吉林省长春市朝阳区长春外国语学校2024-2025学年九年级上学期开学数学试题（解析版）

这是一份吉林省长春市朝阳区长春外国语学校2024-2025学年九年级上学期开学数学试题（解析版），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（每小题3分，共24分）
1. 下列方程中是一元二次方程的是（ ）
A. x2-7x=1B. 3x+4=1C. 3x2-2xy-5y2=0D. =0
【答案】A
【解析】
【分析】本题根据一元二次方程的定义逐项进行分析即可得答案.
【详解】A、该方程符合一元二次方程的定义，故本选项正确；
B、该方程中的未知数是最高次数是1，属于一元一次方程，故本选项错误；
C、该方程中含有2个未知数，故本选项错误；
D、该方程不是整式方程，故本选项错误，
故选A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．
一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．
2. 维维在一次射击训练中，连续10次射击的成绩为5次8环，4次9环，1次10环，则维维这10次射击的平均成绩为（ ）
A. 8.8环B. 8.7环C. 8.6环D. 8.5环
【答案】C
【解析】
【分析】根据题目中的数据计算出总环数再除以射击次数即可得到平均成绩．
【详解】
故选C．
【点睛】本题考查平均数的定义，熟练掌握求平均数的方法是解题的关键．
3. 若菱形两条对角线的长度是方程x2﹣6x+8＝0的两根，则该菱形的边长为（ ）
A. B. 4C. 25D. 5
【答案】A
【解析】
【分析】先求出方程的解，即可得到，根据菱形的性质求出和 ，根据勾股定理求出AD即可．
【详解】解：解方程，得，
即，
∵四边形是菱形，
∴，
由勾股定理得，
即菱形的边长为，
故选：．
【点睛】本题考查了解一元二次方程和菱形的性质，正确求出方程的根是解题的关键．
4. 已知小明同学身高1.5米，经太阳光照射，在地面的影长为2米，他此时测得宝塔在同一地面的影长60米，那么塔高为（ ）
A. 45米B. 60米C. 80米D. 90米
【答案】A
【解析】
【分析】设塔高为xm，利用“在同一时刻物高与影长的比相等”得到，然后解关于x的方程即可．
【详解】解：设塔高为xm，
根据题意得，解得x=45．
所以塔高为45m．
故选：A．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用：通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决．
5. 如图，滑雪场有一坡角为的滑雪道，滑雪道长米，则滑雪道的坡顶到坡底的竖直高度的长为（ ）米
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题．根据正弦的定义进行解答即可．
【详解】解：，
米，
故选：A．
6. 如图，某零件的外径为，用一个交叉卡钳（）可测量零件的内孔直径．若，且量得，则零件的厚度x为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】本题考查相似三角形的应用，解题的关键是利用相似三角形的性质求出x的长．求出和相似，利用相似三角形对应边成比例列式计算求出，再根据外径的长度解答．
解：∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵外径为，
∴，
∴．
故选：C．
7. 二次函数的最小值是0，那么的值等于（ ）
A. 2B. 4C. D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了求二次函数的最值．根据二次函数的顶点坐标公式求解即可．
【详解】解：∵二次函数的最小值是0，
∴，解得：．
故选：B．
8. 如图，中，，，在x轴上，，点A在函数的图象上，将沿翻折，点B恰好落在此函数图象上的点D处，则k的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】过点作轴于点，根据折叠的性质可得，，根据含角的直角三角形的性质可得和的长，设，则点，，根据点和点在同一个反比例函数的图象上，列方程，即可求解．
详解】解：过点作轴于点，如图所示：
，，
根据折叠，可得，，
，
，
，
根据勾股定理，可得，
∵中，，，，
∴，
设，
则点，，
点和点在同一个反比例函数的图象上，
，
解得，
∴，
∴，
故选：C．
二、填空题（每小题3分，共18分）
9. 的值等于_________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了特殊的三角值的混合运算．根据即可解答．
【详解】解：，
故答案为：．
10. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值是_________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式．根据一元二次方程根的判别式及方程有两个相等的实数根，即可求得．
【详解】解：∵一元二次方程有两个相等的实数根，
∴，
解得：．
故答案为：
11. 已知，则_________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了比例的性质．直接利用比例的性质即可得出答案．
【详解】解：，
∴，
故答案为：．
12. 将二次函数化为的形式，结果为_________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的解析式之一般式化为顶点式，利用配方法整理求解即可．利用配方法先提出二次项的系数，凑成完全平方式即可求解．
【详解】解：
，
故答案为：．
13. 如图，已知斜坡的坡度，坡长米，在斜坡上有一棵银杏树，小李在处测得树顶的仰角为，测得水平距离米．若，点，，，在同一平面上，于点，则银杏树的高度为_________米．

