2023-2024学年江苏省连云港市东海县九年级（上）期中数学试卷

这是一份2023-2024学年江苏省连云港市东海县九年级（上）期中数学试卷，共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）下列方程为一元二次方程的是（ ）
A．x﹣2＝0B．x2﹣2x﹣3C．x2﹣4x+1＝0D．xy+1＝0
2．（3分）方程3x2﹣8x﹣10＝0的二次项系数和一次项系数分别为（ ）
A．3x和﹣8xB．3x和8xC．3和﹣8D．3和8
3．（3分）已知⊙O的半径为5cm，点P在⊙O上，则OP的长为（ ）
A．4cmB．5cmC．8cmD．10cm
4．（3分）一元二次方程x2+2x＝﹣1的根的情况是（ ）
A．没有实数根
B．有一个实数根
C．有两个不相等的实数根
D．有两个相等的实数根
5．（3分）下列命题中正确的是（ ）
A．平分弦的直径垂直于弦
B．经过半径一端且与这条半径垂直的直线是圆的切线
C．平面内三点确定一个圆
D．三角形的外心到三角形的各个顶点的距离相等
6．（3分）某超市一月份的营业额为100万元，第一季度的营业额共800万元．如果平均每月增长率为x，则所列方程应为（ ）
A．100（1+x）2＝800
B．100+100×2x＝800
C．100+100×3x＝800
D．100+100（1+x）+100（1+x）2＝800
7．（3分）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，PD与⊙O相切于点D，连接OE并延长，交PD于点P，则∠P的度数是（ ）
A．36°B．28°C．20°D．18°
8．（3分）如图，矩形纸片ABCD中，AD＝18cm，把它分割成正方形纸片ABFE和矩形纸片EFCD后，分别裁出扇形ABF和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的底面和侧面，则圆锥的表面积为（ ）
A．36πcm2B．45πcm2C．54πcm2D．81πcm2
二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.）
9．（3分）方程x2﹣9＝0的解是 ．
10．（3分）已知圆的直径为10cm，且圆心到一条直线距离为4cm，则这条直线与圆的位置关系是 ．
11．（3分）已知x＝2是一元二次方程x2+mx﹣8＝0的一个根，则方程的另一个根是 ．
12．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，已知∠ADC＝140°，则∠ABC的度数是 ．
13．（3分）如图，边长为2的等边△ABC，将边BC不改变长度，变为弧BC，得到以A为圆心，AB为半径的扇形ABC，由三角形变成扇形，图形的面积 （空格处填“变大”，“变小”或“不变”）．
14．（3分）如果a是一元二次方程x2﹣3x﹣5＝0的一个根，那么代数式8﹣2a2+6a的值是 ．
15．（3分）如图，钟面上分针的长为1，从12点到12点45分，分针针尖在钟面上走过的轨迹长度 ．
16．（3分）一个圆的内接正六边形的边长4，则该圆的内接正三角形的边长为 ．
17．（3分）如图①，一个扇形纸片的圆心角为120°，半径为8．如图②，将这张扇形纸片折叠，使点A与点O恰好重合，折痕为CD，再折叠扇形纸片，使点B与点O也恰好重合，折痕恰为ED，图中阴影部分为纸片的三层重叠部分，则阴影部分的面积为 ．
18．（3分）如图，已知⊙O的半径是8，点A，B在⊙O上，且∠AOB＝120°，动点P在⊙O上运动（不与A，B重合），点Q为线段BP的中点，连接AQ，则线段AQ长度的最小值是 ．
三、解答题（本题共9小题，共96分.解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（16分）解下列方程：
（1）（x+1）2＝25；
（2）x2+4x﹣6＝0；（用配方法）
（3）2x2+3x﹣1＝0；
（4）9（x+1）2﹣（x﹣2）2＝0．
