新疆石河子第一中学2024-2025学年高二上学期8月月考（开学考试）数学试题（解析版）

这是一份新疆石河子第一中学2024-2025学年高二上学期8月月考（开学考试）数学试题（解析版），共19页。试卷主要包含了单项选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知全集，集合，集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用列举法表示出集合A，再利用补集、并集的定义求解即得.
【详解】依题意，，而，则，又，
所以.
故选：B
2. 已知，则（ ）
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由复数的模长公式及除法运算求解复数，然后求其共轭复数即可.
【详解】因为，所以，
所以，所以.
故选：B
3. 在中，，则角的大小为（ ）
A. B. C. 或D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用正弦定理计算可得.
【详解】因为，
由正弦定理，即，所以，
又，所以，则.
故选：A
4. 设，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列命题为真命题的是（ ）
A. 若，，则，B. 若，，则
C. 若，，则D. 若，，，则
【答案】D
【解析】
【分析】根据线面位置关系，结合线面平行、垂直的判定性质逐项讨论即可得答案．
【详解】对于A，若，可以在或内，当时，， A错误；
对于B，若，则或相交，B错误；
对于C，若，，则或异面，C错误；
对于D，由，得，当时，，D正确．
故选：D.
5. 现测得某放射性元素的半衰期为1500年（每经过1500年，该元素的存品为原来的一半），某生物标本中该放射性元素面初始存量为m，经检测现在的存量，据此推测该生物距今约为（ ）（参考数据：)
A. 2700年B. 3100年
C. 3500年D. 3900年
【答案】C
【解析】
【分析】根据对数的运算性质即可求解.
【详解】由题意得，
两边取对数得.
故选：C
6. 已知 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用两角和差公式以及倍角公式化简求值可得答案.
【详解】由题干得
所以 ，
故选：B.
7. 已知中，，，AD为BC上的高，垂足为，点为AB上一点，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用向量的线性关系及数量积的运算律得可得答案.
【详解】如图所示，
由题意可知，，，，故，
因为，
所以，
则
.
故选：A.
8. 已知函数的定义域为R，满足，则下列说法正确的是（ ）
A. 是偶函数B. 是奇函数
C. 是偶函数D. 是奇函数
【答案】D
【解析】
【分析】通过对的赋值，结合奇函数、偶函数的概念逐项判断额.
【详解】由题意知，在函数中，2023，
当时，，解得，
若函数是R上的奇函数，则该函数的图象必过原点，即有，故B错误.
当时，，解得，
无法得到，故A错误.
在函数中，，
所以是奇函数，故C错误，D正确.
故选：D.
二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分． 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 数据1，3，5，7，9，11，13的第60百分位数为9
B. 投掷一枚均匀硬币和一个均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件，“骰子向上的点数大于4”为事件，则事件，中至少有一个发生的概率是．
C. 用简单随机抽样的方法从51个个体中抽取2个个体，则每个个体被抽到的概率都是
D. 若样本，，…，的平均数和方差分别为2和3，则，，…，的平均数和方差分别为8和27
【答案】AD
【解析】
【分析】对于A，根据百分位数的定义计算判断；对于B，根据样本的定义分析判断；对于C，根据随机抽样的性质分析判断；对于D，根据平均数的性质和方差性质分析判断．
【详解】对于A：因为，所以第百分位数为第个数是，所以正确；
对于：由题意得事件，中至少有一个发生的对立事件是事件，都不发生，
而事件不发生的概率为，事件不发生的概率为，
所以事件，都不发生的概率为，
故事件，中至少有一个发生的概率是．所以错误；
对于：用简单随机抽样的方法从个个体中抽取个个体，则每个个体被抽到的概率都是，所以错误；
对于，若样本数据，，，的平均数为，方差为，
则，，，的平均数为，方差为，所以正确．
故选：．
10. 下列命题正确的是（ ）
A. 若，且，
B. 已知正数、满足，则的最小值为
C. 若，则的最大值是
D. 若，，，则的最小值是
【答案】BC
【解析】
【分析】利用基本不等式逐项判断，注意不等成立的前提条件．
【详解】对于选项，若均为负数，不等式不成立，所以错误；
对于选项，，所以，
则，
所以，，当且仅当，即当时，等号成立，故正确；
对于选项，因为，，当且仅当即时，等号成立，所以，故正确；
对于选项，因为，所以，
所以，当且仅当即时，等号成立，所以的最小值是，故错误．
故选：．
11. 如图，在正方体中，为线段的中点，为线段上的动点．则下列结论正确的是（ ）
A. 若为中点，则平面
B. 若为中点，则平面
C. 不存在点，使得
D. PQ与平面所成角的正弦值的取值范围为
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用线面平行的判定定理可判断A；利用线面垂直的判定定理可判断B；当Q与B重合时，结合平面，可证，判读C；利用线面角的定义求出PQ与平面所成角的正弦值的最值，可判断D.
