安徽省六安市独山中学2024-2025学年高二上学期开学考试数学试卷（原卷版+解析版）

这是一份安徽省六安市独山中学2024-2025学年高二上学期开学考试数学试卷（原卷版+解析版），文件包含安徽省六安市独山中学2024-2025学年高二上学期开学考试数学试卷原卷版docx、安徽省六安市独山中学2024-2025学年高二上学期开学考试数学试卷解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共17页， 欢迎下载使用。

1. 已知复数（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
分析】根据复数除法运算法则计算即可.
【详解】.
故选：A.
2. 已知向量，，，若，则（ ）
A. 1B. 2C. -2D. -1
【答案】D
【解析】
【分析】因为向量，所以，代入坐标运算即可．
【详解】因为向量，，所以，
因为，所以，可得，
故选：D．
3. 如图，在中，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】运用平面向量的三角形法则和数乘向量，直接求解．
【详解】在中，，
∴
故选：A．
4. 已知正三棱柱的体积为，且底面边长与高相等，则该正三棱柱一个侧面的对角线长为（ ）
A. 1B. C. 2D.
【答案】C
【解析】
【分析】设该正三棱柱的底面边长为a，由体积求出，即可求出侧面的对角线长.
【详解】设该正三棱柱的底面边长为a，由题可知该正三棱柱的体积，所以，
即该正三棱柱的底面边长为，高为，故一个侧面的对角线长为.
故选：C
5. 如图，水平放置的四边形的斜二测直观图为矩形，已知，，则四边形的周长为（ ）
A. B. C. 8D. 10
【答案】D
【解析】
【分析】根据斜二测画法的原则进行求解即可.
【详解】由题设知：原四边形中且，
所以原四边形为平行四边形，
而，则原四边形中，故，
综上，四边形的周长为.
故选：D
6. 已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为6，体积为24，则该球的表面积是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据正四棱柱的体对角线长等于其外接球直径求出球的半径，即可求得结果.
【详解】设正四棱柱的底面边长为，因为正四棱柱的高为6，体积为24，
所以，即，得，正四棱柱的各顶点都在一个球面上，
所以正四棱柱的体对角线长等于球的直径，即，
所以球的半径为，球的表面积.
故选:B.
7. 在中，若，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据余弦定理可计算出，再利用正弦定理即可得出.
【详解】由题意可得，，，
由余弦定理可得，即
又可得；
利用正弦定理可知，所以.
故选：A
8. 如图，一同学利用所学习的解三角形知识想测量河对岸的塔高时，他选取了塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D.，，，在点C处塔顶A的仰角为60°，则塔高为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】在中利用正弦定理求解的值，在中根据即可求解.
【详解】解：由题可知，在中，，，故，
由正弦定理可得：，
又，
解得，
因为在中，所以.
故选：A.
二、多选题（每题6分，多选、选错不得分，部分对答部分分共18分）
9. 若复数z1、z2在复平面内的对应点分别在一、二象限，则z1+z2在复平面内的对应点可能在（ ）
A. 第一象限B. 第二象限
C. 第三象限D. 第四象限
【答案】AB
【解析】
【分析】设出复数z1、z2对应点的坐标，求出z1+z2对应点的坐标即可分析得解.
【详解】在复平面内，设复数z1、z2对应点的坐标分别为，则有且，
于是得z1+z2对应点的坐标为，此时恒有，而有值不确定，
即z1+z2在复平面内的对应点必在x轴上方，可能在第一象限，第二象限或者在y轴正半轴上，
所以选项C，D不可能，A，B有可能.
故选：AB
10. 如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，则下列结论正确的是（ ）
A. 圆柱的侧面积为
B. 圆锥侧面积为
C. 圆柱的侧面积与球的表面积相等
D. 圆柱、圆锥、球的体积之比为
【答案】CD
【解析】
【分析】根据题意，结合圆柱、圆锥和球的表面积和体积公式，逐项判定，即可求解 .
【详解】对于A中，圆柱的侧面积为，所以A错误；
对于B中，圆锥的母线为，圆锥的侧面积为，所以B错误；
对于C中，球的表面积为，所以C正确；
对于D中，圆柱的体积，圆锥的体积，
球的体积，所以圆柱、圆锥、球的体积之比为，故D正确.
故选：CD.
11. 对于，有如下判断，其中正确的是（ ）
A. 若，则为等腰三角形
B. 若，则为等腰或直角三角形
C. 若，则
D. 若，则
【答案】ABC
【解析】
【分析】对于A，由正弦定理可得即可判断；对于B，由三角形中的角之间的关系，判断出该三角形的形状，进而判断真假；对于C，由余弦函数的单调性可判断；对于D，举反例判断.
【详解】对于A：在中，若，由正弦定理得，则为等腰三角形，A正确；
对于B，因为，在中，可得或，
即或，所以为等腰三角形或直角三角形，B正确；
对于C，在三角形中，，因为在上单调递减，所以，C正确；
对于D，当为钝角，为锐角时，此时，，D错误；
故选：ABC.
三、填空题（每题5分计15分）
12. 如图，一个水平放置的平面图形的直观图是个底角为的等腰梯形，已知直观图中，，，则该平面图形的面积为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据直观图与原平面图形的关系作出原平面图形，求出相应边长后计算面积．
【详解】由直观图可得平面图形如下图所示：
则，，
在题设等腰梯形中，，因此，
所以．
故答案为：．
13. 若在一个边长为5的正三角形中，一个向量所对应的有向线段为（其中D在边上运动），则向量的模的最小值为_________.
【答案】
【解析】
【分析】由题意可得，当D为BC的中点时，此时向量长度最小，问题得以解决．
【详解】根据题意，在正三角形中，有向线段的长度最小时，应与边垂直，有向线段的长度的最小值为正三角形的高，
即向量的模的最小值为.
故答案为：
【点睛】本题考查了等边三角形的性质以及向量的模，属于基础题．
14. 已知△ABC中，D在BC上，AD平分∠BAC，若，，，则________．
【答案】
【解析】
【分析】△ABC中根据余弦定理求出BC的长度，在△ABD和△ADC中，利用余弦定理建立等式关系求出AD即可.
【详解】在△ABC中，AB=3，AC=1，，
余弦定理可得，即.
在△ADC中，设BD=m ，则 .
余弦定理可得
即…①.
在△ABD中，余弦定理可得.
即: …②，
由①②求解得:
故答案为：
四、解答题（共77分）
15. 已知复数，，为虚数单位．
（1）求
（2）若，求的共轭复数；
（3）若复数在复平面上对应的点在第四象限，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由复数的乘法运算，即可得到结果；
（2）由复数的除法运算，即可得到结果；
（3）由复数的几何意义，列出不等式，代入计算，即可得到结果.
【小问1详解】
【小问2详解】
，，
，
．
【小问3详解】
在复平面上对应的点在第四象限，
，解得，
故实数的取值范围为．
16. 已知，，与的夹角为45°.
（1）求在方向上的投影向量；
（2）求的值；
（3）若向量与平行且方向相同，求实数.
【答案】（1）；
（2）；
（3）
【解析】
【分析】（1）根据投影向量求解公式求出答案；
（2）平方后求出，得到模长；
（3）根据两向量平行得到方程，求出的两个解，检验是否方向相同，得到答案.
【小问1详解】
∵，，与的夹角为45°，
∴，
∴在方向上的投影向量为；
【小问2详解】
∵，
∴；
【小问3详解】
∵与平行，
∴
∴，解得：或，
当时，，此时方向相同
当时，，此时方向相反，故舍去.
∴
17. 已知在长方体中，，，，为棱的中点.

