2022年江苏省徐州市云龙区中考数学二模试卷（含答案解析）

这是一份2022年江苏省徐州市云龙区中考数学二模试卷（含答案解析），共26页。试卷主要包含了下列各组数中，互为相反数的是，下列运算正确的是等内容，欢迎下载使用。

1．下列各组数中，互为相反数的是（ ）
A．|﹣|与﹣B．|﹣|与﹣C．|﹣|与D．|﹣|与
2．下列运算正确的是（ ）
A．x2+x2＝x4B． a2•a3＝a5
C．（3x）2 ＝6x2D．（mn）5÷（mn）＝mn4
3．如图所示的圆柱体从正面看得到的图形可能是（ ）
A．B．C．D．
4．若二次根式有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＞B．x≥C．x≤D．x≤5
5．下列图形中，不是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
6．世界上最小的鸟是生活在古巴的吸蜜蜂鸟，它的质量约为0.056盎司．将0.056用科学记数法表示为（ ）
A．5.6×10﹣1B．5.6×10﹣2C．5.6×10﹣3D．0.56×10﹣1
7．如图，点A，B，P是⊙O上的三点，若∠AOB＝40°，则∠APB的度数为（ ）
A．80°B．140°C．20°D．50°
8．如图，△ABC为直角三角形，∠C＝90°，BC＝2cm，∠A＝30°，四边形DEFG为矩形，，EF＝6cm，且点C、B、E、F在同一条直线上，点B与点E重合．Rt△ABC以每秒1cm的速度沿矩形DEFG的边EF向右平移，当点C与点F重合时停止．设Rt△ABC与矩形DEFG的重叠部分的面积为ycm2，运动时间xs．能反映ycm2与xs之间函数关系的大致图象是（ ）
A．B．
C．D．
二．填空题（共10小题，满分30分，每小题3分）
9．如图将两块三角板的直角顶点重叠在一起，∠DOB与∠DOA的比是2：11，则∠BOC＝ ．
10．初三（1）班统一购买夏季校服，统计出各种尺码的校服的数量如下表所示：
由表可以看出，在校服的尺码组成的一组数据中，众数是 ．
11．如果点（m，﹣2m）在双曲线上，那么双曲线在 象限．
12．一个多边形的每一个外角为30°，那么这个多边形的边数为 ．
13．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ．
14．命题“同旁内角互补”是一个 命题（填“真”或“假”）
15．如图所示，⊙O是△ABC的外接圆，AD⊥BC于D，且AB＝5，AC＝4，AD＝4，则⊙O的直径的长度是 ．
16．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝4，以点C为圆心，CB长为半径作弧，交AB于点D；再分别以点B和点D为圆心，大于BD的长为半径作弧，两弧相交于点E，作射线CE交AB于点F，则AF的长为 ．
17．如图，第一个图形有1个正方形；第二个图形有5个正方形；第三个图形有14个正方形……；则按此规律，第五个图形有 个正方形．
18．我们发现：若AD是△ABC的中线，则有AB2+AC2＝2（AD2+BD2），请利用结论解决问题：如图，在矩形ABCD中，已知AB＝20，AD＝12，E是DC中点，点P在以AB为直径的半圆上运动，则CP2+EP2的最小值是 ．
三．解答题（共10小题，满分86分）
19．（1）计算：π0+2cs30°﹣|2﹣|﹣（）﹣2；
（2）化简：（2﹣）÷．
20．（1）解方程x2﹣6x﹣4＝0．
（2）解不等式组
（3）解方程：﹣＝0．
21．某校为了解学生体质情况，从各年级随机抽取部分学生进行体能测试，每个学生的测试成绩按标准对应为优秀、良好、及格、不及格四个等级，统计员在将测试数据绘制成图表时发现，优秀漏统计4人，良好漏统计6人，于是及时更正，从而形成如图图表，请按正确数据解答下列各题：
学生体能测试成绩各等次人数统计表
（1）填写统计表；
（2）根据调整后数据，补全条形统计图；
（3）若该校共有学生1500人，请你估算出该校体能测试等级为“优秀”的人数．
22．在一个不透明的盒子里，装有三个分别写有数字1，2，3的小球，它们的形状、大小、质地等完全相同，先从盒子里随机取出一个小球，记下数字后放回盒子，摇匀后再随机取出一个小球，记下数字．请你用画树形图或列表的方法，求下列事件的概率：
