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    2025高中数学选择性必修第一册人教A版2019同步讲义第12讲第一章空间向量与立体几何测评卷(基础卷)(Word版附解析)

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    这是一份2025高中数学选择性必修第一册人教A版2019同步讲义第12讲第一章空间向量与立体几何测评卷(基础卷)(Word版附解析),文件包含2024-2025学年精品同步讲义数学选择性必修第一册人教A版2019第12讲第一章空间向量与立体几何测评卷基础卷Word版含解析docx、2024-2025学年精品同步讲义数学选择性必修第一册人教A版2019第12讲第一章空间向量与立体几何测评卷基础卷Word版无答案docx等2份试卷配套教学资源,其中试卷共33页, 欢迎下载使用。
    第一章 空间向量与立体几何 章节验收测评卷(基础卷) 一、单选题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1.(2023春·江苏徐州·高二统考期中)已知,,且,则x的值为(    )A. B. C.6 D.-6【答案】D【详解】因为,所以,解得.故选:D.2.(2023春·福建龙岩·高二校联考期中)如图,在直三棱柱中,E为棱的中点.设,,,则(    )  A. B.C. D.【答案】A【详解】由题意可得.故选:A.3.(2023春·浙江杭州·高二学军中学校考阶段练习)如图,某圆锥的轴截面是等边三角形,点B是底面圆周上的一点,且,点M是的中点,则异面直线与所成角的余弦值是(    )A. B. C. D.【答案】A【详解】以过点O且垂直于平面的直线为x轴,直线分别为y轴,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.不妨设,则根据题意可得,所以,设异面直线与所成角为,则.故选:A.4.(2023秋·辽宁辽阳·高二校联考期末)向量在向量上的投影向量为(    )A. B. C. D.【答案】C【详解】向量在向量上的投影向量为.故选:C.5.(2023·江苏扬州·扬州中学校考模拟预测)定义两个向量与的向量积是一个向量,它的模,它的方向与和同时垂直,且以的顺序符合右手法则(如图),在棱长为2的正四面体中,则(    )A. B.. C. D.【答案】D【详解】设,则,过作平面,则为三角形的外心,所以,进而,由于与共线,且方向相同,则,故选:D  6.(2023春·安徽池州·高二池州市第一中学校联考阶段练习)已知直线l的方向向量,平面α的法向量,平面β的法向量,若直线平面α,则直线l与平面β所成角的余弦值为(    )A. B. C. D.【答案】A【详解】依题意,,得,故;而直线l与平面β所成角的正弦值,故所求余弦值.故选:A7.(2023·湖北·模拟预测)如图所示的多面体是由底面为的长方体被截面所截得到的,其中,,,,则点到平面的距离为(    )A. B. C. D.【答案】C【详解】以D为原点,分别以DA,DC,DF所在直线为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系D-xyz,则,∴,.设为平面的法向量,,由,得,令z=1,∴,所以.又,∴点C到平面AEC1F的距离d=.故选:C.8.(2023春·高三统考阶段练习)重庆南滨路钟楼地处长江与嘉陵江交汇处,建筑通过欧式风格将巴渝文化和开埠文化结合,展示了重庆的悠久历史。如图所示,可以将南滨路钟楼看作一个长方体,四个侧面各有一个大钟,则从到这段时间内,相邻两面钟的分针所成角为的次数为(    )    A. B. C. D.【答案】D【详解】在长方体中,以点为坐标原点,,,所在直线分别为轴、轴、轴建立如图的空间直角坐标系.设分针长为,矩形的对角线的交点为,矩形的对角线的交点为,考察到这个时间段,设时刻,侧面,内的钟的分针的针点的位置分别为,,设,其中,则,,由已知可得,则,因为,故的取值为,,,,即在到这个时间段,相邻两面钟的分针所成角为的次数为4,因此,从到这段时间内,相邻两面钟的分针所成角为的次数为8.故选:.  