2023-2024学年江苏省徐州市铜山区九年级（上）期中数学试卷

这是一份2023-2024学年江苏省徐州市铜山区九年级（上）期中数学试卷，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）某校九年级8个班级向“希望工程”捐献图书，捐书情况如下：
则这组数据的众数是（ ）
A．90B．100C．120D．500
2．（3分）一元二次方程x（x+4）＝0的解是（ ）
A．﹣4B．0，﹣4C．0，4D．无实数根
3．（3分）已知点A在半径为r的⊙O内，点A与点O的距离为6，则r的取值范围是（ ）
A．r＜6B．r＞6C．r≥6D．r≤6
4．（3分）为选拔一名选手参加全国中学生游泳锦标赛自由泳比赛，我市四名中学生参加了男子100米自由泳训练，他们成绩的平均数及其方差s2如表所示：
如果选拔一名学生去参赛，应派（ ）去．
A．甲B．乙C．丙D．丁
5．（3分）如图，若AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD＝55°，则∠BCD的度数为（ ）
A．35°B．45°C．55°D．75°
6．（3分）关于抛物线y＝﹣7（x+1）2﹣2，下列说法正确的是（ ）
A．顶点坐标（1，﹣2）
B．对称轴是直线x＝1
C．x＞﹣1时y随x的增大而减小
D．开口向上
7．（3分）如图，边AB是⊙O内接正六边形的一边，点C在上，且BC是⊙O内接正八边形的一边，若AC是⊙O内接正n边形的一边，则n的值是（ ）
A．6B．12C．24D．48
8．（3分）对于一个函数，自变量x取c时，函数值y等于0，则称c为这个函数的零点．若关于x的二次函数y＝﹣x2﹣10x+m（m≠0）有两个不相等的零点x1，x2（x1＜x2），关于x的方程x2+10x﹣m﹣2＝0有两个不相等的非零实数根x3，x4（x3＜x4），则下列关系式一定正确的是（ ）
A．＞1B．0＜＜1
C．＞1D．0＜＜1
二、填空题（本大题共10小题，每小题4分，共40分；请将正确答案填在答题卡相应的位置上）
9．（4分）小丽每周每天的睡眠时间如下（单位：h）：8，9，7，9，7，8，8，则小丽该周平均每天的睡眠时间为 h．
10．（4分）若一元二次方程x2﹣2x+k﹣1＝0有两个相等的实数根，则k＝ ．
11．（4分）一只袋子里有3个白球和7个红球，这些球除颜色外都相同．搅匀后从中任意摸出一个球，则摸到红球的概率是 ．
12．（4分）某射击小组有20人，某次射击的成绩如下：
这组数据的中位数是 ．
13．（4分）二次函数y＝x2﹣2x+3图象的顶点坐标为 ．
14．（4分）某商店6月份的利润是2500元，要使8月份的利润达到3600元，设平均每月利润百分率为x，根据题意，列一元二次方程为 ．
15．（4分）一扇形的半径为60cm，圆心角为150°，若用它做成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为 cm．
16．（4分）点P（m，n）在以y轴为对称轴的二次函数y＝x2+ax﹣4的图象上，则m﹣n的最大值等于 ．
17．（4分）如图点A、B、C、D在⊙O上，且＝，E是AB延长线上一点，且BE＝AB，F是EC中点，若BF＝6cm，则BD＝ cm．
18．（4分）如图，已知直线y＝﹣x+4与x、y轴交于A、B两点，⊙O的半径为1，P为AB上一动点，PQ切⊙O于Q点．线段PQ长度的最小值是 ．
三、解答题（本大题共8题，共76分；解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（10分）解下列方程：
（1）2（x﹣1）+x（x﹣1）＝0；
（2）x2﹣2x﹣4＝0．
20．（8分）在“慈善一日捐”活动中，为了解某校学生的捐款情况，抽样调查了该校部分学生的捐款数（单位：元），并绘制成下面的统计图．
（1）本次调查的样本容量是 ，这组数据的众数为 元；
（2）求这组数据的平均数；
（3）该校共有600名学生参与捐款，请你估计该校学生的捐款总数．
21．（8分）某校合唱团为了开展线上“百人合唱一首歌”的“云演出”活动，需招收新成员．小贤、小晴、小艺、小志四名同学报名参加了应聘活动，其中小贤、小艺来自七年级，小志、小晴来自八年级．现对这四名同学采取随机抽取的方式进行线上面试．
