第21章 一元二次方程（复习课件）-2024-2025学年九年级数学上册同步精品课堂（人教版）

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思维导图知识串讲一元二次方程的基本概念1.定义： 只含有一个未知数的整式方程，并且都可以化为 ax2＋bx＋c＝0(a，b，c为常数，a≠0)的形式，这样的方程叫做一元二次方程．2.一般形式：ax2＋bx＋c＝0(a，b，c为常数，a≠0)知识串讲3.项数和系数： ax2 ＋ bx ＋c＝0 (a，b，c为常数，a≠0)二次项： ax2 二次项系数：a一次项： bx 一次项系数：b常数项：c4.注意事项： (1)只含有一个未知数； (2)未知数的最高次数为2； (3)二次项系数不为0； (4)整式方程． 知识串讲解一元二次方程的方法x2 + px + q = 0 （p2 - 4q ≥0）(x+m)2＝n（n ≥ 0）ax2 + bx +c = 0(a≠0 ， b2 - 4ac≥0)(x + m) （x + n）＝0各种一元二次方程的解法及适用类型知识串讲考点梳理考点一：一元一次方程的定义例1若关于x的方程(m-1)x2+mx-1=0是一元二次方程，则m的取值范围是( )A. m≠1 B. m=1 C. m≥1 D. m≠0解：本题考查了一元二次方程的定义，即方程中必须保证有二次项(二次项系数不为0)，因此它的系数m-1≠0，即m≠1，故选A.A考点梳理例2解：根据一元二次方程根的定义可知，将x=0代入原方程一定会使方程左右两边相等，故只要把x=0代入就可以得到以m为未知数的方程，即m2-1=0，解得m=±1.又二次项系数不能为0，所以m≠1，即m=-1.若关于x的一元二次方程(m-1)x2+x+m2-1=0有一个根为0，则m= .-1考点梳理例3(1) 方程5x2-x-3=x2-3+x的二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 .4-20(2) 一元二次方程x2+px-2=0的一个根为2，则 p 的值为 .-1解：把 x=2代入方程 x2+px-2=0得 4+2p-2=0，解得 p=-1．刻意练习练12 －3 －1 刻意练习练2(1) 关于 x 的一元二次方程 x2 + px − 2 = 0 的一个根为 2，则 p 的值为 .(2) 若 x = −2 是方程 ax2 + bx + 3 = 0 (a ≠ 0) 的一个解，则代数式 1 − 8a + 4b 的值是 ．(3) 若 x = a 是方程 x2 − x − 1 = 0 的一个根，则 −a3 + 2a + 2025 的值为________.−120247考点梳理考点二：一元二次方程的解法例1解：配方法的关键是配上一次项系数一半的平方.用配方法解方程x2-2x-5=0时，原方程应变为( ) A. (x-1)2=6 B.(x+2)2=9 C. (x+1)2=6 D.(x-2)2=9A考点梳理例2用公式法和配方法分别解方程：x2-4x-1=0(要求写出必要解题步骤). 考点梳理例2用公式法和配方法分别解方程：x2-4x-1=0(要求写出必要解题步骤). 考点梳理例3配方法公式法直接开平方法因式分解法十字相乘法(a为1，b为偶数）(其他方法都不合适时）(左平方，右非负）（可提公因式或用平方差分解因式）(数较小时，可尝试）请为下列方程选择合适的解法考点梳理例4解方程 (x2 − 2x)2 − 5x2 + 10x + 6 = 0．解：方程整理得 (x2 − 2x)2 − 5(x2 − 2x) + 6 = 0.设 x2 − 2x = m，则原方程变为 m2 −5m + 6 = 0.解得 m1 = 3，m2 = 2.当 m = 3 时，x2 − 2x = 3，解得 x = 3 或 x = −1；刻意练习练1解：解方程x2-13x+36=0得 x1=9，x2=4，即第三边长为9或4．边长为9，3，6不能构成三角形；而4，3，6能构成三角形，所以三角形的周长为3+4+6=13，故选A．三角形两边长分别为3和6，第三边的长是方程x2﹣13x+36=0的根，则该三角形的周长为( )A.13 B.15 C.18 D.13或18A刻意练习练2菱形ABCD的一条对角线长为6，边AB的长是方程x2-7x+12=0的一个根，则菱形ABCD的周长为( ) A. 16 B. 12 C. 16或12 D. 24A解：方程x2-7x+12=0可转化为(x-3)(x-4)=0，x-3=0或 x-4=0，所以x1=3，x2=4，因为菱形ABCD的一条对角线长为6，所以边AB的长是4，所以菱形ABCD的周长为16．