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2025高中数学选择性必修第一册人教A版2019同步讲义第11讲第一章空间向量与立体几何章末重点题型大总结（Word版附解析）
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第11讲 第一章 空间向量与立体几何 章末题型大总结一、思维导图空间向量与立体几何空间向量及其运算空间向量在立体几何中的应用空间向量的线性运算空间向量的基本定理两个向量的数量积空间向量的直角坐标运算共线向量定理共面向量定理空间向量分解定理平行与垂直的条件直线的方向向量与直线的向量方程平面的法向量与平面的向量表示直线与平面的夹角二面角及其度量距离二、题型精讲题型01空间向量的概念及运算【典例1】（2023春·江苏连云港·高二统考期中）平行六面体中，已知底面四边形为矩形，，，，则（ ）A． B．2 C． D．10【典例2】（2023春·江苏盐城·高二盐城市大丰区南阳中学校考阶段练习）已知向量，向量与的夹角都是，且，试求(1)；(2)．【典例3】（2023春·山东淄博·高一山东省淄博实验中学校考阶段练习）已知空间向量，则使向量与的夹角为钝角的实数的取值范围是____________．【变式1】（2023秋·山东滨州·高二统考期末）如图，二面角的大小为，四边形、都是边长为的正方形，则、两点间的距离是（ ） A． B． C． D．【变式2】（2023春·高二课时练习）如图，在长方体中，设，，是的中点．试确定向量在平面上的投影向量，并求．【变式3】（2023·全国·高三专题练习）已知空间向量满足，，则与的夹角为_________．题型02四点共面问题【典例1】（多选）（2023春·高二课时练习）下列条件中，使与，，一定共面的是（ ）A．B．C．D．【典例2】（2023·江苏·高二专题练习）设是正三棱锥，是的重心，是上的一点，且，若，则为（ ）A． B． C． D．【典例3】（2023春·高二课时练习）在正方体中，为的中点，为的中点，为的中点，为的中点，直线交直线于点，直线交直线于点，则（ ）A． B．C． D．【变式1】（多选）（2023秋·江西吉安·高二统考期末）如图，空间四边形中，，分别是边，上的点，且，，点是线段的中点，则以下向量表示正确的是（ ）A． B．C． D．【变式2】（2023春·高二课时练习）如图，已知空间四边形，其对角线为、，、分别是对边、的中点，点在线段上，且，现用基向量，，表示向量，设，则、、的值分别是（ ）A．，， B．，，C．，， D．，，题型03平面法向量的求解【典例1】（2023春·高二课时练习）已知，则平面的一个单位法向量是（ ）A． B．C． D．【典例2】（2023·全国·高三专题练习）已知空间四点，，，．求平面的一个法向量为__________；【变式1】（2023秋·云南昆明·高二昆明一中校考期末）空间直角坐标系中，已知点，则平面的一个法向量可以是（ ）A． B． C． D．【变式2】（2023·全国·高二专题练习）平面经过，且垂直于法向量为的一个平面，则平面的一个法向量是（ ）A． B． C． D．题型04利用空间向量证明平行、垂直关系【典例1】（2023秋·北京大兴·高二统考期末）如图，在三棱柱中，平面．，，分别为的中点，则直线与平面的位置关系是（ ）A．平行 B．垂直 C．直线在平面内 D．相交且不垂直【典例2】（多选）（2023·全国·高三校联考阶段练习）如图，在正方体中，是线段上的动点，则下列结论错误的是（ ）A．平面 B．平面C．平面 D．平面【典例3】（2023春·高二课时练习）如图，在直四棱柱中，底面为等腰梯形，，，，，是棱的中点．求证：平面平面.【典例4】（2023·江苏·高二专题练习）如图，在三棱锥中，平面，，，，、分别为、的中点．(1)求证：平面平面；(2)在线段上是否存在一点，使？证明你的结论．【变式1】（2023春·高二课时练习）在正方体中，，分别为，的中点，则（ ）A．平面 B．异面直线与所成的角为30°C．平面平面 D．平面平面【变式2】（多选）（2023春·高二课时练习）如图，平行六面体的体积为，，，底面边长均为4，且分别为的中点，则下列选项中不正确的有（ ）A． B．平面C． D．