（1）若随机抽取一名同学，恰好抽到小艺同学的概率为 ；
（2）若随机抽取两名同学，请用列表法或树状图法求两名同学均来自八年级的概率．
22．（8分）已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点A（﹣1，0），C（0，3）
（1）求二次函数的解析式；
（2）在图中，画出二次函数的图象；
（3）根据图象，直接写出当y≤0时，x的取值范围．
23．（8分）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣1，1），B（﹣4，0），C（﹣2，2）．将△ABC绕原点O顺时针旋转90°后得到△A1B1C1．
（1）画出△A1B1C1并写出A1、B1、C1三点的坐标：
A1 ，B1 ，C1 ；
（2）求点B旋转到点B1的弧长．
24．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点E在斜边AB上，以AE为直径的⊙O与BC相切于点D．
（1）求证：AD平分∠BAC；
（2）若AD＝，AE＝4，求图中阴影部分的面积．
25．（12分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0）、B（3，0），与y轴交于点C．
（1）b＝ ，c＝ ；
（2）若点D在该二次函数的图象上，且S△ABD＝2S△ABC，求点D的坐标；
（3）若点P是该二次函数图象上位于x轴上方的一点，且S△APC＝S△APB，直接写出点P的坐标．
26．（12分）已知在平面直角坐标系xOy中，直线l1分别交x轴和y轴于点A（﹣3，0），B（0，3）．
（1）如图1，已知⊙P经过点O，且与直线l1相切于点B，求⊙P的直径长；
（2）如图2，已知直线l2：y＝3x﹣3分别交x轴和y轴于点C和点D，点Q是直线l2上的一个动点，以Q为圆心，2为半径画圆．
①当点Q与点C重合时，求证：直线l1与⊙Q相切；
②设⊙Q与直线l1相交于M，N两点，连接QM，QN．问：是否存在这样的点Q，使得△QMN是等腰直角三角形，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
2023-2024学年江苏省徐州市铜山区九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是正确的，把所选答案填涂在答题卡相应位置上）
1．（3分）某校九年级8个班级向“希望工程”捐献图书，捐书情况如下：
则这组数据的众数是（ ）
A．90B．100C．120D．500
【分析】根据中位数和众数的定义直接求解即可．
【解答】解：从小到大排列此数据为：50，90，90，90，96，100，120，500，
∵90出现了3次，出现的次数最多，
∴众数是90册；
故选：A．
【点评】本题属于基础题，考查了确定一组数据的中位数和众数的能力．一些学生往往对这个概念掌握不清楚，计算方法不明确而误选其它选项，注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数．
2．（3分）一元二次方程x（x+4）＝0的解是（ ）
A．﹣4B．0，﹣4C．0，4D．无实数根
【分析】利用因式分解法把方程转化为x＝0或x+4＝0，然后解两个一次方程即可．
【解答】解：x（x+4）＝0，
x＝0或x+4＝0，
所以x1＝0，x2＝﹣4．
故选：B．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
3．（3分）已知点A在半径为r的⊙O内，点A与点O的距离为6，则r的取值范围是（ ）
A．r＜6B．r＞6C．r≥6D．r≤6
【分析】根据点与圆的位置关系即可判断．
【解答】解：∵点A在半径为r的⊙O内，点A与点O的距离为6，
∴r＞6，
故选：B．
【点评】本题考查点与圆的位置关系，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
4．（3分）为选拔一名选手参加全国中学生游泳锦标赛自由泳比赛，我市四名中学生参加了男子100米自由泳训练，他们成绩的平均数及其方差s2如表所示：
如果选拔一名学生去参赛，应派（ ）去．
A．甲B．乙C．丙D．丁
