2022-2023学年广西桂林市临桂区八年级（上）期中数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年广西桂林市临桂区八年级（上）期中数学试卷（含解析），共17页。
A ． B ． C ． D ．
2 ．（3 分）下列各组中的三条线段能组成三角形的是( )
A ．3cm ，6cm ，6cm B ．3cm ，3cm ，6cm
C ．3cm ，6cm ，10cm D ．3cm ，4cm ，9cm
3 ．（3 分）下列命题中，属于假命题的是( )
A ．两直线平行，同位角相等
B ．等角的余角相等
C ．三角形的内角和等于 180 °
D ．锐角都相等
4 ．（3 分）将分式约分的结果是( )
A ． B ． C ． D ． \l "bkmark1" 3x
5 ．（3 分）如图，要测量河两岸相对两点 A ，B 间的距离，过点 D 作 DE⊥CD ，交 AC 的延
长线于点 E ，CD ＝30 米，则 A( )
A ．20 米 B ．30 米 C ．40 米 D ．50 米
6 ．（3 分）下列计算正确的是( )
A ．a0 ＝0（a ≠0） B ．a3 ÷a1 ＝a4
C ．（a﹣2）﹣3 ＝ D .
7 ．（3 分）在△ABC 中，AB ＝AC，若∠A ＝60 ° ( )
A ．等边三角形 B ．不等边三角形
C ．钝角三角形 D ．直角三角形
8 ．（3 分）如图， △ABC≌△DEF，AD ＝10 ，则 CF 的长为( )
A ． 1 B ．2 C ．3 D ．4
9 ．（3 分）如图，直线 l 是线段 AB 的垂直平分线，P 为直线 l 上的一点，AB ＝10 ，则△BCP
的周长为（ ）
A ．5 B ．12 C ．14 D ．19
10 ．（3 分）如图，在第一个等腰△ABA1 中，AB ＝A1B ， ∠B ＝30 ° ，点 C 在 A1B 上，延长
AA1 至点 A2 ，使 A1A2 ＝A1C ，点 D 在 A2C 上，延长 A1A2 至点 A3 ，使 A2A3 ＝A2D ， …，
按此作法进行下去，第 2022 个等腰三角形的底角的度数为（ ）
A．
B．
C．
D．
二．填空题（共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分）
11．（3 分）如图，AB ＝AC，BD ＝CD ，则∠CAD 的度数为 °．
12 ．（3 分） 冠状病毒因在显微镜下观察类似王冠而得名，新型冠状病毒的半径约为
0.000000045 米，这个数用科学记数法表示为 米．
13 ．（3 分） ＝ ，括号里的数为 ．
14 ．（3 分）若的值为 0 ，则 x 的值为 .
15 ．（3 分） 已知等腰三角形的两条边长分别为 5cm 和 7cm ，则这个等腰三角形的周长
为 .
16 ．（3 分）在△ABC 中，AB ＝AC，MP 和 NQ 分别垂直平分 AB 和 AC，P ，NQ 分别交 AC
和 BC 于点 N，Q ，连接 AP 和 AQ ，PQ ＝2 ，则 BC 的长为 .
三.解答题（本大题共 9 题，共 72 分，请将答案写在答题卡上）.
17 ．（4 分）计算： .
18 ．（8 分）解分式方程：
（1）；
（2） .
19 ．（6 分）先化简再求值：（） ，其中 x ＝4，y ＝1 .
20 ．（6 分）如图，在△ABC 中， ∠B ＝40 ° , 边 AB 的垂直平分线 DE 与 AB 、BC 分别交于
点 D 和点 E .
（1）作出边 AB 的垂直平分线 DE；
（2）连接 AE ，求∠CAE 的度数.
21 ．（8 分）如图，在△ABC 中，∠B ＝45 ° , AD 是△ABC 的角平分线，DE⊥BC，DF⊥AB，
垂足为点 F.
（1）求证：AC ＝AD；
（2）求证：BF＝EF.
22 ．（9 分）如图，点 E 在 AB 上，AC ＝AD
（1）求证：AB 平分∠CAD；
（2）若 CE ＝5 ，求 DE 的长.
23 ．（9 分）长方形和直角三角形如图摆放，C，B ，E 三点在同一直线上，已知长方形的面
积为 24cm2 ，直角三角形的面积为 18cm2 ，AF＝2cm ，BC ＝BE .
（1）设 AB ＝xcm ，用含有 x 的分式表示 BE 的长；
（2）求 AB 长及∠E 的度数.