平面【变式3】（2023·江苏·高二专题练习）如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧棱底面，，，，为的中点．(1)求直线与所成角的余弦值；(2)在侧面内找一点，使平面．【变式4】（2023·江苏·高二专题练习）如图，在直三棱柱中，为的中点，分别是棱上的点，且．(1)求证：直线平面；(2)若是正三角形为中点，能否在线段上找一点，使得平面？若存在，确定该点位置；若不存在，说明理由．题型05异面直线所成角【典例1】（2023春·贵州·高二贵州师大附中校联考阶段练习）如图，圆锥的轴截面为等边三角形，为弧的中点，为母线的中点，则异面直线和所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D．【典例2】（2023·全国·模拟预测）如图，已知圆柱的轴截面是边长为2的正方形，为下底面圆周上一点，满足，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）A． B． C． D．【典例3】（2023·江苏·高三专题练习）如图，已知正三棱柱的各条棱长都相等，为上一点，，，且. (1)求的值；(2)求异面直线与所成角的余弦值．【变式1】（2023春·山东济南·高一山东省实验中学校考阶段练习）已知四面体满足，，，且该四面体的体积为，则异面直线与所成角的大小为（ ）A． B． C．或 D．或【变式2】（2023·江苏·高三专题练习）如图所示，已知两个正四棱锥与的高分别为1和2，，则异面直线与所成角的正弦值为________．【变式3】（2023春·江苏宿迁·高二校考阶段练习）如图所示，已知空间四边形的各边和对角线的长都等于，点，分别是，的中点.(1)求证：，；(2)求异面直线与所成角的余弦值.题型06利用向量法求直线与平面所成角（定值）【典例1】（2023春·浙江舟山·高一舟山中学校考阶段练习）在四棱锥中，已知侧⾯为正三角形，底⾯为直角梯形，，，，，点，分别在线段，上，且=2. (1)求证：平⾯；(2)若点到平⾯的距离为，求直线和平⾯所成角交的正弦值. 【典例2】（2023春·江苏淮安·高二金湖中学校联考阶段练习）如图所示，在直四棱柱中，，，，，.(1)证明：；(2)求直线与平面所成角的正弦值.【典例3】（2023·安徽·合肥一中校联考模拟预测）截角四面体是一种半正八面体，可由四面体经过适当的截角，即截去四面体的四个顶点处的小棱锥所得的多面体．现将棱长为3的正四面体沿棱的三等分点分别作平行于各底面的截面，截去四个顶点处的小棱锥，得到所有棱长均为1的截角四面体，如图所示． (1)求证：；(2)求直线与平面所成角的正弦值．【变式1】（2023·广东梅州·大埔县虎山中学校考模拟预测）如图①，在中，为直角，，,,沿将折起，使，得到如图②的几何体，点在线段上． (1)求证：平面平面；(2)若平面，求直线与平面所成角的正弦值．【变式2】（2023春·重庆南岸·高二重庆市第十一中学校校考期中）吴老师发现《九章算术》有“刍甍”这个五面体，于是她仿照该模型设计了一个学探究题，如图：，，分别是正方形的三边、、的中点，先沿着虚线段将等腰直角三角形裁掉，再将剩下的五边形着线段折起，连接、就得到一个“刍甍”．(1)若是四边形对角线的交点，求证：平面；(2)若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值．题型07利用向量法求直线与平面所成角（最值或范围）【典例1】（2023春·重庆·高一重庆一中校考期中）如图，在三棱台中侧面为等腰梯形，为中点.底面为等腰三角形，为的中点.(1)证明：平面平面；(2)记二面角的大小为.①当时，求直线与平面所成角的正弦值.②当时，求直线与平面所成角的正弦的最大值.【典例2】（2023·广东茂名·茂名市第一中学校考三模）如图1，在边长为4的等边中，，分别是，的中点．将沿折至（如图2），使得．(1)证明：平面平面；(2)若点在棱上，当与平面所成角最大时，求的长．【典例3】（2023春·福建龙岩·高二校联考期中）如图，在三棱柱中，侧面为菱形，且. (1)证明：.(2)若，，，点在直线上，求直线与平面所成角的正弦值的最大值.【变式1】（2023春·湖北·高三统考阶段练习）如图所示，六面体的底面是菱形，，且平面，平面与平面的交线为.