吉林省长春市第八十七中学2024-2025学年九年级上学期开学考试数学试题（解析版）

这是一份吉林省长春市第八十七中学2024-2025学年九年级上学期开学考试数学试题（解析版），共32页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 的倒数是（ ）
A. B. 2024C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查倒数的定义，熟练掌握倒数的定义是解题的关键；
根据乘积为1的两个数互为倒数求解即可．
【详解】解：
的倒数是，
故选：C．
2. 华为手机搭载了全球首款7纳米制程芯片，7纳米就是0.000000007米．数据0.000000007用科学记数法表示为( )．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】解：；
故选：D．
【点睛】本题考查科学记数法；熟练掌握科学记数法中与的意义是解题的关键．
3. 计算的结果是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了积的乘方运算，利用积的乘方运算法则进行计算即可求解，掌握积的乘方运算法则是解题的关键．
【详解】解：，
故选：．
4. 下列运算结果正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】逐一分析各选项，利用对应法则进行计算即可判断出正确选项．
【详解】解：A选项中：，因此错误；
B选项中：，因此错误;
C选项中：，因此正确；
D选项中：，因此错误；
故选：C．
【点睛】本题考查了合并同类项、同底数幂的乘法、平方差公式、乘方的运算性质等内容，解决本题的关键是牢记相关运算法则和公式即可．
5. 如果一个多边形的每一个外角都等于60°，那么这个多边形是（ ）
A. 六边形B. 七边形C. 八边形D. 九边形
【答案】A
【解析】
【分析】每一个外角都等于60°，多边形外角和为360°，则360°60°=6可得结果．
【详解】多边形外角和为360°，
此多边形外角个数为：360°÷60°=6，
所以此多边形六边形.
故选A.
【点睛】本题考查了多边形的外角，计算正多边形的边数，可以用外角和除以每个外角的度数得到．
6. 如图，电线杆AB的中点处有一标志物，在地面点处测得标志物的仰角为，若点到电线杆底部点的距离为米，则电线杆AB的长可表示为（ ）．
A. 米B. 米
C. 米D. 米
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，由题意可得，米，，进而可得，即得米，再根据中点定义即可求解，掌握解直角三角形的应用是解题的关键．
【详解】解：由题意得，，米，，
∴，
∴米，
∵点是AB的中点，
∴米，
故选：．
7. 如图，用直尺和圆规作的角平分线，根据作图痕迹，下列结论不一定正确的是（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了角平分线的尺规作图，全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的判定，由作图方法可知，则可证明得到，进一步可证明垂直平分，据此可得答案．
【详解】解：由作图方法可知，
又∵，
∴，
∴，
∴垂直平分，
∴，，
根据现有条件无法得到，
故选：C．
8. 如图，直线分别与x轴，y轴交于点A，B，与反比例函数的图像交于点D，过点A作轴与反比例函数的图像相交于点C，若，则k的值为（ ）
A. 3B. 4C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】过点D作DE⊥x轴于E，由直线解析式可得点A、B坐标，从而可得AB，由DE⊥x轴可得△OAB∽△EAD，于是OA∶EA=OB∶ED=AB∶AD=5∶=，进而可得D点坐标，再代入反比例函数解析式计算求值即可；
【详解】解：如图，过点D作DE⊥x轴于E，
直线中，令x=0可得y=-4，令y=0可得x=3，
∴A（3，0）、B（0，-4），
∴AB=，
∵AC⊥x轴，∴C点横坐标x=3，
∴C（3，），即AC=，
∴AD=AC=，
DE⊥x轴，则DE∥OB，
∴△OAB∽△EAD，
∴OA∶EA=OB∶ED=AB∶AD=5∶=，
∴EA=，ED=，
∴D（3+，），
∴=，解得：k=0（舍去）或k=，
故选： D．
【点睛】本题考查了一次函数和反比例函数的综合，相似三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题关键．
二、填空题（共6小题，每小题3分）
9. 因式分解：______．
【答案】
【解析】
【分析】利用提公因式法因式分解即可．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】本题考查提公因式法因式分解，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
10. 一元二次方程的根的判别式的值为______.