（1）两次取出小球上的数字相同的概率；
（2）两次取出小球上的数字之和大于3的概率．
23．已知E、F分别是平行四边形ABCD的边AB、CD的中点，BD是对角线，AG∥BD交CB的延长线于G．
（1）试说明△ADE≌△CBF；
（2）当四边形AGBD是矩形时，请你确定四边形BEDF的形状并说明；
（3）当四边形AGBD是矩形时，四边形AGCD是等腰梯形吗？直接说出结论．
24．某书店老板去图书批发市场购买某种图书，第一次用1200元购书若干本，并按该书定价7元出售，很快售完．由于该书畅销，第二次购书时，每本书的批发价已比第一次提高了20%，他用1500元所购该书的数量比第一次多10本，当按定价售出200本时，出现滞销，便以定价的4折售完剩余的书．
（1）第一次购书的进价是多少元？
（2）试问该老板这两次售书总体上是赔钱了，还是赚钱了（不考虑其他因素）？若赔钱，赔多少；若赚钱，赚多少？
25．一艘轮船由南向北航行，如图，在A处测得小岛P在北偏西15°方向上，两个小时后，轮船在B处测得小岛P在北偏西30°方向上，在小岛周围18海里内有暗礁，问若轮船按20海里/时的速度继续向北航行，有无触礁的危险？
26．某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价x（元）与产品的日销售量y（件）之间的关系如表：
已知日销售量y是销售价x的一次函数．
（1）求日销售量y（件）与每件产品的销售价x（元）之间的函数表达式；
（2）当每件产品的销售价定为35元时，此时每日的销售利润是多少元？
27．小儒在学习了定理“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”之后做了如下思考：
（1）他认为该定理有逆定理，即“如果一个三角形某条边上的中线等于该边长的一半，那么这个三角形是直角三角形”应该成立，你能帮小儒证明一下吗？如图①，在△ABC中，AD是BC边上的中线，若AD＝BD＝CD，求证：∠BAC＝90°．
（2）接下来，小儒又遇到一个问题：如图②，已知矩形ABCD，如果在矩形外存在一点E，使得AE⊥CE，求证：BE⊥DE，请你作出证明，可以直接用到第（1）问的结论．
（3）在第（2）问的条件下，如果△AED恰好是等边三角形，直接用等式表示出此时矩形的两条邻边AB与BC的数量关系．
28．如图，抛物线y＝与x轴交于A，B（点A在点B的左侧）与y轴交于点C，连接AC、BC．过点A作AD∥BC交抛物线于点D（8，10），点P为线段BC下方抛物线上的任意一点，过点P作PE∥y轴交线段AD于点E．
（1）如图1．当PE+AE最大时，分别取线段AE，AC上动点G，H，使GH＝5，若点M为GH的中点，点N为线段CB上一动点，连接EN、MN，求EN+MN的最小值；
（2）如图2，点F在线段AD上，且AF：DF＝7：3，连接CF，点Q，R分别是PE与线段CF，BC的交点，以RQ为边，在RQ的右侧作矩形RQTS，其中RS＝2，作∠ACB的角平分线CK交AD于点K，将△ACK绕点C顺时针旋转75°得到△A′CK′，当矩形RQTS与△A′CK′重叠部分（面积不为0）为轴对称图形时，请直接写出点P横坐标的取值范围．
江苏省徐州市云龙区中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．【分析】只有符号不同的两个数叫做互为相反数，从而分别分析A，B，C，D四项中符合相反数定义的选项．
【解答】解：A项中，|﹣|＝，与﹣互为相反数．
B项中，|﹣|＝，﹣＜﹣，所以|﹣|与﹣不互为相反数．
C项中，|﹣|＝，＝，|﹣|与相等，不互为相反数．
D项中，|﹣|＝，＜，|﹣|与不互为相反数．
故选：A．
【点评】本题考查了绝对值的性质和相反数的定义，属于比较基本的问题．
2．【分析】根据合并同类项、同底数幂的乘法、除法和幂的乘方计算判断即可．
【解答】解：A、x2+x2＝2x2，错误；
B、a2•a3＝a5 ，正确；
C、（3x）2 ＝9x2，错误；
D、（mn）5÷（mn）＝（mn）4，错误；
故选：B．
【点评】此题考查同底数幂的乘法、除法，关键是根据合并同类项、同底数幂的乘法、除法和幂的乘方法则解答．