(1)证明：直线平面；(2)已知，三棱锥的体积，若与平面所成角为，求的取值范围.【变式2】（2023春·江苏连云港·高二校考阶段练习）如图，圆台的轴截面为等腰梯形，，为底面圆周上异于，的点.(1)在平面内，过作一条直线与平面平行，并说明理由；(2)设平面∩平面，与平面QAC所成角为，当四棱锥的体积最大时，求的取值范围.题型08利用向量法解决直线与平面所成角的探索性问题【典例1】（2023春·江苏南京·高二南京市雨花台中学校联考期中）如图，四面体中，，，，为的中点．(1)证明：平面；(2)设，，，点在上，若与平面所成的角的正弦值为，求此时点的位置．【典例2】（2023·全国·高三专题练习）如图（1），在正三角形中，分别为中点，将沿折起，使二面角为直二面角，如图（2），连接，过点作平面与平面平行，分别交于.(1)证明：平面；(2)点在线段上运动，当与平面所成角的正弦值为时，求的值.【变式1】（2023·广东·高三专题练习）如图，在四棱台中，底面是菱形，，梯形底面，.设为的中点.(1)求证：平面；(2)上是否存在一点，使得与平面所成角余弦为，请说明理由.【变式2】（2023·湖北荆州·沙市中学校考模拟预测）如图，正三棱柱的所有棱长均为为的中点，为上一点，(1)若，证明：平面；(2)当直线与平面所成角的正弦值为，求的长度.题型09利用向量法求二面角（定值）【典例1】（2023·内蒙古赤峰·赤峰二中校联考模拟预测）如图1，在五边形中，四边形为正方形，，，如图2，将沿折起，使得至处，且． (1)证明：平面；(2)求二面角的余弦值．【典例2】（2023秋·云南大理·高二统考期末）如图，在四棱锥中，平面，，四边形满足，，，点为的中点. (1)求证：；(2)点为边上的点，若，求二面角的余弦值.【变式1】（2023·海南海口·海南华侨中学校考模拟预测）如图，多面体中，四边形是菱形，，，，，，平面，. (1)求；(2)求二面角的正弦值.【变式2】（2023春·江苏徐州·高二统考期中）如图，在正四棱锥中，，正四棱锥的体积为，点为的中点，点为的中点. (1)求证：平面；(2)求二面角的余弦值.题型10利用向量法求二面角（最值或范围）【典例1】（2023春·安徽·高三安徽省临泉第一中学校联考阶段练习）如图，在四棱锥中，所有棱长都相等，，分别是棱，的中点，是棱上的动点，且.(1)若，证明：平面.(2)求平面与平面夹角余弦值的最大值.【典例2】（2023秋·重庆万州·高二重庆市万州第二高级中学校考期末）如图，在四棱锥中，，是的中点．(1)求的长；(2)设二面角平面角的补角大小为，若，求平面和平面夹角余弦值的最小值．【变式1】（2023春·重庆沙坪坝·高一重庆一中校考阶段练习）如图，在三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，分别是线段的中点，二面角为直二面角.(1)求证：平面；(2)若点为线段上的动点（不包括端点），求锐二面角的余弦值的取值范围.【变式2】（2023·全国·高三专题练习）如图①所示，长方形中，，，点是边靠近点的三等分点，将△沿翻折到△，连接，，得到图②的四棱锥.(1)求四棱锥的体积的最大值；(2)设的大小为，若，求平面和平面夹角余弦值的最小值.题型11利用向量法解决二面角中的探索性问题【典例1】（2023·全国·高三对口高考）如图，在四棱锥中，，，是棱上一点． (1)若，求证：平面；(2)若平面平面，平面平面，求证：平面；(3)在（2）的条件下，若二面角的余弦值为，求的值．【典例2】（2023春·安徽·高二马鞍山二中校联考阶段练习）如图所示，在四棱锥中，侧面为边长为2的等边三角形，底面为等腰梯形，，，底面梯形的两条对角线和互相垂直，垂足为，，点为棱上的任意一点. (1)求证：；(2)是否存在点使得二面角的余弦值为，若存在求出点的位置；若不存在请说明理由. 【变式1】（2023·山东菏泽·山东省鄄城县第一中学校考三模）已知在直三棱柱中，其中为的中点，点是上靠近的四等分点，与底面所成角的余弦值为． (1)求证：平面平面；(2)在线段上是否存在一点，使得平面与平面所成的锐二面角的余弦值为，若存在，确定点的位置，若不存在，请说明理由． 【变式2】（2023春·湖北武汉·高一武汉市第十一中学校考阶段练习）已知如图1直角梯形，，，，，为的中点，沿将梯形折起（如图2），使平面平面． (1)证明：平面；(2)在线段上是否存在点，使得平面与平面所成的锐二面角的余弦值为，若存在，求出点的位置：若不存在，请说明理由．