【详解】对于A，连接，由于为中点，为线段的中点，
故，而平面，平面，
故平面，A正确；
对于B，在正方体中，连接，则，
又平面，平面，故，
而平面，故平面，
由A的分析可知，故平面，B正确；
对于C，在正方体中，为线段的中点，也为为线段的中点，
当Q与B重合时，平面，
连接，则，
又平面，平面，故，
而平面，故平面，
而平面，故，即
即存在点，使得，C错误；
对于D，不妨设正方体棱长为2，作，垂足为H，则H为的中点，
由于平面平面，平面平面，
且平面，故平面，且，
则PQ与平面所成角，
当Q与B重合时，取到最大值BH，此时PB即为PQ的最大值，
此时PQ与平面所成角的正弦值取到最小值，为，
而,故；
作，垂足为G，则，，
当Q与G重合时，取到最小值即为HG，此时PG长即为PQ的最小值，
此时PQ与平面所成角的正弦值取到最大值，为，
即PQ与平面所成角的正弦值的取值范围为，D正确，
故选：ABD
【点睛】难点点睛：解答本题的难点在于选项D的判断，解答时要能根据线面角的定义，确定角的正弦值取到最值时的点Q的位置，从而解直角三角形求出正弦值.
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
12. 若平面向量，，且，则__________.
【答案】10或2
【解析】
【分析】根据向量垂直的坐标运算可得或，即可根据模长的坐标公式求解.
【详解】，，且，
，即，即，
解得或，
当时，，，
则，；
当时，，，
则，
综上可知，或2.
故答案为：10或2
13. 如图，在几何体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为3的正方形，，平面平面ABCD，中BC边上的高，则该几何体的体积为__________．
【答案】
【解析】
【分析】先补全多面体ABCDEF，得到三棱柱，然后求出三棱锥的体积，从而求解．
【详解】在多面体中，由，平面，平面，
得平面，延长FE到G，使得，连接DG、AG，如图：
显然，，几何体为三棱柱，
由平面平面，平面平面，平面，
得平面，则三棱柱为直三棱柱，
于是三棱锥的体积为：，
所以原几何体的体积为：.
故答案为：
14. 在，角，，所对的边分别为，，，，交AC于点，且，则的最小值为___________．
【答案】##
【解析】
【分析】根据面积公式和，求出，故利用基本不等式“1”的代换求出最值，得到答案.
【详解】，
，
，
，
，
∴，
当且仅当，即时，等号成立，
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 从某学校的800名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于和之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组，第二组，…，第八组，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为4人．

（1）求第七组的频率，并估计该校的800名男生的身高的中位数；
（2）若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生，记他们的身高分别为，事件，求．
【答案】（1）0.06，174.5
（2）
【解析】
【分析】（1）先求得第六组的频率，再利用所有小组的概率之和为1求解；先分析出中位数所在的组，再利用中位数所对应的概率为0.5求解；
（2）易得第六组的抽取人数为4，设所抽取的人为，第八组的抽取人数为，设所抽取的人为，然后利用古典概型的概率求解.
【小问1详解】
解：第六组的频率为，
第七组的频率为．
由直方图得，身高在第一组的频率为，
身高在第二组频率为，
身高在第三组的频率为，
身高在第四组的频率为，
由于，
设这所学校的800名男生的身高中位数为，则，
由得.
【小问2详解】
第六组的抽取人数为4，设所抽取的人为，
第八组的抽取人数为，设所抽取的人为，
则从中随机抽取两名男生有，共15种情况，
因事件发生当且仅当随机抽取的两名男生在同一组，所以事件包含的基本事件为共7种情况．所以．
16. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（1）证明：；
（2）若，，求a的值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理，两角和与差的正弦函数公式化简已知等式可得，可得，或，分类讨论即可证明；
（2）由，求解，利用，求解，结合正弦定理即可求解.
