新疆巴音郭楞蒙古自治州博湖县高级中学2024-2025学年高三上学期开学考试数学试题（解析版）

这是一份新疆巴音郭楞蒙古自治州博湖县高级中学2024-2025学年高三上学期开学考试数学试题（解析版），共13页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先求出两集合，再求两集合的交集即可
【详解】，
由，得，解得，
所以，
所以，
故选：B
2. 命题“，”的否定是（ ）
A. “，”B. “，”
C. “，”D. “，”
【答案】C
【解析】
【分析】全称量词命题的否定为存在量词命题.
【详解】依题意全称量词命题“，”的否定为：
存在量词命题“，”.
故选：C
3. 下列根式与分数指数幂的互化，正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用根式和分数指数幂的转化关系，判断选项.
【详解】A.，故A错误；B.，故B错误；
C.，故C错误；D. ，故D正确.
故选：D
4. 若，则的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据对应的幂函数单调性进行求解.
【详解】由题意得函数在上单调递增，
因为，所以得：，故A项正确.
故选：A.
5. 对于正数，有，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意可得利用基本不等式可得，再结合二次函数不等式求解方法即可求解.
详解】由题可知：，
因为都是正数，所以（当且仅当时取等），
所以（当且仅当时取等），
化简可得，解得，故C正确.
故选：C.
6. 已知幂函数的图象过点，则函数在区间上的最小值是（ ）
A. -1B. -2
C -4D. -8
【答案】D
【解析】
【分析】先求出幂函数的解析式，从而得出的表达式，然后再求的最小值.
【详解】因为幂函数的图像过点，所以，得，
所以，则显然在区间上单调递增，
所以所求最小值为.
故选：D
7. 在我们的日常生活中，经常会发现一个有趣的现象：以数字1开头的数字在各个领域中出现的频率似乎要高于其他数字．这就是著名的本福特定律，也被称为“第一位数定律”或者“首位数现象”，意指在一堆从实际生活中得到的十进制数据中，一个数的首位数字是（，，，）的概率为．以此判断，一个数的首位数字是1的概率与首位数字是5的概率之比约为（ ）
（参考数据：，）
A. 2.9B. 3.2C. 3.8D. 3.9
【答案】C
【解析】
【分析】根据所给定义及对数的运算性质计算可得.
【详解】依题意一个数的首位数字是的概率为，一个数的首位数字是的概率为，
所求的比为
．
故选：C
8. 设，且1是关于的一元二次方程的一个实根，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先由题意得到，再结合，从而关于的不等式组，再分析的正负，从而得解.
【详解】因为1是一元二次方程的一个实根，则，
所以有，则，
又，所以，
即，则，
又因为，所以，即，所以，
则不等式等价为，即，则；
所以的取值范围为，即.
故选：A.
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题5分，共计15分.在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）
9. 下列叙述不正确的是（ ）
A. 若，则
B. “”是“”的充分不必要条件
C. 命题：，，则命题的否定：，
D. 函数的最小值是4
【答案】BD
【解析】
【分析】对于A．由不等式的性质验证；
对于B．解对数不等式，再判断；
对于C．由全称命题的否定验证；
对于D．举反例．
【详解】对于A．由不等式两边同正时两边同平方不等式符号不变，则若，则，故A正确；
对于B．由得，则，即“”是“”的必要不充分条件，故B不正确；
对于C．由全称命题的否定知，命题：，，的否定为，，故C正确；
对于D．当时，，故函数的最小值不为4，故D错误．
综上所述，选项BD不正确，
故选：BD.
10. 下列命题为真命题的是（ ）．
A. 若，则B. 若，，则
C. 若，，则D. 若，，则
【答案】AC
【解析】
【分析】AC选项用不等式的基本性质进行证明；B选项，用作差法比较大小；D选项，举出反例.
【详解】因为，且，不等式两边同乘以得：；A正确；
，由于，，而可能大于0，也可能小于0，故B选项错误；
由，则，由不等式的基本性质得：，C正确；
当时，满足，，但，D错误.
故选：AC
11. 对于定义域为的函数，若存在区间，同时满足下列条件：①在上是单调的；②当定义域是时，的值域也是，则称为该函数的“和谐区间”.下列函数存在“和谐区间”的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】由 “和谐区间”定义，结合每个函数进行判断，逐一证明函数存在或不存在“和谐区间”即可
【详解】对A，可知函数单调递增，则若定义域为时，值域为，故不存在“和谐区间”；
对B，，可假设在存在“和谐区间”，函数为增函数，若定义域为时，值域为，则，解得（符合），（舍去），故函数存在“和谐区间”；
对C，，对称轴为，先讨论区间，函数为减函数，若定义域为时，值域为，则满足，解得，故与题设矛盾；同理当时，应满足，解得，故无解，所以不存在“和谐区间”；
对D，为单增函数，则应满足，可将解析式看作，，由图可知，两函数图像有两个交点，则存在“和谐区间”
故选BD
【点睛】本题考查函数新定义，函数基本性质，方程与函数的转化思想，属于难题
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共计15分.请把答案填写在答题卡相应位置上）
12. 函数的定义域是______.
【答案】
【解析】
【分析】根据已知，可得，解出不等式即可得到结果.
【详解】要使函数有意义，则应满足，即
该不等式等价于，解得.
所以，函数的定义域是.
故答案为：.
13. 已知集合，，若，则的子集的个数为________．
【答案】8
【解析】
【分析】由求得，求得集合，进而求得，结合元素个数可得结果.
【详解】由可知，则，可得，解得：，
所以，即.
,
所以，则的子集的个数为.
故答案为：8
14. 若关于的不等式恰有个整数解，则实数的取值范围是__________.
【答案】
【解析】
【分析】分和两种情况作出图象，根据不等式的解集即可求解.
【详解】当时，作出和的图象，
由图像可知没有整数解，不符合题意；
当时，作出和的图象，
因为恰有个整数解，
所以是不等式的整数解，
所以，解得，
即实数的取值范围是.
故答案为：
四、解答题（本大题共5小题，共计80分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 已知集合.
（1）若，求实数的取值范围；
（2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）依题先求出A集合，再判断A、B集合包含关系，即可得
（2）先判断出是A的真子集，再考虑B是否为空集两种情况考虑
【小问1详解】
由题意知，
因为，所以，
则，解得，则实数的取值范围是；
【小问2详解】
因为“”是“”的必要不充分条件，所以是A的真子集，
当时，解得；
当时，（等号不能同时取得），解得，
综上，.
16. 已知关于的不等式的解集为.
（1）求实数，的值；
（2）若正实数，满足，求最小值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由题意得是方程的两根，再利用韦达定理即可得解；
（2）结合（1）中结论，利用基本不等式“1”的妙用即可得解.
【小问1详解】
因为关于的不等式的解集为，
所以是方程的两根，
由韦达定理得，解得；
【小问2详解】
由（1）得，
则，
当且仅当，即时取等号，
所以取得最小值.
17. 已知定义域为R的奇函数，且时，.
（1）求x∈R时的解析式;
（2）求证:在上为增函数;
【答案】（1）f(x)=2x+x2,x>00,x=02x-x2,x