【分析】首先比较平均数，平均数相同时选择方差较小的运动员参加．
【解答】解：∵＞＞＝，
∴从乙和丙中选择一人参加比赛，
∵＜，
∴选择乙参赛，
故选：B．
【点评】本题主要考查方差，解题的关键是掌握平均数和方差的意义．
5．（3分）如图，若AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD＝55°，则∠BCD的度数为（ ）
A．35°B．45°C．55°D．75°
【分析】首先连接AD，由直径所对的圆周角是直角，即可求得∠ADB＝90°，由直角三角形的性质，求得∠A的度数，又由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可求得∠BCD的度数．
【解答】解：连接AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠ABD＝55°，
∴∠A＝90°﹣∠ABD＝35°，
∴∠BCD＝∠A＝35°．
故选：A．
【点评】此题考查了圆周角定理与直角三角形的性质．此题比较简单，注意掌握辅助线的作法，注意直径所对的圆周角是直角与在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等定理的应用．
6．（3分）关于抛物线y＝﹣7（x+1）2﹣2，下列说法正确的是（ ）
A．顶点坐标（1，﹣2）
B．对称轴是直线x＝1
C．x＞﹣1时y随x的增大而减小
D．开口向上
【分析】根据二次函数的性质即可求解．
【解答】解：∵y＝﹣7（x+1）2﹣2，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝﹣1，顶点为（﹣1，﹣2），
∴当x＞﹣1时，y随x增大而减小，
故C选项说法正确，A、B、D选项的说法错误；
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是逐个判断四个选项即可得出正确答案．
7．（3分）如图，边AB是⊙O内接正六边形的一边，点C在上，且BC是⊙O内接正八边形的一边，若AC是⊙O内接正n边形的一边，则n的值是（ ）
A．6B．12C．24D．48
【分析】根据中心角的度数＝360°÷边数，列式计算分别求出∠AOB，∠BOC的度数，则∠AOC＝15°，则边数n＝360°÷中心角．
【解答】解：连接OC，
∵AB是⊙O内接正六边形的一边，
∴∠AOB＝360°÷6＝60°，
∵BC是⊙O内接正八边形的一边，
∴∠BOC＝360°÷8＝45°，
∴∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝60°﹣45°＝15°，
∴n＝360°÷15°＝24；
故选C．
【点评】本题考查了正多边形和圆、正六边形的性质、正八边形、正二十四边形的性质；根据题意求出中心角的度数是解题的关键．
8．（3分）对于一个函数，自变量x取c时，函数值y等于0，则称c为这个函数的零点．若关于x的二次函数y＝﹣x2﹣10x+m（m≠0）有两个不相等的零点x1，x2（x1＜x2），关于x的方程x2+10x﹣m﹣2＝0有两个不相等的非零实数根x3，x4（x3＜x4），则下列关系式一定正确的是（ ）
A．＞1B．0＜＜1
C．＞1D．0＜＜1
【分析】根据题意画出关于x的二次函数y＝﹣x2﹣10x+m（m≠0）的图象以及直线y＝﹣2，根据图象即可判断．
【解答】解：由题意关于x的方程x2+10x﹣m﹣2＝0有两个不相等的非零实数根x3，x4（x3＜x4），就是关于x的二次函数y＝﹣x2﹣10x+m（m≠0）与直线y＝﹣2的交点的横坐标，
画出函数的图象草图如下：
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣5，
∴x3＜x1＜﹣5，
由图象可知：0＜＜1一定成立，
故选：D．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征，利用图象判断是解题的关键．
二、填空题（本大题共10小题，每小题4分，共40分；请将正确答案填在答题卡相应的位置上）
9．（4分）小丽每周每天的睡眠时间如下（单位：h）：8，9，7，9，7，8，8，则小丽该周平均每天的睡眠时间为 8 h．
【分析】根据平均数的定义列式计算即可求解．