3．【分析】根据圆柱从正面看的平面图形是矩形进行解答即可．
【解答】解：一个直立在水平面上的圆柱体，从正面看是一个矩形，
故选：B．
【点评】本题考查了简单几何体的三视图，关键是掌握所看的位置，以及注意所有的看到的棱都应表现在三视图中．
4．【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式即可．
【解答】解：由题意得，5x﹣1≥0，
解得，x≥，
故选：B．
【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键．
5．【分析】根据中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、是中心对称图形，故本选项错误；
B、不是中心对称图形，故本选项正确；
C、是中心对称图形，故本选项错误；
D、是中心对称图形，故本选项错误；
故选：B．
【点评】本题考查了中心对称的知识，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
6．【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：将0.056用科学记数法表示为5.6×10﹣2，
故选：B．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
7．【分析】直接利用圆周角定理求解．
【解答】解：∠APB＝∠AOB＝×40°＝20°．
故选：C．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
8．【分析】由勾股定理求出AB、AC的长，进一步求出△ABC的面积，根据移动特点有三种情况（1）（2）（3），分别求出每种情况y与x的关系式，利用关系式的特点（是一次函数还是二次函数）就能选出答案．
【解答】解：已知∠C＝90°，BC＝2cm，∠A＝30°，
∴AB＝4，
由勾股定理得：AC＝2，
∵四边形DEFG为矩形，∠C＝90，
∴DE＝GF＝2，∠C＝∠DEF＝90°，
∴AC∥DE，
此题有三种情况：（1）当0＜x＜2时，AB交DE于H，
如图
∵DE∥AC，
∴＝，
即＝，
解得：EH＝x，
所以y＝•x•x＝x2，
∵xy之间是二次函数，
所以所选答案C错误，答案D错误，
∵a＝＞0，开口向上；
（2）当2≤x≤6时，如图，
此时y＝×2×2＝2，
（3）当6＜x≤8时，如图，设△ABC的面积是s1，△FNB的面积是s2，
BF＝x﹣6，与（1）类同，同法可求FN＝X﹣6，
∴y＝s1﹣s2，
＝×2×2﹣×（x﹣6）×（X﹣6），
＝﹣x2+6x﹣16，
∵﹣＜0，
∴开口向下，
所以答案A正确，答案B错误，
故选：A．
【点评】本题主要考查了一次函数，二次函数的性质三角形的面积公式等知识点，解此题的关键是能根据移动规律把问题分成三种情况，并能求出每种情况的y与x的关系式．
二．填空题（共10小题，满分30分，每小题3分）
9．【分析】设出适当未知数∠DOB为2x，∠DOA为11x，得出∠AOB＝9x，由∠AOB＝90°，求出x＝10°，得出∠DOB＝20°，即可求出∠BOC＝∠COD﹣∠DOB＝70°．
【解答】解：设∠DOB为2x，∠DOA为11x；
∴∠AOB＝∠DOA﹣∠DOB＝9x，
∵∠AOB＝90°，
∴9x＝90°，
∴x＝10°，
∴∠DOB＝20°，
∴∠BOC＝∠COD﹣∠DOB＝90°﹣20°＝70°；
故答案为：70°
【点评】本题考查看余角的定义；设出适当未知数，弄清各个角之间的关系得出方程，解方程即可得出结果．
10．【分析】众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．
【解答】解：数据175出现22次最多为众数．
故答案为：175．
【点评】考查了众数的定义，牢记出现次数最多的数是众数是解答本题的关键．
11．【分析】根据反比例函数图象上的点的坐标特征：图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k可得k＝﹣2m2＜0，根据反比例函数的性质可得答案．