二、多选题(本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.)9.(2023春·高二课时练习)关于空间向量,以下说法不正确的是(    )A.向量,,若,则B.若对空间中任意一点,有,则,,,四点共面C.设是空间中的一组基底,则也是空间的一组基底D.若空间四个点,,,,,则,,三点共线【答案】AC【详解】对于A,向量,,若,若向量,均为非零向量,则由向量垂直的性质可得;若向量,其中一个为零向量,则与不垂直,故A错误;对于B,若对空间中任意一点,有,因为,所以,,,四点共面,故B正确;对于C,设是空间中的一组基底,由向量的加法法则可知:,所以不能构成空间的一组基底,故C错误;对于D,若空间四个点,,,,,由共线向量定理可知:,,三点共线,故D正确,故选:.10.(2023·湖北十堰·统考二模)《九章算术》中,将上、下底面为直角三角形的直三棱柱叫做堑堵,在如图所示的堑堵中,,则(    ).A.B.C.向量在向量上的投影向量为D.向量在向量上的投影向量为【答案】BD【详解】因为,故A不正确,B正确.如图所示,故D作DU垂直BC,过U作VU垂直AB,UW垂直AC,故向量在向量上的投影向量为,向量在向量上的投影向量为,由题意易得故,C不正确. ,D正确.故选:BD11.(2023春·福建莆田·高二莆田第十中学校考阶段练习)已知空间向量,则(    )A. B.是共面向量C. D.【答案】ABC【详解】,A项正确;设,即,解得,,即,所以,,共面,B项正确;,所以,C项正确;,D项错误.故选:ABC.12.(2023春·广东广州·高二广东番禺中学校考期中)如图,正方体的棱长为2,动点分别在线段上,则(    )A.异面直线和所成的角为B.点到平面的距离为C.若分别为线段的中点,则平面D.线段长度的最小值为【答案】BCD【详解】因为,所以异面直线和所成的角即为和所成的角,因为,所以为等边三角形,即,故错误.连接如图所示:点到平面的距离为,因为,所以.因为,所以,所以点到平面的距离为,故B正确,当分别为线段的中点时,则为的中位线,所以,又平面,平面,所以平面,故C正确.以为坐标原点,分别为轴建立空间直角坐标系,如图所示:则,设,,所以,所以,设,,又所以,所以,所以当时,有最小值,即,故D选项正确,故选:BCD.三、填空题:(本题共4小题,每小题5分,共20分,其中第16题第一空2分,第二空3分.)13.(2023·高二校考课时练习)已知,,且与的夹角为钝角,则的取值范围是_________.【答案】【详解】因为与的夹角为钝角,,解得,由题意得与不共线,则,解得,的取值范围是.故答案为:14.(2023秋·河南南阳·高二统考期末)如图,已知四棱柱的底面是边长为1的正方形,且,,则______.【答案】【详解】设 ,,, 则 , 底面是边长为1的正方形,且,, 则有,,,,,,则 ,所以.故答案为:15.(2023春·江苏徐州·高二统考期中)在直四棱柱中,底面是边长为2的正方形,.点是侧面内的动点(不含边界),,则与平面所成角的正切值的取值范围为__________.【答案】【详解】如图所示建立空间直角坐标系,则,,设,得,,由题意得,故,得,故点轨迹是以为圆心,1为半径的圆在正方形内的部分,由题可知为的中点,如图,当共线时,取得最小值为,而,所以,因为平面,所以与平面所成角即为,所以,故答案为:.16.(2023春·福建莆田·高二莆田华侨中学校考期中)在如图所示的三棱锥中,平面,,,,为中点,为内的动点(含边界),且.当在上时,________;点的轨迹的长度为________.【答案】 【详解】因为平面,平面,所以,又,所以,又平面,所以平面,过,如图建立空间直角坐标系,则,设,所以,则①当在上时,设,因为,所以,故,则所以;②为内的动点(含边界)时,如图,取中点,过作,垂足为由①可得,又,平面,所以平面,因为平面,所以即在线段上运动时,,点的轨迹为线段.则.故答案为:;.四、解答题(本题共6小题,共70分,其中第17题10分,其它每题12分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17.(2023秋·江西抚州·高二统考期末)如图在边长是2的正方体中,E,F分别为AB,的中点.