广西南宁三中青秀校区2024-2025学年九年级上学期开学检测数学试题（解析版）

这是一份广西南宁三中青秀校区2024-2025学年九年级上学期开学检测数学试题（解析版），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

九年级数学
（考试时间：120分钟 满分：120分）
注意：本试卷分试题卷和答题卡（卷）两部分，答案一律填写在答题卡（卷）上，在试题卷上作答无放．
一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，）
1. 的绝对值是（ ）
A. ﹣2B. 2C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据去绝对值符号法则，即可求得．
【详解】解：，
故选：D．
【点睛】本题考查了去绝对值符号法则，去绝对值符号法则是：正数和零的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，掌握去绝对值符号法则是解决本题的关键．
2. 我国近年来大力推进国家教育数字化战略行动，截至2024年6月上旬，上线慕课数量超过7.8万门，学习人次达1290000000建设和应用规模居世界第一．用科学记数法将数据1290000000表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查科学记数法，科学记数法的一般形式为，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数．
【详解】解：用科学记数法将数据1290000000表示为，
故选：C．
3. 为了解我校初三年级所有同学的数学成绩，从中抽出500名同学的数学成绩进行调查，抽出的500名考生的数学成绩是（ ）
A. 总体B. 样本C. 个体D. 样本容量
【答案】B
【解析】
【分析】根据总体、个体、样本、样本容量的定义逐个判断即可.
【详解】解：抽出的500名考生的数学成绩是样本，
故选B.
【点睛】本题考查了总体、个体、样本、样本容量等知识点，能熟记总体、个体、样本、样本容量的定义是解此题的关键.
4. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘除法，积的乘方，根据以上运算法则逐项分析即可．
【详解】解：A、，故该选项不正确，不符合题意；
B、，故该选项正确，符合题意；
C、，故该选项不正确，不符合题意；
D、，故该选项不正确，不符合题意；
故选：B．
5. 不等关系在生活中广泛存在．如图，、分别表示两位同学的身高，表示台阶的高度．图中两人的对话体现的数学原理是（ ）
A. 若，则B. 若，，则
C. 若，，则D. 若，，则
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查不等式的性质，熟记不等式性质是解决问题的关键．根据不等式的性质即可解答．
【详解】解：由作图可知：，由右图可知：，即A选项符合题意．
故选：A．
6. 一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行．若斜面的坡角，则摩擦力与重力方向的夹角的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质和三角形外角性质，根据题意结合图形可知是重力与斜面形成的三角形的外角，从而可求得的度数．
【详解】解：重力的方向竖直向下，
重力与水平方向夹角为，
摩擦力的方向与斜面平行，，
，
故选：C．
7. 如图，在一块长、宽的矩形耕地上挖三条水渠（水渠的宽都相等），水渠把耕地分成面均为的6个矩形小块，水渠应挖多宽？设水渠应挖xm宽，根据题意，可列方程（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，得到平移水渠后矩形耕地的边长及形状是解决本题的突破．
把3条水渠平移到矩形耕地的一边，可得总耕地面积的形状为一个矩形，根据耕地总面积列出方程即可．
【详解】解：由题意得：．
故选：A．
8. 如图，在中，是边的中点．按下列要求作图：
①以点为圆心、适当长为半径画弧，交线段于点，交于点；
②以点为圆心、长为半径画弧，交线段于点；
③以点为圆心、长为半径画弧，交前一条弧于点，点与点在直线同侧；
④作直线，交于点．下列结论不一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了作一个角等于已知角，平行线的性质和判定，平行线分线段成比例定理，解题的关键是熟练掌握相关的性质，先根据作图得出，根据平行线的判定得出，根据平行线的性质得出，根据平行线分线段成比例得出，即可得出．
【详解】解：A．根据作图可知：一定成立，故A不符合题意；
B．∵，
∴，
∴一定成立，故B不符合题意；
C．∵是边的中点，
∴，
∵，
∴，
∴一定成立，故C不符合题意；
D．不一定成立，故D符合题意．
9. 如图，数学实践活动课上小明用两根木条钉成一个角形框架，且，，将一根橡皮筋两端固定在点，处，拉展成线段，在平面内，拉动橡皮筋上的一点，当四边形是菱形时，橡皮筋再次被拉长了（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据菱形的性质得出，进而解答即可．
【详解】解：如图，连接，交于，

四边形是菱形，，，
，，，
，
，
，
橡皮筋再次被拉长了．
故选：．
【点睛】此题考查菱形的性质，直角三角形的性质，关键是根据菱形的性质得出的长解答．
