陕西省西安市西咸新区2024届高三上学期模拟数学（理）试题（解析版）

这是一份陕西省西安市西咸新区2024届高三上学期模拟数学（理）试题（解析版），共17页。

1.本试卷共4页，全卷满分150分，答题时间120分钟.
2.答卷前，务必将答题卡上密封线内的各项目填写清楚
3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一､选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若为虚数单位，则复数的虚部为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据复数的除法运算化简复数，再根据复数的概念即可得答案.
【详解】，其虚部．
故选：D．
2 已知全集，集合或，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由集合的补集运算以及交集运算即可求解.
【详解】已知集合或，
所以，又，
所以，而又可将其用区间表示为：.
故选：A.
3. “二十四节气”是中国古代劳动人民伟大的智慧结晶，其划分如图所示．小明打算在网上搜集一些与二十四节气有关的古诗．他准备在春季的6个节气与夏季的6个节气中共选出3个节气，则小明选取节气的不同情况的种数是（ ）
A. 90B. 180C. 220D. 360
【答案】C
【解析】
【分析】根据组合知识进行求解.
【详解】小明选取节气的不同情况的种数为.
故选：C
4. 已知则p是q的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据解分式不等式的方法，结合充分不必要条件的定义进行判断即可.
【详解】或，
显然由p一定能推出q，但是由q不一定能推出p，
所以p是q的充分不必要条件，
故选：A
5. 把函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用三角函数图象变换规律可得出函数的解析式.
【详解】由题意可知，将函数的图象先向左平移个单位长度，得到函数的图象，
再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，可得到函数的图象.
故选：C.
6. 若函数在区间内单调递减，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用复合函数的单调性结合函数定义域，求实数的取值范围
【详解】函数在区间上单调递减，由函数在定义域内单调递增，
则函数在区间上单调递减，且恒成立，可得.
故选：C.
7. 在长方体中，，，，则异面直线和所成角的余弦值是（ ）
A B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】构造平行线转化为共面直线，再结合余弦定理求夹角即可.
【详解】
如图所示，在长方体中易知，即异面直线和所成角为,
由，，及勾股定理可得,
由余弦定理可得，
故选：A
8. 若实数满足约束条件则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】作出可行域，结合图形即可得出结果.
【详解】如图所示作出可行域，当过直线和的交点即时，此时.
故选：C
9. 已知圆锥的底面半径为4，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的体积为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由圆锥的轴截面、侧面展开图性质求体高，应用圆锥体积公式求体积即可.
【详解】设该圆锥的母线长为l，高为h，
由，得，则，
所以该圆锥的体积为．
故选：C
10. 设，A分别是椭圆的左焦点和右顶点，点P为椭圆上异于A点的任意一点，则使得成立的点P的个数为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】由题意，P在以为直径的圆上，数形结合判断圆与椭圆的交点个数.
【详解】，A分别是椭圆的左焦点和右顶点，则，，
∵，∴P在以为直径的圆上，该圆与椭圆有三个公共点，如图所示，

又P点与A点不重合，故符合条件的点P的个数有2个.
故选：B．
11. 定义在上的函数满足，是偶函数，若在上单调递增，，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用给定的性质把函数值化成上某个数对应的函数值，再利用单调性比较作答.
【详解】因为在上的函数满足，则，，
又，于是，
所以.
故选：D
12. 已知双曲线的焦点关于渐近线的对称点在双曲线上，则双曲线的离心率为（ ）
A. 2B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设双曲线的右焦点为，求出渐近线方程，设F关于的对称点为，由中点坐标公式和两直线垂直的条件列出方程，化简整理即可求解．
【详解】双曲线的右焦点为，渐近线方程为：，
设F关于的对称点为，
由题意可得，解得，
又点M在双曲线上，则，
整理得：，得离心率，
故选：D
二､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 一个路口的红绿灯，红灯的时间为40秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为45秒，则当你到达该路口时，看见黄灯的概率为________．
【答案】
【解析】
【分析】根据几何概型运算求解即可.
【详解】根据题意得：看见黄灯的概率为.
故答案为：
14. 已知函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为，且关于点对称，则的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为得到周期，从而求得，然后再由函数图象关于点对称求解.
【详解】解：因为函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为，
所以，则，，
所以，又函数图象关于点对称，
所以，则，即，
因为，所以，
故答案为：
15. 在中，分别为边的中点，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】连接，利用平面向量数量积、平面向量基本定理可得答案.
【详解】连接，
因为，分别为边，的中点，所以，
所以
.
故答案为：.
16. 已知函数既有极小值又有极大值，则实数a取值范围是________.
【答案】
【解析】
【分析】函数既有极小值又有极大值，则有两个不相等的实数根，进而分离参数，通过分析函数的单调性及最值，即可求出的取值范围.
【详解】
函数既有极小值又有极大值，
则在上有两个不等的实数根，
即有两个不等的实数根，
所以有两个不等的实数根，
所以有两个不等的实数根，
令，，
时，，单调递增，
时，，单调递减，
，当时，，
故，解得.
故答案为：
三､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22､23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分.
17. 设等差数列的前项和为，，.
（1）求的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由等差数列通项和求和公式可构造方程组求得，进而得到；
（2）由通项公式可确定的正负，分别在和的情况下，去掉绝对值符号，从而求得.
【小问1详解】
设等差数列的公差为，
则，解得：，.
【小问2详解】
由（1）知：当时，；当时，；
当时，；
当时，；
.
18. 大学生刘铭去某工厂实习，实习结束时从自己制作的某种零件中随机选取了10个样品，测量每个零件的横截面积（单位：）和耗材量（单位：），得到如下数据：
并计算得．
（1）估算刘铭同学制作的这种零件平均每个零件的横截面积以及平均一个零件的耗材量；
（2）求刘铭同学制作的这种零件的横截面积和耗材量的样本相关系数（精确到0.01）；
（3）刘铭同学测量了自己实习期制作的所有这种零件的横截面积，并得到所有这种零件的横截面积的和为，若这种零件的耗材量和其横截面积近似成正比，请帮刘铭计算一下他制作的零件的总耗材量的估计值．附：相关系数．
【答案】（1）平均每个零件的横截面积为，一个零件的耗材量
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）计算出样本中10个零件的横截面积的平均值和耗材量的平均值，得到答案；
（2）代入相关系数公式计算出答案.
（3）根据零件的耗材量和其横截面积近似成正比得到方程，求出答案.
【小问1详解】
样本中10个这种零件的横截面积的平均值，
样本中10个这种零件的耗材量的平均值，
由此可估算刘铭同学制作的这种零件平均每个零件的横截面积为，
平均一个零件的耗材量为．
【小问2详解】
，
这种零件的横截面积和耗材量的样本相关系数为.
【小问3详解】
设这种零件的总耗材量的估计值为，
又已知这种零件的耗材量和其横截面积近似成正比，
，解得，
故这种零件的总耗材量的估计值为．
19. 已知抛物线（）的焦点为，点为抛物线上一点，且.
（1）求抛物线的方程；
（2）不过原点的直线：与抛物线交于不同两点，，若，求的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据抛物线过点，且，利用抛物线的定义求解；
（2）设，联立，根据，由，结合韦达定理求解.
【小问1详解】
由抛物线过点，且，
得
所以抛物线方程为；
【小问2详解】
由不过原点的直线：与抛物线交于不同两点，
设，联立
得，
所以，
所以，
所以
因为，
所以，
则，
，即，
解得或，
又当时，直线与抛物线的交点中有一点与原点重合，
不符合题意，故舍去；
所以实数的值为.
20. 如图，在三棱锥中，底面ABC，.