20．（8分）已知一个数与3的和的平方等于这个数的2倍与5的和，求这个数．
21．（8分）小敏同学解方程3（x﹣3）＝（x﹣3）2的过程如下：
解：方程两边同除以（x﹣3），得
3＝x﹣3，
则x＝6．
你认为小敏的解法是否正确？若正确，请对她的解答过程进行评价；若错误，请你写出正确的解答过程．
22．（8分）如图，点A，B，C都在⊙O上，且AB∥OC，BC∥OA．
（1）求证：四边形ABCO是菱形；
（2）求∠AOC的度数．
23．（10分）已知关于x的方程x2﹣4x+k＝0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若k在它的取值范围内取最大整数值，求出此时方程的解．
24．（10分）如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径作⊙O，点D为⊙O上一点，且CD＝CB，连接DO并延长交CB的延长线于点E．
（1）判断直线CD与⊙O的位置关系，并证明；
（2）若BE＝8，DE＝16，求⊙O的半径．
25．（10分）某大樱桃采摘园收费信息如表：
（1）周末，6个成人带领3个儿童组团购票进入该采摘园采摘游玩，最后又按价一共购买了15斤大樱桃，则该团需支付的总费用 元；
（2）某公司员工（均为成人）在该大樱桃采摘园组织团建活动，共支付票价221元，求这次参加团建的共多少人？
26．（12分）按要求画图．
（1）在图1中，利用直尺和圆规，作出△ABC的内切圆（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）如图2，由小正方形构成的6×6网格中，每个正方形的顶点叫做格点．△ABC的项点都在格点上，⊙O经过A、B、C三点，仅用无刻度的直尺在给定的网格中按要求作图（不写作法，保留作图痕迹）．
①在图2中，找出⊙O的圆心O．
②在图2中的BC边上找到一点D，使得AD平分∠BAC；
③在图2备用图中的⊙O上找到一点E（不与点C重合），使得AE＝AC．
27．（14分）【探究情境】在“圆周角”一课的探究活动中，李老师设计了一份活动单：
学习小组通过操作、观察、讨论后得到：点A的位置不唯一，它在以BC为弦的圆弧上（点B、C除外）……小华同学画出了符合要求的一条圆弧（如图1），即圆中的弧BAC．
【展示交流】（1）在展示交流中经过比对发现，小明同学所画的角的顶点不在小华所画的圆弧上，而在如图1所示的弓形外部，我们记为A′，请你利用图1证明∠BA′C＜30°；
【提出问题】（2）展示交流后，小华同学提出了下列新问题，请你帮助解决．
①该弧所在圆的半径长为 ；
②△ABC面积的最大值为 ；
【拓展应用】（3）课后，小华所在学习小组应用本组的探究结果，解决了下面这个问题，请你也试一试．
如图2，Rt△ABC中，∠BCA＝90°，∠CBA＝30°，AC＝4．将AB沿CB方向平移m个单位长度至DE，点A、B的对应点分别为点D、E．是否存在这样的m，使得直线DE上有一点P，满足∠CPA＝45°，且此时四边形ADEB的面积最大？若存在，求出此时的平移距离m；若不存在，说明理由．
2023-2024学年江苏省连云港市东海县九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分.）
1．（3分）下列方程为一元二次方程的是（ ）
A．x﹣2＝0B．x2﹣2x﹣3C．x2﹣4x+1＝0D．xy+1＝0
【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可．
【解答】解：A．方程x﹣2＝0是一元一次方程，故本选项不符合题意；
B．x2﹣2x﹣3是代数式，不是方程，故本选项不符合题意；
C．x2﹣4x+1＝0是关于x的一元二次方程，故本选项符合题意；
D．方程xy+1＝0含有2个未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一次未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫一元二次方程．