10. 如图，已知矩形纸片，其中，现将纸片进行如下操作：第一步，如图①将纸片对折，使与重合，折痕为，展开后如图②；第二步，再将图②中的纸片沿对角线折叠，展开后如图③；第三步，将图③中的纸片沿过点的直线折叠，使点落在对角线上的点处，如图④．则的长为（ ）
A. B. C. D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了矩形的折叠问题，勾股定理，等边对等角和三角形内角和定理，先由折叠的性质得到，，再由等边对等角和三角形内角和定理得到，利用勾股定理求出，再利用等面积法求解即可．
【详解】解：由折叠可得，，，
∴，
，，
∵，
∴
中，，
，
∵矩形纸片，，，
中，，
∵，
，
故选：C．
11. 对称轴为直线的抛物线（、、为常数，且）如图所示，小明同学得出了以下结论：①，②当时，随的增大而增大，③，④（为任意实数）．其中结论正确的个数为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数图象与系数的关系，二次函数增减性，二次函数的对称性，以及二次函数图象上点的坐标特征逐项判断，即可解题．
【详解】解：由图知，，，，
，
故①错误；
由图知，当时，随的增大而减小，
故②错误；
，
与的函数值相同，
，
故③错误；
，
，
，
当时，最小，
成立，
故④成立；
故选：A．
12. 如图1，矩形中，为其对角线，一动点从出发，沿着的路径行进，过点作，垂足为．设点的运动路程为，为，与的函数图象如图2，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了动点问题的函数图象，根据图象得出信息是解题的关键．
根据函数的图象与坐标的关系确定的长，再根据矩形性质及勾股定理列方程求解．
【详解】解：由图象得：，当时，，此时点P在边上，
设此时，则，，
在中，，
即：，
解得：，
，
故选：B．
二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．请把答案填在答题卷上）
13. 25的平方根是_____．
【答案】±5
【解析】
【分析】根据平方根的定义，求数a的平方根，也就是求一个数x，使得x2=a，则x就是a的一个平方根．
【详解】∵（±5）2=25，
∴25的平方根是±5．
【点睛】本题主要考查了平方根的意义，正确利用平方根的定义解答是解题的关键．
14. 若等腰三角形的一个底角的度数为，则它的顶角度数为_____________°．
【答案】100
【解析】
【分析】本题主要考查了等腰三角形两底角相等，根据三角形内角和定理，结合等腰三角形两底角相等，求出它的顶角度数即可．
【详解】解：∵等腰三角形的一个底角的度数为，
∴它的顶角度数为：，
故答案为：100．
15. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值为________．
【答案】2
【解析】
【分析】本题考查根据一元二次方程根的情况求参数．一元二次方程有两个不相等的实数根，则；有两个相等的实数根，则；没有实数根，则．据此即可求解．
【详解】解：由题意得：，
解得：
故答案为：2
16. 如图，D，E分别是边，的中点，连接，．若，则的长为__________

【答案】4
【解析】
【分析】本题主要考查三角形中位线定理和等腰三角形判定，由三角形中位线定理得得出得出
【详解】解：∵D，E分别是边，的中点，
∴是的中位线，
∴
∴
∵
∴
∴
故答案为：4
17. 飞机着陆后滑行距离（单位：）关于滑行时间（单位：）的函数解析式是．在飞机着陆滑行中，飞机从开始滑行到停止所需时间为______秒．
【答案】
【解析】
【分析】将函数解析式是化为顶点式进行分析，即可求解．
【详解】解：∵，
∴当时，滑行的距离，此时飞机滑行停止，
∴飞机从开始滑行到停止所需时间为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查二次函数的顶点式，理解并掌握二次函数化为顶点式的方法，及顶点式的含义是解题的关键．
18. 如图，在矩形ABCD中，，E，F分别是AD，AB的中点，的平分线交AB于点G，点P是线段DG上的一个动点，则的周长最小值为__________．
【答案】##
【解析】
【分析】在CD上取点H，使DH=DE，连接EH，PH，过点F作FK⊥CD于点K，可得DG垂直平分EH，从而得到当点F、P、H三点共线时，的周长最小，最小值为FH+EF，再分别求出EF和FH，即可求解．
【详解】解：如图，在CD上取点H，使DH=DE，连接EH，PH，过点F作FK⊥CD于点K，
在矩形ABCD中，∠A=∠ADC=90°，AD=BC=6，CD=AB=8，
∴△DEH为等腰直角三角形，
∵DG平分∠ADC，
∴DG垂直平分EH，
∴PE=PH，
∴的周长等于PE+PF+EF=PH+PF+EF≥FH+EF，
∴当点F、P、H三点共线时，的周长最小，最小值为FH+EF，
∵E，F分别是AD，AB的中点，
∴AE=DE=DH=3，AF=4，
∴EF=5，
∵FK⊥CD，
∴∠DKF=∠A=∠ADC=90°，
∴四边形ADKF为矩形，
∴DK=AF=4，FK=AD=6，
∴HK=1，
∴，
∴FH+EF=，即的周长最小为．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了最短距离问题，矩形的判定和性质，勾股定理等知识，明确题意，准确得到当点F、P、H三点共线时，的周长最小，最小值为FH+EF是解题的关键．
三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19. 计算：