题型12利用向量法求点到直线的距离【典例1】（2023春·福建泉州·高二校联考期中）如图，是棱长为1的正方体，若平面，且满足，则到的距离为（ ）A． B． C． D．【典例2】（2023·江苏南京·统考二模）在梯形中，，，，，如图1．现将沿对角线折成直二面角，如图2，点在线段上．(1)求证：；(2)若点到直线的距离为，求的值．【变式1】（2023春·山东菏泽·高二统考期末）已知空间直角坐标系中的三点，，，则点A到直线的距离为（ ）A． B． C． D．【变式2】（2023春·江苏连云港·高二连云港高中校考阶段练习）如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，底面，．建立适当的空间直角坐标系．(1)求平面与平面夹角的正弦值；(2)求到直线的距离．题型13利用向量法求点到平面的距离【典例1】（2023春·福建宁德·高二校联考期中）如图所示，四棱锥的底面是正方形，底面，为的中点，. (1)证明：平面；(2)求点到平面的距离.【典例2】（2023·辽宁沈阳·东北育才学校校考模拟预测）如图，棱长为2的正方体中，为线段上动点． (1)证明：平面；(2)当直线与平面所成的角正弦值为时，求点到平面的距离．【变式1】（2023·重庆·统考模拟预测）在多面体中，四边形是边长为4的正方形，，是正三角形． (1)若为的中点，求证：直线平面；(2)若点在棱上且，求点到平面的距离．【变式2】（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知多面体，四边形是等腰梯形，，，四边形是菱形，，，分别为，的中点，. (1)求证：平面平面；(2)求点到平面的距离.题型14利用向量法解决点到平面的距离的探索性问题【典例1】（2022秋·重庆沙坪坝·高二重庆八中校考阶段练习）图1是直角梯形，，，四边形是边长为4的菱形，并且，以为折痕将折起，使点到达的位置，且，如图2.(1)求证：平面平面；(2)在棱上是否存在点，使得到平面的距离为？若存在，求出直线与平面所成角的正弦值.【典例2】（2022秋·湖北孝感·高二大悟县第一中学校联考期中）如图在四棱锥中，侧面底面，侧棱，底面为直角梯形，其中，为的中点．(1)求证：平面；(2)求平面与平面夹角的正弦值；(3)线段上是否存在，使得它到平面的距离为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．【变式1】（2022春·江苏常州·高二常州高级中学校考期中）已知四棱锥，底面是菱形，，平面，，点满足. (1)求二面角的平面角的余弦值；(2)若棱上一点到平面的距离为，试确定点的位置.【变式2】（2022秋·广东佛山·高二校联考阶段练习）已知四棱锥中，底面为矩形，平面，，点在棱上.(1)若为的中点，求直线与平面所成角的正弦值；(2)是否存在一点，使得点到平面的距离为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.三、数学思想01函数与方程的思想1．（2022·全国·高三专题练习）在长方体中，，，若线段上存在一点，使得，则的取值范围是（ ）A． B． C． D．2．（2019秋·浙江台州·高二台州一中校考期中）如图，在长方体，，，点、分别为和上的动点，若平面，则的最小值为（ ）A． B． C． D．3．（2022·高二课时练习）如图，以棱长为1的正方体的三条棱所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，点在线段上，点在线段DC上.（1）当，且点关于轴的对称点为时，求的长度；（2）当点是面对角线的中点，点在面对角线上运动时，探究的最小值.02化归与转化的思想1．（2021秋·安徽亳州·高二安徽省涡阳第一中学校考阶段练习）如图，棱长为6的正方体中，为正方体表面上的一个动点，､分别为的三等分点，则的最小值为（ ）A． B． C． D．2．（2022秋·贵州贵阳·高二校联考阶段练习）如图，已知棱长为2的正方体，是正方形的中心，是内（包括边界）的动点，满足，则点的轨迹长度为______．3．（2023·全国·高一专题练习）如图所示的几何体中，四边形是矩形，平面平面，已知，，且当规定正视方向垂直平面时，该几何体的侧视图的面积为.若，分别是线段，上的动点，则的最小值为______．
