人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.3 直线的交点坐标与距离公式导学案

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.3 直线的交点坐标与距离公式导学案，文件包含2024-2025学年精品同步讲义数学选择性必修第一册人教A版2019第19讲23直线的交点坐标与距离公式Word版含解析docx、2024-2025学年精品同步讲义数学选择性必修第一册人教A版2019第19讲23直线的交点坐标与距离公式Word版无答案docx等2份学案配套教学资源，其中学案共72页， 欢迎下载使用。
+2.3.3点到直线的距离公式+2.3.4两条平行线间的距离公式）
知识点01：两条直线的交点坐标
直线：（）和：（）的公共点的坐标与方程组的解一一对应.
与相交方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解；
与平行方程组无解；
与重合方程组有无数个解.
【即学即练1】（2023·江苏·高二假期作业）分别判断下列直线与是否相交．如果相交，求出交点的坐标．
(1)，；
(2)，；
(3)，．
【答案】(1)相交，交点坐标为
(2)不相交
(3)不相交
【详解】（1）解方程组，得，
所以与相交，交点坐标为．
（2）解方程组，方程组无解，
所以与无公共点，即与不相交．
（3）解方程组，
因为方程可化为，
所以方程组有无数组解，
所以与有无数个公共点，即与不相交．
知识点02：两点间的距离
平面上任意两点，间的距离公式为
特别地，原点与任一点的距离.
【即学即练2】（2023·江苏·高二假期作业）已知点与点间的距离为，则________．
【答案】9或
【详解】由，
得，
即，解得或．
故答案为：9或.
知识点03：点到直线的距离
平面上任意一点到直线：的距离.
【即学即练3】（2023春·上海青浦·高二统考期末）点到直线的距离为__________．
【答案】
【详解】由点到直线的距离公式，可得点到直线的距离为.
故答案为：.
知识点04：两条平行线间的距离
一般地，两条平行直线：（）和：（）间的距离.
【即学即练4】（2023秋·广西河池·高二统考期末）已知直线，相互平行，则、之间的距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】因为直线，相互平行，
所以，解得，
所以，即，
所以、之间的距离.
故选：A.
知识点05：对称问题
1、点关于点对称问题(方法：中点坐标公式)
求点关于点的对称点
由：
2、点关于直线对称问题（联立两个方程）
求点关于直线：的对称点
①设中点为利用中点坐标公式得，将代入直线：中；
②
整理得：
【即学即练5】（2023秋·高二课时练习）若点关于直线对称，则_________；__________．
【答案】 4 2
【详解】依题意，直线的斜率为，线段的中点，
于是，整理得，解得，
所以.
故答案为：4；2
3、直线关于点对称问题(求关于点的对称直线，则）
方法一：在直线上找一点，求点关于点对称的点，根据，再由点斜式求解；
方法二：由，设出的直线方程，由点到两直线的距离相等求参数.
方法三：在直线任意一点，求该点关于点对称的点，则该点在直线上.
【即学即练6】（2023·高二单元测试）直线关于点的对称直线方程是______．
【答案】
【详解】设对称直线为，
则有，即
解这个方程得（舍）或.
所以对称直线的方程中.
故答案为：.
4、直线关于直线对称问题
4.1直线：（）和：（）相交,求关于直线的对称直线
①求出与的交点
②在上任意取一点(非点），求出关于直线的对称点
③根据，两点求出直线
4.2直线：（）和：（）平行,求关于直线的对称直线
①
②在直线上任取一点，求点关于直线的对称点，利用点斜式求直线.
【即学即练7】（2023·高二课时练习）求直线关于直线对称的直线的方程．
【答案】
【详解】联立两直线方程，解得，即两直线的交点为，
取直线：上一点，设其关于直线：的对称点，
则，解得，即，
因为所求直线过，，方程为，
即.
【即学即练8】（2023春·上海宝山·高二上海市吴淞中学校考期中）直线关于直线对称的直线方程为________
【答案】
【详解】设所求直线方程为，且，
直线与直线间的距离为，
则直线与直线间的距离为，又，得，
所以所求直线方程为，
故答案为：.
