宁夏回族自治区中卫市中宁县2023-2024学年八年级下学期期末数学试题（原卷版+解析版）

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试卷满分：120分 考试时间：120分钟
一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分）
1. 已知，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了不等式的性质，根据不等式的性质逐项判断即可求解，掌握不等式的性质是解题的关键．
【详解】解：、∵，当时，；当时，；当时，；故该选项错误，不合题意；
、∵，
∴
∴，故该选项错误，不合题意；
、∵，当时，，故该选项错误，不合题意；
、∵，
∴，故该选项正确，符合题意；
故选：．
2. 下列由左边到右边的变形，是因式分解是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了因式分解的意义，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫作因式分解；根据因式分解的定义逐一判断即可得到答案
【详解】A、∵ 右边不是积的形式，故不是因式分解；
B、∵ 的右边不是整式的积，故不是因式分解；
C、∵ 是整式的乘法，故不是因式分解；
D、 ∵符合因式分解的定义，故是因式分解；
故选D.
3. 2024年6月25日14时07分，嫦娥六号返回器成功着陆，实现世界首次月球背面采样返回，这是我国建设航天强国、科技强国取得的又一标志性成果．下列是与中国航天事业相关的图标，其中可以看作是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查中心对称图形的识别，根据中心对称图形的定义，进行判断即可．
【详解】解：观察图形，只有选项A的图形，能够找到一个点，使图形绕该点旋转180度后，能与自身完全重合，是中心对称图形；
故选A．
4. 下列命题是真命题的是（ ）
A. 有一个角等于的三角形是等边三角形
B. 三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等
C. 平行四边形既是轴对称图形又是中心对称图形
D. 若把分式中的x和y都扩大到原来的3倍，则这个分式的值也扩大到原来的3倍
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查判断命题的真假，根据等边三角形的判定，中垂线的性质，平行四边形的性质，分式的值的变化，逐一进行判断即可．
【详解】解：A、有一个角等于的等腰三角形是等边三角形，原命题为假命题，不符合题意；
B、三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等，是真命题，符合题意；
C、平行四边形不是轴对称图形是中心对称图形，原命题为假命题，不符合题意；
D、若把分式中的x和y都扩大到原来的3倍，，则这个分式的值不变，原命题为假命题，不符合题意；
故选B．
5. 数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，直线与直线相交于点．根据图象可知，关于的不等式的解集是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据一次函数图像的交点直接判断即可．
【详解】解：由题意可知，
当时，
直线的图像位于直线图像的上方，
即关于的不等式的解集为：．
故选：C．
【点睛】本题主要考查一次函数与不等式的关系，明确函数图像上各交点坐标代表的意义是解决本题的关键．
6. 如图是房梁的一部分，其中，，，点D是AB的中点，点E是的中点，则DE的长为（ ）cm．
A. B. 4C. D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了含度角的直角三角形的性质：度角所对的直角边是斜边的一半；以及中位线定理，掌握相关结论是解题关键．由题意得：，，即可求解
【详解】解：∵，
∴，
∵点D是AB的中点，点E是的中点，
∴
故选：C
7. 如图，等腰的周长为16，底边，，，线段的垂直平分线交于点D，交于点E，连接，则下列说法中错误的是（ ）

A. 等腰三角形B. 平分
C. 的周长为10D. 的周长为12