2．（3分）方程3x2﹣8x﹣10＝0的二次项系数和一次项系数分别为（ ）
A．3x和﹣8xB．3x和8xC．3和﹣8D．3和8
【分析】根据一元二次方程的定义求解即可．
【解答】解：方程3x2﹣8x﹣10＝0的二次项系数和一次项系数分别为3和﹣8，
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键．
3．（3分）已知⊙O的半径为5cm，点P在⊙O上，则OP的长为（ ）
A．4cmB．5cmC．8cmD．10cm
【分析】根据点与圆的位置关系解决问题即可．
【解答】解：∵点P在⊙O上，
∴OP＝r＝5cm，
故选：B．
【点评】本题考查了对点与圆的位置关系的判断．关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当d＞r时，点在圆外；当d＝r时，点在圆上，当d＜r时，点在圆内．
4．（3分）一元二次方程x2+2x＝﹣1的根的情况是（ ）
A．没有实数根
B．有一个实数根
C．有两个不相等的实数根
D．有两个相等的实数根
【分析】先把方程化为一般式，再计算根的判别式的值，然后根据根的判别式的意义判断方程根的情况．
【解答】解：方程化为x2+2x+1＝0，
∵Δ＝22﹣4×1＝0，
∴方程有两个相等的实数根．
故选：D．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系，当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．
5．（3分）下列命题中正确的是（ ）
A．平分弦的直径垂直于弦
B．经过半径一端且与这条半径垂直的直线是圆的切线
C．平面内三点确定一个圆
D．三角形的外心到三角形的各个顶点的距离相等
【分析】根据垂径定理的推论、切线的判定定理、确定圆的条件、三角形的外心的性质判断即可．
【解答】解：A、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故本选项说法错误，不符合题意；
B、经过半径外端且与这条半径垂直的直线是圆的切线，故本选项说法错误，不符合题意；
C、平面内不在同一直线上的三点确定一个圆，故本选项说法错误，不符合题意；
D、三角形的外心到三角形的各个顶点的距离相等，说法正确，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
6．（3分）某超市一月份的营业额为100万元，第一季度的营业额共800万元．如果平均每月增长率为x，则所列方程应为（ ）
A．100（1+x）2＝800
B．100+100×2x＝800
C．100+100×3x＝800
D．100+100（1+x）+100（1+x）2＝800
【分析】先得到二月份的营业额，三月份的营业额，等量关系为：一月份的营业额+二月份的营业额+三月份的营业额＝800，把相关数值代入即可．
【解答】解：∵一月份的营业额为100万元，平均每月增长率为x，
∴二月份的营业额为100×（1+x），
∴三月份的营业额为100×（1+x）×（1+x）＝100×（1+x）2，
∴可列方程为100+100×（1+x）+100×（1+x）2＝800，
故选：D．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
7．（3分）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，PD与⊙O相切于点D，连接OE并延长，交PD于点P，则∠P的度数是（ ）
A．36°B．28°C．20°D．18°
【分析】连接OD，利用切线的性质证明∠ODP＝90°，再利用正五边形的性质求出∠POD，可得结论．
【解答】解：如图，连接OD．
∵PD是⊙O的切线，
∴∠ODP＝90°，
∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠EOD＝＝72°，
∴∠P＝90°﹣∠POD＝18°．
故选：D．