【解答】解：∵点（m，﹣2m）在双曲线（k≠0）上，
∴m•（﹣2m）＝k，
解得：k＝﹣2m2，
∵﹣2m2＜0，
∴双曲线在第二、四象限．
故答案为：第二、四．
【点评】此题主要考查了反比例函数图象上的点的坐标特征，以及反比例函数的性质，关键是掌握图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k．
12．【分析】一个正多边形的每个内角都相等，根据内角与外角互为邻补角，因而就可以求出外角的度数．根据任何多边形的外角和都是360°，利用360°除以外角的度数就可以求出外角和中外角的个数，即多边形的边数．
【解答】解：多边形的边数：360°÷30°＝12，
则这个多边形的边数为12．
故答案为：12．
【点评】根据外角和的大小与多边形的边数无关，由外角和求正多边形的边数，是常见的题目，需要熟练掌握．
13．【分析】根据一元二次方程的根的判别式，建立关于k的不等式，求出k的取值范围．
【解答】解：∴a＝1，b＝﹣2，c＝k，方程有两个不相等的实数根，
∴△＝b2﹣4ac＝12﹣4k＞0，
∴k＜3．
故填：k＜3．
【点评】本题考查了根的判别式．
总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；
（2）△＝0⇔方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0⇔方程没有实数根．
14．【分析】根据平行线的性质判断命题的真假．
【解答】解：两直线平行，同旁内角互补，所以命题“同旁内角互补”是一个假命题；
故答案为：假．
【点评】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．
15．【分析】由勾股定理可求AD＝CD，即可得∠ACB＝45°，由圆的有关性质可得∠AOB＝90°，由勾股定理可求AO的长，即可得⊙O的直径的长度．
【解答】解：如图，连接AO，BO，
∵AD⊥BC，且AC＝4，AD＝4，
∴CD＝＝4
∴CD＝AD，
∴∠ACB＝45°，
∵∠AOB＝2∠ACB
∴∠AOB＝90°
∴AO2+BO2＝AB2，
∴AO＝BO＝
∴⊙O的直径的长度是5
故答案为：5
【点评】本题考查了三角形的外接圆和外心，圆周角定理，勾股定理等知识，求∠AOB＝90°是本题的关键．
16．【分析】连接CD，根据在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝4可知AB＝2BC＝8，再由作法可知BC＝CD＝4，CE是线段BD的垂直平分线，据此可得出BD的长，进而可得出结论．
【解答】解：如图，连接CD，
∵在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝4，
∴AB＝2BC＝8．
由题可知BC＝CD＝4，CE是线段BD的垂直平分线，
∴∠CDB＝∠CBD＝60°，DF＝BD，
∴AD＝CD＝BC＝4，
∴BD＝AD＝4，
∴BF＝DF＝2，
∴AF＝AD+DF＝4+2＝6．
故答案为：6．
【点评】本题考查的是作图﹣基本作图，熟知线段垂直平分线的作法和直角三角形的性质是解答此题的关键．解题时注意：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．
17．【分析】由已知图形得出第n个图形中小正方形的个数为12+22+…+（n﹣1）2+n2，据此可得．
【解答】解：由题意知，第五个图形中正方形有12+22+32+42+52＝55（个），
故答案为：55．
【点评】本题主要考查图形的变化规律，解题的关键是掌握第n个图形中小正方形的个数为12+22+…+（n﹣1）2+n2．
18．【分析】设点O为AB的中点，H为CE的中点，连接HO交半圆于点P，此时PH取最小值，根据矩形的性质得到CD＝AB，EO＝AD，求得OP＝CE＝AB＝10过H作HG⊥AB于g，根据矩形的性质得到HG＝12，OG＝5，于是得到结论．
【解答】解：设点O为AB的中点，H为CE的中点，
连接HO交半圆于点P，此时PH取最小值，
∵AB＝20，四边形ABCD为矩形，
∴CD＝AB，EO＝AD，
∴OP＝CE＝AB＝10，