第11讲 第一章 空间向量与立体几何 章末题型大总结一、思维导图空间向量与立体几何空间向量及其运算空间向量在立体几何中的应用空间向量的线性运算空间向量的基本定理两个向量的数量积空间向量的直角坐标运算共线向量定理共面向量定理空间向量分解定理平行与垂直的条件直线的方向向量与直线的向量方程平面的法向量与平面的向量表示直线与平面的夹角二面角及其度量距离二、题型精讲题型01空间向量的概念及运算【典例1】（2023春·江苏连云港·高二统考期中）平行六面体中，已知底面四边形为矩形，，，，则（ ）A． B．2 C． D．10【典例2】（2023春·江苏盐城·高二盐城市大丰区南阳中学校考阶段练习）已知向量，向量与的夹角都是，且，试求(1)；(2)．【典例3】（2023春·山东淄博·高一山东省淄博实验中学校考阶段练习）已知空间向量，则使向量与的夹角为钝角的实数的取值范围是____________．【变式1】（2023秋·山东滨州·高二统考期末）如图，二面角的大小为，四边形、都是边长为的正方形，则、两点间的距离是（ ） A． B． C． D．【变式2】（2023春·高二课时练习）如图，在长方体中，设，，是的中点．试确定向量在平面上的投影向量，并求．【变式3】（2023·全国·高三专题练习）已知空间向量满足，，则与的夹角为_________．题型02四点共面问题【典例1】（多选）（2023春·高二课时练习）下列条件中，使与，，一定共面的是（ ）A．B．C．D．【典例2】（2023·江苏·高二专题练习）设是正三棱锥，是的重心，是上的一点，且，若，则为（ ）A． B． C． D．【典例3】（2023春·高二课时练习）在正方体中，为的中点，为的中点，为的中点，为的中点，直线交直线于点，直线交直线于点，则（ ）A． B．C． D．【变式1】（多选）（2023秋·江西吉安·高二统考期末）如图，空间四边形中，，分别是边，上的点，且，，点是线段的中点，则以下向量表示正确的是（ ）A． B．C． D．【变式2】（2023春·高二课时练习）如图，已知空间四边形，其对角线为、，、分别是对边、的中点，点在线段上，且，现用基向量，，表示向量，设，则、、的值分别是（ ）A．，， B．，，C．，， D．，，题型03平面法向量的求解【典例1】（2023春·高二课时练习）已知，则平面的一个单位法向量是（ ）A． B．C． D．【典例2】（2023·全国·高三专题练习）已知空间四点，，，．求平面的一个法向量为__________；【变式1】（2023秋·云南昆明·高二昆明一中校考期末）空间直角坐标系中，已知点，则平面的一个法向量可以是（ ）A． B． C． D．【变式2】（2023·全国·高二专题练习）平面经过，且垂直于法向量为的一个平面，则平面的一个法向量是（ ）A． B． C． D．题型04利用空间向量证明平行、垂直关系【典例1】（2023秋·北京大兴·高二统考期末）如图，在三棱柱中，平面．，，分别为的中点，则直线与平面的位置关系是（ ）A．平行 B．垂直 C．直线在平面内 D．相交且不垂直【典例2】（多选）（2023·全国·高三校联考阶段练习）如图，在正方体中，是线段上的动点，则下列结论错误的是（ ）A．平面 B．平面C．平面 D．平面【典例3】（2023春·高二课时练习）如图，在直四棱柱中，底面为等腰梯形，，，，，是棱的中点．求证：平面平面.【典例4】（2023·江苏·高二专题练习）如图，在三棱锥中，平面，，，，、分别为、的中点．(1)求证：平面平面；(2)在线段上是否存在一点，使？证明你的结论．【变式1】（2023春·高二课时练习）在正方体中，，分别为，的中点，则（ ）A．平面 B．异面直线与所成的角为30°C．平面平面 D．平面平面【变式2】（多选）（2023春·高二课时练习）如图，平行六面体的体积为，，，底面边长均为4，且分别为的中点，则下列选项中不正确的有（ ）A． B．平面C． D．平面【变式3】（2023·江苏·高二专题练习）如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧棱底面，，，，为的中点．(1)求直线与所成角的余弦值；(2)在侧面内找一点，使平面．