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2023-2024学年内蒙古呼和浩特市回民区高二（下）期末数学试卷（含答案）
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这是一份2023-2024学年内蒙古呼和浩特市回民区高二（下）期末数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知集合U={1,2,3,4,5,6}，A={1,3,4,6}，B={4,5}，则A∩(∁UB)=( )
A. {3,6}B. {1,3,6}C. {3,4,6}D. {1,3,4,6}
2.若命题p：∀x∈(0,π2),sinxA. ∀x∈(0,π2),sinx≥xB. ∀x∉(0,π2),sinx≥x
C. ∃x0∈(0,π2),sinx0≥x0D. ∃x0∈(0,π2),sinx0≤x0
3.三个数a=lg32，b=lg214，c=(12)−0.5之间的大小关系为( )
A. a4.函数f(x)=x3−6x3x+3−x的部分图象大致为( )
A. B.
C. D.
5.设Sn为等差数列{an}的前n项和，a1=1，S3=6，若数列{1anan+1}的前k项和为1011，则k的值是( )
A. 8B. 9C. 10D. 11
6.教室通风的目的是通过空气的流动，排出室内的污浊空气和致病微生物，降低室内二氧化碳和致病微生物的浓度，送进室外的新鲜空气.按照国家标准，教室内空气中二氧化碳日平均最高容许浓度应小于等于0.1%.经测定，刚下课时，空气中含有0.2%的二氧化碳，若开窗通风后教室内二氧化碳的浓度为y%，且y随时间t(单位：分钟)的变化规律可以用函数y=0.05+λe−t12(λ∈R)描述，则该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准至少需要的时间为( )(参考数据ln≈1.1)
A. 10分钟B. 14分钟C. 15分钟D. 20分钟
7.已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在[0,+∞)上单调递增，又f(4)=0，则(3x−1)f(2x)<0的解集是( )
A. (−2,13)B. (13,2)
C. (−2,13)∪(2,+∞)D. (−∞,−2)∪(13,2)
8.在平面直角坐标系xOy中，已知x12−lnx1−y1=0，x2−y2−2=0，则(x1−x2)2+(y1−y2)2的最小值为( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题中，正确的有( )
A. x+4x最小值是4
B. “a>1”是“a2>a“的充分不必要条件
C. 若a>b，则1a<1b
D. 函数y=lga(x−3)+2(a>0且a≠1)的图象恒过定点P(4,2)
10.下列说法正确的是( )
A. y= 1+x⋅ 1−x与y= 1−x2表示同一个函数
B. 函数f(2x−1)的定义域为(−1,2)则函数f(1−x)的定义域为(−2,4)
C. 关于x的不等式2kx2+kx−38<0，使该不等式恒成立的实数k的取值范围是(−3,0)
D. 已知关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为(−∞,−2)∪(3,+∞)，则不等式cx2−bx+a<0的解集为(−∞,−13)∪(12,+∞)
11.甲和乙两个箱子中各装有10个球，其中甲箱中有5个红球、5个白球，乙箱中有6个红球、4个白球，下列说法正确的是( )
A. 从甲箱中不放回地取球，在第一次取到红球的条件下，第二次也取到红球的概率为49
B. 从甲箱中不放回地每次任取一个球，直至取到白球后停止取球，则抽取两次后停止取球的概率为59
C. 从乙箱中有放回地抽取4次，则3次抽到红球的概率为216625
D. 从乙箱中不放回地抽取3个球，则抽到2个红球的概率为54125
12.对于三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)，现给出定义：设f′(x)是函数f(x)的导数，f′′(x)是f′(x)的导数，若方程f′′(x)=0有实数解x0，则称点(x0,f(x0))为函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”，任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.已知函数f(x)=13x3+12x2，则( )
A. 函数f(x)有三个零点
B. 函数f(x)有两个极值点
C. 点(−12,112)是曲线y=f(x)的对称中心
D. 方程f(x)−110=0有三个不同的实数根
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知f(x)=lg2(2−x),x<12x,x≥1，则f(f(0))=______．
14.已知函数f( x+1)=x−4，则f(x)的解析式为______．
15.两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn、Tn，且SnTn=5n+2n+3，则a2+a20b7+b15等于______