24 ．（10 分）周末，小李和妈妈在 600 米的环形跑道上跑步锻炼，他们在同一地点沿着同一 方向同时出发，你的速度是我的 2 倍；妈妈：妈妈跑完一圈所用的时间比你跑完一圈所
用的时间少 2 分钟.
（1）求小李和妈妈的速度；
（2）妈妈第一次追上小李后，第二次追上小李前，再经过多少分钟
25 ．（12 分）如图，在等边△ABC 中，AB ＝12cm ，同时点 Q 从点 B 出发沿 BC 边以 1cm/s
的速度向点 C 运动，当点 P 到达点 B 时，连接 AQ 和 CP ，相交于点 D
（1）当 t ＝3 时，求证：CP⊥AB；
（2）当 S△CAQ ＝2S△ACP 时，求 t 的值；
（3）在 P 、Q 两点的运动过程中，是否存在某一时刻∠ACP 和∠CAQ 相等？若存在，求
出此时 t 的值，请说明理由.
2022-2023 学年广西桂林市临桂区八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）
1 ．【分析】根据分式的定义解答即可.
【解答】解：A 、是整式；
B 、是分式；
C、是整式.
D 、是整式.
故选：B .
【点评】本题考查的是分式的定义，熟知一般地，如果 A ，B 表示两个整式，并且 B 中
含有字母，那么式子叫做分式是解题的关键.
2．【分析】在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线段长
度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形，由此即可判断.
【解答】解：A 、3+6＞6 、6cm ，故 A 符合题意；
B 、3+6 ＝6 、3cm ，故 B 不符合题意；
C、2+6＜10 、6cm ，故 C 不符合题意；
D 、7+4＜9 、3cm ，故 D 不符合题意.
故选：A .
【点评】本题考查三角形的三边关系，关键是掌握三角形的三边关系定理.
3．【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出
答案．如果命题是假命题，只需举出反例.
【解答】解：A 、两直线平行，是真命题；
B 、等角的余角相等，不符合题意；
C、三角形的内角和等于 180 ° , 不符合题意；
D 、锐角不一定都相等，符合题意；
故选：D .
【点评】本题主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判
断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理.
4 ．【分析】把分子分母的公因式 4x 约去即可.
【解答】解：原式=
=
.
故选：C .
【点评】本题考查了约分：约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的
分式变形叫做分式的约分.
5 ．【分析】证△ABC≌△EDC（ASA），得 AB ＝DE ＝40 米，即可得出结论.
【解答】解： ∵AB⊥BC，DE⊥CD，
∴∠ABC = ∠EDC ＝90 ° ,
在△ABC 和△EDC 中，
,
∴△ABC≌△EDC（ASA），
∴AB ＝DE ＝40 米，
即 A ，B 两点间的距离为 40 米，
故选：C .
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题
的关键.
6．【分析】分别根据零指数幂的定义，同底数幂的除法法则，负整数指数幂的定义以及幂的
乘方运算法则解答即可.
【解答】解：A ．a0 ＝1（a ≠8），故本选项不符合题意；
B ．a3 ÷a1 ＝a8 ，故本选项不符合题意；
C．（a﹣2）﹣3 ＝ ＝ ＝ ＝a6 ，故本选项不符合题意； D ． ，故本选项符合题意.
故选：D .
【点评】本题考查了同底数幂的乘法、零指数幂、负整数指数幂以及幂的乘方，掌握幂
的运算法则是解答本题的关键.
7 ．【分析】先根据已知条件，证明∠B = ∠C，由三角形内角和是 180 ° , 从而求出∠B = ∠
C ＝60 ° , 就能得到答案.
【解答】解： ∵AB ＝AC，
∴∠B = ∠C，
∵∠A+∠B+∠C ＝180 ° , ∠A ＝60 ° ,
∴∠B+∠C ＝180 °﹣∠A ＝120 ° ,
∴∠B = ∠C = ∠A ＝60 ° ,
∴△ABC 是等边三角形，
故选：A .
【点评】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，解题关键是熟练掌握应用等边三角
形的判定和性质解答问题.
8 ．【分析】根据全等三角形对应边相等 AC ＝DF，得 AF＝CD ，然后求出 AF 的长度，再根
据 CF＝AC﹣AF，代入数据计算即可.
【解答】解： ∵△ABC≌△DEF，
∴AC ＝FD，
即 CD+CF＝AF+CF，
∴AF＝CD，
∵AD ＝10 ，AC ＝6，
∴CD ＝AD﹣AC ＝4，
∴AF＝7，
∴CF＝AC﹣AF＝2 .
故选：B .
【点评】本题主要考查全等三角形对应边相等的性质，熟练掌握性质是解题的关键.