【变式4】（2023·江苏·高二专题练习）如图，在直三棱柱中，为的中点，分别是棱上的点，且．(1)求证：直线平面；(2)若是正三角形为中点，能否在线段上找一点，使得平面？若存在，确定该点位置；若不存在，说明理由．题型05异面直线所成角【典例1】（2023春·贵州·高二贵州师大附中校联考阶段练习）如图，圆锥的轴截面为等边三角形，为弧的中点，为母线的中点，则异面直线和所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D．【典例2】（2023·全国·模拟预测）如图，已知圆柱的轴截面是边长为2的正方形，为下底面圆周上一点，满足，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）A． B． C． D．【典例3】（2023·江苏·高三专题练习）如图，已知正三棱柱的各条棱长都相等，为上一点，，，且. (1)求的值；(2)求异面直线与所成角的余弦值．【变式1】（2023春·山东济南·高一山东省实验中学校考阶段练习）已知四面体满足，，，且该四面体的体积为，则异面直线与所成角的大小为（ ）A． B． C．或 D．或【变式2】（2023·江苏·高三专题练习）如图所示，已知两个正四棱锥与的高分别为1和2，，则异面直线与所成角的正弦值为________．【变式3】（2023春·江苏宿迁·高二校考阶段练习）如图所示，已知空间四边形的各边和对角线的长都等于，点，分别是，的中点.(1)求证：，；(2)求异面直线与所成角的余弦值.题型06利用向量法求直线与平面所成角（定值）【典例1】（2023春·浙江舟山·高一舟山中学校考阶段练习）在四棱锥中，已知侧⾯为正三角形，底⾯为直角梯形，，，，，点，分别在线段，上，且=2. (1)求证：平⾯；(2)若点到平⾯的距离为，求直线和平⾯所成角交的正弦值. 【典例2】（2023春·江苏淮安·高二金湖中学校联考阶段练习）如图所示，在直四棱柱中，，，，，.(1)证明：；(2)求直线与平面所成角的正弦值.【典例3】（2023·安徽·合肥一中校联考模拟预测）截角四面体是一种半正八面体，可由四面体经过适当的截角，即截去四面体的四个顶点处的小棱锥所得的多面体．现将棱长为3的正四面体沿棱的三等分点分别作平行于各底面的截面，截去四个顶点处的小棱锥，得到所有棱长均为1的截角四面体，如图所示． (1)求证：；(2)求直线与平面所成角的正弦值．【变式1】（2023·广东梅州·大埔县虎山中学校考模拟预测）如图①，在中，为直角，，,,沿将折起，使，得到如图②的几何体，点在线段上． (1)求证：平面平面；(2)若平面，求直线与平面所成角的正弦值．【变式2】（2023春·重庆南岸·高二重庆市第十一中学校校考期中）吴老师发现《九章算术》有“刍甍”这个五面体，于是她仿照该模型设计了一个学探究题，如图：，，分别是正方形的三边、、的中点，先沿着虚线段将等腰直角三角形裁掉，再将剩下的五边形着线段折起，连接、就得到一个“刍甍”．(1)若是四边形对角线的交点，求证：平面；(2)若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值．题型07利用向量法求直线与平面所成角（最值或范围）【典例1】（2023春·重庆·高一重庆一中校考期中）如图，在三棱台中侧面为等腰梯形，为中点.底面为等腰三角形，为的中点.(1)证明：平面平面；(2)记二面角的大小为.①当时，求直线与平面所成角的正弦值.②当时，求直线与平面所成角的正弦的最大值.【典例2】（2023·广东茂名·茂名市第一中学校考三模）如图1，在边长为4的等边中，，分别是，的中点．将沿折至（如图2），使得．(1)证明：平面平面；(2)若点在棱上，当与平面所成角最大时，求的长．【典例3】（2023春·福建龙岩·高二校联考期中）如图，在三棱柱中，侧面为菱形，且. (1)证明：.(2)若，，，点在直线上，求直线与平面所成角的正弦值的最大值.【变式1】（2023春·湖北·高三统考阶段练习）如图所示，六面体的底面是菱形，，且平面，平面与平面的交线为.(1)证明：直线平面；(2)已知，三棱锥的体积，若与平面所成角为，求的取值范围.【变式2】（2023春·江苏连云港·高二校考阶段练习）如图，圆台的轴截面为等腰梯形，，为底面圆周上异于，的点.(1)在平面内，过作一条直线与平面平行，并说明理由；(2)设平面∩平面，与平面QAC所成角为，当四棱锥的体积最大时，求的取值范围.