16.已知f(x)=x2+2x−3,x≤0,−2+lnx,x>0,若函数g(x)=f(x)+x−m有三个不同的零点，则m取值范围是______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知数列{an}满足an+1−an=2(n∈N∗)，且a5，a6，a9成等比数列，
(1)求{an}的通项公式；
(2)设数列{an}的前n项和为Sn，求Sn的最小值及此时n的值．
18.(本小题12分)
已知函数f(x)= (x2−3x+1)ex．
(1)求f(x)的极大值点和极小值点;
(2)求f(x)在区间[−1,3]上的最大值和最小值．
19.(本小题12分)
中欧班列是推进“一带一路”沿线国家道路联通、贸易畅通的重要举措，作为中欧铁路在东北地区的始发站，沈阳某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一面高为3m，底面积为12m2，且背面靠墙的长方体形状的保管员室，由于保管员室的后背靠墙，无需建造费用，因此，甲工程队给出的报价如下：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体的报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元，设屋子的左右两面墙的长度均为xm(2≤x≤6)．
(1)当左右两面墙的长度为多少米时，甲工程队的报价最低？
(2)现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为900a(1+x)x元(a>0)；若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，求a的取值范围．
20.(本小题12分)
2023年春节期间，科幻电影《流浪地球2》上映，获得较好的评价，也取得了很好的票房成绩.某平台为了解观众对该影片的评价情况(评价结果仅有“好评”“差评”)，从平台所有参与评价的观众中随机抽取400人进行调查，数据如下表所示(单位：人)：
(1)把2×2列联表补充完整，并判断是否有99.5%的把握认为“对该部影片的评价与性别有关”？
(2)若将频率视为概率，从抽取的400人中所有给出“好评”的观众中随机抽取3人，用随机变量X表示被抽到的女性观众的人数，求X的分布列和数学期望．
参考公式：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n=a+b+c+d．
参考数据：
21.(本小题12分)
已知数列{an}的首项为a1=12，且满足an+1=an3an+1．
(1)求证{1an}为等差数列，并求出数列{an}的通项公式；
(2)设数列{2nan}的前n项和为Tn，求Tn．
22.(本小题12分)
已知函数f(x)=(x−2)ex−2ax2+4ax(a>0)．
(1)若a=1，求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程；
(2)若f(x)恰有三个零点，求a的取值范围．
参考答案
1.B
2.C
3.C
4.A
5.C
6.B
7.D
8.B
9.BD
10.ABD
11.AC
12.BCD
13.2
14.f(x)=x2−2x−3(x≥1)
15.10724
16.(−214,−3]
17.解：(1)∵an+1−an=2，
∴{an}是以公差为d=2的等差数列，
又∵a5，a6，a9成等比数列，
∴a62=a5a9，即(a1+10)2=(a1+8)(a1+16)，
解得a1=−7，又d=2，
所以{an}的通项公式为an=2n−9；
(2)由(1)得Sn=n(−7+2n−9)2=n2−8n=(n−4)2−16，
所以当n=4时，Sn取得最小值，且最小值为−16．
18.解：(1)函数f(x)=(x2−3x+1)ex.可得f′(x)=(x2−x−2)ex，
令(x2−x−2)ex=0，可得x=−1，x=2，当x<−1，x>2时，f′(x)>0，函数是增函数，−1所以f(x)的极大值点为−1和极小值点为2；
(2)由(1)可知，x=−1时，函数取得极大值：5e，x=2时，函数取得极小值：−e2，f(3)=e3，
f(x)在区间[−1,3]上的最大值e3，
最小值：−e2．
19.解：(1)设甲工程队的总造价为y元，依题意左右两面墙的长度均为xm(2≤x≤6)，
则屋子前面新建墙体长为12xm，
则y=3(150×2x+400×12x)+7200=900(x+16x)+7200≥900×2× x×16x+7200=14400，
当且仅当x=16x，即x=4时，等号成立，
故当左右两面墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低为14400元．
(2)由题意可得，900(x+16x)+7200>900a(1+x)x对任意的x∈[2,6]恒成立，即(x+4)2x>a(1+x)x，
所以(x+4)2x+1>a，即x+1+9x+1+6>a恒成立，
因为x+1+9x+1+6≥2 (x+1)⋅9x+1+6=12，仅当x+1=9x+1，即x=2时，等号成立，
所以0故a的取值范围为(0,12)．
20.解：(1)根据题意得2×2列联表补充完整如下：