【答案】D
【解析】
【分析】由等腰三角形的性质求出，，由线段垂直平分线的性质求出，然后可得，，，然后根据等腰三角形的判定和性质逐项判断即可．
【详解】解：∵等腰的周长为16，底边，，
∴，，
是线段的垂直平分线，
，
，的周长，故C正确；
，
∴平分，，故B正确；
∴，即是等腰三角形，故A正确；
∴，
∴的周长，故D错误；
故选：D．
【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质．难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
8. 记载“绫罗尺价”问题：“今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文， ■ ．”其大意为：“现在有绫布和罗布长共3丈（1丈尺），已知绫布和罗布分别出售均能收入896文，■ ．”设绫布有尺，则可得方程为根据此情境，题中“■”表示缺失的条件，下列可以作为补充条件的是（ ）
A 每尺绫布比每尺罗布贵120文B. 每尺绫布比每尺罗布便宜120文
C. 每尺绫布和每尺罗布一共需要120文D. 绫布的总价比罗布总价便宜120文
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查分式方程的应用，理解方程的意义是解题的关键．
设绫布有尺，则罗布有尺，再表示每尺绫布和每尺罗布需要的费用，最后根据所列的方程求解即可．
【详解】设绫布有尺，则罗布有尺，
∵绫布和罗布分别出售均能收入896文，
∴每尺绫布的费用为元，每尺罗布的费用为元，
∵，
∴，
∴可以作为补充条件是：每尺绫布和每尺罗布一共需要120文．
故选：C．
二、填空题：（每小题3分，共24分）
9. 若分式的值为0，则x的值为__________．
【答案】3
【解析】
【分析】根据分式的值为0时分母≠0，且分子＝0两个条件求出x的值即可．
【详解】由x2-9=0，得
x=±3．
又∵x+3≠0，
∴x≠-3，
因此x=3．
故答案为3．
【点睛】本题考查了分式值为0时求字母的值．分式值为0时分子=0，分母≠0，两个条件缺一不可，掌握以上知识是解题的关键．
10. 我们定义，例如，则满足的x的取值范围为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据定义，转化成不等式组，求解集即可
本题考查了新定义，不等式组的解法，熟练掌握解不等式组，正确理解新定义是解题的关键．
【详解】解：根据题意，得，
由得，
解得，
故答案为：．
11. 当______时，方程会产生增根．
【答案】4
【解析】
【分析】先化分式方程为整式方程得到，整理得，根据方程的增根求解即可．
本题考查了分式方程的解，增根，探求字母的取值范围，熟练根据解的属性，增根的意义建立不等式是解题的关键．
【详解】解：∵，
去分母，得，
整理，得．
∵方程的增根为，
解得，
当时，；
故答案为：4．
12. 小宇阅读了一篇《东方窗棂之美》的文章，文章中有一张如图所示的图片，图中有许多不规则的多边形组成，代表一种自然和谐美．如图是从图图案中提取的由六条线段组成的图形，若，则的度数是____．

【答案】##300度
【解析】
【分析】本题考查了多边形的外角，根据外角和为即可求解．
【详解】多边形的外角和等于
故答案为：．
13. 2024年是长征出发90周年暨新中国成立75周年．如图，这是一个五角星图案，将此图案绕中心旋转一定角度后要与原图重合，则至少旋转___________．
【答案】72
【解析】
【分析】本题考查了旋转对称图形：如果某一个图形围绕某一点旋转一定的角度（小于）后能与原图形重合，那么这个图形就叫做旋转对称图形．
根据五角星的特点，用周角360°除以5即可得到最小的旋转角度，从而得解．
【详解】解：由题意得：至少旋转，
故答案为：72．
14. 世界地球日（The WrldEarth Day）即每年的4月22日，是一个专门为世界环境保护而设立的节日．学校为提升学生的环保意识，组织了环保知识竞赛，共25道题，规定：答对一题得4分，答错或不答一题扣1分，在这次竞赛中，小颖被评为优秀（85分或85分以上），则小颖至少答对了______道题．
【答案】22
【解析】
【分析】本题考查了一元一次不等式的应用.设小颖答对了x道题，则他答错或不答的共有题，根据题意，列出不等式，求解即可得到答案.