【解答】解：（8+9+7+9+7+8+8）÷7＝8（h）．
故小丽该周平均每天的睡眠时间为8h．
故答案为：8．
【点评】此题考查了算术平均数，平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．
10．（4分）若一元二次方程x2﹣2x+k﹣1＝0有两个相等的实数根，则k＝ 2 ．
【分析】利用根的判别式的意义得到Δ＝（﹣2）2﹣4（k﹣1）＝0，然后解关于k的方程即可．
【解答】解：根据题意得Δ＝（﹣2）2﹣4（k﹣1）＝0，
解得k＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
11．（4分）一只袋子里有3个白球和7个红球，这些球除颜色外都相同．搅匀后从中任意摸出一个球，则摸到红球的概率是 ．
【分析】根据概率公式直接计算即可．
【解答】解：∵袋中共有10个球，其中红球7个，
∴摸到红球的概率为：．
【点评】本题考查概率公式，掌握等可能事件概率的求法是解题的关键．
12．（4分）某射击小组有20人，某次射击的成绩如下：
这组数据的中位数是 7.5 ．
【分析】根据中位数的定义先把数据从小到大的顺序排列，找出最中间的数即可得出答案．
【解答】解：因图中是按从小到大的顺序排列的，最中间的环数是7环、8环，则中位数是＝7.5（环）；
故答案为：7.5．
【点评】此题考查了中位数．注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求．如果是偶数个则找中间两位数的平均数．
13．（4分）二次函数y＝x2﹣2x+3图象的顶点坐标为 （1，2） ．
【分析】将二次函数解析式配方，写成顶点式，根据顶点式与顶点坐标的关系求解．
【解答】解：∵y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2，
∴抛物线顶点坐标为（1，2）．
故答案为：（1，2）．
【点评】本题考查了抛物线的性质．抛物线的顶点式y＝a（x﹣h）2+k的顶点坐标是（h，k）．
14．（4分）某商店6月份的利润是2500元，要使8月份的利润达到3600元，设平均每月利润百分率为x，根据题意，列一元二次方程为 2500（1+x）2＝3600 ．
【分析】如果设平均每月利润增长的百分率是x，那么7月份的利润是2500（1+x）元，8月份的利润是2500（1+x）2元，而此时利润是3600元，根据8月份的利润不变，列出方程．
【解答】解：设平均每月利润增长的百分率是x，依题意，得
2500（1+x）2＝3600．
故答案为：2500（1+x）2＝3600．
【点评】本题考查的是由实际问题抽象出一元二次方程﹣平均增长率问题．解决这类问题所用的等量关系一般是：增长前的量×（1+平均增长率）增长的次数＝增长后的量．
15．（4分）一扇形的半径为60cm，圆心角为150°，若用它做成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为 25 cm．
【分析】利用底面周长＝展开图的弧长可得．
【解答】解：＝2πr，
解得r＝25cm．
【点评】解答本题的关键是有确定底面周长＝展开图的弧长这个等量关系，然后由扇形的弧长公式和圆的周长公式求值．
16．（4分）点P（m，n）在以y轴为对称轴的二次函数y＝x2+ax﹣4的图象上，则m﹣n的最大值等于 ．
【分析】根据题意，可以得到a的值，m和n的关系，然后将m、n作差，利用二次函数的性质，即可得到m﹣n的最大值，本题得以解决．
【解答】解：∵点P（m，n）在以y轴为对称轴的二次函数y＝x2+ax﹣4的图象上，
∴a＝0，
∴n＝m2﹣4，
∴m﹣n＝m﹣（m2﹣4）＝﹣m2+m+4＝﹣（m﹣）2+，
∴当m＝时，m﹣n取得最大值，此时m﹣n＝，
故答案为：．
【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
17．（4分）如图点A、B、C、D在⊙O上，且＝，E是AB延长线上一点，且BE＝AB，F是EC中点，若BF＝6cm，则BD＝ 12 cm．
【分析】先判断出BF是△EAC的中位线，得到BF＝AC，再判断出BD＝AC，即可得出结论；
【解答】解：如图，连接AC，
∵F是EC的中点，
∴CF＝EF，