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了根的判别式，利用代入即可求解；
【详解】解：∵在中，即：，，，
∴
故答案为：
11. 如图，在中，、、分别是、、的中点，若的面积是，则________．

【答案】
【解析】
【分析】连接，，，由三角形中线等分三角形的面积，求得， ，，由即可得出结果．
【详解】解：如图所示，连接，，，
∵、、分别是、、的中点，的面积是，
∴，
，
，
∴，，，
∴
，
故答案为：．
【点睛】本题是面积及等积变换综合题目，考查了三角形的面积及等积变换，解题的关键通过作辅助线，运用三角形中线等分三角形的面积解决问题．
12. 如图，在中,．若的垂直平分线分别交于点点，则_________．
【答案】4
【解析】
【分析】先根据平行四边形的性质求出CD的长,再根据勾股定理求AC得长度,根据线段垂直平分线的性质可得,进而可得答案．
【详解】∵在中, ．
∴．
∵．
∴在Rt△DAC中, ．
∵的垂直平分线分别交于点点．
∴AF=FB．
∴．
【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质和线段垂直平分线的性质,关键是掌握垂直平分线上任意一点,到线段两端点的距离相等,平行四边形对边相等．
13. 如图，在平面直角坐标系中，的两点的坐标分别为、，将线段AB绕某点旋转得到线段CD．若点的对应点的坐标为，则点的坐标为______．

【答案】
【解析】
【分析】本题考查了坐标与图形，中心对称图形的性质，设旋转中心为点，点的坐标为，利用中点坐标公式可得，进而可求出点的坐标，掌握中心对称图形的性质是解题的关键．
【详解】解：设旋转中心为点，点的坐标为，
∵将线段AB绕某点旋转得到线段CD，点的对应点的坐标为，
∴点的坐标为，即，
∵点的对应点为点，
∴，，
∴，，
∴点的坐标为，
故答案为：．
14. 在平面直角坐标系中，已知二次函数为常数，，若对于任意的满足，且此时所对应的函数值的最小值为，则______．
【答案】##
【解析】
【分析】将二次函数解析式化为顶点式，由抛物线对称轴与开口方向分类讨论顶点为图象最低点或直线与抛物线交点为最低点，进而求解．
【详解】解：，
抛物线开口向上，顶点坐标为，
当，即时，
，方程无解．
当，即时，
将代入得，
令，
解得（舍去）或，
故答案为：．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程的关系，能利用分类讨论思想解答．
三、解答题（共10小题，共78分）
15. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，．
【解析】
【分析】本题考查了整式的混合运算化简求值，利用整式的运算法则先化简，再把代入到化简后的结果中计算即可求解，掌握整式的运算法则是解题的关键．
【详解】解：原式
，
，
当时，
原式．
16. 一个不透明的盒子中有三张卡片，卡片上面分别标有数字，每张卡片除数字不同外其他都相同．小明先从盒子中随机抽出一张卡片，记下数字后放回并搅匀；再从盒子中随机抽出一张卡片记下数字，用画树状图（或列表）的方法，求小明两次抽出的卡片上的数字之和大于的概率．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了用树状图或列表法求概率，根据题意列出表格即可求解，掌握树状图或列表法是解题的关键．
【详解】解：列表如下：
由表可得，共有种等结果，其中两次抽出的卡片上的数字之和大于的结果有种，
∴小明两次抽出的卡片上的数字之和大于的概率为．
17. 在长为10m，宽为8m的长方形空地中，沿平行于长方形各边的方向分割出三个全等的小长方形花圃，其示意图如图所示．则小长方形花圃的长和宽分别是多少？
【答案】小长方形花圃的长为4m，宽为2m
【解析】
【分析】设小长方形花圃长为，宽为，根据大长方形的长与宽的长度即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【详解】解：设小长方形花圃的长为，宽为，
由题意得，
解得．
答：小长方形花圃的长为，宽为.