【答案】
【解析】
【分析】此题考查的知识点是解直角三角形的应用．根据坡度为和勾股定理求出和，从而得出，再由直角三角形和求出，继而求出银杏树的高度．
【详解】解：在中，．
设，，
米，
．
（负值舍去）．
（米），（米）．
（米），
（米）．
，
．
即，
（米）．
（米）
故答案为：
14. 如图是二次函数图象的一部分，且过点，二次函数图象的对称轴是直线．下列结论：①；②；③； ④．其中错误的结论有_________．
【答案】②③④
【解析】
【分析】本题主要考查二次函数图象与系数的关系．由对称性可求得抛物线与轴的另一交点坐标为，容易判断①②③，再由时可判断④，可得出答案．
【详解】解：二次函数过点，对称轴是直线，
抛物线与轴的另一交点坐标为，
当时，，即，故③错误；
开口向下，与轴的交点在轴的上方，
，，
，故②错误；
抛物线与轴有两个交点，
方程有两个不相等的实数根，
，即，故①正确；
当时，，
，故④错误；
综上可知错误的是②③④，
故答案为：②③④．
三、解答题（共10小题，共78分）
15. 解一元二次方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1），；
（2），．
【解析】
【分析】此题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握用配方法、公式法和因式分解法求解一元二次方程是解题的关键．
（1）选用公式法求解此一元二次方程；
（2）选用配方法求解此一元二次方程即可．
【小问1详解】
解：，
，，，
，
方程有两个不相等的实数根
，
，；
【小问2详解】
解：整理得，
配方，得，即，
开平方，得，
，．
16. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了实数的混合运算，利用负整数指数幂、绝对值、特殊角的三角函数、零指数幂进行计算即可．
【详解】解：
17. 某学校每年抽出一部分资金购买书籍用于扩充图书室．已知2022年该学校用于购买图书的费用为10000元，2024年用于购买图书的费用增加到14400元，求该校这两年购买图书的费用的年平均增长率．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程即可．
【详解】解：设该校这两年购买图书的费用的年平均增长率为，
则，
解得：，（舍去），
答：该校这两年购买图书的费用的年平均增长率为．
18. 如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=10，点E在BC边上，DF⊥AE于F．
（1）求证：△ADF∽△EAB；
（2）若DF=6，求线段EF的长．
【答案】（1）见解析；（2）3．
【解析】
【分析】（1）先根据矩形的性质得，，，然后利用得到，最后结合，即可证明；
（2）先利用勾股定理得出AF=8，由△ADF∽△EAB得，可求出，然后利用勾股定理求出AE，最后根据线段的和差即可求出EF的长．
【详解】（1）证明：四边形为矩形，
，，，
，
，
，
，
，，
；
（2）解：在中，，
，
，即，解得，
在中，
，，
，
．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质和矩形的性质，利用图形中发现公共角、公共边等隐含条件证明相似三角形是解答本题的关键．
19. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点A、B、C点均在格点上，在图①，图②，图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求作图，保留适当的作图痕迹．
（1）在图①中，画出的边上的中线；
（2）在图②中画出，点、分别在边、上，满足；
（3）在图③中画出，点、分别在边、上，使得与是位似图形，且点为位似中心，位似比为．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）见解析
【解析】
【分析】本题考查作图位似变换，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
（1）取的中点，连接，线段即为所求；
（2）分别取，的中点，，连接，线段即为所求；
（3）取格点，，连接交于点，取点，使得，连接，线段即为所求．
【小问1详解】
解：如图①中，线段即为所求．
；
小问2详解】
解：如图②中，线段即为所求．
；
【小问3详解】
解：如图③中，线段即为所求．
．
20. 如图，要利用一面墙（墙长为）建羊圈（矩形，用的围栏围成总面积为的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长的长度．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程实际应用，设，则，再根据矩形面积计算公式列方程求解即可．
【详解】解：设，则，
由题意得，，
解得或（舍去），
∴羊圈的边长的长度为．
21. 为落实“双减”政策，培养德智体美劳全面发展的时代新人，某校组织调研学生体育和美育发展水平，现从七年级共180名学生中随机抽取20名学生，对每位学生的体育和美育水平进行测评后按百分制分数量化，并进行等级评定（成绩用x表示，分为四个等级，包括优秀：；良好：；合格：；待提高：）．对数据进行整理，描述和分析，部分信息如下．
信息一：体育成绩的人数（频数）分布图如下．
信息二：美育成绩的人数（频数）分布表如下．
信息三：20位学生的体育成绩和美育成绩得分统计如下（共20个点）．
根据以上信息，回答下列问题：
（1）填空：______；
（2）下列结论正确的是______；（填序号）
①体育成绩低于80分的人数占抽取人数的；
②参与测评的20名学生美育成绩的中位数对应的等级是“合格”；
（3）请结合以上信息，估计七年级全体学生中体育和美育两项成绩均属于“优秀”等级的人数．
【答案】（1）4 （2）①
（3）18人．
【解析】
【分析】本题主要考查了条形统计图的相关知识，个体占比，中位数定义，用样本估计总体等知识，掌握这些知识是解题的关键．
（1）用样本总体减去良好成绩的人生，合格成绩的人数，待提高成绩的人数即可得出答案；
（2）①用体育成绩低于80分的人数8除以样本总体20即可得出判断；②用中位数的定义判断即可；
（3）用样本估计总体即可求解．
【小问1详解】
解：，
故答案为：4．
【小问2详解】
解：①根据20位学生的体育成绩和美育成绩得分统计图可知：
体育成绩低于80分的人数有8人，
∴体育成绩低于80分的人数有占抽取人数的，故①正确．
②∵一共有20人，成绩从小到大排序，中位数为第10位和第11位的平均数，
∴中位数位于之间，
即参与测评的20名学生美育成绩的中位数对应的等级是“良好”，故②错误．
故有①正确，
故答案为：①．
【小问3详解】
解：根据信息三，可知：美育和体育成绩都在90分以及以上的只有2人．
故七年级全体学生中体育和美育两项成绩均属于“优秀”等级的人数有（人）．
22. 阅读与计算，请阅读以下材料，并完成相应的问题．
角平分线分线段成比例定理，如图1，在中，平分，则．下面是这个定理的部分证明过程．
证明：如图2，过作．交的延长线于．
任务：
（1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；
（2）填空：如图3，已知中，，，，平分，则的周长是______．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，以及勾股定理．
（1）如图2，过作．交的延长线于，利用平行线分线段成比例定理得到，利用平行线的性质得，，由得，所以，于是有；
（2）先利用勾股定理计算出，再利用（1）中的结论得到，即，则可计算出，然后利用勾股定理计算出，从而可得到的周长．
【详解】（1）证明：如图2，过作．交的延长线于，
，，，
，
，
，
；
（2）解：如图3，，，，
，
平分，
，即，
，
，
的周长．
故答案为：．
23. 如图，在四边形，，，，，．动点从点出发，沿折线以每秒3个单位长度的速度向终点运动．当点不与点、、重合时，作点关于直线的对称点，连接、，设点的运动时间为秒．