∵BE＝AB，
∴BF是△EAC的中位线，
∴BF＝AC，
∵＝，
∴+＝+，
∴＝，
BD＝AC，
∴BF＝BD，
∴BD＝2BF＝12（cm）．
故答案为：12．
【点评】主要考查了三角形的中位线定理，同圆中等弧所对的弦相等，等弧所对的圆周角相等等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
18．（4分）如图，已知直线y＝﹣x+4与x、y轴交于A、B两点，⊙O的半径为1，P为AB上一动点，PQ切⊙O于Q点．线段PQ长度的最小值是 ．
【分析】连接OQ，PO，由切线的性质得到∠PQO＝90°，由一次函数的性质得到OB＝4，OA＝，由勾股定理求出AB＝＝，由PQ＝＝，知当PO⊥AB时，PQ最小，由勾股定理即可求解．
【解答】解：连接OQ，PO，
∵PQ切圆于Q，
∴∠PQO＝90°，
当x＝0时，y＝4，
当y＝0时，0＝﹣x+4，
∴x＝，
∴OB＝4，OA＝，
∴AB＝＝，
∵PQ＝＝，
∴当PO最小时，PQ最小，
当PO⊥AB时，PO最小，
此时△AOB的面积＝OA•OB＝AB•OP，
∴4×＝OP，
∴PO＝2，
∴PQ的最小值是＝＝．
【点评】本题考查切线的性质，勾股定理，一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，关键是由勾股定理得到PO⊥AB时，PQ最小．
三、解答题（本大题共8题，共76分；解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（10分）解下列方程：
（1）2（x﹣1）+x（x﹣1）＝0；
（2）x2﹣2x﹣4＝0．
【分析】（1）先提取公因式，进而可得出x的值；
（2）利用配方法求出解即可．
【解答】解：（1）变形为（x﹣1）（2+x）＝0，
∴x﹣1＝0或2+x＝0，
解得：x1＝1，x2＝﹣2；
（2）∵x2﹣2x﹣4＝0，
∴x2﹣2x＝4，
∴x2﹣2x+1＝5，
∴（x﹣1）2＝5，
解得：．
【点评】本题考查了因式分解法和配方法解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键．
20．（8分）在“慈善一日捐”活动中，为了解某校学生的捐款情况，抽样调查了该校部分学生的捐款数（单位：元），并绘制成下面的统计图．
（1）本次调查的样本容量是 30 ，这组数据的众数为 10 元；
（2）求这组数据的平均数；
（3）该校共有600名学生参与捐款，请你估计该校学生的捐款总数．
【分析】（1）由题意得出本次调查的样本容量是6+11+8+5＝30，由众数的定义即可得出结果；
（2）由加权平均数公式即可得出结果；
（3）由总人数乘以平均数即可得出答案．
【解答】解：（1）本次调查的样本容量是6+11+8+5＝30，这组数据的众数为10元；
故答案为：30，10；
（2）这组数据的平均数为＝12（元）；
（3）估计该校学生的捐款总数为600×12＝7200（元）．
【点评】此题考查的是条形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．本题也考查了平均数、中位数、众数的定义以及利用样本估计总体的思想．
21．（8分）某校合唱团为了开展线上“百人合唱一首歌”的“云演出”活动，需招收新成员．小贤、小晴、小艺、小志四名同学报名参加了应聘活动，其中小贤、小艺来自七年级，小志、小晴来自八年级．现对这四名同学采取随机抽取的方式进行线上面试．
（1）若随机抽取一名同学，恰好抽到小艺同学的概率为 ；
（2）若随机抽取两名同学，请用列表法或树状图法求两名同学均来自八年级的概率．
【分析】（1）共有4种可能出现的结果，抽到小艺的只有1种，可求出抽到小艺的概率；
（2）用列表法表示所有可能出现的结果，进而求出两个同学均来自八年级的概率．
【解答】解：（1）共有4种可能出现的结果，抽到小艺的只有1种，
因此恰好抽到小艺的概率为，
故答案为：；
（2）用列表法表示所有可能出现的结果如下：
共有12种可能出现的结果，其中都是八年级，即抽到小志、小晴的有2种，
∴P（小志、小晴）＝＝．
【点评】本题考查列表法或树状图法求随机事件发生的概率，列举出所有可能出现的结果情况是正确解答的前提．