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，根据大长方形长与宽的长度列出关于x、y的二元一次方程组是解题的关键．
18. 如图，在矩形中，相交于点，，．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，四边形的面积为__________．
【答案】（1）证明见解析；
（2）．
【解析】
【分析】（）由，可得四边形是平行四边形，又由矩形的性质可得，据此即可求证；
（）由菱形的性质可得，，进而可得为等边三角形，过点作于点，则，，可得，即得，进而即可求解；
本题考查了平行四边形的判定，矩形的性质，菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，掌握以上知识点是解题的关键．
【小问1详解】
证明：∵，，
∴四边形平行四边形，
∴四边形是矩形，
∴，，，
∴，
∴四边形是菱形；
【小问2详解】
解：∵四边形是菱形，
∴，，
∵，
∴，
∴为等边三角形，
过点作于点，则，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
19. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为，点均在格点上．在图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的正方形网格中，按要求画图，保留作图痕迹，不要求写出画法．
（1）如图①，__________．
（2）如图②，在上找一点，使．
（3）如图③，在上找一点，连接，使∽．
【答案】（1）；
（2）作图见解析； （3）作图见解析．
【解析】
【分析】（）由可得，即可求解；
（）取格点，连接，与相交于点，在中由勾股定理可得，又由可得，即得，即可得，故点即为所求；
（）取格点，连接，与相交于点，连接，则，点即为所求．
本题考查了相似三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
【小问1详解】
解：∵，
∴，
∴，
故答案为：；
【小问2详解】
解：如图所示，点即为所求；
【小问3详解】
解：如图所示，点即为所求．
理由：∵，，
∴为的垂直平分线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴．
20. 某校为了解九年级学生周末家务劳动时长的情况，随机抽取了50名学生，调查了这些学生某一个周末家务劳动时长（单位：分钟）的数据，并对数据（保留整数）进行整理、描述和分析，下面给出部分信息：
a.学生家务劳动时长的数据在这一组的具体数据如下：
72 72 73 74 74 75 75 75 75 75 75 76 76 76 77 77 78 79
b.学生家务劳动时长的数据的频数分布直方图如下：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）补全频数分布直方图；
（2）学生家务劳动时长的数据的中位数为__________；
（3）若该校九年级有学生500人，估计该校九年级学生周末家务劳动时长至少90分钟的有_______人.
【答案】（1）见解析 （2）74.5
（3）40
【解析】
【分析】（1）先求得这一组的人数，即可补全频数分布直方图；
（2）根据中位数的定义求解即可；
（3）用总人数分别乘以九年级学生周末家务劳动时长至少90分钟的人数所占比例即可．
【小问1详解】
解：由题意可知这一组的人数为：（人），
补全频数分布直方图如下：
【小问2详解】
由题意知，这50个数据的第25、26个数据为74、75，
∴学生家务劳动时长的数据的中位数为，
故答案为：74.5；
【小问3详解】
（人），
∴该校九年级学生周末家务劳动时长至少90分钟的有40人
故答案为：40．
【点睛】本题考查频数分布直方图，中位数，用样本估计总体，理解频数分布直方图，中位数，用样本估计总体是解决问题的关键．
21. 已知甲、乙两地相距，客车、货车两车同时分别从甲、乙两地相向而行，客车从甲地匀速前往乙地，到达乙地后又立即以另一速度匀速返回甲地，货车从乙地匀速前往甲地，客车、货车两车与甲地之间的距离与两车行驶的时间之间的函数图象如图所示．

（1）分别计算客车从甲地开往乙地的速度及货车的速度；
（2）求客车返回时与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（3）求两车第一次相遇后，再经过多长时间，两车之间相距？
【答案】（1）客车从甲地开往乙地的速度为，货车的速度为；