【详解】解：设小颖答对了x道题，则他答错或不答的共有题，
．
解得，
答：小颖至少答对了22道题．
故答案为：22．
15. 如图．有两个长度相等的滑梯和，左边滑梯的高度与右边滑梯水平方向的长度相等，若，则______．
【答案】##55度
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的应用，直角三角形两锐角互余的性质，准确识图判断出全等三角形是解题的关键．
利用证明和全等，根据全等三角形对应角相等可得，再根据直角三角形两锐角互余列式计算即可得解．
【详解】解：在和中，
，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
16. 如下图，中，，，，动点从出发，以的速度沿AB向点运动，动点从点出发，以的速度沿着CD向运动，当点到达点时，两个点同时停止．则的长为时点的运动时间是________．
【答案】##秒
【解析】
【分析】过点作于点，由，可得是等腰直角三角形，过点作于点，得矩形，利用勾股定理得，由题意可得，，然后列方程求出的值即可．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，，，
∴，，
如图，过点作于点，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
过点作于点，则四边形为矩形，
∴，
∵，
∴，
由题意可知：，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴的长为时，点的运动时间是，
由题意可知，点运动最大时间为
故答案为：．
【点睛】本题考查平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理．熟练掌握相关性质，构造直角三角形，是解题的关键．
三、解答题：（每题6分，共36分）
17. 把下列各式因式分解．
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查因式分解：
（1）提公因式法进行因式分解即可；
（2）先提公因式，再利用完全平方公式进行因式分解即可．
【小问1详解】
解：原式；
【小问2详解】
原式．
18. 解不等式组，并写出它的整数解．
【答案】，不等式组的整数解是0，1．
【解析】
【分析】按照不等式的解法分别解出两个不等式，然后再根据“大于小的小于大的取中间”即可写出不等式组的解集，最后求出它的整数解即可．
【详解】解：由题意可知：，
解不等式①，得：
∴，
解不等式②，得：，
整理得到：
∴；
∴不等式组的解集是，
该不等式组的整数解是0，1．
【点睛】本题考查一元一次不等式组的解法，属于基础题，运算过程中细心，熟练掌握不等式的解法是解决本题的关键．
19. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，3．
【解析】
【分析】先计算括号内的加法，再将除法化为乘法同时给各分子分母因式分解后约分，最后将代入计算即可．
【详解】解：原式=
=
=，
当时，
原式=．
【点睛】本题考查分式的化简求值．掌握分式混合运算的运算顺序和每一步的运算法则是解题关键．
20. 如图，在直角坐标系中，每个小方格都是边长为的正方形，的顶点均在格点上，点的坐标是．
（1）将向上平移个单位长度，得到，画出；
（2）将绕点逆时针旋转90°得到，画出；
（3）连接、，则四边形的形状是______，连接，则四边形的形状是______．
【答案】（1）作图见解析；
（2）作图见解析； （3）平行四边形，平行四边形．
【解析】
【分析】（）根据平移的性质作图即可；
（）根据旋转的性质作图即可；
（）利用勾股定理及平行四边形的判定即可判断求解；
本题考查了平移作图，旋转作图，平行四边形的判定，掌握平移和旋转的性质及平行四边形的判定方法是解题的关键．
【小问1详解】
解：如图所示，即为所求；
【小问2详解】
解：如图所示，即为所求；
【小问3详解】
解：∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
故答案为：平行四边形，平行四边形．
21. 如图，点D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点，连接BE，过点C作CF∥BE，交DE的延长线于点F，若DE＝1，求DF的长．
【答案】．
【解析】
【分析】根据三角形中位线定理求出BC=2，再证明四边形为平行四边形得EF=BC，从而可得结论．
【详解】解：∵、分别是边、的中点
∴ ∥
∵
∴
∵∥
∴四边形为平行四边形
∴
∴．
【点睛】本题考查了三角形中位线定理、平行四边形判定与性质等知识，熟知三角形中位线定理是解题的关键．
22. 如图，平行四边形的对角线相交于点，点在对角线上，且，连接．
（1）求证：四边形是平行四边形．
（2）若的面积等于，求的面积．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，三角形的面积公式；
（1）由平行四边形的性质得，BO=DO，再证，即可得出结论；
（2）由平行四边形的性质可求解．
【小问1详解】
证明：四边形是平行四边形，
，BO=DO，
，
，
四边形是平行四边形；
【小问2详解】
解：，
，
四边形平行四边形，