题型01求直线交点坐标
【典例1】（2023·江苏·高二假期作业）直线与直线的交点坐标是（ ）
A．(2,0)B．(2,1)
C．(0,2)D．(1,2)
【典例2】（2023秋·高二课时练习）若直线与直线的交点位于第一象限，则实数的取值范围是（ ）
A．或B．C．D．
【变式1】（2023秋·天津·高二校联考期末）过直线和的交点，且与直线垂直的直线方程是（ ）．
A．B．
C．D．
【变式2】（2023·高二课时练习）若直线与直线相交且交点在第二象限内，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
题型02由方程组解的个数判断直线的位置关系
【典例1】（2023秋·高二课时练习）判断下列各对直线的位置关系．如果相交，求出交点坐标．
(1)直线；
(2)直线．
【典例2】（2022·上海·高三专题练习）若关于、的方程组无解，则实数________
【变式1】（2022·高二课时练习）若关于的二元一次方程组有无穷多组解，则______．
【变式2】（2022·高二课时练习）关于､的二元一次方程组有无穷多组解，则与的积是_____.
题型03由直线交点的个数求参数
【典例1】（2022秋·广东广州·高二广州市第一一三中学校考阶段练习）直线与直线相交，则实数的值为（ ）
A．或B．或C．或D．且
【典例2】（2022·高二校联考课时练习）若关于，的方程组有唯一解，则实数满足的条件是________.
【典例3】（2022·高二校联考课时练习）已知三条直线，，.
（1）若直线，，交于一点，求实数的值；
（2）若直线，，不能围成三角形，求实数的值.
【变式1】（2022·江苏·高二专题练习）若三条直线，与共有两个交点，则实数的值为（ ）
A．1B．-2C．1或-2D．-1
【变式2】（2022·高二课时练习）三条直线､､有且只有两个交点，求实数的值.
题型04由直线的交点坐标求参数
【典例1】（2023秋·高一单元测试）若直线与直线的交点在第四象限，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【典例2】（2023·高二课时练习）若直线与直线的交点在第一象限，则实数的取值范围是___________.
【变式1】（2023·江苏·高二假期作业）若三条直线和交于一点，则的值为（ ）
A．B．C．3D．
【变式2】（2023·江苏·高二假期作业）两直线和的交点在轴上，则的值是（ ）
A．-24B．6C．±6D．24
题型05三线围成三角形问题
【典例1】（2023秋·高二课时练习）使三条直线不能围成三角形的实数的值最多有几个（ ）
A．3个B．4个C．5个D．6个
【典例2】（2023·江苏·高二假期作业）若三条直线，，能构成三角形，求应满足的条件．

【变式1】（多选）（2023·全国·高二专题练习）三条直线，，构成三角形，则的值不能为（ ）
A．B．
C．D．－2
【变式2】（2023秋·浙江宁波·高二期末）若三条直线与能围成一个直角三角形，则__________．
题型06直线交点系方程及其应用
【典例1】（2023·江苏·高二假期作业）设直线经过和的交点，且与两坐标轴围成等腰直角三角形，则直线的方程为___________.
【典例2】（2022·高二课时练习）已知两直线和的交点为．求：
(1)过点与的直线方程；
(2)过点且与直线平行的直线方程．
【变式1】（2022秋·高二课时练习）过两直线和的交点和原点的直线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【变式2】（2022·高二单元测试）已知直线：（）．求证：直线恒过定点，并求点的坐标．
【变式3】（2022·高二课时练习）直线经过直线的交点，且与坐标轴围成的三角形是等腰直角三角形，求直线的方程.
