x1x2.  
于是，上述方程两个根的和、积与系数分别有如下关系： (x1+x2)=-p，x1x2=q.
思考 一般的一元二次方程ax2+bx+c=0中，二次项系数a未必是1，它的两个根的和、积与系数又有怎样的关系呢？
一元二次方程根与系数的关系
一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根与系数的关系为：
例：根据一元二次方程根与系数的关系，求下列方程两个根x1，x2的和与积： (1) x2－6x－15＝0; (2) 3x2＋7x－9＝0; (3) 5x－1＝4x2.
步骤:1.根据方程的系数求出两根之和与两根之积； 2.把代数式化成只含两根之和与两根之积的形式; 3.代入数值进行计算.
求与方程的根有关的代数式的值时，一般先将所求的代数式化成含两根之和，两根之积的形式，再整体代入.
【知识技能类作业】必做题：
3.如果-1是方程2x2－x+m=0的一个根，则另一个根是___，m =____.4.已知一元二次方程x2+px+q=0的两根分别为-2 和 1 ，则：p = , q= .
【知识技能类作业】选做题：
5.已知方程3x2-18x+m=0的一个根是1，求它的另一个根及m的值.
解：设方程两根分别为x1,x2(x1>x2)，则x1-x2=1
∵ (x2-x1)2=(x1+x2)2-4x1x2
解得k1=9,k2= -3
当k=9或-3时，由于△＞0，∴k的值为9或-3.
6.当k为何值时，方程2x2-(k+1)x+k+3=0的两根差为1.
7.已知x1，x2是方程 x2 -2(k - 1)x + k2 =0 的两个实数根，且x12 +x22 =4，求k的值.
解：由方程有两个实数根，得Δ= 4(k - 1)2 - 4k2 ≥ 0 即 -8k + 4 ≥ 0. 由根与系数的关系得 x1 + x2 = 2(k -1) , x1 x2 =k 2. ∴ x12 + x22 = (x1 + x2)2 - 2x1x2 = 4(k -1)2 -2k2 = 2k2 -8k + 4. 由 x12 + x22 = 4，得 2k2 - 8k + 4 = 4, 解得 k1= 0 , k2 = 4 . 经检验， k2 = 4 不合题意，舍去.
根与系数的关系（韦达定理）
2.根与系数关系的应用
21.2.4一元二次方程根与系数的关系
4．已知关于 x 的一元二次方程 x2＋5x－p2＝0 的两个实数根为 x1，x2，当 x1＋x2＝x1x2 时，求 p 的值．