【点评】本题考查正多边形与圆，切线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握正五边形的性质，切线的性质，属于中考常考题型．
8．（3分）如图，矩形纸片ABCD中，AD＝18cm，把它分割成正方形纸片ABFE和矩形纸片EFCD后，分别裁出扇形ABF和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的底面和侧面，则圆锥的表面积为（ ）
A．36πcm2B．45πcm2C．54πcm2D．81πcm2
【分析】解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系：圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长．设圆锥的底面的半径为rcm，则DE＝2rcm，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长得到，解方程求出r，然后求得直径即可．
【解答】解：设圆锥的底面的半径为rcm，则AE＝BF＝18﹣2r，
根据题意得：，
解得：r＝3，
侧面积为：，
底面积为：πr2＝π×32＝9π（cm2）
所以圆锥的表面积为：36π+9π＝45π（cm2），
故选：B．
【点评】本考查有关扇形和圆锥的相关计算，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.）
9．（3分）方程x2﹣9＝0的解是 x＝±3 ．
【分析】这个式子左边是一个平方差公式，直接分解因式即可，然后求出x．
【解答】解：x2﹣9＝0即（x+3）（x﹣3）＝0，所以x＝3或x＝﹣3．
故答案为：x＝±3．
【点评】此题主要考查了平方差公式在因式分解中的应用，比较简单．
10．（3分）已知圆的直径为10cm，且圆心到一条直线距离为4cm，则这条直线与圆的位置关系是 相交 ．
【分析】欲求直线和圆的位置关系，关键是求出圆心到直线的距离d，再与半径r进行比较．若d＜r，则直线与圆相交；若d＝r，则直线于圆相切；若d＞r，则直线与圆相离．
【解答】解：∵圆的直径为10cm，
∴圆的半径为5cm，
∵圆心到直线的距离4cm，
∴圆的半径＞圆心到直线的距离，
∴直线于圆相交，
故答案为相交．
【点评】本题考查的是直线与圆的位置关系，解决此类问题可通过比较圆心到直线距离d与圆半径大小关系完成判定．
11．（3分）已知x＝2是一元二次方程x2+mx﹣8＝0的一个根，则方程的另一个根是 ﹣4 ．
【分析】设方程的另一个根为t，利用根与系数的关系得2t＝﹣8，然后解t的方程即可．
【解答】解：设方程的另一个根为t，
根据根与系数的关系得2t＝﹣8，
解得t＝﹣4，
即方程的另一个根是﹣4．
故答案为：﹣4．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝．
12．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，已知∠ADC＝140°，则∠ABC的度数是 40° ．
【分析】根据圆内接四边形的对角互补计算即可．
【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∵∠ADC+∠ABC＝180°，
∵∠ADC＝140°，
∴∠ABC＝180°﹣140°＝40°，
故答案为：40°．
【点评】本题考查圆内接四边形性质，解题的关键是掌握圆内接四边形的对角互补．
13．（3分）如图，边长为2的等边△ABC，将边BC不改变长度，变为弧BC，得到以A为圆心，AB为半径的扇形ABC，由三角形变成扇形，图形的面积 变大 （空格处填“变大”，“变小”或“不变”）．
【分析】本题考查扇形面积、等边三角形的性质等知识，根据等边三角形和扇形的面积公式分别求出三角形、扇形的面积，比较大小即可，读懂题意是解题的关键．
【解答】解：如图，作AD⊥BC于点D，
则，
∴，
∴，
以A为圆心，AB为半径的扇形ABC的面积为，
∵，
∴由三角形变成扇形，图形的面积变大，
故答案为：变大．