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了实数的混合计算，正确计算是解题的关键．先计算乘方，算术平方根，绝对值化简，再计算加减法即可．
【详解】解：
．
20. 解方程：
【答案】
【解析】
【分析】本题考查解分式方程，先去分母，将分式方程化为整式方程，求出解后再进行检验，进而得出答案．掌握解分式方程的步骤是解题的关键．
【详解】解：在方程两边同乘以，得：
，
解得：，
检验：把代入，得：，
∴是原分式方程的解．
21. 如图，每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，建立如图所示的平面直角坐标系．的三个顶点坐标分别为，，．
（1）填空：的面积为 ；
（2）把先向左平移5个单位长度得到，再将沿x轴翻折得到，请在平面直角坐标系中直接画出与；
（3）在（2）的条件下，在x轴上是否存在点P，使的面积是的面积的一半？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】（1）5 （2）作图见解析
（3），
【解析】
【分析】本题考查了作图——平移变换，解题的关键是掌握平移变换的性质，学会利用参数构建方程解决问题．
（1）根据格点利用割补法计算面积即可；
（2）根据平移变换的性质分别作出的A、B、C对应点，，对应点，依次连接得到即可求解；根据翻折的性质在作出对应点，，依次连接得到即可；
（3）根据的面积是△ABC的面积的一半，设，构建方程求解．
【小问1详解】
由图可知：的面积；
故答案为：5；
【小问2详解】
如图所示：即为所求，即为所求；
【小问3详解】
存在，理由如下：
由（2）可知，，
，
的面积是的面积的一半，，
，
设则，
，
，，
点P的坐标为，．
22. 某卫生局为了了解该市社区医院对患者随访情况，随机抽查了部分社区医院一年来对患者随访的次数，并用得到的数据绘制了如图1、图2所示的两幅不完整的统计图．请根据图中提供的信息，回答下列问题：
（1）这次抽样调查中共抽查了患者___________人，________，众数是________，中位数是_________；
（2）请补全条形统计图；
（3）如果该市社区医院患者有60000人，请你估计“随访的次数不少于7次”社区医院的患者有多少人？
【答案】（1），，，
（2）见解析 （3）该市社区医院患者随访的次数不少于7次的有人
【解析】
【分析】（1）根据随访次数为次人数与百分比可求出样本容量，根据扇形统计图进行百分数的减法可得的值，再根据众数、中位数的计算方法分别求众数和中位数即可；
（2）由（1）可得随访次数为次的人数，即可补全条形图；
（3）根据样本估算总体数量的计算方法即可求解．
【小问1详解】
解：由图可知：随访次数为次的人数为人，占扇形图的，
则总人数为：（人），
由扇形图可知：，
，
众数是，
将数据从小到大排序后可知，处于中间是数位于随访次数为次的人数中，故中位数是，
故答案为：，，，；
【小问2详解】
解：由（1）可得：随访次数为次的人数为：（人），
补全条形统计图如下：
【小问3详解】
解：由扇形图可知，样本中随访的次数不少于7次占样本总数的，
故该市社区医院患者随访的次数不少于7次的有（人）．
【点睛】本题主要考查条形统计图和扇形统计图信息关联，众数，中位数，补全条形统计图，样本估计总体，掌握样本估计总体数量的方法，众数、中位数的计算方法是解题的关键．
23. 如图，在中，为的中点，四边形是平行四边形，，DE相交于点．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，，求AD的长．
【答案】（1）证明见解析；
（2）．
【解析】
【分析】（）先根据四边形是平行四边形和为的中点，判定四边形是平行四边形，再结合，推出，即可得出结论；
（）根据和矩形的对角线相等且互相平分，得出为等边三角形，即可求出的长，从而得到矩形对角线的长，最后利用勾股定理即可求解．
【小问1详解】
证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵为中点，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，为中点，
∴，
∴，
∴平行四边形是矩形；
【小问2详解】
解：∵四边形是矩形，
∴，，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，灵活运用所学知识是解题的关键．
24. 某条东西方向道路双向共有三条车道，在早晚高峰经常会拥堵，数学研究小组希望改善道路拥堵情况，他们对该路段的交通量（辆分钟）和时间进行了统计和分析，得到下列表格，并发现时间和交通量的变化规律符合一次函数的特征．
（1）请用一次函数分别表示与、与之间的函数关系．（不写定义域）
（2）如图，同学们希望设置可变车道来改善拥堵状况，根据车流量情况改变可变车道行车方向．单位时间内双向交通总量为，车流量大的方向交通量为，经查阅资料得：当，需要使可变车道行车方向与拥堵方向相同，以改善交通情况．该路段从8时至20时，如何设置可变车道行车方向以缓解交通拥堵，并说明理由．
【答案】（1），
（2）8时到9时，可变车道的方向设置为自东向西；18时到20时，可变车道的方向设置为自西向东，理由见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了一次函数的应用，待定系数法求一次函数解析式，一元一次不等式的应用.待定系数法求一次函数解析式是解题的关键.