题型07求两点间的距离公式
【典例1】（2023·江苏·高二假期作业）已知，两点分别在两条互相垂直的直线和上，且线段的中点为，则线段的长为（ ）
A．11B．10C．9D．8
【典例2】（2023·全国·高三专题练习）已知直线过定点，直线过定点，与相交于点，则（ ）
A．10B．13C．16D．20
【变式1】（2023秋·高二课时练习）已知，点在轴上，且，则点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（2023·江苏·高二假期作业）直线和直线分别过定点和，则|________．
【变式3】（2023·高三课时练习）如图，是边长为1的正三角形，，分别为线段，上一点，满足，，与的交点为，则线段的长度为___________.
题型08距离公式的应用
【典例1】（2023春·江西·高三校联考开学考试）费马点是指三角形内到三角形三个顶点距离之和最小的点.当三角形三个内角均小于120°时，费马点与三个顶点连线正好三等分费马点所在的周角，即该点所对的三角形三边的张角相等且均为120°.根据以上性质，.则的最小值为（ ）
A．4B．C．D．
【典例2】（2022秋·福建·高二校联考期中）著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，割裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为点到点的距离，则的最小值为（ ）．
A．3B．C．D．
【典例3】（2022秋·甘肃嘉峪关·高二校考期中）函数的最小值是_____________.
【变式1】（2023·全国·高三专题练习）费马点是指三角形内到三角形三个顶点距离之和最小的点.当三角形三个内角均小于时，费马点与三个顶点连线正好三等分费马点所在的周角，即该点所对的三角形三边的张角相等均为.根据以上性质， 的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（2022秋·北京·高二北京工业大学附属中学校考期中）著名数学家华罗庚曾说过：“数无形时少直觉，形少数时难入微.”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点的距离.结合上述观点，可得的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【变式3】（2023·江苏·高二假期作业）某同学在研究函数的性质时，联想到两点间的距离公式，从而将函数变形为，求得的最小值为________．
题型09求点到直线的距离
【典例1】（2023·重庆·高二统考学业考试）点(1,1)到直线的距离是（ ）
A．1B．2C．
【典例2】（2023春·上海浦东新·高二统考期中）已知动点在直线上，则的最小值为_________.
【变式1】（2023春·贵州黔东南·高二校考阶段练习）点在直线上，为原点，则的最小值是（ ）
A．1B．2C．D．
【变式2】（2023春·辽宁·高二校联考阶段练习）已知圆经过点，则点到圆心的距离的最小值为（ ）
A．2B．C．D．1
题型10 已知点到直线的距离求参数
【典例1】（2023秋·高二课时练习）已知到直线的距离等于3，则的值为（ ）
A．B．或C．或D．
【典例2】（2023·全国·高三专题练习）已知直线上存在一点，满足，其中为坐标原点.则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【典例3】（2023春·河南南阳·高二校联考阶段练习）求满足下列条件的直线的一般式方程：
(1)经过直线,的交点，且经过点；
(2)与直线垂直，且点到直线的距离为．
【变式1】（2023秋·广东广州·高二统考期末）已知点到直线的距离为1，则的值为（ ）
A或B．或15
C．5或D．5或15
【变式2】（2023秋·浙江湖州·高二统考期末）已知点到直线的距离为1，则的值为（ ）
A．或B．或15C．5或D．5或15
【变式3】（2023·江苏·高二假期作业）已知点到直线的距离为，则等于（ ）
A．B．C．D．
题型11求点关于直线的对称点
【典例1】（2023秋·四川遂宁·高二统考期末）已知点与点关于直线对称，则点的坐标为（ ）
A．B．
C．D．
【典例2】（2023秋·上海长宁·高二上海市延安中学校考期末）已知，两点关于直线对称，则点的坐标为______.
【变式1】（2023·全国·高三对口高考）点关于直线的对称点的坐标为_________．
【变式2】（2023·高二课时练习）若点关于直线对称的点是，求、的值．
题型12求到两点距离相等的直线方程
【典例1】（2023春·湖南长沙·高二浏阳一中校考开学考试）已知两点到直线的距离相等，则（ ）
A．2B．C．2或D．2或
【典例2】（2023·高二课时练习）已知点，到直线的距离都等于2，求直线的方程．
【变式1】（2023·全国·高三对口高考）过点且和的距离相等的直线方程是_________．
【变式2】（2023·高三课时练习）已知点，若直线过点，且、到直线的距离相等，则直线的方程为______.