【点评】本题考查了扇形的面积公式，等边三角形的性质，熟记扇形的面积公式S扇形＝lR（其中l为扇形的弧长）是关键．
14．（3分）如果a是一元二次方程x2﹣3x﹣5＝0的一个根，那么代数式8﹣2a2+6a的值是 ﹣2 ．
【分析】根据“一元二次方程的根是使这个一元二次方程两边相等的未知数的值，也叫一元二次方程的解”，求出a2﹣3a＝5，再作为整体代入8﹣2a2+6a即可求解．
【解答】解：∵a是一元二次方程x2﹣3x﹣5＝0的一个根，
∴a2﹣3a﹣5＝0，
∴a2﹣3a＝5，
∴8﹣2a2+6a＝8﹣2（a2﹣3a）＝8﹣2×5＝﹣2，
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查一元二次方程的根的定义，代数式求值，掌握一元二次方程的根的定义是解题的关键．
15．（3分）如图，钟面上分针的长为1，从12点到12点45分，分针针尖在钟面上走过的轨迹长度 ．
【分析】分针针尖在钟面上走过的轨迹为圆弧，从12点到12点45分走了圆周长的四分之三，由此计算即可．
【解答】解：由题意知，从12点到12点45分，分针针尖在钟面上走了圆周长的四分之三，
因此分针针尖在钟面上走过的轨迹长度为：，
故答案为：．
【点评】本题考查弧长公式，熟练掌握弧长公式是解题的关键．
16．（3分）一个圆的内接正六边形的边长4，则该圆的内接正三角形的边长为 ．
【分析】根据圆的内接正六边形的边长得出圆的半径，再作圆的内接正三角形，由圆的半径、边心距和正三角形的边构成直角三角形，利用勾股定理进行求解．
【解答】解：如图1，六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，
则，
又∵OA＝OB，
∴△AOB是等边三角形，
∴OA＝OB＝AB＝4，即圆的半径为4．
如图2，△GNM是⊙O的内接正三角形，连接ON，OM，作OH⊥NM于点H，
则ON＝OM＝4，，
∴，
∴，
∴，
即该圆的内接正三角形的边长为．
故答案为：．
【点评】本题考查正多边形与圆，求出圆的半径是解答本题的关键．
17．（3分）如图①，一个扇形纸片的圆心角为120°，半径为8．如图②，将这张扇形纸片折叠，使点A与点O恰好重合，折痕为CD，再折叠扇形纸片，使点B与点O也恰好重合，折痕恰为ED，图中阴影部分为纸片的三层重叠部分，则阴影部分的面积为 ．
【分析】连接OD，根据勾股定理求出CD，根据直角三角形的性质求出∠AOD，根据扇形面积公式、三角形面积公式计算，得到答案．
【解答】解：连接OD，
在Rt△OCD中，，
∴，
∴∠ODC＝30°，，
∴∠COD＝60°，
∵一个扇形纸片的圆心角为120°，
∴∠BOD＝60°，
∴阴影部分的面积＝2（S扇形AOD﹣S△AOD）＝，
故答案为：．
【点评】本题考查的是扇形面积计算、勾股定理，解直角三角形，折叠问题，解题的关键是掌握扇形面积公式．
18．（3分）如图，已知⊙O的半径是8，点A，B在⊙O上，且∠AOB＝120°，动点P在⊙O上运动（不与A，B重合），点Q为线段BP的中点，连接AQ，则线段AQ长度的最小值是 ．
【分析】取OB的中点E，连接OE，OP，可得QE为△BOP的中位线，推出，进而可得点Q的轨迹为点E为圆心，4为半径的圆，当点Q位于线段AE与⊙E的交点时，AQ取最小值，作辅助线构造直角三角形即可求解．
【解答】解：如图1，取OB的中点E，连接OE，OP，
∵点Q为线段BP的中点，点E为OB的中点，
∴QE为△BOP的中位线，
∴，
∴点Q的轨迹为以点E为圆心，4为半径的圆，
如下图所示，作AF⊥OB交BO的延长线于点F，当点Q位于线段AE与⊙E的交点时，AQ取最小值，
∵∠AOB＝120°，∠AOB＝∠F+∠OAF，
∴∠OAF＝∠AOB﹣∠F＝120°﹣90°＝30°，
∴，
∴，
在Rt△EFA中，EF＝OF+OE＝4+4＝8，，
∴，
∴，
∴线段AQ长度的最小值是，
故答案为：．
【点评】本题考查三角形中位线的性质，圆内动点的轨迹，勾股定理，圆外一点到圆上点的距离，含30度角的直角三角形的性质等，确定点Q的轨迹是解题的关键．
