2025高中数学选择性必修第一册人教A版2019同步讲义第12讲第一章空间向量与立体几何测评卷（基础卷）（Word版附解析）

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第一章 空间向量与立体几何 章节验收测评卷(基础卷） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（2023春·江苏徐州·高二统考期中）已知，，且，则x的值为（    ）A． B． C．6 D．－6【答案】D【详解】因为，所以，解得.故选：D.2．（2023春·福建龙岩·高二校联考期中）如图，在直三棱柱中，E为棱的中点.设，，，则（    ）  A． B．C． D．【答案】A【详解】由题意可得.故选：A.3．（2023春·浙江杭州·高二学军中学校考阶段练习）如图，某圆锥的轴截面是等边三角形，点B是底面圆周上的一点，且，点M是的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（    ）A． B． C． D．【答案】A【详解】以过点O且垂直于平面的直线为x轴，直线分别为y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．不妨设，则根据题意可得，所以，设异面直线与所成角为，则．故选：A.4．（2023秋·辽宁辽阳·高二校联考期末）向量在向量上的投影向量为（    ）A． B． C． D．【答案】C【详解】向量在向量上的投影向量为.故选：C.5．（2023·江苏扬州·扬州中学校考模拟预测）定义两个向量与的向量积是一个向量，它的模，它的方向与和同时垂直，且以的顺序符合右手法则（如图），在棱长为2的正四面体中，则（    ）A． B．. C． D．【答案】D【详解】设,则，过作平面，则为三角形的外心，所以，进而,由于与共线，且方向相同，则，故选：D  6．（2023春·安徽池州·高二池州市第一中学校联考阶段练习）已知直线l的方向向量，平面α的法向量，平面β的法向量，若直线平面α，则直线l与平面β所成角的余弦值为（    ）A． B． C． D．【答案】A【详解】依题意，，得，故；而直线l与平面β所成角的正弦值，故所求余弦值.故选：A7．（2023·湖北·模拟预测）如图所示的多面体是由底面为的长方体被截面所截得到的，其中，，，，则点到平面的距离为（    ）A． B． C． D．【答案】C【详解】以D为原点，分别以DA，DC，DF所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系D-xyz，则，∴，.设为平面的法向量，，由，得，令z=1，∴，所以.又，∴点C到平面AEC1F的距离d=.故选：C.8．（2023春·高三统考阶段练习）重庆南滨路钟楼地处长江与嘉陵江交汇处，建筑通过欧式风格将巴渝文化和开埠文化结合，展示了重庆的悠久历史。如图所示，可以将南滨路钟楼看作一个长方体，四个侧面各有一个大钟，则从到这段时间内，相邻两面钟的分针所成角为的次数为（    ）    A． B． C． D．【答案】D【详解】在长方体中，以点为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴建立如图的空间直角坐标系．设分针长为，矩形的对角线的交点为，矩形的对角线的交点为，考察到这个时间段，设时刻，侧面，内的钟的分针的针点的位置分别为，，设，其中，则，，由已知可得，则，因为，故的取值为，，，，即在到这个时间段，相邻两面钟的分针所成角为的次数为4，因此，从到这段时间内，相邻两面钟的分针所成角为的次数为8．故选：．  二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9．（2023春·高二课时练习）关于空间向量，以下说法不正确的是（    ）A．向量，，若，则B．若对空间中任意一点，有，则，，，四点共面C．设是空间中的一组基底，则也是空间的一组基底D．若空间四个点，，，，，则，，三点共线【答案】AC【详解】对于A，向量，，若，若向量，均为非零向量，则由向量垂直的性质可得；若向量，其中一个为零向量，则与不垂直，故A错误；对于B，若对空间中任意一点，有，因为，所以，，，四点共面，故B正确；对于C，设是空间中的一组基底，由向量的加法法则可知：，所以不能构成空间的一组基底，故C错误；对于D，若空间四个点，，，，，由共线向量定理可知：，，三点共线，故D正确，故选：.10．（2023·湖北十堰·统考二模）《九章算术》中，将上、下底面为直角三角形的直三棱柱叫做堑堵，在如图所示的堑堵中，，则（    ）．A．B．C．向量在向量上的投影向量为D．向量在向量上的投影向量为【答案】BD【详解】因为，故A不正确，B正确．如图所示，故D作DU垂直BC，过U作VU垂直AB，UW垂直AC，故向量在向量上的投影向量为,向量在向量上的投影向量为，由题意易得故，C不正确． ，D正确．故选：BD11．（2023春·福建莆田·高二莆田第十中学校考阶段练习）已知空间向量，则（    ）A． B．是共面向量C． D．【答案】ABC【详解】，A项正确；设，即，解得，，即，所以，，共面，B项正确；，所以，C项正确；，D项错误.故选：ABC.12．（2023春·广东广州·高二广东番禺中学校考期中）如图，正方体的棱长为2，动点分别在线段上，则（    ）A．异面直线和所成的角为B．点到平面的距离为C．若分别为线段的中点，则平面D．线段长度的最小值为【答案】BCD【详解】因为，所以异面直线和所成的角即为和所成的角，因为，所以为等边三角形，即，故错误.连接如图所示：点到平面的距离为，因为，所以.因为，所以，所以点到平面的距离为，故B正确，当分别为线段的中点时，则为的中位线，所以，又平面，平面，所以平面，故C正确.以为坐标原点，分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示：则，设，，所以，所以，设，，又所以，所以，所以当时，有最小值，即，故D选项正确，故选：BCD.三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分，其中第16题第一空2分，第二空3分.）13．