∴CP2+EP2＝2（PH2+CH2）．
过H作HG⊥AB于g，
∴HG＝12，OG＝5，
∴PH＝13，
∴PH＝3，
∴CP2+EP2的最小值＝2（9+25）＝68，
故答案为：68．
【点评】本题考查了点与圆的位置关系、矩形的性质以及三角形三边关系，利用三角形三边关系找出PE的最小值是解题的关键．
三．解答题（共10小题，满分86分）
19．【分析】（1）先计算零指数幂、代入三角函数值，去绝对值符号、计算负整数指数幂，再计算乘法和加减可得；
（2）根据分式的混合运算顺序和运算法则计算可得．
【解答】解：（1）原式＝1+2×﹣（2﹣）﹣4
＝1+﹣2+﹣4
＝2﹣5；
（2）原式＝（﹣）÷
＝•
＝．
【点评】本题主要考查分式和实数的混合运算，解题的关键是掌握零指数幂、三角函数值、绝对值性质、负整数指数幂及分式的混合运算顺序和运算法则．
20．【分析】（1）根据一元二次方程的解法即可求出答案．
（2）根据不等式组的解法即可求出答案．
（3）根据分式方程的解法即可求出答案．
【解答】解：（1）x2﹣6x﹣4＝0，
x2﹣6x＝4，
x2﹣6x+9＝13，
（x﹣3）2＝13，
x＝3±；
（2）
由①得：x≤4，
由②得：x＞﹣，
∴不等式组的解集为：＜x≤4；
（3），
2（1+x）﹣x＝0，
2+2x﹣x＝0
x＝﹣2，
经检验：x＝﹣2是分式方程的解．
【点评】本题考查学生的运算，解题的关键是熟练运用运算法则，本题属于基础题型．
21．【分析】（1）求出各自的人数，补全表格即可；
（2）根据调整后的数据，补全条形统计图即可；
（3）根据“优秀”人数占的百分比，乘以1500即可得到结果．
【解答】解：（1）填表如下：
故答案为：12；22；12；4；50；
（2）补全条形统计图，如图所示：
（3）抽取的学生中体能测试的优秀率为24%，
则该校体能测试为“优秀”的人数为1500×24%＝360（人）．
【点评】此题考查了条形统计图，用样本估计总体，以及统计表，弄清题中的数据是解本题的关键．
22．【分析】（1）画树状图展示所有9种等可能的结果数，再找出两次取出小球上的数字相同的结果数，然后根据概率公式求解；
（2）找出两次取出小球上的数字之和大于3的结果数，然后利用概率公式求解．
【解答】解：（1）画树状图为：
共有9种等可能的结果数，其中两次取出小球上的数字相同的结果数为3，
所以两次取出小球上的数字相同的概率＝＝；
（2）两次取出小球上的数字之和大于3的结果数为6，
所以两次取出小球上的数字之和大于3的概率＝＝．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．
23．【分析】（1）根据平行四边形的性质推出BC＝AD，∠C＝∠BAD，CD＝AB，求出AE＝CF，根据三角形的判定求出即可；
（2）根据平行四边形的判定推出平行四边形BEDF，再根据直角三角形斜边上中线性质求出DE＝BE即可；
（3）根据在Rt△DBC中，CD不可能等于BD，推出即可．
【解答】（1）证明：在平行四边形ABCD中，BC＝AD，∠C＝∠BAD，CD＝AB，
∵E、F是AB、CD的中点，
∴AE＝CF，
在△BCF和△DAE中，
，
∴△ADE≌△CBF．
（2）四边形BEDF的形状是菱形，
理由是：∵BE＝DF，BE∥DF，
∴四边形BEDF为平行四边形，
当四边形AGBD为矩形时，∠ADB＝90°，
∴DE＝AB＝BE，
∴BEDF为菱形．
（3）答：四边形AGCD不可能是等腰梯形．
【点评】本题综合考查了平行四边形的性质和判定，菱形的判定，矩形的性质，等腰梯形的判定，直角三角形斜边上的中线的性质，全等三角形的判定等知识点的应用，此题综合性比较强，但难度不大，通过做此题培养了学生分析问题和解决问题的能力．
24．【分析】（1）设第一次购书的单价为x元，根据第一次用1200元购书若干本，第二次购书时，每本书的批发价已比第一次提高了20%，他用1500元所购该书的数量比第一次多10本，列出方程，求出x的值即可得出答案；
（2）根据（1）先求出第一次和第二次购书数目，再根据卖书数目×（实际售价﹣当次进价）求出二次赚的钱数，再分别相加即可得出答案．
【解答】解：（1）设第一次购书的单价为x元，根据题意得：
+10＝．
解得：x＝5．