三、解答题（本题共9小题，共96分.解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（16分）解下列方程：
（1）（x+1）2＝25；
（2）x2+4x﹣6＝0；（用配方法）
（3）2x2+3x﹣1＝0；
（4）9（x+1）2﹣（x﹣2）2＝0．
【分析】（1）利用直接开平方法解方程；
（2）利用配方法解方程；
（3）利用公式法解方程；
（4）利用因式分解法解方程．
【解答】解：（1）（x+1）2＝25，
两边开平方，得：x+1＝±5，
即x+1＝5或x+1＝﹣5，
解得x1＝4，x2＝﹣6；
（2）x2+4x﹣6＝0，
移项，得：x2+4x＝6，
配方，得：x2+4x+4＝6+4，
即（x+2）2＝10，
两边开平方，得：，
解得，；
（3）2x2+3x﹣1＝0，
∵a＝2，b＝3，c＝﹣1，
∴Δ＝b2﹣4ac＝32﹣4×2×（﹣1）＝17＞0，
∴，
∴，；
（4）9（x+1）2﹣（x﹣2）2＝0，
变形得[3（x+1）]2﹣（x﹣2）2＝0，
因式分解，得[3（x+1）+（x﹣2）][3（x+1）﹣（x﹣2）]＝0，
即（4x+1）（2x+5）＝0，
∴4x+1＝0或2x+5＝0，
∴，．
【点评】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，熟练掌握各种方法是解答本题的关键．
20．（8分）已知一个数与3的和的平方等于这个数的2倍与5的和，求这个数．
【分析】根据已知数量关系列一元二次方程，再解方程即可．
【解答】解：设这个数为x，
由题意得：（x+3）2＝2x+5，
整理得：x2+4x+4＝0，即（x+2）2＝0，
解得x＝﹣2，
即这个数为﹣2．
【点评】本题考查一元二次方程的应用，正确列出方程是解题的关键．
21．（8分）小敏同学解方程3（x﹣3）＝（x﹣3）2的过程如下：
解：方程两边同除以（x﹣3），得
3＝x﹣3，
则x＝6．
你认为小敏的解法是否正确？若正确，请对她的解答过程进行评价；若错误，请你写出正确的解答过程．
【分析】当x﹣3＝0时，方程两边不能同时除以（x﹣3），因此解法错误，正确的解法应该是先移项，再利用因式分解法求解．
【解答】解：小敏的解法是错误的，正确解答过程如下：
3（x﹣3）＝（x﹣3）2，
移项，得：（x﹣3）2﹣3（x﹣3）＝0，
因式分解，得：（x﹣3）（x﹣3﹣3）＝0，即（x﹣3）（x﹣6）＝0，
x﹣3＝0或x﹣6＝0，
解得x1＝3，x2＝6．
【点评】本题考查解一元二次方程，掌握一元二次方程的解法是解题的关键．
22．（8分）如图，点A，B，C都在⊙O上，且AB∥OC，BC∥OA．
（1）求证：四边形ABCO是菱形；
（2）求∠AOC的度数．
【分析】（1）根据邻边相等的平行四边形是菱形证明；
（2）根据等边三角形的性质解答．
【解答】（1）证明：∵AB∥OC，BC∥OA，
∴四边形ABCO是平行四边形，
∵OA＝OC，
∴四边形ABCO是菱形；
（2）解：如图，连接OB，
∵四边形ABCO为菱形，
∴OC＝CB＝BA＝AO，
又∵OB＝OC，
∴△OBC是等边三角形，
∴∠COB＝60°，
同理∠AOB＝60°，
∴∠AOC＝∠COB+∠AOB＝120°．
【点评】本题考查圆的基本知识，菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，掌握菱形的性质定理是解题的关键．
23．（10分）已知关于x的方程x2﹣4x+k＝0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若k在它的取值范围内取最大整数值，求出此时方程的解．
【分析】（1）根据一元二次方程的根的判别式，建立关于k的不等式，求出k的取值范围；
（2）从上题中找到k的最大整数，代入方程后求解即可．
【解答】解：（1）∵一元二次方程x2﹣4x+k＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝（﹣4）2﹣4k＝16﹣4k＞0，
∴k＜4；