【小问1详解】
由及正弦定理可得，，
，
即，
所以，
整理得，
即，
又，是的内角，
所以，，
所以或（舍去），
即．
【小问2详解】
由及可知，．
由可知，，．
由可得，．
中，由正弦定理
可得，，解得，
17. 已知函数，的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为.
（1）求函数的单调递增区间：
（2）将函数的图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，求函数在区间上的值域.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先利用三角恒等变换公式化简函数的解析式，接着依据题意求出，进而求出函数，再令，接着求解不等式即可得解.
（2）先由三角变换规则结合（1）得，接着由得，再由正弦函数图像性质即可求出函数y=gx在区间上的值域.
【小问1详解】
因为
，
又由题，所以，
所以，
令，则，
所以函数的单调递增区间为.
【小问2详解】
由（1），
故由题意可得，
当，，
故由正弦函数图像性质可得，
所以即，
所以函数y=gx在区间上的值域为.
18. 如图， 在三棱锥 中， 的中点分别为 ，点在上，．
（1）证明： 平面；
（2）证明： 平面；
（3）求长，并求直线PA和平面所成角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析 （3）；
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，证明四边形为平行四边形，再利用线面平行的判定推理作答．
（2）由（1）的信息，结合勾股定理的逆定理及线面垂直的判定推理作答．
（3）求出平面与平面的法向量，由二面角的向量公式求解即可．
【小问1详解】
连接，设，
则，，
因为，，
则，
解得，则为中点，由分别为的中点，
于是，
所以，
则四边形为平行四边形，
所以，又平面平面，
所以平面；
【小问2详解】
因为分别为中点，所以，
因为，所以，
因为，，，
所以，
因为，所以，即，
因为，所以，
又因为平面，
所以平面；
【小问3详解】
在中，，
在中，，
，
设AO与BF相交于点G，则G为重心，从而，
直线PA和平面BEF所成角的正弦值即直线PE和平面BEF所成角的正弦值，
设线PA和平面BEF所成角为，
由（2）知，平面，从而．
19. “难度系数”反映试题的难易程度，难度系数越大，题目得分率越高，难度也就越小，“难度系数”的计算公式为，其中L为难度系数，Y为样本平均失分，W为试卷总分（一般为100分或150分）．某校高二年级的老师命制了某专题共5套测试卷（总分150分），用于对该校高二年级480名学生进行每周测试，测试前根据自己对学生的了解，预估了每套试卷的难度系数，如下表所示：
测试后，随机抽取了50名学生的数据进行统计，结果如下：
（1）根据试卷2的预估难度系数估计这480名学生第2套试卷的平均分；
（2）试卷的预估难度系数和实测难度系数之间会有偏差，设为第i套试卷的实测难度系数，并定义统计量， 若，则认为试卷的难度系数预估合理，否则认为不合理．以样本平均分估计总体平均分，试检验这5套试卷难度系数的预估是否合理．
（3）聪聪与明明是学习上的好伙伴，两人商定以同时解答上述试卷易错题进行“智力竞赛”，规则如下：双方轮换选题，每人每次只选1道题，先正确解答者记1分，否则计0分，先多得2分者为胜方.若在此次竞赛中，聪聪选题时聪聪得分的概率为，明明选题时聪聪得分的概率为，各题的结果相互独立，二人约定从0:0计分并由聪聪先选题，求聪聪3:1获胜的概率 .
【答案】（1）96分；
（2）预估合理 （3）
【解析】
【分析】（1）根据考前预估难度系数即可求出平均分；
（2）计算出各试卷难度系数，求出统计量，即可预估这5套试卷难度系数的预估是否合理；
（3）根据规则即可求出聪聪3:1获胜的概率.
【小问1详解】
由题意，
由试卷2的难度系数，
解得平均失分：，
∴这480名学生第2套试卷的平均分为分；
【小问2详解】
由题意及（1）得，
，，，
，，
则
，
∴这5套试卷难度系数的预估合理
【小问3详解】
由题意及（1）（2）得，
聪聪先答对第一题：
聪聪没先答对第一题：
∴聪聪3:1获胜的概率聪聪3:1获胜的概率：试卷序号i
1
2
3
4
5
考前预估难度系数
0.7
0.64
0.6
0.6
0.55
试卷序号i
1
2
3
4
5
平均分/分
102
99
93
93
87