22．（8分）已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点A（﹣1，0），C（0，3）
（1）求二次函数的解析式；
（2）在图中，画出二次函数的图象；
（3）根据图象，直接写出当y≤0时，x的取值范围．
【分析】（1）根据二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点A（﹣1，0），C（0，3），可以求得该函数的解析式；
（2）根据（1）中求得的函数解析式可以得到该函数经过的几个点，从而可以画出该函数的图象；
（3）根据（2）中画出的函数图象，可以写出当y≤0时，x的取值范围．
【解答】解：（1）∵二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点A（﹣1，0），C（0，3），
∴，得，
即该函数的解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴该函数的顶点坐标是（1，4），开口向下，过点（﹣1，0），（3，0），（0，3），（2，3），
该函数图象如图所示；
（3）由图象可得，
当y≤0时，x的取值范围x≤﹣1或x≥3．
【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．
23．（8分）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣1，1），B（﹣4，0），C（﹣2，2）．将△ABC绕原点O顺时针旋转90°后得到△A1B1C1．
（1）画出△A1B1C1并写出A1、B1、C1三点的坐标：
A1 （1，1） ，B1 （0，4） ，C1 （2，2） ；
（2）求点B旋转到点B1的弧长．
【分析】（1）根据旋转的性质作图，即可得出答案．
（2）利用弧长公式计算即可．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．
由图可得，A1（1，1），B1（0，4），C1（2，2）．
故答案为：（1，1）；（0，4）；（2，2）．
（2）∵OB＝4，
∴点B旋转到点B1的弧长为．
【点评】本题考查作图﹣旋转变换、弧长公式，熟练掌握旋转的性质、弧长公式是解答本题的关键．
24．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点E在斜边AB上，以AE为直径的⊙O与BC相切于点D．
（1）求证：AD平分∠BAC；
（2）若AD＝，AE＝4，求图中阴影部分的面积．
【分析】（1）首先连接OD，由⊙O与BC相切于点D，在Rt△ABC中，∠C＝90°，易证得OD∥AC，又由OA＝OD，则可证得AD平分∠BAC；
（2）首先连接DE，由AE为直径，易得∠ADE＝90°，然后由勾股定理，求得DE的长，继而求得AD的长，然后由S阴影＝S扇形AOD﹣S△AOD求得答案．
【解答】（1）证明：连接OD，则OA＝OD，
∴∠DAO＝∠ODA．
∵BC是⊙O的切线，
∴OD⊥BC，
∵∠C＝90°，
即AC⊥BC，
∴OD∥AC，
∴∠CAD＝∠ODA，
∴∠DAO＝∠CAD，
∴AD平分∠BAC；
（2）解：连接ED，
∵AE为直径，
∴∠ADE＝∠C＝90°，
∵DE2＝AE2﹣AD2＝4，
∴DE＝2，
∴∠DAE＝30°，∠AOD＝120°，
∴S△AOD＝S△ADE＝×AD•DE＝××2×2＝，
∵S扇形AOD＝＝π，
∴S阴影＝S扇形AOD﹣S△AOD＝π﹣．
【点评】此题考查了切线的性质、勾股定理、等腰三角形的性质以及扇形的面积．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
25．（12分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0）、B（3，0），与y轴交于点C．
（1）b＝ ﹣2 ，c＝ ﹣3 ；
（2）若点D在该二次函数的图象上，且S△ABD＝2S△ABC，求点D的坐标；
（3）若点P是该二次函数图象上位于x轴上方的一点，且S△APC＝S△APB，直接写出点P的坐标．
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）先求出△ABC的面积，设点D（m，m2﹣2m﹣3），再根据S△ABD＝2S△ABC，得到方程求出m值，即可求出点D的坐标；