经检验，x＝5是原方程的解，
答：第一次购书的进价是5元；
（2）第一次购书为1200÷5＝240（本），
第二次购书为240+10＝250（本），
第一次赚钱为240×（7﹣5）＝480（元），
第二次赚钱为200×（7﹣5×1.2）+50×（7×0.4﹣5×1.2）＝40（元），
所以两次共赚钱480+40＝520（元），
答：该老板两次售书总体上是赚钱了，共赚了520元．
【点评】此题考查了分式方程的应用，掌握这次活动的流程，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
25．【分析】作PD⊥AB交AB延长线于D点，依据直角三角形的性质求得PD的长，即可得出结论．
【解答】解：如图，作PD⊥AB交AB延长线于D点，
∵∠PBC＝30°，
∴∠PAB＝15°，
∴∠APB＝∠PBC﹣∠PAB＝15°，
∴PB＝AB＝20×2＝40 （海里），
在Rt△BPD中，
∴PD＝PB＝20（海里），
∵20＞18，
∴不会触礁．
【点评】此题考查了等腰三角形的判定与性质，三角形的外角性质，以及含30°直角三角形的性质，其中轮船有没有危险由PD的长与18比较大小决定．
26．【分析】（1）根据题意可以设出y与x的函数关系式，然后根据表格中的数据，即可求出日销售量y（件）与每件产品的销售价x（元）之间的函数表达式；
（2）根据题意可以计算出当每件产品的销售价定为35元时，此时每日的销售利润．
【解答】解：（1）设日销售量y（件）与每件产品的销售价x（元）之间的函数表达式是y＝kx+b，
，
解得，，
即日销售量y（件）与每件产品的销售价x（元）之间的函数表达式是y＝﹣x+40；
（2）当每件产品的销售价定为35元时，此时每日的销售利润是：（35﹣10）（﹣35+40）＝25×5＝125（元），
即当每件产品的销售价定为35元时，此时每日的销售利润是125元．
【点评】本题考查一次函数的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
27．【分析】（1）利用等腰三角形的性质和三角形内角和即可得出结论；
（2）先判断出OE＝AC，即可得出OE＝BD，即可得出结论；
（3）先判断出△ABE是底角是30°的等腰三角形，即可构造直角三角形即可得出结论．
【解答】解：（1）∵AD＝BD，
∴∠B＝∠BAD，
∵AD＝CD，
∴∠C＝∠CAD，
在△ABC中，∠B+∠C+∠BAC＝180°，
∴∠B+∠C+∠BAD+∠CAD＝∠B+∠C+∠B+∠C＝180°
∴∠B+∠C＝90°，
∴∠BAC＝90°，
（2）如图②，连接AC，BD，OE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OB＝OC＝OD＝AC＝BD，
∵AE⊥CE，
∴∠AEC＝90°，
∴OE＝AC，
∴OE＝BD，
∴∠BED＝90°，
∴BE⊥DE；
（3）如图3，∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，∠BAD＝90°，
∵△ADE是等边三角形，
∴AE＝AD＝BC，∠DAE＝∠AED＝60°，
由（2）知，∠BED＝90°，
∴∠BAE＝∠BEA＝30°，
过点B作BF⊥AE于F，
∴AE＝2AF，在Rt△ABF中，∠BAE＝30°，
∴AB＝2BF，AF＝BF，
∴AE＝2BF，
∴AE＝AB，
∴BC＝AB．
【点评】此题是四边形综合题，主要考查了矩形是性质，直角三角形的性质和判定，含30°角的直角三角形的性质，三角形的内角和公式，解（1）的关键是判断出∠B＝∠BAD，解（2）的关键是判断出OE＝AC，解（3）的关键是判断出△ABE是底角为30°的等腰三角形，进而构造直角三角形，是一道中等难度的中考常考题．
28．【分析】（1）先通过二次函数解析式求出点A，B的坐标，再求出AC，AB，CB的长度，用勾股定理逆定理证直角三角形，求出直线AD的解析式，用含相同字母的代数式分别表示E，Q，P的坐标，并表示出EP长度，求出AE长度，根据二次函数的性质求出EA+EP最大值时点E的坐标．最后作出点E关于CB的对称点，利用两点之间线段最短可求出结果；