题型13直线关于直线对称
【典例1】（2023春·湖北武汉·高二华中科技大学附属中学校考阶段练习）如果直线与直线关于直线对称，那么（ ）
A．B．C．D．
【典例2】（2023·全国·高三专题练习）两直线方程为，，则关于对称的直线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【典例3】（2023·高二课时练习）如果直线与直线关于轴对称，那么直线的方程是______．
【典例4】（2023·全国·高三专题练习）直线关于直线对称的直线方程是________.
【变式1】（2023·全国·高三专题练习）直线关于轴对称的直线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【变式2】（2023·全国·高三专题练习）求直线关于直线对称的直线方程（ ）
B．
C．D．
【变式3】（2023·高二课时练习）如果直线与直线关于直线对称，那么______，______．
【变式4】（2023·四川遂宁·统考模拟预测）若直线与关于直线对称，则实数a=______.
题型14平行线间的距离问题
【典例1】（2023秋·高二课时练习）两条平行直线与间的距离为（ ）
A．B．2C．14D．
【典例2】（2023春·河南周口·高二校联考阶段练习）已知两条直线，，且，当两平行线距离最大时，（ ）
A．3B．4C．5D．6
【典例3】（2023秋·高一单元测试）若两条平行直线与之间的距离是，则__________．
【变式1】（2023春·河南南阳·高二校联考阶段练习）若平面内两条平行线：，：间的距离为，则实数（ ）
A．2B．－2或1C．－1D．－1或2
【变式2】（2023·安徽黄山·屯溪一中校考模拟预测）若直线与之间的距离为，则a的值为（ ）
A．4B．C．4或D．8或
【变式3】（2023春·河南洛阳·高二校考阶段练习）两条平行线，间的距离等于（ ）
A．B．C．D．
题型15直线关于点对称的直线
【典例1】（2023·高二课时练习）关于原点对称的直线是（ ）
A．B．C．D．
【典例2】（2023·全国·高三专题练习）直线关于点对称的直线方程为（ ）
A．4x＋3y－4＝0B．4x＋3y－12＝0
C．4x－3y－4＝0D．4x－3y－12＝0
【典例3】（2023·高二课时练习）直线关于点对称的直线方程是______．
【变式1】（2023·全国·高三专题练习）直线关于点对称的直线的方程为（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（2023秋·高二课时练习）直线关于点对称的直线方程为__________．
题型16将军饮马问题
【典例1】（2023·全国·高三专题练习）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线的方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（ ）
A．B．5C．D．
【典例2】（2023·高二课时练习）已知点和，在直线上找一点，使最小，并求这个最小值．
【变式1】（2023春·四川资阳·高三四川省乐至中学校考开学考试）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题—“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（2023春·上海闵行·高二校考阶段练习）函数的值域为__________.