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）根据，求出关于的函数关系式，分，两种情况讨论，求出对应的取值范围即可．
【小问1详解】
解： 设、为常数，且．
将，和，代入，
得，
解得，
．
设、为常数，且．
将，和，代入，
得，
解得，
．
【小问2详解】
．
当时，即，解得；
当时，即，解得．
8时到9时，可变车道的方向设置为自东向西；18时到20时，可变车道的方向设置为自西向东．
25. 【课本再现】
（1）如图1，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长都为1，四边形为两个正方形重叠部分，正方形可绕点转动，则下列结论正确的是 （填序号即可）．
①；②：③四边形的面积总等于；④连接，总有．
【类比迁移】
（2）如图2，矩形的中心是矩形的一个顶点，与边相交于点与边相交于点，连接，矩形可绕着点旋转，猜想之间的数量关系，并进行证明；
【拓展应用】
（3）如图3，在中，，直角的顶点在边的中点处，它的两条边和分别与直线相交于点可绕着点旋转，当时，求线段的长度．
【答案】（1）①②③④；（2），理由见解析；（3）或
【解析】
【分析】（1）证明，可得结论；（2）猜想：，连接，延长交于，证明，再利用勾股定理证明即可；（3）设分两种情形：①当点E在线段上时，②当点E在延长线上时，分别利用勾股定理构建方程求解．
【详解】解：（1）如图1中，连接．
∵四边形是正方形，
，
∵，
∴，
∵，
∴，故①正确，
∴O故②正确，
∴，故③正确，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，故④正确，
故答案为：①②③④；
（2），理由如下：
连接，
∵O为矩形中心，
∴，
延长交于，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵矩形，
∴，
∴垂直平分，
∴，
∵在中，
∴；
（3）设，
①当E在之间时，
，
，
在中，，
，
又由（2）易知，
，
，
解得：，
；
②当E在延长线上时，
同理可论：，
设，则，
即：，
解得：，
∴，
综上所述：或．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题关键．
26. 如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点， 是抛物线上的任意一点（不与点重合），点的横坐标为，拋物线上点与点之间的部分（包含端点）记为图象．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点位于线段上方，求面积的最大值；
（3）若图象的最大值与最小值的差为4，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）
（3）的取值范围是或
【解析】
【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，坐标与图形，二次函数几何综合，二次函数的最值，以及二次函数图象与性质，解题的关键在于熟练掌握相关知识并灵活运用．
（1）利用待定系数法求解，即可解题；
（2）根据二次函数得到点，设直线的解析式为，待定系数法求出直线的解析式，过点作轴，交于点，利用坐标和三角形面积公式求解，得到面积的表达式，再结合二次函数最值，即可解题；
（3）根据图象的最大值与最小值的差为4，分情况讨论①当点在点上方时，②当点在点下方时，结合二次函数的最值，以及二次函数对称性求解，即可解题．
【小问1详解】
解：抛物线与轴交于，两点，
，
解得，
抛物线的解析式为；
【小问2详解】
解：抛物线解析式为，与轴交于点；
，
设直线的解析式为，
，
解得，
直线的解析式为，
点位于线段上方，点的横坐标为，
，
过点作轴，交于点，
，
，
，
面积的最大值为；
【小问3详解】
解：图象的最大值与最小值的差为4，
①当点在点上方时，
，且，
，
解得或0（舍去），
，
②当点在点下方时，
此时点在点左侧，不满足题意，
点在点右侧，
，
解得或（舍去），
综上所述，的取值范围是或．时间
8时
11时
14时
17时
20时
自西向东交通量（辆分钟）
10
16
22
28
34
自东向西交通量（辆分钟）
25
22
19
16
13