（2）由旋转的性质得到三角形CA′K与三角形CAK全等，且为等腰直角三角形，求出A′，K′的坐标，求出直线A′K′及CB的解析式，求出交点坐标，通过图象观察出P的横坐标的取值范围．
【解答】解：（1）在抛物线y＝x2﹣x﹣6中，
当y＝0时，x1＝﹣2，x2＝6，
当x＝0时，y＝﹣6，
∵抛物线y＝x2﹣x﹣6与x轴交于A，B（点A在点B左侧），与y轴交于点C，
∴A（﹣2，0），B（6，0），C（0，﹣6），
∴AB＝8，AC＝，BC＝，
在△ABC中，
AC2+BC2＝192，AB2＝192，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°，
∵AD∥BC，
∴∠CAD＝90°，
过点D作DL⊥x轴于点L，
在Rt△ADL中，
DL＝10，AL＝10，
tan∠DAL＝＝，
∴∠DAB＝30°，
把点A（﹣2，0），D（8，10）代入直线解析式，
得，
解得k＝，b＝2，
∴yAD＝x+2，
设点E的横坐标为a，EP⊥y轴于点Q，
则E（a， a+2），Q（a，0），P（a， a2﹣a﹣6），
∴EQ＝a+2，EP＝a+2﹣（a2﹣a﹣6）＝a2+a+8，
∴在Rt△AEB中，
AE＝2EQ＝a+4，
∴PE+AE＝a+4+（a2+a+8）
＝a2 SHAPE \* MERGEFORMAT a+12
＝（a﹣5）2+
∴根据函数的性质可知，当a＝5时，PE+AE有最大值，
∴此时E（5，7），
过点E作EF⊥CB交CB的延长线于点F，
则∠EAC＝∠ACB＝∠ACF＝90°，
∴四边形ACFE是矩形，
作点E关于CB的对称点E'，
在矩形ACFE中，由矩形的性质及平移规律知，
xF﹣xE＝xC﹣xA，yE﹣yF＝yA﹣yC，
∵A（﹣2，0），C（0，﹣6），E（5，7），
∴xF﹣5＝0﹣（﹣2），7﹣yF＝0﹣（﹣6），
∴xF＝7，yF＝1，
∴F（7，1），
∵F是EE′的中点，
∴，，
∴xE′＝9，yE′＝﹣5，
∴E'（9，﹣5），
连接AE'，交BC于点N，则当GH的中点M在E′A上时，EN+MN有最小值，
∴AE′＝＝2，
∵M是Rt△AGH斜边中点，
∴AM＝GH＝，
∴EN+MN＝E′M＝2﹣，
∴EN+MN的最小值是2﹣．

（2）在Rt△AOC中，
∵tan∠ACO＝＝，
∴∠AOC＝30°，
∵KE平分∠ACB，
∴∠ACK＝∠BCK＝45°，
由旋转知，△CA′K′≌△CAK，∠AC′A′＝75°，
∴∠OCA′＝75°﹣∠ACO＝45°，∠AC′K′＝45°，
∴OCK′＝90°，
∴K′C⊥y轴，△CAK′是等腰直角三角形，
∴A′C＝AC＝4，
∴xA′＝＝2，yA′＝2﹣6，
∴A′（2，2﹣6），
∴K′（4，﹣6），
将A′（2，2﹣6），K′（4，﹣6），代入一次函数解析式，
得，
解得k＝﹣1，b＝4﹣6，
∴yA′K′＝﹣x+4﹣6，
∵CB∥AD，
∴将点C（0，﹣6），B（6，0）代入一次函数解析式，
得，
解得k＝，b＝﹣6，
∴yCB＝x﹣6，
联立yA′K′＝﹣x+4﹣6和yCB＝x﹣6，
得﹣x+4﹣6＝x﹣6，
∴x＝6﹣6，
∴直线CB与A′K′的交点横坐标是6﹣6，
∵当EP经过A′时，点P的横坐标是2，
∴如图2，当2＜xP＜6﹣6时，重叠部分是轴对称图形；
如图3，由于RS的长度为2，由图可看出当xP＝2﹣1时，重叠部分同样为轴对称图形；
综上，当xP＝2﹣1或2＜xP＜6﹣6时，
矩形RQRS和△A′CK′重叠部分为轴对称图形．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，三角函数，二次函数的性质，旋转的性质，两点之间线段最短等众多知识点，综合性非常强，解此题的关键是对初中阶段各知识点都要掌握熟练．
校服的尺码
（单位：厘米）
160
165
170
175
180
185
195
数量（单位：件）
2
4
10
22
14
6
1
体能等级
调整前人数
调整后人数
优秀
8

良好
16

及格
12

不及格
4

合计
40

x/元
…
15
20
25
…
y/件
…
25
20
15
…
体能等级
调整前人数
调整后人数
优秀
8
12
良好
16
22
及格
12
12
不及格
4
4
合计
40
50