浙江省衢温“51”联盟2023-2024学年高一下学期期中联考数学试卷（Word版附解析）

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高一年级数学学科试题
考生须知：
1．本卷共8页满分150分，考试时间120分钟．
2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字．
3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效．
4．考试结束后，只需上交答题纸．
选择题部分（共58分）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 设集合，若，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
2. 已知复数，则虚部为（ ）
A. B. C. 2D.
3. 如图所示，已知正方形的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则其原图形的周长为（ ）
A. 8B. C. 4D.
4. “”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
5. 在同一直角坐标系中，函数且的图象可能是（ ）
A. B. C. D.
6. 已知向量满足，且，则在上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知函数为偶函数，对任意的，满足，记，，则（ ）
A. B. C. D.
8. 已知函数，，若方程的所有实根之和为4，则实数的取值范围是（ ）.
A B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．
9. 已知复数满足为的共轭复数，则（ ）
A. B. C. D.
10. 已知实数，且，则（ ）
A. B. C. D.
11. 设为正实数，定义在上的函数满足，且对任意的，都有成立，则（ ）
A. 或B. 关于直线对称
C. 为奇函数D.
非选择题部分（共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知的角A、B、C对应边长分别为a、b、c，，，，则__________
13. 已知点在以点为圆心圆上，且，则的最大值是________．
14. 在正方体中，为棱的中点，分别为上的动点，则的最小值为________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 已知函数．
（1）求函数的单调增区间；
（2）将函数的图像向左平移个单位长度，再将所得的图像上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数的图像，求函数在上的值域．
16. 在中，角所对边分别是，且．
（1）求；
（2）若，求的值及边上的高．
17. 已知．
（1）求的值；
（2）求向量与夹角的余弦值；
（3）求最小值．
18. 已知圆锥的底面半径，高．
（1）求圆锥侧面展开图圆心角（用弧度表示）；
（2）球在圆锥内，圆锥在球内，
（ⅰ）求球的表面积的最大值；
（ⅱ）求球与球体积之比最小值．
19. 设是定义在区间上的函数，如果对任意的，有，则称为区间上的下凸函数；如果有，则称为区间上的上凸函数．于是根据定义若为区间上的下凸函数，则对任意的，有；若为区间上的上凸函数，则对任意的，有．
（1）已知函数，求证：
（ⅰ）；
（ⅱ）函数为下凸函数；参考公式：
（2）已知函数，其中实数，且函数在区间内为上凸函数，求的取值范围．