∴K2=400×(120×110−90×80)2210×190×200×200≈9.023>7.879，
∴有99.5%的把握认为“对该部影片的评价与性别有关”；
(2)∵从抽取的400人中所有给出“好评”的观众中随机抽取1人为女性的概率P=90210=37，
且各次抽取之间互相独立，故X～B(3,37)，
∴P(X=0)=C30×(37)0×(47)3=64343,P(X=1)=C31×(37)1×(47)2=144343，
P(X=2)=C32×(37)2×(47)1=108343,P(X=3)=C33×(37)3×(47)0=27343，
∴X的分布列为：
∴E(X)=3×37=97．
21.解：(1)证明：数列{an}的首项为a1=12，且满足an+1=an3an+1，
则有1an+1−1an=1an3an+1−1an=3，又1a1=112=2，
所以数列{1an}是以2为首项，公差为3的等差数列；
则有1an=2+3(n−1)=3n−1，
所以an=13n−1．
(2)由(1)得，2nan=(3n−1)×2n，
所以Tn=2×21+5×22+8×23+⋯+(3n−4)×2n−1+(3n−1)×2n，①
2Tn=2×22+5×23+8×24+⋯+(3n−4)×2n+(3n−1)×2n+1，②
由①−②得，−Tn=4+3×(22+23+24+⋯+2n)−(3n−1)×2n+1
=4+3×22×(1−2n−1)1−2−(3n−1)×2n+1=−8−(3n−4)×2n+1
所以Tn=8+(3n−4)⋅2n+1．
22.解：(1)a=1时，f(x)=(x−2)ex−2x2+4x，所以f′(x)=(x−1)ex−4x+4，
所以f(0)=−2，f′(0)=3，
所以曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y+2=3x，即3x−y−2=0．
(2)因为f(x)=(x−2)ex−2ax2+4ax=(x−2)(ex−2ax)，
所以x=2是f(x)的一个零点，
因为f(x)恰有三个零点，所以方程ex−2ax=0有两个不为2实数根，即方程12a=xex有两个不为2实数根．
令ℎ(x)=xex，所以ℎ′(x)=1−xex，
令ℎ′(x)<0，得x>1，令ℎ′(x)>0，得x<1，
所以ℎ(x)在区间(−∞,1)上单调递增，在区间(1,+∞)上单调递减，
当x∈(−∞,1]时，ℎ(x)的值域为(−∞,1e],
当x∈(1,+∞)时，ℎ(x)的值域为(0,1e)，
所以0<12ae2且a≠e24，
所以a的取值范围是(e2,e24)∪(e24,+∞)． 好评
差评
合计
男性
80
200
女性
90
合计
400
(K2≥k0)
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
好评
差评
合计
男性
120
80
200
女性
90
110
200
合计
210
190
400
X
0
1
2
3
P
64343
144343
108343
27343
1.已知集合U={1,2,3,4,5,6}，A={1,3,4,6}，B={4,5}，则A∩(∁UB)=( )
A. {3,6}B. {1,3,6}C. {3,4,6}D. {1,3,4,6}
2.若命题p：∀x∈(0,π2),sinx
C. ∃x0∈(0,π2),sinx0≥x0D. ∃x0∈(0,π2),sinx0≤x0
3.三个数a=lg32，b=lg214，c=(12)−0.5之间的大小关系为( )
A. a
A. B.
C. D.
5.设Sn为等差数列{an}的前n项和，a1=1，S3=6，若数列{1anan+1}的前k项和为1011，则k的值是( )
A. 8B. 9C. 10D. 11
6.教室通风的目的是通过空气的流动，排出室内的污浊空气和致病微生物，降低室内二氧化碳和致病微生物的浓度，送进室外的新鲜空气.按照国家标准，教室内空气中二氧化碳日平均最高容许浓度应小于等于0.1%.经测定，刚下课时，空气中含有0.2%的二氧化碳，若开窗通风后教室内二氧化碳的浓度为y%，且y随时间t(单位：分钟)的变化规律可以用函数y=0.05+λe−t12(λ∈R)描述，则该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准至少需要的时间为( )(参考数据ln≈1.1)
A. 10分钟B. 14分钟C. 15分钟D. 20分钟
7.已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在[0,+∞)上单调递增，又f(4)=0，则(3x−1)f(2x)<0的解集是( )
A. (−2,13)B. (13,2)
C. (−2,13)∪(2,+∞)D. (−∞,−2)∪(13,2)
8.在平面直角坐标系xOy中，已知x12−lnx1−y1=0，x2−y2−2=0，则(x1−x2)2+(y1−y2)2的最小值为( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题中，正确的有( )
A. x+4x最小值是4
B. “a>1”是“a2>a“的充分不必要条件
C. 若a>b，则1a<1b
D. 函数y=lga(x−3)+2(a>0且a≠1)的图象恒过定点P(4,2)
10.下列说法正确的是( )
A. y= 1+x⋅ 1−x与y= 1−x2表示同一个函数