（3）分点P在点A左侧和点P在点A右侧，结合平行线之间的距离，分别求解．
【解答】解：（1）∵点A和点B在二次函数y＝x2+bx+c图象上，
则，解得：，
故答案为：﹣2，﹣3；
（2）连接BC，由题意可得：
A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3），y＝x2﹣2x﹣3，
∴S△ABC＝＝6，
∵S△ABD＝2S△ABC，设点D（m，m2﹣2m﹣3），
∴|yD|＝2×6，即×4×|m2﹣2m﹣3|＝2×6，
解得：m＝或，代入y＝x2﹣2x﹣3，
可得：y值都为6，
∴D（，6）或（，6）；
（3）设P（n，n2﹣2n﹣3），
∵点P在抛物线位于x轴上方的部分，
∴n＜﹣1或n＞3，
当点P在点A左侧时，即n＜﹣1，
可知点C到AP的距离小于点B到AP的距离，
∴S△APC＜S△APB，不成立；
当点P在点B右侧时，即n＞3，
∵△APC和△APB都以AP为底，若要面积相等，
则点B和点C到AP的距离相等，即BC∥AP，
设直线BC的解析式为y＝kx+p，
则，解得：，
则设直线AP的解析式为y＝x+q，将点A（﹣1，0）代入，
则﹣1+q＝0，解得：q＝1，
则直线AP的解析式为y＝x+1，将P（n，n2﹣2n﹣3）代入，
即n2﹣2n﹣3＝n+1，
解得：n＝4或n＝﹣1（舍），
n2﹣2n﹣3＝5，
∴点P的坐标为（4，5）．
【点评】本题考查了二次函数综合，涉及到待定系数法求函数解析式，三角形面积，平行线之间的距离，一次函数，解题的难点在于将同底的三角形面积转化为点到直线的距离．
26．（12分）已知在平面直角坐标系xOy中，直线l1分别交x轴和y轴于点A（﹣3，0），B（0，3）．
（1）如图1，已知⊙P经过点O，且与直线l1相切于点B，求⊙P的直径长；
（2）如图2，已知直线l2：y＝3x﹣3分别交x轴和y轴于点C和点D，点Q是直线l2上的一个动点，以Q为圆心，2为半径画圆．
①当点Q与点C重合时，求证：直线l1与⊙Q相切；
②设⊙Q与直线l1相交于M，N两点，连接QM，QN．问：是否存在这样的点Q，使得△QMN是等腰直角三角形，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）证明△ABC为等腰直角三角形，则⊙P的直径长＝BC＝AB，即可求解；
（2）证明CM＝ACsin45°＝4×＝2＝圆的半径，即可求解；
（3）分点M、N在两条直线交点的下方、点M、N在两条直线交点的上方两种情况，分别求解即可．
【解答】解：（1）如图1，连接BC，
∵∠BOC＝90°，∴点P在BC上，
∵⊙P与直线l1相切于点B，
∴∠ABC＝90°，而OA＝OB，
∴△ABC为等腰直角三角形，
则⊙P的直径长＝BC＝AB＝3；
（2）过点作CM⊥AB，
由直线l2：y＝3x﹣3得：点C（1，0），
则CM＝ACsin45°＝4×＝2＝圆的半径，
故点M是圆与直线l1的切点，
即：直线l1与⊙Q相切；
（3）如图3，
①当点M、N在两条直线交点的下方时，
由题意得：MQ＝NQ，∠MQN＝90°，
设点Q的坐标为（m，3m﹣3），则点N（m，m+3），
则NQ＝m+3﹣3m+3＝2，
解得：m＝3﹣；
②当点M、N在两条直线交点的上方时，
同理可得：m＝3；
故点Q的坐标为（3﹣，6﹣3）或（3+，6+3）．
【点评】本题为圆的综合运用题，涉及到一次函数、圆的切线性质等知识点，其中（2），关键要确定圆的位置，分类求解，避免遗漏．班级
一班
二班
三班
四班
五班
六班
七班
八班
册数
50
96
100
90
90
120
500
90
甲
乙
丙
丁
1′05″33
1′04″26
1′04″26
1′07″29
s2
1.1
1.1
1.3
1.6
班级
一班
二班
三班
四班
五班
六班
七班
八班
册数
50
96
100
90
90
120
500
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甲
乙
丙
丁
1′05″33
1′04″26
1′04″26
1′07″29
s2
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