（1）线段的长为_____；
（2）当为直角三角形时，求的值；
（3）作点关于直线的对称点，连接，当时，直接写出的值．
【答案】（1）10； （2）2或5.5；
（3）或．
【解析】
【分析】（1）过点D作于E，先证明四边形是矩形，得，，从而得出，然后由勾股定理求解；
（2）分两种情况：①当点P在上时，只能是， 当时，得，解得：；②当点P在上时，只能是，过点D作于E，证明，则，求得，故，此时，解得：；
（3）分两种情况： 1)当点P上时，延长到F，证明出，则，解得：；2)当点P在上时，延长、相交于E，延长到F，由，解得：，，可得，则，此时，故，解得：．
【小问1详解】
解：过点D作于E，如图，

∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，
由勾股定理，得，
故答案为：10；
【小问2详解】
解：分两种情况：①当点P在上时，
∵点P不与点A、B、C重合
∴只能是，如图，

当时，由（1）知，，
∴，
解得：；
②当点P在上时，∵点P不与点A、B、C重合
∴只能是，过点D作于E，如图，

由翻折得：
由（1）知：，，，
∴
∵，
∴
∴
∴
∴
∴
∴，
∴
解得：；
综上，当为直角三角形时，t的值为2或．
【小问3详解】
解：①分两种情况：1)当点P在上时，延长到F，如图，

由（1）知：，
∵点B与点关于对称，
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∴，
解得：；
2)当点P在上时，延长、相交于E，延长到F，如图，

∵
∴
∴
∴
解得：，，
∵点B与点关于对称，
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∴
解得：．
综上，当时，t的值为或．
【点睛】本题考查矩形的判定与性质，勾股定理，轴对称的性质，相似三角形判定与性质，平行线的性质，等腰三角形的判定．注意分类讨论思想的应用，以免漏解．
24. 在平面直角坐标系中，抛物线（，且a是常数），经过点，若点、（其中）是坐标平面内两点，过点作轴的平行线与抛物线交于点，以、为邻边构造矩形．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）当时，求；
（3）当抛物线在矩形内部的点的纵坐标y随x的增大而减小时，直接写出m的取值范围．
【答案】（1）；
（2）；
（3）．
【解析】
【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案；
（2）由题意得，，则轴，根据轴，可得，，利用三角函数定义即可求得答案；
（3）由，可得m>0(m-5)2-3(m-5)>m2-3m，解不等式组即可．
【小问1详解】
解：抛物线是常数）经过点，
，
解得：，
该抛物线对应的函数表达式为；
【小问2详解】
解：当时，，，
∴轴，
点在抛物线上，轴，
，，
，，
；
小问3详解】
解：由于，如图，

抛物线在矩形内部的点的纵坐标随的增大而减小，
m>0(m-5)2-3(m-5)>m2-3m，
；
综上所述，的取值范围为．
【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数的性质，矩形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，列不等式（组解决数学问题．
分组
人数
m
7
2
7