，
，
．
四、解答题（23题、24题每题8分，25题、26题每题10分，共36分）
23. 宁夏是黄河文化的发源地之一，地域广阔，景色奇特．为了充分挖掘旅游资源，某景区准备购进一批印有当地风土人情的太阳帽和旅行包．已知购进3个太阳帽和2个旅行包需要74元，购进5个太阳帽和4个旅行包需要140元．
（1）分别求出每个太阳帽和旅行包的进价；
（2）该景区的太阳帽售价为12元，旅行包售价为35元．景区计划购进太阳帽和旅行包共480个，要保证销售完这些货物后获得的利润不低于4200元，太阳帽最多购进多少个？
【答案】（1）每个太阳帽进价8元，每个旅行包进价25元
（2）太阳帽最多购进100个
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用和一元一次不等式的应用，准确理解题意，找出数量关系是解题的关键．
（1）设每个太阳帽进价x元，每个旅行包进价y元，根据题意列出二元一次方程组，求解即可；
（2）设太阳帽购进t件，则旅行包购进个，根据题意列出一元一次不等式，求解即可．
【小问1详解】
解：设每个太阳帽进价x元，每个旅行包进价y元，由题意得
，
解得，
答：每个太阳帽进价8元，每个旅行包进价25元；
【小问2详解】
解：设太阳帽购进t件，则旅行包购进件，由题意得
，
解得，
答：太阳帽最多购进100个．
24. 如图，在中，．

（1）尺规作图：作的角平分线，交于点D．（基本作图，保留作图痕迹，不写作法，并标明字母）
（2）若，，求的长及的面积．
【答案】（1）图见解析
（2），
【解析】
【分析】本题考查尺规作图—作角平分线，勾股定理：
（1）根据尺规作角平分线的方法，作图即可；
（2）勾股定理求出的长，等积法求出的长，三角形的面积公式求出的面积即可．
【小问1详解】
解：如图，即为所求；
【小问2详解】
解：过点作，
∵平分，，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，即：，
解得：，
∴
25. 研学旅行继承和发展了我国传统游学“读万卷书，行万里路”的教育理念和人文精神，成为素质教育的新内容和新方式．某中学组织学生赴沙坡头旅游景区参加研学活动．为了让学生切身体会到麦草方格中的“愚公精神”及治沙成果的来之不易，研学基地特设了麦草方格制作实践活动．活动中甲、乙两队均需制作36块的麦草方格，已知乙队每小时比甲队多制作6块，甲队完成任务所需要的时间是乙队完成任务所需时间的1.5倍，求甲、乙两队每小时各制作多少块麦草方格？
（1）根据题意，小聪和小慧分别列出如下方程：
小聪：
小慧：
则小聪所列的方程中的x表示______，小慧所列的方程中的x表示______．
（2）任选其中一种方法求出甲、乙两队每小时各制作多少块麦草方格？
（3）制作活动开始1小时20分钟后，张老师通知所有学生1小时后集中乘车返回，于是甲乙两队决定合作完成剩下的任务，如果速度保持不变，他们能在乘车前完成任务吗？如果能，请说明理由：如果不能，请求出两队合作后每小时至少需要多做多少块才能保证在乘车前完成任务．
【答案】（1）甲队每小时制作麦草方格的数量；乙队完成任务所需时间
（2）甲队每小时制作12块，乙队每小时制作18块
（3）不能，每小时至少多做12块
【解析】
【分析】本题考查分式方程的应用：
（1）根据所列方程运用的等量关系进行作答即可；
（2）解分式方程即可；
（3）求出剩余需要制作的方格数量，再求出两队合作一小时所作的方格数，即可得出结果．
【小问1详解】
解：小聪所列方程，运用的等量关系为：甲队完成任务所需要的时间是乙队完成任务所需时间的1.5倍，
故x表示甲队每小时制作麦草方格的数量
小慧所列方程，运用的等量关系为：乙队每小时比甲队多制作6块，
故x表示乙队完成任务所需时间；
【小问2详解】
解：，得：，
经检验是原方程的解，
∴，
答：甲队每小时制作12块，乙队每小时制作18块；
解：，得：；
经检验是原方程的解，
∴，；
答：甲队每小时制作12块，乙队每小时制作18块；
【小问3详解】
不能；1小时20分钟小时
甲队已完成：（块）；
乙队已完成：（块）；
还剩余：（块）；
两队合作1小时可完成：（块），
，
故不能完成；
（块）；
答：两队合作后每小时至少需要多做2块才能保证在乘车前完成任务．
26. 如图1，中，的平分线交于O点，过O点作BC平行线交于、E．
（1）请写出图1中线段之间的数量关系？并说明理由．
（2）如图2，若的平分线与的外角平分线交于O，过点O作平行线交于D，交于E．那么之间存在什么数量关系？并证明这种关系．
【答案】（1），理由见解析
（2），证明见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了平行线的性质，等角对等边：
（1）和的平分线相交于点O， ，所以， 进而，即可求解；
（2）和的平分线相交于点O，所以，过O点作平行线交于D、E．得，进而即可求解；
【小问1详解】
解：，理由如下：
∵和的平分线相交于点O，
∴，，
∵过O点作平行线交于D、E．
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
即；
【小问2详解】
解：，理由如下：
∵和的平分线相交于点O，
∴，
∵过O点作平行线交于D、E．
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．