(1)求异面直线EF与所成角的大小.(2)证明:平面.【答案】(1);(2)证明见解析.【详解】据题意,建立如图坐标系.于是:,,,,,∴,,,.(1),∴∴异面直线EF和所成的角为.(2)∴,即,∴即.又∵,平面且∴平面.18.(2023春·贵州黔东南·高二校考阶段练习)如图,在棱长为3的正方体中,点是棱上的一点,且,点是棱上的一点,且.(1)求异面直线与所成角的余弦值;(2)求直线到平面的距离.【答案】(1)(2)【详解】(1)建立如图所示的空间直角坐标系,,,所以,所以异面直线与所成角的余弦值为;(2)连接,显然,因为, .所以,于是,因为平面,平面,所以平面,因此直线到平面的距离就是点到平面的距离,设平面的法向量为,,则有,,点到平面的距离为:.19.(2023春·黑龙江鸡西·高二鸡西实验中学校考期中)如图所示,四棱锥的底面是矩形,底面,,,,.(1)证明:平面;(2)求直线与平面所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析(2)【详解】(1)由题意知,,,两两互相垂直,以为原点,,,所在直线分别为轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则,,,,所以,.底面,底面,又,,且平面,平面,所以是平面的一个法向量.因为,所以.又平面,所以平面.(2)因为,,,,,所以,,,设平面的法向量为,则由,解得,令,得平面的一个法向量为.设直线与平面所成的角为,则.故:直线与平面所成角的正弦值为.20.(2023·全国·高三专题练习)在斜三棱柱中,是等腰直角三角形,,平面底面,.(1)证明:;(2)求二面角的正弦值.【答案】(1)证明见解析(2)【详解】(1)证明:取中点,连接,如图所示:∵是等腰直角三角形,∴,且,∵平面底面,平面底面平面,∴平面,∵平面,∴,∵,∴,∴,(符合勾股定理),∴,∵平面,∴平面,∵平面,∴.(2)由(1)知,可以建立分别以为轴的空间直角坐标系,则,又因为斜三棱柱中,,所以,所以,设平面的法向量,则,令,则,∴平面的法向量,设平面的法向量,则,令,则,∴平面的法向量,设二面角的平面角为,则.所以,故二面角的正弦值为.21.(2023·全国·高三对口高考)如图所示的几何体中,四边形是等腰梯形,,,平面,,.  (1)求二面角的余弦值;(2)在线段AB(含端点)上,是否存在一点P,使得平面.若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.【答案】(1)(2)存在,【详解】(1)过作于,由于,则,由于,且四边形是等腰梯形,所以,在三角形中,由余弦定理可得,所以,故,  以为坐标原点,,为轴,轴,过点作的平行线为轴,建立空间直角坐标系,设,则, 设面的法向量,则,即,取,得.设面的法向量,则,即,则取,得.,由几何体的特征可知二面角的平面角为锐角,二面角的余弦值为.(2),,, 面,面.设,若平面,则 ,所以,所以22.(2023秋·北京·高三校考期末)如图,在四棱锥中,, ,,,,.是棱上一点, 平面.(1)求证:为的中点;(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知,求四棱锥的体积.条件 ①:点到平面的距离为;条件 ②:直线与平面所成的角为.注:如果选择条件①和条件②分别解答,按第一个解答计分.【答案】(1)证明见解析(2)条件选择见解析,【详解】(1)过点作交于点,连接,如图所示:          因为,所以 .所以四点共面.又因为平面 ,平面平面所以所以四边形是平行四边形所以,由,,所以,所以所以为的中位线,所以为的中点.(2)过作于,连接.因为,又因为 ,且,所以 平面.   又平面,所以 平面平面.因为,所以为中点, 又因为平面平面,所以平面. 又平面,所以 如图建立空间直角坐标系.设.由题意得,,,,,.所以,,.设平面的法向量为,则,令,则.所以.选择条件①因为到平面的距离为,所以,解得 .    所以四棱锥的体积.选择条件②因为直线与平面所成的角为,所以,解得 .    所以四棱锥的体积.

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