（2）；
（3）或．
【解析】
【分析】（）根据函数图象即可求解；
（）求出点的坐标，再利用待定系数法解答即可求解；
（）设两车第一次相遇后，再经过两车之间相距，分两种情况：①客车到达乙地前两车相距；②客车到达乙地后两车相距列出方程解答即可求解；
本题考查一次函数的应用，看懂函数图象是解题的关键．
【小问1详解】
解：由函数图象可知，客车从甲地开往乙地的速度为，
货车的速度为；
【小问2详解】
解：客车从甲地开往乙地需要的时间为，
∴点的坐标为，
设为，把、代入得，
，
解得，
∴客车返回时与之间的函数关系式为；
【小问3详解】
解：设两车第一次相遇后，再经过两车之间相距，
①客车到达乙地前两车相距，
由题意得，，
解得；
②客车到达乙地后两车相距，此时货车已到达甲地，
由题意可得，，
解得a=2；
答：两车第一次相遇后，再经过或两车之间相距．
22. 在九年级上册第章图形的相似时，学习了三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
【定理证明】小明想了两种证明定理的方法：
（）延长DE至点，使，连接CF．
（）过点作AB的平行线交DE的延长线于点．请从小明的两种证明方法中选择一种证明三角形中位线定理．
【定理应用】如图②，在中，延长到，使，取AB的中点，连接交于点，求的值．
【能力提升】如图③，在中，点在上，且，点分别是的中点，连接，并延长交的延长线于点，连接．若，，，则的面积为__________．
【答案】定理证明：（）证明见解析；（）证明见解析；定理应用：；能力提升：．
【解析】
【分析】定理证明：（）延长DE至点，使，连接CF，证明，可得，，即得，，可得四边形是平行四边形，得到，，进而可得，；（）过点作AB的平行线交DE的延长线于点，证明，得到，，进而得，即得四边形是平行四边形，得到，，即可得，；
定理应用：如图②，连接，由三角形中位线性质可得，，进而由可得，据此即可求解；
能力提升：作，于，则，可得，得到，得到，，进而得，又由，得到，可得，得到，再根据三角函数可得，，由可得，进而由勾股定理得，得到，可得，最后根据即可求解．
【详解】定理证明：（）延长DE至点，使，连接CF，
∵点为的中点，点为AB的中点，
∴，，
∵，，
∴，
∴，，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，；
（）过点作AB的平行线交DE的延长线于点，
∵，
∴，
∵点为的中点，点为AB的中点，
∴，，
又∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∴，；
定理应用：如图②，连接，
∵点为AB的中点，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
即，
∴；
能力提升：作，于，则，
∵，
∴，
∴，
∵点是的中点，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∵点是的中点，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
即，
解得，
∴，
∴，
∴，
∵点是的中点，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形中位线性质的证明和应用，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，勾股定理，三角形的面积，正确作出辅助线是解题的关键．
23. 如图，在中，，，，是中点、动点从点出发，沿向终点以每秒个单位长度的速度匀速运动，作，交直线于点，设点的运动时间为秒．
（1）求的长．
（2）__________．
（3）若的面积被的一条边平分时，求的值．
（4）当以为顶点的四边形是轴对称图形时，直接写出的值．
【答案】（1）4 （2）
（3）2或
（4）或4或
【解析】
【分析】（）利用勾股定理即可求解；
（2）连接，根据直角三角形斜边上的中线的性质证明四点共圆，则，故，则；
（3）①当边平分的面积时，记与交于点G，过点D作于点H，则，由，得，故，，则，，可证为等腰直角三角形，则，故，解得：；②当边平分的面积时，过点D作于点G，过点D作交于点F，则，记交于点H，可得，则，由，求得，故，在中，由勾股定理，，解得：，综上所述，或；
（4）①当四边形是等腰梯形时，，过点D作于点G，根据，得，在中，由勾股定理，得：，解得：或（舍）；②当四边形是矩形时，如图：此时，由上知；③当四边形为“筝形”轴对称图形时，连接，可得，则，而，故，解得：，综上所述，或4或．