9 ．【分析】根据线段垂直平分线的性质得到 PA ＝PB ，根据三角形的周长公式计算，得到答
案.
【解答】解： ∵△ABC 的周长为 24，
∴AB+AC+BC ＝24，
∵AB ＝10，
∴AC+BC ＝14，
∵直线 l 是线段 AB 的垂直平分线，P 为直线 l 上的一点，
∴PA ＝PB，
∴△BCP 的周长＝BC+PB+PC ＝BC+PA+PC ＝BC+AC ＝14，
故选：C .
【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质、三角形的周长公式，熟记线段的垂直平
分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键.
10．【分析】先根据等腰三角形的性质求出∠BA1A 的度数，再根据三角形外角的性质及等腰 三角形的性质分别求出∠CA2A1 ， ∠DA3A2及∠EA4A3的度数，找出规律即可得出第 n 个
三角形的以 An 为顶点的内角的度数.
【解答】解： ∵在△ABA1 中， ∠B ＝30 °1B，
∴∠BA7A ＝ ＝75 ° ,
∵A1A3 ＝A1C， ∠BA1A 是△A5A2C 的外角，
∴∠CA2A5 ＝ ＝ ＝37.5 ° ;
同理可得∠DA3A7 ＝18.75 ° , ∠EA4A3 ＝2.375 ° ,
∴第 n 个三角形的以 An 为顶点的内角的度数为，
∴第 2022 个等腰三角形的底角的度数为 .
故选：C .
【点评】本题考查的是等腰三角形的性质及三角形外角的性质，根据题意得出∠CA2A1，
∠DA3A2及∠EA4A3的度数，找出规律是解答此题的关键.
二．填空题（共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分）
11 ．【分析】 由 AB ＝AC，BD ＝CD ，AD ＝AD ，根据全等三角形的判定定理“SSS ”证明△
ABD≌△ACD ，则∠BAD = ∠CAD ＝25 ° , 于是得到问题的答案.
【解答】解：在△ABD 和△ACD 中，
,
∴△ABD≌△ACD（SSS），
∴∠BAD = ∠CAD，
∵∠BAD ＝25 ° ,
∴∠CAD ＝25 ° ,
故答案为：25 .
【点评】此题重点考查全等三角形的判定与性质，正确地找到全等三角形的对应边和对
应角并且证明△ABD≌△ACD 是解题的关键.
12 ．【分析】科学记数法的表示形式为 a ×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10 ，n 为整数．确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相
同．当原数绝对值≥10 时，n 是正整数；当原数的绝对值＜1 时，n 是负整数.
【解答】解：0.000000045 米＝4.3×10﹣8 米.
故答案为：4.5×10﹣8 .
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 a ×10n 的形式，其
中 1≤|a|＜10 ，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值.
13 ．【分析】利用分式的基本性质进行计算，即可解答.
【解答】解： = = ,
故答案为：2ab .
【点评】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键.
14 ．【分析】根据分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零列式计算即可.
【解答】解： 由题意得：|x|﹣4 ＝0 且 x+6≠0，
解得：x ＝4，
故答案为：2 .
【点评】本题考查的是分式的值为零的条件，熟记分式值为零的条件是分子等于零且分
母不等于零是解题的关键.
15．【分析】等腰三角形两边的长为 5cm和 7cm，具体哪条是底边，哪条是腰没有明确说明，
因此要分两种情况讨论.
【解答】解： ①当腰是 5cm ，底边是 7cm 时，
则其周长＝2+5+7 ＝17（cm）；
②当底边是 4cm ，腰长是 7cm 时，
则其周长＝5+2+7 ＝19（cm）.
故答案为：17cm 或 19cm .
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系； 已知没有明确腰和底边的
题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解
答，这点非常重要，也是解题的关键．应向学生特别强调.
16 ．【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得 AP ＝BP ，AQ ＝CQ，
然后分两种情况计算即可.
【解答】解： ∵AB 、AC 的垂直平分线分别交 BC 于点 P 、Q，
∴AP ＝BP ，AQ ＝CQ，
∴∠B = ∠BAP ， ∠C = ∠CAQ，
∵AB ＝AC，
∴∠B = ∠C，
∴∠APQ = ∠AQP，
∴AQ ＝AP ＝5，
∴如图 1 ，BC ＝AP+PQ+CQ ＝2+2+5 ＝12，
如图 5 ，BC ＝BP+CQ﹣PQ ＝5+5﹣8 ＝8 .
综上所述，BC ＝12 或 8 .
故答案为：12 或 4 .
【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端
点的距离相等、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键.
三.解答题（本大题共 9 题，共 72 分，请将答案写在答题卡上）.