A夯实基础 B能力提升 C综合素养
A夯实基础
一、单选题
1．（2023·江苏·高二假期作业）已知点，，则A，B两点的距离为（ ）
A．25B．5
C．4D．
2．（2023春·江苏镇江·高二统考期中）已知，，，则是（ ）
A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形
3．（2023春·广西玉林·高二统考期中）已知两条直线，，则这两条直线之间的距离为（ ）
A．2B．3C．5D．10
4．（2023·全国·高三专题练习）若点到直线的距离为（ ）
A．2B．3C．D．4
5．（2023春·重庆南岸·高二重庆市第十一中学校校考期中）已知直线：过定点，则点到直线：距离的最大值是（ ）
A．1B．2C．D．
6．（2023·贵州毕节·统考模拟预测）直线，直线，下列说法正确的是（ ）
A．，使得B．，使得
C．，与都相交D．，使得原点到的距离为3
7．（2023·全国·高三专题练习）十九世纪著名德国犹太人数学家赫尔曼闵可夫斯基给出了两点，的曼哈顿距离为.我们把到三角形三个顶点的曼哈顿距离相等的点叫“好点”，已知三角形的三个顶点坐标为，，，则的“好点”的坐标为（ ）
A．B．C．D．
8．（2023秋·广东河源·高二龙川县第一中学校考期末）过点引直线，使，，两点到直线的距离相等，则直线方程是（ ）
A．B．
C．或D．或
二、多选题
9．（2023春·江苏盐城·高二盐城市大丰区南阳中学校考阶段练习）已知直线：，：（），则（ ）
A．直线过定点B．当时，
C．当时，D．当时，两直线，之间的距离为3
10．（2023秋·湖南长沙·高二校考期末）若直线不能构成三角形，则的取值为（ ）
A．B．C．D．
三、填空题
11．（2023·江苏·高二假期作业）已知定点，若直线上总存在点，满足条件，则实数的取值范围为________．
12．（2023春·上海静安·高二上海市新中高级中学校考期中）光线沿着直线射到直线上，经反射后沿着直线射出，则实数______．
四、解答题
13．（2023春·上海黄浦·高二上海市大同中学校考期中）已知的三个顶点，，.
(1)求直线的方程；
(2)求的面积.
14．（2023·全国·高三对口高考）已知三条直线、和且与的距离是．
(1)求的值；
(2)已知点到直线的距离与点到直线的距离之比是，试求出点的轨迹方程．
能力提升
1．（2023·全国·高三专题练习）直线的方程为，当原点到直线的距离最大时，的值为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023春·江苏常州·高一江苏省前黄高级中学校考开学考试）17世纪法国数学家费马在给朋友的一封信中曾提出一个关于三角形的有趣问题：在三角形所在平面内，求一点，使它到三角形每个顶点的距离之和最小．现已证明：在中，若三个内角均小于，则当点满足时，点到三角形三个顶点的距离之和最小，点被人们称为费马点．根据以上知识，已知为平面内任意一个向量，和是平面内两个互相垂直的向量，且，则的最小值是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2023秋·上海奉贤·高二校考期末）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程是（ ）
A．2B．3C．4D．5
4．（2023秋·上海浦东新·高二校考期末）已知正实数满足，则的取最小值___________.
C综合素养
1．（2023秋·辽宁葫芦岛·高二葫芦岛第一高级中学校考期末）线从出发，经两直线反射后，仍返回到点.则光线从P点出发回到P点所走的路程长度（即图中周长）为_________.
2．（2023春·上海嘉定·高二上海市育才中学校考期中）已知直线和，
(1)求与l1与l2距离相同的点的轨迹；
(2)过l1与l2交点作一条直线l，使它夹在两平行线与之间的线段长为，求直线l的方程．
3．（2023·高三课时练习）已知、，设过点的直线与的边交于点（点与不重合），与边交于点，如图所示.
(1)求的面积关于直线的斜率的函数关系式；
(2)当为何值时，取最大值，并求出此最大值.课程标准
学习目标
①掌握两条直线的位置关系中的相交几何意义，并能根据已知条件求出两条直线的交点坐标，并能根据两条直线相交的性质求待定参数。
②会求平面内点与直线的距离，并能解决与距离有关的平面几何问题。
③.会用两点间的距离公式求平面内两点间的距离.。
④能应用公式求两平行线间的距离，以此解决与平面距离有关的综合问题。
1.会求两条直线的交点坐标，通过两条直线相交的性质，解决与直线相交有关的问题；
2.掌握利用向量法推导两点间距离公式的方法，并能用两点间距离公式求两点间的距离，以及解决与平面距离相关的问题；
3.会用公式解决与点到直线距离有关的问题，并能解决与之相关的综合问题；
4.熟练应用公式求平面内两平行线间的距离，以及与距离有关的参数的求解，能处理平面内与距离有关的问题.；