（2）∵k是符合条件的最大整数，
∴k＝3，
∴原方程为：x2﹣4x+3＝0，
∴（x﹣1）（x﹣3）＝0，
∴x1＝1，x2＝3．
【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式和因式分解法解方程，熟知一元二次方程的根的判别式与方程解根的关系是解题的关键．
24．（10分）如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径作⊙O，点D为⊙O上一点，且CD＝CB，连接DO并延长交CB的延长线于点E．
（1）判断直线CD与⊙O的位置关系，并证明；
（2）若BE＝8，DE＝16，求⊙O的半径．
【分析】（1）欲证明CD是切线，只要证明OD⊥CD，利用全等三角形的性质即可证明；
（2）设⊙O的半径为r，在Rt△OBE中，根据OE2＝EB2+OB2，可得（16﹣r）2＝r2+82，推出r＝6，即可解决问题．
【解答】解：（1）相切，
证明：如图，连接OC，
在△OCB与△OCD中，
，
∴△OCB≌△OCD（SSS），
∴∠ODC＝∠OBC＝90°，
∴OD⊥DC，
又∵OD为⊙O的半径，
∴DC是⊙O的切线；
（2）设⊙O的半径为r，
在Rt△OBE中，∵OE2＝EB2+OB2，
∴（16﹣r）2＝r2+82，
∴r＝6，
∴⊙O的半径为6．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系、圆周角定理、勾股定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．
25．（10分）某大樱桃采摘园收费信息如表：
（1）周末，6个成人带领3个儿童组团购票进入该采摘园采摘游玩，最后又按价一共购买了15斤大樱桃，则该团需支付的总费用 465 元；
（2）某公司员工（均为成人）在该大樱桃采摘园组织团建活动，共支付票价221元，求这次参加团建的共多少人？
【分析】（1）根据题意列出算式，即可求解；
（2）设这次参加团建的共x人，根据题意得出x[20﹣（x﹣10）]＝221，解方程，根据题意取舍x的值，即可求解．
【解答】解：（1）依题意，6×20+15×3+15×20＝465元；
故答案为：465．
（2）设这次参加团建的共x人，若x＜10，
则20x＝221，解得：x＝11.05＞10（舍去），
∴x＞10，
依题意，x[20﹣（x﹣10）]＝221，
解得：x1＝13，x2＝17，
当x＝13时，票价为：20﹣（13﹣10）＝17，
当x＝17时，票价为：20﹣（17﹣10）＝13＜15，不合题意，舍去；
答：这次参加团建的共13人．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元二次方程．
26．（12分）按要求画图．
（1）在图1中，利用直尺和圆规，作出△ABC的内切圆（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）如图2，由小正方形构成的6×6网格中，每个正方形的顶点叫做格点．△ABC的项点都在格点上，⊙O经过A、B、C三点，仅用无刻度的直尺在给定的网格中按要求作图（不写作法，保留作图痕迹）．
①在图2中，找出⊙O的圆心O．
②在图2中的BC边上找到一点D，使得AD平分∠BAC；
③在图2备用图中的⊙O上找到一点E（不与点C重合），使得AE＝AC．
【分析】（1）作△ABC任意两个角的角平分线，两条角平分线的交点即为内切圆的圆心，过圆心作一条边的垂线，得到半径，再作圆即可；
（2）①由∠ACB＝90°可得AB为直径，利用格点找出AB的中点即可得到圆心；
②利用格点找出的中点G，根据等弧所对的圆周角相等可得∠GAC＝∠GAB，即GA平分∠BAC，因此GA与BC的交点即为所求的点D；
③在格点上找到点H，使得∠ACH＝∠ABC，可得CH⊥AB，延长CH交圆于点E，由垂直定理可得＝，进而可证AE＝AC．
【解答】解：（1）如图1，⊙I即为△ABC的内切圆；
（2）①圆心O如图2.1所示；
②点D如图2.2所示；
③点E如图2.3所示．