题型08利用向量法解决直线与平面所成角的探索性问题【典例1】（2023春·江苏南京·高二南京市雨花台中学校联考期中）如图，四面体中，，，，为的中点．(1)证明：平面；(2)设，，，点在上，若与平面所成的角的正弦值为，求此时点的位置．【典例2】（2023·全国·高三专题练习）如图（1），在正三角形中，分别为中点，将沿折起，使二面角为直二面角，如图（2），连接，过点作平面与平面平行，分别交于.(1)证明：平面；(2)点在线段上运动，当与平面所成角的正弦值为时，求的值.【变式1】（2023·广东·高三专题练习）如图，在四棱台中，底面是菱形，，梯形底面，.设为的中点.(1)求证：平面；(2)上是否存在一点，使得与平面所成角余弦为，请说明理由.【变式2】（2023·湖北荆州·沙市中学校考模拟预测）如图，正三棱柱的所有棱长均为为的中点，为上一点，(1)若，证明：平面；(2)当直线与平面所成角的正弦值为，求的长度.题型09利用向量法求二面角（定值）【典例1】（2023·内蒙古赤峰·赤峰二中校联考模拟预测）如图1，在五边形中，四边形为正方形，，，如图2，将沿折起，使得至处，且． (1)证明：平面；(2)求二面角的余弦值．【典例2】（2023秋·云南大理·高二统考期末）如图，在四棱锥中，平面，，四边形满足，，，点为的中点. (1)求证：；(2)点为边上的点，若，求二面角的余弦值.【变式1】（2023·海南海口·海南华侨中学校考模拟预测）如图，多面体中，四边形是菱形，，，，，，平面，. (1)求；(2)求二面角的正弦值.【变式2】（2023春·江苏徐州·高二统考期中）如图，在正四棱锥中，，正四棱锥的体积为，点为的中点，点为的中点. (1)求证：平面；(2)求二面角的余弦值.题型10利用向量法求二面角（最值或范围）【典例1】（2023春·安徽·高三安徽省临泉第一中学校联考阶段练习）如图，在四棱锥中，所有棱长都相等，，分别是棱，的中点，是棱上的动点，且.(1)若，证明：平面.(2)求平面与平面夹角余弦值的最大值.【典例2】（2023秋·重庆万州·高二重庆市万州第二高级中学校考期末）如图，在四棱锥中，，是的中点．(1)求的长；(2)设二面角平面角的补角大小为，若，求平面和平面夹角余弦值的最小值．【变式1】（2023春·重庆沙坪坝·高一重庆一中校考阶段练习）如图，在三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，分别是线段的中点，二面角为直二面角.(1)求证：平面；(2)若点为线段上的动点（不包括端点），求锐二面角的余弦值的取值范围.【变式2】（2023·全国·高三专题练习）如图①所示，长方形中，，，点是边靠近点的三等分点，将△沿翻折到△，连接，，得到图②的四棱锥.(1)求四棱锥的体积的最大值；(2)设的大小为，若，求平面和平面夹角余弦值的最小值.题型11利用向量法解决二面角中的探索性问题【典例1】（2023·全国·高三对口高考）如图，在四棱锥中，，，是棱上一点． (1)若，求证：平面；(2)若平面平面，平面平面，求证：平面；(3)在（2）的条件下，若二面角的余弦值为，求的值．【典例2】（2023春·安徽·高二马鞍山二中校联考阶段练习）如图所示，在四棱锥中，侧面为边长为2的等边三角形，底面为等腰梯形，，，底面梯形的两条对角线和互相垂直，垂足为，，点为棱上的任意一点. (1)求证：；(2)是否存在点使得二面角的余弦值为，若存在求出点的位置；若不存在请说明理由. 【变式1】（2023·山东菏泽·山东省鄄城县第一中学校考三模）已知在直三棱柱中，其中为的中点，点是上靠近的四等分点，与底面所成角的余弦值为． (1)求证：平面平面；(2)在线段上是否存在一点，使得平面与平面所成的锐二面角的余弦值为，若存在，确定点的位置，若不存在，请说明理由． 【变式2】（2023春·湖北武汉·高一武汉市第十一中学校考阶段练习）已知如图1直角梯形，，，，，为的中点，沿将梯形折起（如图2），使平面平面． (1)证明：平面；(2)在线段上是否存在点，使得平面与平面所成的锐二面角的余弦值为，若存在，求出点的位置：若不存在，请说明理由．题型12利用向量法求点到直线的距离【典例1】（2023春·福建泉州·高二校联考期中）如图，是棱长为1的正方体，若平面，且满足，则到的距离为（ ）A． B． C． D．