（2023·高二校考课时练习）已知，，且与的夹角为钝角，则的取值范围是_________.【答案】【详解】因为与的夹角为钝角，，解得，由题意得与不共线，则，解得，的取值范围是.故答案为：14．（2023秋·河南南阳·高二统考期末）如图，已知四棱柱的底面是边长为1的正方形，且，，则______．【答案】【详解】设 ，，， 则 ， 底面是边长为1的正方形，且，， 则有，，，，，，则 ，所以.故答案为：15．（2023春·江苏徐州·高二统考期中）在直四棱柱中，底面是边长为2的正方形，．点是侧面内的动点（不含边界），，则与平面所成角的正切值的取值范围为__________．【答案】【详解】如图所示建立空间直角坐标系，则，，设，得，，由题意得，故，得，故点轨迹是以为圆心，1为半径的圆在正方形内的部分，由题可知为的中点，如图，当共线时，取得最小值为，而，所以，因为平面，所以与平面所成角即为，所以，故答案为：.16．（2023春·福建莆田·高二莆田华侨中学校考期中）在如图所示的三棱锥中，平面，，，，为中点，为内的动点（含边界），且.当在上时，________；点的轨迹的长度为________.【答案】 【详解】因为平面，平面，所以，又，所以，又平面，所以平面，过，如图建立空间直角坐标系，则，设，所以，则①当在上时，设，因为，所以，故，则所以；②为内的动点（含边界）时，如图，取中点，过作，垂足为由①可得，又，平面，所以平面，因为平面，所以即在线段上运动时，，点的轨迹为线段．则．故答案为：；.四、解答题（本题共6小题，共70分，其中第17题10分，其它每题12分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）17．（2023秋·江西抚州·高二统考期末）如图在边长是2的正方体中，E，F分别为AB，的中点．（1）求异面直线EF与所成角的大小．（2）证明：平面．【答案】（1）；（2）证明见解析．【详解】据题意，建立如图坐标系．于是：，，，，，∴，，，．（1），∴∴异面直线EF和所成的角为．（2）∴，即，∴即．又∵，平面且∴平面．18．（2023春·贵州黔东南·高二校考阶段练习）如图，在棱长为3的正方体中，点是棱上的一点，且，点是棱上的一点，且．(1)求异面直线与所成角的余弦值；(2)求直线到平面的距离．【答案】(1)(2)【详解】（1）建立如图所示的空间直角坐标系，，，所以，所以异面直线与所成角的余弦值为；（2）连接，显然，因为， ．所以，于是，因为平面，平面，所以平面，因此直线到平面的距离就是点到平面的距离，设平面的法向量为，，则有，，点到平面的距离为：.19．（2023春·黑龙江鸡西·高二鸡西实验中学校考期中）如图所示，四棱锥的底面是矩形，底面，，，，．(1)证明：平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值．【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）由题意知，，，两两互相垂直，以为原点，，，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，所以，．底面，底面，又，，且平面,平面，所以是平面的一个法向量．因为，所以．又平面，所以平面．（2）因为，，，，，所以，，，设平面的法向量为，则由，解得，令，得平面的一个法向量为．设直线与平面所成的角为，则．故：直线与平面所成角的正弦值为．20．（2023·全国·高三专题练习）在斜三棱柱中，是等腰直角三角形，，平面底面，.(1)证明：；(2)求二面角的正弦值.【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）证明：取中点，连接，如图所示：∵是等腰直角三角形，∴，且，∵平面底面，平面底面平面，∴平面，∵平面，∴，∵，∴，∴，（符合勾股定理），∴，∵平面，∴平面，∵平面，∴.（2）由（1）知，可以建立分别以为轴的空间直角坐标系，则，又因为斜三棱柱中，，所以，所以，设平面的法向量，则，令，则，∴平面的法向量，设平面的法向量，则，令，则，∴平面的法向量，设二面角的平面角为，则.所以，故二面角的正弦值为.21．（2023·全国·高三对口高考）如图所示的几何体中，四边形是等腰梯形，，，平面，，.  (1)求二面角的余弦值；(2)在线段AB（含端点）上，是否存在一点P，使得平面.若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.【答案】(1)(2)存在，【详解】（1）过作于，由于，则,由于,且四边形是等腰梯形，所以,在三角形中，由余弦定理可得，所以,故,  以为坐标原点，，为轴，轴，过点作的平行线为轴，建立空间直角坐标系，设，则， 设面的法向量，则，即，取，得．设面的法向量，则，即，则取，得．，由几何体的特征可知二面角的平面角为锐角，二面角的余弦值为．（2），,， 面，面．设,若平面，则 ,所以，所以22．（2023秋·北京·高三校考期末）如图，在四棱锥中，， ，，，，．是棱上一点， 平面．(1)求证：为的中点；(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求四棱锥的体积．条件 ①：点到平面的距离为；条件 ②：直线与平面所成的角为．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．【答案】(1)证明见解析(2)条件选择见解析，【详解】（1）过点作交于点，连接，如图所示：          因为，所以 ．所以四点共面．又因为平面 ，平面平面所以所以四边形是平行四边形所以，由，，所以，所以所以为的中位线，所以为的中点．（2）过作于，连接．因为，又因为 ，且，所以 平面．   又平面，所以 平面平面．因为，所以为中点， 又因为平面平面，所以平面． 又平面，所以 如图建立空间直角坐标系．设．由题意得，，，，，．所以，，．设平面的法向量为，则，令，则．所以．选择条件①因为到平面的距离为，所以，解得 ．    所以四棱锥的体积．选择条件②因为直线与平面所成的角为，所以，解得 ．    所以四棱锥的体积．