【小问1详解】
解：∵，，，
∴
【小问2详解】
解：连接，
∵是的中点，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴四点共圆，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
【小问3详解】
解：①当边平分的面积时，记与交于点G，过点D作于点H，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵点D为中点，
∴，
∴，，
∵边平分的面积，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴由，
得：，
解得：；
②当边平分的面积时，过点D作于点G，过点D作交于点F，则，记交于点H，如图，
此时点H为中点，同（1）得，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
由①，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，由勾股定理，
得：，
∴，
解得：，
综上所述，或；
【小问4详解】
解：①当四边形是等腰梯形时，，过点D作于点G，
∵四边形是等腰梯形，是轴对称图形，
∴，
∴，
∴，
由上知，
∴在中，由勾股定理，
得：，
解得：或（舍）；
②当四边形是矩形时，如图：
此时，
由上知；
③当四边形为“筝形”轴对称图形时，连接，
则，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵,，
∴，
∴，
解得：，
综上所述，或4或．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理解三角形，解直角三角形，四点共圆等，熟练掌握知识点，分类讨论要全面是解题的关键．
24. 在平面直角坐标系中，抛物线（为常数）经过点．点在该抛物线上，点的横坐标为，点的坐标是，以为对角线构造矩形．使得轴．
（1）求该抛物线所对应的函数表达式．
（2）当抛物线在A、之间的部分（包括A、两点）的最高点与最低点的纵坐标差为5时，求点的坐标．
（3）当点在矩形的内部时，求的取值范围．
（4）当点在轴下方时，设抛物线在矩形内部（包括边界）的图象的最高点与最低点的纵坐标的差为．点到抛物线对称轴的距离为，当时，直接写出的值．
【答案】（1）
（2）或
（3）或
（4）m的值为
【解析】
【分析】（1）用待定系数法求出抛物线的解析式即可；
（2）求出抛物线的顶点坐标为，函数的最小值为，再根据点的纵坐标为0，结合题意得出，把代入得：，求出x的值，即可得出答案；
（3）分四种情况分别画出图形，列出不等式组，解不等式组即可；
（4）求出抛物线与x轴的另外一个交点为，根据点在轴下方，得出，根据解析（2）点B在矩形的内部时，或，得出
，求出抛物线对称轴为直线，得出，，列出关于m的方程，解方程即可得出答案．
【小问1详解】
解：∵抛物线经过点，
∴，解得：
∴抛物线的解析式为：；
【小问2详解】
解：抛物线，
∴抛物线顶点坐标为，
∴函数的最小值为，
∵点的纵坐标为0，
∴当抛物线在A、之间的部分（包括A、两点）的最高点与最低点的纵坐标差为5时，，
把代入得：，
解得：，，
∴或．
【小问3详解】
解：∵点的横坐标为，点P在抛物线上，
∴点P的坐标为，
∵轴，点Q的坐标是，
又∵四边形为矩形，
∴点的坐标为，点N的坐标为，
当，即时，点P在点M的右侧，在点Q的上方，如图所示：

∵点在矩形的内部，
∴，
解得：，
综合可得，此时没有符合条件的m存在；
当，即时，点P在点M的右侧，在点Q的下方，如图所示：

∵点在矩形的内部，
∴，
解得：，
综合可得，；
当，即时，点P在点M的左侧，在点Q的上方，如图所示：

∵点在矩形的内部，
∴，
解得：，
综合可得，；
当，即时，点P在点M的左侧，在点Q的下方，如图所示：

根据画图可知，点B不可能在矩形的内部；
综上分析可知，点m的取值范围是或．
【小问4详解】
解：令，
解得：，，
∴抛物线与x轴的另外一个交点为，
∵点在轴下方，
∴，
根据解析（2）可知，点B在矩形的内部时，或，
∴，
∵，
∴抛物线对称轴为直线
∴抛物线在矩形内部（包括边界）的图象的最高点与最低点的纵坐标的差为：
，
∵当时，，
∴点到抛物线对称轴的距离为：，
∵，
∴，
解得：或（舍去），
∴m的值为．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，求二次函数解析式，矩形的性质，解题的关键是画出图形，数形结合，并注意分类讨论．