【典例2】（2023·江苏南京·统考二模）在梯形中，，，，，如图1．现将沿对角线折成直二面角，如图2，点在线段上．(1)求证：；(2)若点到直线的距离为，求的值．【变式1】（2023春·山东菏泽·高二统考期末）已知空间直角坐标系中的三点，，，则点A到直线的距离为（ ）A． B． C． D．【变式2】（2023春·江苏连云港·高二连云港高中校考阶段练习）如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，底面，．建立适当的空间直角坐标系．(1)求平面与平面夹角的正弦值；(2)求到直线的距离．题型13利用向量法求点到平面的距离【典例1】（2023春·福建宁德·高二校联考期中）如图所示，四棱锥的底面是正方形，底面，为的中点，. (1)证明：平面；(2)求点到平面的距离.【典例2】（2023·辽宁沈阳·东北育才学校校考模拟预测）如图，棱长为2的正方体中，为线段上动点． (1)证明：平面；(2)当直线与平面所成的角正弦值为时，求点到平面的距离．【变式1】（2023·重庆·统考模拟预测）在多面体中，四边形是边长为4的正方形，，是正三角形． (1)若为的中点，求证：直线平面；(2)若点在棱上且，求点到平面的距离．【变式2】（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知多面体，四边形是等腰梯形，，，四边形是菱形，，，分别为，的中点，. (1)求证：平面平面；(2)求点到平面的距离.题型14利用向量法解决点到平面的距离的探索性问题【典例1】（2022秋·重庆沙坪坝·高二重庆八中校考阶段练习）图1是直角梯形，，，四边形是边长为4的菱形，并且，以为折痕将折起，使点到达的位置，且，如图2.(1)求证：平面平面；(2)在棱上是否存在点，使得到平面的距离为？若存在，求出直线与平面所成角的正弦值.【典例2】（2022秋·湖北孝感·高二大悟县第一中学校联考期中）如图在四棱锥中，侧面底面，侧棱，底面为直角梯形，其中，为的中点．(1)求证：平面；(2)求平面与平面夹角的正弦值；(3)线段上是否存在，使得它到平面的距离为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．【变式1】（2022春·江苏常州·高二常州高级中学校考期中）已知四棱锥，底面是菱形，，平面，，点满足. (1)求二面角的平面角的余弦值；(2)若棱上一点到平面的距离为，试确定点的位置.【变式2】（2022秋·广东佛山·高二校联考阶段练习）已知四棱锥中，底面为矩形，平面，，点在棱上.(1)若为的中点，求直线与平面所成角的正弦值；(2)是否存在一点，使得点到平面的距离为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.三、数学思想01函数与方程的思想1．（2022·全国·高三专题练习）在长方体中，，，若线段上存在一点，使得，则的取值范围是（ ）A． B． C． D．2．（2019秋·浙江台州·高二台州一中校考期中）如图，在长方体，，，点、分别为和上的动点，若平面，则的最小值为（ ）A． B． C． D．3．（2022·高二课时练习）如图，以棱长为1的正方体的三条棱所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，点在线段上，点在线段DC上.（1）当，且点关于轴的对称点为时，求的长度；（2）当点是面对角线的中点，点在面对角线上运动时，探究的最小值.02化归与转化的思想1．（2021秋·安徽亳州·高二安徽省涡阳第一中学校考阶段练习）如图，棱长为6的正方体中，为正方体表面上的一个动点，､分别为的三等分点，则的最小值为（ ）A． B． C． D．2．（2022秋·贵州贵阳·高二校联考阶段练习）如图，已知棱长为2的正方体，是正方形的中心，是内（包括边界）的动点，满足，则点的轨迹长度为______．3．（2023·全国·高一专题练习）如图所示的几何体中，四边形是矩形，平面平面，已知，，且当规定正视方向垂直平面时，该几何体的侧视图的面积为.若，分别是线段，上的动点，则的最小值为______．
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