B. 函数f(2x−1)的定义域为(−1,2)则函数f(1−x)的定义域为(−2,4)
C. 关于x的不等式2kx2+kx−38<0，使该不等式恒成立的实数k的取值范围是(−3,0)
D. 已知关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为(−∞,−2)∪(3,+∞)，则不等式cx2−bx+a<0的解集为(−∞,−13)∪(12,+∞)
11.甲和乙两个箱子中各装有10个球，其中甲箱中有5个红球、5个白球，乙箱中有6个红球、4个白球，下列说法正确的是( )
A. 从甲箱中不放回地取球，在第一次取到红球的条件下，第二次也取到红球的概率为49
B. 从甲箱中不放回地每次任取一个球，直至取到白球后停止取球，则抽取两次后停止取球的概率为59
C. 从乙箱中有放回地抽取4次，则3次抽到红球的概率为216625
D. 从乙箱中不放回地抽取3个球，则抽到2个红球的概率为54125
12.对于三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)，现给出定义：设f′(x)是函数f(x)的导数，f′′(x)是f′(x)的导数，若方程f′′(x)=0有实数解x0，则称点(x0,f(x0))为函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”，任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.已知函数f(x)=13x3+12x2，则( )
A. 函数f(x)有三个零点
B. 函数f(x)有两个极值点
C. 点(−12,112)是曲线y=f(x)的对称中心
D. 方程f(x)−110=0有三个不同的实数根
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知f(x)=lg2(2−x),x<12x,x≥1，则f(f(0))=______．
14.已知函数f( x+1)=x−4，则f(x)的解析式为______．
15.两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn、Tn，且SnTn=5n+2n+3，则a2+a20b7+b15等于______
16.已知f(x)=x2+2x−3,x≤0,−2+lnx,x>0,若函数g(x)=f(x)+x−m有三个不同的零点，则m取值范围是______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知数列{an}满足an+1−an=2(n∈N∗)，且a5，a6，a9成等比数列，
(1)求{an}的通项公式；
(2)设数列{an}的前n项和为Sn，求Sn的最小值及此时n的值．
18.(本小题12分)
已知函数f(x)= (x2−3x+1)ex．
(1)求f(x)的极大值点和极小值点;
(2)求f(x)在区间[−1,3]上的最大值和最小值．
19.(本小题12分)
中欧班列是推进“一带一路”沿线国家道路联通、贸易畅通的重要举措，作为中欧铁路在东北地区的始发站，沈阳某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一面高为3m，底面积为12m2，且背面靠墙的长方体形状的保管员室，由于保管员室的后背靠墙，无需建造费用，因此，甲工程队给出的报价如下：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体的报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元，设屋子的左右两面墙的长度均为xm(2≤x≤6)．
(1)当左右两面墙的长度为多少米时，甲工程队的报价最低？
(2)现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为900a(1+x)x元(a>0)；若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，求a的取值范围．
20.(本小题12分)
2023年春节期间，科幻电影《流浪地球2》上映，获得较好的评价，也取得了很好的票房成绩.某平台为了解观众对该影片的评价情况(评价结果仅有“好评”“差评”)，从平台所有参与评价的观众中随机抽取400人进行调查，数据如下表所示(单位：人)：
(1)把2×2列联表补充完整，并判断是否有99.5%的把握认为“对该部影片的评价与性别有关”？
(2)若将频率视为概率，从抽取的400人中所有给出“好评”的观众中随机抽取3人，用随机变量X表示被抽到的女性观众的人数，求X的分布列和数学期望．
参考公式：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n=a+b+c+d．
参考数据：
21.(本小题12分)
已知数列{an}的首项为a1=12，且满足an+1=an3an+1．
(1)求证{1an}为等差数列，并求出数列{an}的通项公式；
(2)设数列{2nan}的前n项和为Tn，求Tn．
22.(本小题12分)
已知函数f(x)=(x−2)ex−2ax2+4ax(a>0)．