【点评】本题属于圆的综合题，主要考查尺规作图﹣作角平分线和垂线，格点作图，三角形的内心，圆周角定理，垂直径定理等，掌握格点作图的特点，综合运用上述知识点是解题的关键．
27．（14分）【探究情境】在“圆周角”一课的探究活动中，李老师设计了一份活动单：
学习小组通过操作、观察、讨论后得到：点A的位置不唯一，它在以BC为弦的圆弧上（点B、C除外）……小华同学画出了符合要求的一条圆弧（如图1），即圆中的弧BAC．
【展示交流】（1）在展示交流中经过比对发现，小明同学所画的角的顶点不在小华所画的圆弧上，而在如图1所示的弓形外部，我们记为A′，请你利用图1证明∠BA′C＜30°；
【提出问题】（2）展示交流后，小华同学提出了下列新问题，请你帮助解决．
①该弧所在圆的半径长为 4 ；
②△ABC面积的最大值为 ；
【拓展应用】（3）课后，小华所在学习小组应用本组的探究结果，解决了下面这个问题，请你也试一试．
如图2，Rt△ABC中，∠BCA＝90°，∠CBA＝30°，AC＝4．将AB沿CB方向平移m个单位长度至DE，点A、B的对应点分别为点D、E．是否存在这样的m，使得直线DE上有一点P，满足∠CPA＝45°，且此时四边形ADEB的面积最大？若存在，求出此时的平移距离m；若不存在，说明理由．
【分析】（1）设A′B交⊙O于E，由圆周角定理知∠BAC＝∠BEC＝30°，由∠BEC是△A′EC的外角，则∠BEC＞∠A'；
（2）①设O为圆心，连接BO，CO，根据圆周角定理得到∠BOC＝60°，证明△OBC是等边三角形，可得半径；
②过点O作BC的垂线，垂足为E，延长EO，交圆于D，以BC为底，则当A与D重合时，△ABC的面积最大，求出OE，根据三角形面积公式计算即可；
（3）以AC为斜边作等腰直角△AOC，以O为圆心OC的长为半径作⊙O，当点P在优弧上时，则∠CPA＝45°，当P点与点D重合时，面积最大，得出∠CDA＝45°，则AD＝AC＝4，即可求解．
【解答】（1）证明：设A′B交⊙O于E，如图1.1，
由圆周角定理知∠BAC＝∠BEC＝30°，
∵∠BEC是△A′EC的外角，
∴∠BEC＞∠A'，
∴∠BA′C＜30°；
（2）解：①设O为圆心，连接BO，CO，
∵∠BCA＝30°，
∴∠BOC＝60°，又OB＝OC，
∴△OBC是等边三角形，
∴OB＝OC＝BC＝4，即半径为4，
故答案为：4；
②∵△ABC以BC为底边，BC＝4，
∴当点A到BC的距离最大时，△ABC的面积最大，
如图1.2，过点O作BC的垂线，垂足为E，延长EO，交圆于D，以BC为底，则当A与D重合时，△ABC的面积最大，
∴BE＝CE＝2，DO＝BO＝4，
∴OE＝＝2，
∴DE＝DO+OE＝4+2，
∴△ABC的最大面积为，
故答案为：；
（3）解：如图所示，以AC为斜边作等腰直角△AOC，以O为圆心OC的长为半径作⊙O，当点P在优弧上时，则∠CPA＝45°，
∵四边形ADEB是平行四边形，高为AC，则当AP取得最大值时，面积最大，
∴当P点与点D重合时，面积最大，
此时AD＝AC＝4，即m＝4．
【点评】本题是圆的综合题，考查了圆周角定理，三角形的面积，等边三角形的判定和性质，最值问题，解直角三角形，三角形外角的性质，勾股定理，知识点较多，难度较大，解题时要根据已知条件找到点P的轨迹成人票
儿童票
大樱桃价格
不超过10人
超过10人
15元/人
20元/斤
20元/人
每增加1人，人均票价下降1元，但不低于儿童票价．
采摘说明：购票进入采摘区的所有人员，可以边采边吃，带出采摘园的大樱桃需按价购买．
已知线段BC＝4，使用作图工具作∠BAC＝30°，尝试操作后思考：
（1）这样的点A唯一吗？
（2）点A的位置有什么特征？你有什么感悟？
成人票
儿童票
大樱桃价格
不超过10人
超过10人
15元/人
20元/斤
20元/人
每增加1人，人均票价下降1元，但不低于儿童票价．
采摘说明：购票进入采摘区的所有人员，可以边采边吃，带出采摘园的大樱桃需按价购买．
已知线段BC＝4，使用作图工具作∠BAC＝30°，尝试操作后思考：
（1）这样的点A唯一吗？
（2）点A的位置有什么特征？你有什么感悟？