江苏省南通市海门区东洲国际学校2024-2025学年九年级上学期开学考试数学试题（原卷版+解析版）

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（满分150分，考试时间120分钟）
一．选择题（每题3分，共10题，共30分）
1. 下列实数中，为无理数的是（ ）
A. 0.45B. C. D.
2. 若，则代数式的值为 ( )
A. B. C. D.
3. 已知点与点关于原点对称，则的值为（ ）
A. B. C. D.
4. 在一个不透明的盒子中装有8个白球,若干个黄球,它们除颜色不同外,其余均相同,若从中随机摸出一个球,它是白球的概率为,则黄球的个数为( )
A. 2B. 4C. 12D. 16
5. 若关于x的方程(x＋1)2＝1－k没有实根，则k的取值范围是（ ）
A. k＜1B. k＜－1C. k≥1D. k＞1
6. 解关于x的不等式，正确的结论是（ ）
A. 无解B. 解为全体实数C. 当时无解D. 当时无解
7. 如图是某射击选手5次设计成绩的折线图，根据图示信息，这5次成绩的众数、中位数分别是（ ）
A. 7、8B. 7、9C. 8、9D. 8、10
8. 如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，以BC为直径的⊙O与AD相切，点E为AD的中点，下列结论正确的个数是（ ）
（1）AB+CD=AD；（2）S△BCE=S△ABE+S△DCE；（3）AB•CD=；（4）∠ABE=∠DCE，
A. 1 B. 2C. 3 D. 4
9. 两建筑物的水平距离为米，从点测得点的俯角为，测得点的俯角为，则较低建筑物的高为（ ）
A. 米B. 米C. 米D. 米
10. 如图，正方形，的顶点，，在坐标轴上，点在上，点，在函数的图象上，则点E的坐标是（ ）
A. B.
C. D.
二．填空题（每题3分，共8题，共24分）
11. 菱形两条对角线的长分别是12和16，则它的边长为________，面积为________．
12. 如果反比例函数y＝(k是常数，k≠0)图象经过点(2，3)，那么在这个函数图象所在的每个象限内，y的值随x值的增大而____．(填“增大”或“减小”)
13. 函数中自变量x的取值范围是__．
14. 小聪准备测量河水的深度，他把一根竹竿插到离岸边远的水底，竹竿高出水面，把竹竿的顶端拉向岸边，竹竿顶和岸边的水面刚好相齐，则河水的深度为__________．
15. 把抛物线y=ax2+bx+c的图象先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得图象的解析式是则________．
16. 若；
；
；
则________．
17. 如图，含有的直角三角形，，，将绕点逆时针旋转得到，使得点落在边上的点处，过点的直线，则________．
18. 在边长为2cm的正方形ABCD中，点Q为BC边的中点，点P为对角线AC上一动点，连接PB、PQ则△PBQ周长的最小值为___．
三．解答题（共96分）
19. 计算或解方程
（1）；
（2）．
20. 如图，已知的内接，为直径，于点，连接．
求证：．
21. 如图，已知线段a．
（1）只用直尺（没有刻度）和圆规，求作一个直角三角形，以和分别为两条直角边，使，（要求保留作图痕迹，不必写出作法）；
（2）若在（1）作出的中，，求边上的高．
22. 在一个不透明的口袋里装有颜色不同的黄、白两种颜色的球共5只，某学习小组做摸球实验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动中的一组统计数据：
（1）请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近________；（精确到0.1）
（2）试估算口袋中白球有多少只？
（3）请你设计一个增（减）袋中白球或黄球球个数的方案，使得从袋中摸出一个球，这只球是黄球的概率大于是白球的概率．
23. 关于x的方程有两个不相等的实数根．
（1）求实数k的取值范围；
（2）设方程两个实数根分别为，存不存在这样的实数k，使得？若存在，求出这样的k值；若不存在，说明理由．
24. 新农村社区改造中，有一部分楼盘要对外销售．某楼盘共23层，销售价格如下：第八层楼房售价为4 000元/米2，从第八层起每上升一层，每平方米的售价提高50元；反之，楼层每下降一层，每平方米的售价降低30元，已知该楼盘每套房面积均为120米2.
若购买者一次性付清所有房款，开发商有两种优惠方案：
(方案一)降价8%，另外每套房赠送a元装修基金；
(方案二)降价10%，没有其他赠送．
(1)请写出售价y(元/米2)与楼层x(1≤x≤23，x取整数)之间的函数表达式；
(2)老王要购买第十六层的一套房，若他一次性付清所有房款，请帮他计算哪种优惠方案更加合算．
25. 在中，，经过点的与斜边相切于点．
（1）如图①，当点上时，试说明；
（2）如图②，，当点O在外部时，求长取值范围．
26. 二次函数的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：
（1）填空：
①表中的________；
②二次函数有最________值；
③若点，、，是该函数图象上的两点，且，，试比较大小：_____；
（2）求关于x的方程的根；
（3）若自变量x的取值范围是，则函数值y的取值范围是________．
27. 已知：关于的函数．
（1）当为任意实数时，这个函数的图象恒过某定点（所谓定点，就是与值无关的点），求此点坐标；
（2）若此函数图象是抛物线，且与轴有两个相异交点、，其坐标分别为，，其中，
①求的取值范围，并求当为何值时，、两点的距离等于；
②连接、得，则当取何值时，的一个内角等于．
摸球的次数n
100
150
200
500
800
1000
摸到白球的次数m
58
96
116
295
484
601
摸到白球的频率
0.58
0.64
0.58
0.59
0.605
0.601
0
2
5
1
1