初中数学2.7 探索勾股定理学案

这是一份初中数学2.7 探索勾股定理学案，共9页。


课题
探索勾股定理（2）
单元
第二章
学科
数学
年级
八年级
学习
目标
理解勾股定理的逆定理；
2.会运用勾股定理及其逆定理解决实际问题．
重点
勾股定理的逆定理
难点
根据勾股定理的逆定理判断已知三边的三角形是否为直角三角形
学法
探究法
教法
讲授法
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
回顾旧知
勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方
1.若c为直角△ABC的斜边，b，a为直角边，则a，b，c的关系为_a2＋b2＝c2
2.在Rt△ABC中，∠C＝Rt∠，CD.CE分别是AB边上的高和中线，若AC＝6，BC＝8，则DE＝_1.4_.
回忆思考
用已有知识做基础来展开本节课内容的学习
合作学习
你能说出勾股定理的逆命题吗？下面我们一起来探索这个逆命题
（1）作一个三角形,使其三边长分别为:3cm，4cm,5cm；1.5cm，2cm,2.5cm;5cm,12cm,13cm
（2）算一算较短两条边的平方和与最长一条边的平方是否相等
（3）量一量所作每一个三角形最大边所对角的度数.
由此你得到怎样的结论?用命题的形式表述你的猜想.
如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.
动手操作
学生自己动手得出结论
讲授新课
勾股定理的逆定理：
如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形.
符号语言：
在△ABC中，
∵a2+b2=c2（已知）
∴△ABC是Rt△,且∠C=Rt∠
听课
讲授勾股定理的逆定理
例题讲解
例3 根据下列条件，分别判断以a,b,c为边的三角形是不是直角三角形
（1）a＝7，b＝24，c＝25
（2）a＝，b＝1，c＝
解：（1）∵7²+24²=25²，
∴以7,24,25为边的三角形是直角三角形.
（2）∵（）²+ （）²= ≠1²
也就是较小两边的平方和不等于较大边的平方，
∴a,b,c中任何两边的平方和都不等于第三边的平方，
∴以，1，为边的三角形不是直角三角形
听课思考
讲解例题，明白题型
总结归纳
利用勾股定理逆定理判断是否为直角三角形的方法
一找二算三判断
1.区分最长边与较短两边，
2.比较较短两边的平方和与最长边的平方，
3.若相等，则三角形是直角三角形，并且最长边所对的角是直角，
否则该三角形不是直角三角形
即时演练
已知三角形两边的长分别为3cm和4cm，第三边的长是方程x2-6x+5=0的根．判断这个三角形的形状.
解：方程x2-6x+5=0的根是1或5，由于1+3=4，不能构成三角形，故第三边的长是5cm，且32+42=52，根据勾股定理的逆定理，故此三角形为直角三角形.
做练习
及时做题，巩固所学
例题讲解
例4.已知△ABC三条边长分别为a,b,c,且a＝m2－n2，b＝2mn，c＝m2＋n2(m>n，m,n是正整数).△ABC是直角三角形吗？请证明你的判断.
解：
∵a=m2-n2,b=2mn,c=m2+n2(m>n,m,n是正整数）
∴a2+b2=(m2-n2)2+(2mn)2
=m4-2m2n2+n4+4m2n2
=m4+2m2n2+n4
=(m2+n2)2
=c2
∴△ABC是直角三角形.