故选A．刻意练习练3考点梳理考点三：一元二次方程的根的判别式的应用例1A 考点梳理例2下列所给方程中，没有实数根的是( )A. x2+x=0 B. 5x2-4x-1=0 C.3x2-4x+1=0 D. 4x2-5x+2=0D 考点梳理例3考点梳理例3刻意练习练1A 练2刻意练习练3刻意练习练3考点梳理考点四：一元二次方程的根与系数的关系例1已知一元二次方程x2－4x－3＝0的两根分别为m，n，则m2－mn＋n2＝ ．25解：根据根与系数的关系可知 m+n=4，mn=-3. m2－mn＋n2=m2+n2-mn=(m+n)2-3mn=42-3 ×(-3)=25.考点梳理例2 A 考点梳理例3(1)求证：方程有两个不相等的实数根.∴方程有两个不相等的实数根.考点梳理例3(2）若△ABC的两边AB,AC的长是方程的两个实数根，第三边BC的长为5.当△ABC是等腰三角形时，求k的值.解：分两种情况：①当BC为底边时.AB=AC.即方程有两个相等的实数根.由（1）得，方程有两个不相等的实数根.∴这种情况不成立.考点梳理例3(2）若△ABC的两边AB,AC的长是方程的两个实数根，第三边BC的长为5.当△ABC是等腰三角形时，求k的值.当k+1做底边时，k=BC=5.此时三边为5,5,6.当k做底边时，k+1=BC=5.解得k=4.此时三边为5，5,4.综上，k的值为4或5.②以BC为腰时，底边是AB或AC.考点梳理例3(3）若△ABC的两边AB,AC的长是方程的两个实数根，第三边BC的长为5.当k取何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形.∴当k=3时，△ABC是以BC为斜边的 直角三角形.刻意练习练1-311.52 刻意练习练2解：(1) 根据题意得 Δ = (2m)2 − 4(m2 + m)≥0，解得 m≤0.(2) 根据题意得 x1 + x2 = −2m，x1x2 = m2 + m，故 m 的值是 −2.∴ (−2m)2 − 2(m2 + m) = 12，解得 m1 = −2，m2 = 3 (不合题意，舍去).考点梳理考点五：一元二次方程的应用例1完成下列问题，只列方程1. 如图，在宽为20m、长为32m的矩形地面上修建同样宽的小路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为540㎡求小路的宽.设小路的宽为xm.或考点梳理例12.九年级（3）班学生毕业时，每个同学都给其他同学写一份毕业留念作为纪念，全班学生共写了930份留言.设全班有x名学生.3.若AB上共有45条线段（包含AB),求线段AB上共有多少个端点？设线段AB上有x个端点.完成下列问题，只列方程考点梳理例14.已知某工厂把某种产品的年产量从2016年的100万台提高到2018年的121万台，求平均每年的增长率.设平均每年的增长率为x.5.某公司一月份营业额为10万元，第一季度总营业额为33.1万元，该公司二、三月份营业额的平均增长率为x.完成下列问题，只列方程考点梳理例16.某商品的售价为每件60元，每星期可卖出300件.市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖出20件.已知商品的进价为每件40元，商家想获得6080元的利润，应将销售单价定为多少元？设销售单价为每件x元.设销售单价为每件降了x元.或完成下列问题，只列方程考点梳理例2考点梳理例2刻意练习练1在△ABC中，∠B=90°，点P从点A开始，沿AB边以1cm/s的速度向点B移动；点Q从点B开始，沿BC边以2cm/s的速度向点C移动.如果P、Q分别从A、B两点同时出发，几秒后△PBQ的面积等于8c㎡?设运动时间为xs点P的运动路程为：AP=x点Q的运动路程为：BQ=2x分析:要关注动点的运动方向、时间、所走过的路程.刻意练习练1解：设xs后△PBQ的面积等于8.由题意得x2x6-x∴2s或4s后△PBQ的面积等于8.∴△PBQ的面积不能等于20c㎡.“能不能”方程“有没有”根刻意练习练2