（1）求证：平面平面PBC；
（2）若M是PC的中点，二面角的大小为45°且，求直线与平面所成角的正切值.
【答案】（1）证明见详解
（2）
【解析】
【分析】（1）根据线线垂直得平面，再由面面垂直的判定定理可证得结论，
（2）由题意求出的长，过点作于，连接，则为直线与平面所成的角，然后在中可求得结果
【小问1详解】
因为PA⊥底面，平面，
所以，
因为∠ABC＝90°，所以，
因为,平面，
所以平面，
因为平面，
所以平面平面PBC.
【小问2详解】
由（1）可知平面，平面，
所以，
因为，
所以为二面角的平面角，
所以，
令，则，
如图，过点作于，因为平面平面，平面平面，平面，

则平面，且为的中点，连接，
则为直线与平面所成的角，
在中，,
在中，，M是PC的中点，则，
因为平面，平面，所以.
在中，，，
则直线与平面所成角的正切值为.
21. 已知曲线C：
（1）若曲线C过点，求曲线C在点P处的切线方程；
（2）若，讨论的零点个数．
【答案】（1）
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）由导数得切线斜率，然后由点斜式得切线方程并化简；
（2）先求得，得的单调性，然后讨论的正负，结合零点存在定理得零点个数．
【小问1详解】
依题意得，，此时，
，
则切线斜率为，故切线方程：，即.
【小问2详解】
，
令得，令得，
令得．减区间为，增区间为，
∴．
当时，，
∴，∴上有且仅有一个零点．
当时，令，，
∴在上单调递增，
∴，即，
又，∴在上有一个零点，
又
令，则，∴在上单调递减，
∴，∴，∴在上有一个零点．
综上所述，时，有一个零点，时，有2个零点.
（二）选考题：共10分.考生从22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.
选修4-4：坐标系与参数方程
22. 在直角坐标系中，的圆心为，半径为4.
（1）写出的一个参数方程；
（2）直线与相切，且与轴和轴的正半轴分别交于，两点，若，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线的极坐标方程.
【答案】（1）（为参数）；
（2），或.
【解析】
【分析】（1）由题可得的标准方程进而可得的参数方程；
（2）根据题意可得直线的斜率为，然后利用直线与圆的位置关系可得直角坐标方程，进而即得.
【小问1详解】
由题意可知，的标准方程为，
所以的参数方程为（为参数）；
【小问2详解】
由题意可知，直线的斜率为，设其方程为，即，
因为圆心到直线的距离为4，所以，
化解得，解得，或，
所以直线的直角坐标方程为，或，
所以直线的极坐标方程为，或.
选修4-5：不等式选讲
23. 已知函数.
（1）求不等式的解集；
（2）若二次函数与函数的图象恒有公共点，求实数的取值范围.
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】（1）根据函数的解析式，去掉绝对值号，分，和讨论，即可求得不等式的解集；
（2）求得二次函数的最大值，以及分段函数的最小值，根据恒由公共点，列出关于的不等式，即可求解.
【详解】（1）由题意，函数，
当时，令，即，所以；
当时，此时恒成立，所以；
当时，令，即，所以，
所以不等式的解集为.
（2）由二次函数，
知函数在取得最大值，
因为，在处取得最小值2，
所以要是二次函数与函数的图象恒有公共点.
只需，即.
【点睛】本题主要考查了含有绝对值的不等式的求解，以及二次函数与分段函数的性质的应用，着重考查了分类讨论与转化思想，以及推理与计算能力.
样本号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
总和
零件的横截面积
0.03
0.05
0.04
0.07
0.07
0.04
0.05
0.06
0.06
0.05
0.52
耗材量
0.24
0.40
0.23
0.55
0.50
0.34
0.35
0.45
0.43
0.41
3.9