听课
讲解课本例题
即时演练
若△ABC的三边长为a，b，c，根据下列条件判断△ABC的形状．
（1）a2+b2+c2+200=12a+16b+20c
（2）a3-a2b+ab2-ac2+bc2-b3=0．
解：（1）∵a2+b2+c2+200=12a+16b+20c，
∴（a2-12a+36）+（b2-16b+64）+（c2-20c+100）=0，
即（a-6）2+（b-8）2+（c-10）2=0
∴a-6=0，b-8=0，c-10=0，即a=6，b=8，c=10，而62+82=100=102，
∴a2+b2=c2，∴△ABC为直角三角形．
（2）（a3-a2b）+（ab2-b3）-（ac2-bc2）=0，a2（a-b）+b2（a-b）-c2（a-b）=0，
∴（a-b）（a2+b2-c2）=0
∴a-b=0或a2+b2-c2=0或（a-b）（a2+b2-c2）=0，
∴此三角形ABC为等腰三角形或直角三角形或等腰直角三角形．
做练习
及时做题，巩固所学
达标测评
1.如图，明明散步从A到B走了41米，从B到C走了40米，从A到C走了9米，则∠A+∠B的度数是______度．
解：∵从A到B走了41米，从B到C走了40米，从A到C走了9米，
∴AB=41，BC=40，AC=9，
由勾股定理的逆定理得：412=402+92，
∴△ACB是直角三角形，AB是斜边，
∴∠A+∠B=90°．
2.如图点P是等边三角形ABC内部一点，且PA=2，PB=2，PC=4，则∠APC的大小是______度．
解：∵△ABC为等边三角形，
则将△ABP绕A点逆时针旋转60°得△ACP′，如图，连PP′
∴AB与AC重合，∠PAP′=60°，
∴AP′=AP=2，P′C=PB=2，
∴△APP′是等边三角形，
∴PP′=2，
在△PPC中，PP′=2，P′C=2 ，PC=4，
∴PP'2+P′C2=16=PC2
∴∠PP′C=90°，∠P′CP=30°，
∴∠P′PC=60°
所以∠APC=∠APP′+∠P′PC=120°．
3.已知a，b，c是△ABC的三边，且a4-b4=a2c2-b2c2，请判断△ABC的形状．
解：∵a4-b4=a2c2-b2c2
∴a4-b4-a2c2+b2c2=0
即：（a2+b2-c2）（a2-b2）=0
则a2+b2-c2=0或a2-b2=0
可得a2+b2=c2或a=b．
∴△ABC是等腰三角形或直角三角形．
4.如图所示，BD=4，AD=3，∠ADB=90°，BC=13，AC=12，求阴影部分的面积．
解：连接AB，在RT△ABD中，AB==5，
∵BC=13，AC=12，
∴AB²+AC2=BC2，即可判断△ABC为直角三角形，
阴影部分的面积=AC×BC-BD×AD=30-6=24．
答：阴影部分的面积是24．
5.如图，分别以三角形三边为直径向外作三个半圆，如果较小的两个半圆面积之和等于较大的半圆面积．
求证：这个三角形是直角三角形．
证明：设△ABC的三边长分别为a，b，c，则以AC为直径的半圆面积=
以BC为直径的半圆面积=
以AB为直径的半圆面积=
∵较小的两个半圆面积之和等于较大的半圆面积，
∴+=
即a²+b²=c²，∴此三角形是直角三角形．
做题
通过做对应的题目，来让学生更深刻理解本节知识
应用拓展
观察下列勾股数组：3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；…A.B.c．你能发现什么规律，根据你发现的规律，请写出：
（1）当a=19时，则b，c的值是多少（2）当a=2n+1时，求b，c的值．你能证明所发现的规律吗．
解：（1）当a=19时，设b=k，则c=k+1，观察有如下规律：192+k2=（k+1）2，k=180，故b=180，c=181．
（2）当a=2n+1时，设b=k，则c=k+1，根据勾股定理：a2+b2=c2，即（2n+1）2+k2=（k+1）2
解得k=2n（n+1），即b=2n（n+1），
c=2n（n+1）+1．
证明：a2+b2=（2n+1）2+[2n（n+1）]2=4n4+8n3+8n2+4n+1，[2n（n+1）+1]2=4n4+8n3+8n2+4n+1，所以a2+b2=c2，
所以a，b，c组成的三角形是直角三角形．
思考练习
做新的找规律题型，拓展学习思维
课堂小结
这节课我们学习了：
1.勾股定理的逆定理：
如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形.
2.用勾股定理逆定理判断三角形是否为直角三角形.
3.勾股定理逆定理的应用.
回忆总结
带领学生回忆本课所学