(1)若a=1，求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程；
(2)若f(x)恰有三个零点，求a的取值范围．
参考答案
1.B
2.C
3.C
4.A
5.C
6.B
7.D
8.B
9.BD
10.ABD
11.AC
12.BCD
13.2
14.f(x)=x2−2x−3(x≥1)
15.10724
16.(−214,−3]
17.解：(1)∵an+1−an=2，
∴{an}是以公差为d=2的等差数列，
又∵a5，a6，a9成等比数列，
∴a62=a5a9，即(a1+10)2=(a1+8)(a1+16)，
解得a1=−7，又d=2，
所以{an}的通项公式为an=2n−9；
(2)由(1)得Sn=n(−7+2n−9)2=n2−8n=(n−4)2−16，
所以当n=4时，Sn取得最小值，且最小值为−16．
18.解：(1)函数f(x)=(x2−3x+1)ex.可得f′(x)=(x2−x−2)ex，
令(x2−x−2)ex=0，可得x=−1，x=2，当x<−1，x>2时，f′(x)>0，函数是增函数，−1
(2)由(1)可知，x=−1时，函数取得极大值：5e，x=2时，函数取得极小值：−e2，f(3)=e3，
f(x)在区间[−1,3]上的最大值e3，
最小值：−e2．
19.解：(1)设甲工程队的总造价为y元，依题意左右两面墙的长度均为xm(2≤x≤6)，
则屋子前面新建墙体长为12xm，
则y=3(150×2x+400×12x)+7200=900(x+16x)+7200≥900×2× x×16x+7200=14400，
当且仅当x=16x，即x=4时，等号成立，
故当左右两面墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低为14400元．
(2)由题意可得，900(x+16x)+7200>900a(1+x)x对任意的x∈[2,6]恒成立，即(x+4)2x>a(1+x)x，
所以(x+4)2x+1>a，即x+1+9x+1+6>a恒成立，
因为x+1+9x+1+6≥2 (x+1)⋅9x+1+6=12，仅当x+1=9x+1，即x=2时，等号成立，
所以0
20.解：(1)根据题意得2×2列联表补充完整如下：
∴K2=400×(120×110−90×80)2210×190×200×200≈9.023>7.879，
∴有99.5%的把握认为“对该部影片的评价与性别有关”；
(2)∵从抽取的400人中所有给出“好评”的观众中随机抽取1人为女性的概率P=90210=37，
且各次抽取之间互相独立，故X～B(3,37)，
∴P(X=0)=C30×(37)0×(47)3=64343,P(X=1)=C31×(37)1×(47)2=144343，
P(X=2)=C32×(37)2×(47)1=108343,P(X=3)=C33×(37)3×(47)0=27343，
∴X的分布列为：
∴E(X)=3×37=97．
21.解：(1)证明：数列{an}的首项为a1=12，且满足an+1=an3an+1，
则有1an+1−1an=1an3an+1−1an=3，又1a1=112=2，
所以数列{1an}是以2为首项，公差为3的等差数列；
则有1an=2+3(n−1)=3n−1，
所以an=13n−1．
(2)由(1)得，2nan=(3n−1)×2n，
所以Tn=2×21+5×22+8×23+⋯+(3n−4)×2n−1+(3n−1)×2n，①
2Tn=2×22+5×23+8×24+⋯+(3n−4)×2n+(3n−1)×2n+1，②
由①−②得，−Tn=4+3×(22+23+24+⋯+2n)−(3n−1)×2n+1
=4+3×22×(1−2n−1)1−2−(3n−1)×2n+1=−8−(3n−4)×2n+1
所以Tn=8+(3n−4)⋅2n+1．
22.解：(1)a=1时，f(x)=(x−2)ex−2x2+4x，所以f′(x)=(x−1)ex−4x+4，
所以f(0)=−2，f′(0)=3，
所以曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y+2=3x，即3x−y−2=0．
(2)因为f(x)=(x−2)ex−2ax2+4ax=(x−2)(ex−2ax)，
所以x=2是f(x)的一个零点，
因为f(x)恰有三个零点，所以方程ex−2ax=0有两个不为2实数根，即方程12a=xex有两个不为2实数根．
令ℎ(x)=xex，所以ℎ′(x)=1−xex，
令ℎ′(x)<0，得x>1，令ℎ′(x)>0，得x<1，
所以ℎ(x)在区间(−∞,1)上单调递增，在区间(1,+∞)上单调递减，
当x∈(−∞,1]时，ℎ(x)的值域为(−∞,1e],
当x∈(1,+∞)时，ℎ(x)的值域为(0,1e)，
所以0<12a
所以a的取值范围是(e2,e24)∪(e24,+∞)． 好评
差评
合计
男性
80
200
女性
90
合计
400
(K2≥k0)
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
好评
差评
合计
男性
120
80
200
女性
90
110
200
合计
210
190
400
X
0
1
2
3
P
64343
144343
108343
27343
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