（1）求三棱锥的表面积；
（2）求四棱锥的体积.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意，利用三角形的面积公式，分别求得各个面的面积，进而得到其表面积；
（2）根据题意，利用棱柱和棱锥的体积公式，结合，即可求解.
【小问1详解】
解：在长方体中，由，，，为棱的中点，
可得，
可得，
所以三棱锥的表面积为.
【小问2详解】
解：在长方体中，由，，，为棱的中点，
可得，
且
所以.
18. 记的内角的对边分别为，已知．
（1）试判断的形状；
（2）若，求周长的最大值．
【答案】（1）直角三角形
（2）
【解析】
【分析】（1）利用余弦定理可得，化简可得结论；
（2）由（1）可得，进而可得周长为，利用辅助角公式可求最大值.
【小问1详解】
由，和余弦定理得，
即，所以．所以是直角三角形．
【小问2详解】
由（1）知是直角三角形，且，可得．
所以周长为，
所以当时，即等腰直角三角形，周长有最大值为．
19. 某广场设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由棱长为正四面体沿棱的三等分点，截去四个一样的正四面体得到.

（1）求石凳的体积与原正四面体的体积之比；
（2）为了美观工人准备将石凳的表面进行粉刷，已知每平方米造价50元，请问粉刷一个石凳需要多少钱？（）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）首先得到棱长为的正四面体的体积公式，再根据体积比计算可得；
（2）求出石凳的表面积，即可估计出费用.
【小问1详解】
因为棱长为的正四面体的体积，
如图补全正四面体，依题意正四面体的棱长为正四面体的，
所以，所以截去部分的体积为，剩下部分的体积为，
所以石凳的体积与原正四面体的体积之比为.
【小问2详解】
因为正四面体的棱长为，
所以，
则，
所以，
所以石凳的表面积，
即石凳的表面积约为，
所以粉刷一个石凳约需要元.