17 ．【分析】先根据零指数幂及负整数指数幂的计算法则计算出各数，再根据有理数的加减
法则进行计算即可.
【解答】解：原式＝1+4+6
= 9 .
【点评】本题考查的是负整数指数幂、零指数幂及有理数的乘方、有理数的加减法则，
熟知以上知识是解题的关键．
18 ．【分析】（1）方程两边同乘 x（x+2）去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x
的值，经检验即可得到分式方程的解．
（2）方程两边同乘（x﹣2）（x+2）去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x 的
值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：（1），
方程两边同乘 x（x+2），去分母得：3x ＝x+7
解得：x ＝1，
检验：当 x ＝1 时，x（x+3） ≠0，
∴x ＝1 是原方程的根；
（2），
方程两边同乘（x﹣2）（x+8），去分母得：（x﹣2）2﹣（x﹣4）（x+2）＝16，
解得：x ＝﹣2，
检验：当 x ＝﹣8 时，（x+2）（x﹣2）＝7，
∴x ＝﹣2 是原方程的增根，
∴原方程无解．
【点评】本题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
19 ．【分析】先算括号内的，把除化为乘，约分后将 x ＝4，y ＝1 代入计算即可．
【解答】解：原式＝（ +） •••
＝
，
当 x ＝4，y ＝5 时，
原式＝
＝
＝2．
【点评】本题考查分式化简求值，解题的关键是掌握分式相关运算的法则，把所求式子
化简．
20 ．【分析】（1）作边 AB 的垂直平分线 DE ，与 AB ，BC 分别相交于点 D ，E 即可；
（2） 由线段垂直平分线的性质及等腰三角形的性质求出∠EAB ，即可求∠CAE 的度数.
【解答】解：（1）如图，AB 的垂直平分线 DE 即为所求；
（2） ∵∠B ＝40 ° , ∠C ＝75 ° ,
∴∠CAB ＝180 °﹣∠B﹣∠C ＝65 ° ,
∵DE 是 AB 的垂直平分线，
∴EA ＝EB，
∴∠B = ∠EAB ＝40 ° ,
∴∠CAE = ∠CAB﹣∠EAB ＝65 °﹣40 ° =25 ° .
【点评】本题考查了作图﹣基本作图、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，解
决本题的关键是掌握线段垂直平分线的性质.
21 ．【分析】（1）根据三角形内角和定理及角平分线定义求出∠CAD ＝30 ° , 再根据三角形
内角和定理求出∠ADC ＝75 ° , 根据等腰三角形的判定定理即可得解；
（2）根据垂直定义及角的和差求出∠EDA ＝15 ° , 根据三角形外角性质求出∠BED =
45 ° , 根据等腰三角形的判定定理推出 BD ＝ED ，根据等腰三角形的性质即可得解.
【解答】证明：（1） ∵∠B ＝45 ° , ∠C ＝75 ° ,
∴∠BAC ＝60 ° ,
∵AD 是△ABC 的角平分线，
∴∠CAD∠BAD = ∠BAC ＝30 ° ,
∴∠ADC ＝180 °﹣∠C﹣∠CAD ＝75 ° ,
∴∠ADC = ∠C，
∴AC ＝AD；
（2） ∵DE⊥BC，
∴∠EDC ＝90 ° ,
∴∠EDA = ∠EDC﹣∠ADC ＝15 ° ,
∴∠BED = ∠BAD+∠EDA ＝30 °+15 ° =45 ° ,
∴∠B = ∠BED，
∴BD ＝ED，
∵DF⊥BE，
∴BF＝EF.
【点评】此题考查了角平分线定义、等腰三角形的判定，熟记等腰三角形的判定定理是
解题的关键.
22 ．【分析】（1）根据 SSS 定理得出△ACB≌△ADB ，由全等三角形的性质即可得出结论；
（2）根据 SAS 定理得出△ACE≌△ADE ，进而可得出结论.
【解答】（1）证明：在△ACB 与△ADB 中，
,
∴△ACB≌△ADB（SSS），
∴∠CAB = ∠DAB，
∴AB 平分∠CAD；
（2）解： 由（1）知∠CAB = ∠DAB，
在△ACE 与△ADE 中，
, ∴△ACE≌△ADE（SAS），
∴CE ＝DE，
∵CE ＝5，
∴DE ＝CE ＝5 .
【点评】本题考查的是全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，熟知全等三角形的
判定定理是解题的关键.
23 ．【分析】（1）根据直角三角形的性质和三角形的面积公式以及矩形的面积公式即可得到
结论；
（2）根据矩形的性质和等腰直角三角形的性质即可得到结论.
【解答】解：（1） ∵△BEF 是直角三角形，AF＝2cm ，S△BEF ＝18cm2，
∴S△BEF ＝BE•BF，
∴BE•（x+2）＝18，
∴BE ＝cm；
∵长方形的面积为 24cm5 ，BC ＝BE，
∴AB•BC ＝24，
∴BE ＝BC ＝cm；
（2） ∵矩形 ABCD 的面积是 24cm2 ，BC ＝BE，
∴AB•BC ＝AB•BE ＝24cm2，
由（1）知 BE ＝cm，
∴x • ＝24，
解得 x ＝4，
经检验 x ＝2 有意义，
∴AB ＝4cm，
∴BF＝6cm ，BE = ,
∴BE ＝BF，
∴∠E = ∠F＝ ＝45 ° .
【点评】本题考查了矩形的性质，直角三角形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，
熟练掌握矩形的性质是解题的关键.
24 ．【分析】（1）设小李的速度为 x 米/分钟，则妈妈的速度为 2x 米/分钟，根据“妈妈跑完 一圈所用的时间比小李跑完一圈所用的时间少 2 分钟 ”列出方程，解方程即可，注意验
根；
（2）设出未知数，分两种情况： ①当妈妈超过小李 100 米时， ②当妈妈还差 100 米赶
小李时，两人的路程差列出方程便可.
【解答】解：（1）设小李的速度为 x 米/分钟，则妈妈的速度为 2x 米/分钟，
依题意得：﹣ =4，
经检验，x ＝150 是原方程的解，
答：小李的速度为 150 米/分钟，妈妈的速度为 300 米/分钟；
（2）设第二次追上小李前，再经过y 分钟，
①当妈妈超过小李 100 米时，
依题意得：300y﹣150y ＝100，
解得y = ;
②当妈妈还差 100 米赶小李时，
依题意得：300y﹣150y ＝600﹣100，
解得y = ,
综上所述，第二次追上小李前号分钟或号 ，小李和妈妈在跑道上相距 100 米.
【点评】本题考查了分式方程和一元一次方程应用，正确列出方程是解题关键.
25 ．【分析】（1） 由题意可知，AP ＝2tcm ，当 t ＝3 时，AP ＝6cm ，则点 P 是 AB 的中点，再
由等边三角形的性质即可得出结论；
（2）过点 A 作 AE⊥BC 于点 E ，过 C 作 CF⊥AB 于点 F， 由等边三角形的性质得 BC = AB ＝12cm ，易证 AE ＝CF，再由三角形的面积关系得 CQ ＝2AP ，即 12﹣t ＝2×2t ，解方
程即可；
（3）证△BCP≌△BAQ（ASA），得 BP ＝BQ ，即 12﹣2t ＝t ，解方程即可.
【解答】（1）证明： 由题意可知，AP ＝2tcm，
当 t ＝3 时，AP ＝6×3 ＝6（cm），
∵AB ＝12cm，
∴点 P 是 AB 的中点，
∵△ABC 是等边三角形，
∴CP⊥AB；
（2）解：如图，过点 A 作 AE⊥BC 于点 E，
只ΔABC 是等边三角形，
~BC ＝AB ＝12cm，
只SΔABC ＝BC.AE = ,
~AE ＝CF，
由题意可知，AP ＝2tcm，
~ CQ ＝BC - BQ ＝（12 - t ）cm，
只SΔCAQ ＝2SΔACP，
~ CQ.AE ＝2X，
~ CQ ＝2AP，
~ 12 - t ＝2X 2t，
解得：t = ,
即当 SΔCAQ ＝7SΔACP 时，t 的值为；
（3）解：存在某一时刻经ACP 和经CAQ 相等，理由如下：
只ΔABC 是等边三角形，
~BC ＝AB ，经ACB ＝经BAC ＝60 。，
只经ACP ＝经CAQ，
~ 经ACB - 经ACP ＝经BAC - 经CAQ，
即经BCP ＝经BAQ，
在ΔBCP 和ΔBAQ 中，
,
~ ΔBCP坚ΔBAQ（ASA），
~BP ＝BQ，
由题意可知，AP ＝2tcm，
~BP ＝AB - AP ＝（12 - 3t）cm，
~ 12 - 2t ＝t，
解得：t ＝4，
即存在某一时刻经ACP 和经CAQ 相等，此时 t 的值为 4 .
【点评】本题是三角形综合题，考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质以及三 角形面积公式等知识，本题综合性强，熟练掌握等边三角形的性质和三角形面积公式，证明
三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型.