江苏省南京市第一中学2024-2025学年高三上学期8月阶段性检测数学试卷（解析版）

这是一份江苏省南京市第一中学2024-2025学年高三上学期8月阶段性检测数学试卷（解析版），共18页。试卷主要包含了08， 设集合，则， 已知复数， 己知 是单位向量，，若，则， 已知函数的定义域为，且，则， 已知函数，则下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。

2024.08
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 设集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先解一元二次不等式确定集合B，再根据并集的概念求.
【详解】因为，所以，
又，所以.
故选：B
2. 已知复数（其中i为虚数单位，）．若是纯虚数，则（ ）
A. B. C. 1D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】先利用复数的乘法，写出，再根据纯虚数的概念求参数.
【详解】，
因为是纯虚数，所以.
故选：B
3. 有6名男医生、5名女医生，从中选出3名医生组成一个医疗小组，且医疗小组中男、女医生都要有，则不同的选法共有（ ）
A. 135种B. 150种C. 165种D. 270种
【答案】A
【解析】
【分析】先对不同的选法分类：1男2女，2男1女，再分步求解.
【详解】不同的选法种数中，1男2女的选法有：种；
2男1女的选法种数有：种.
所以共有选法：种.
故选：A
4. 设a，b，c是三条不同的直线，是三个不同的平面，则下列命题为真命题的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意，由空间中直线与平面的位置关系，对选项逐一判断，即可得到结果.
【详解】对A：若，在空间中，直线的位置关系部能确定，故A错；
对B：若，则或，故B错；
对C：若，当直线不平行时，，当直线平行时，直线与平面的位置关系不能确定，故C错；
对D：两个平面都垂直于第三个平面，则它们的交线也垂直于第三个平面.故D正确.
故选：D
5. 己知 是单位向量，，若，则（ ）
A. 3B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据，先求，再根据，求.
【详解】因为单位向量，所以.
又，即.
又，所以.
故选：C
6. 将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，若函数gx在区间上是单调增函数，则实数可能的取值为（ ）
A. B. 3C. D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】首先可得，然后当时，，然后建立不等式求解即可.
【详解】因为将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，
所以
当时，
因为函数gx在区间上是单调增函数，所以
解得
故选：C
7. 已知点分别是双曲线的左、右焦点，过作斜率为的直线与双曲线的左、右两支分别交于两点，且，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】取的中点，令，则，由双曲线定义及所给条件可得，得，再结合直线的斜率为，即可求解.
【详解】取的中点，连接，令，则，如图，
因点为双曲线左右两支上的点，
由双曲线定义得，，
则，
令双曲线的半焦距为，
直角中，，
直角中，，
则有，即，
因直线的斜率为，即，即，
于有，则，解得，
因此双曲线的离心率.
故选：C.
8. 已知函数的定义域为，且，则（ ）
A. 1B. 2C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先判断函数的奇偶性，然后结合赋值法求出，，再研究函数的周期性，即可得到问题的答案.
【详解】因为函数的定义域为，且①，
①式中，用替换，可得：②
由①②得：f-x=fx，所以函数为偶函数.
①式中，令，可得：；
另：令，可得：，所以；
令可得：，所以；
令可得：，所以.
①式中，用替换，可得：，
迭代可得：，即.
所以，故是以6为周期的周期函数.
所以，，
所以.
故选：D
【点睛】方法点睛：对于函数方程的问题，采用“赋值法”可求一些特殊的函数值，这往往是问题的突破口.
二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．
9. 某公司给一款新产品投放广告，根据统计，投入单位：万元的广告费与该产品的收益单位：万元的统计数据如下表所示，根据表中的数据可得到经验回归方程为，则下列结论正确的是（ ）
A. 与的样本相关系数
B.
C. 当投入万元的广告费时，该产品的收益一定是万元
D. 时，残差
【答案】AB
【解析】
【分析】根据和的变化规律，即可判断A；计算出，将样本中心点代入回归直线方程，即可求，即可判断B；根据回归直线方程的概念分析即可判断C;根据回归直线方程计算时的，计算，即可判断D．
【详解】对于A，由表格可知，越大，越大，所以与有正相关关系，所以相关系数，故 A正确；
对于B，,，则样本中心点为，将样本中心点代入直线方程，得，所以，故 B正确；
对于C，，当时，，该产品收益大概是万元，C选项错误；
对于D，,当时，
则残差为，故D选项错误．
故选：AB．
10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A. 最小正周期是
B. 是偶函数
C. 在上递增
D. 是图象的一条对称轴
【答案】ABC
【解析】
【分析】首先利用三角函数的恒等变换得到，再根据余弦函数的性质依次判断选项即可得到答案.
【详解】
.
对选项A，，故A正确.
对选项B，，，
所以是偶函数，故B正确.
对选项C，，，由余弦函数的单调性可知C正确.
对选项D，或，故D错误.
故选：ABC
【点睛】本题主要考查余弦函数的单调性，奇偶性，周期性和对称性，同时考查了三角函数的恒等变换，属于中档题.
11. 已知抛物线的焦点为F，过点F的两条互相垂直的直线分别与抛物线C交于点A，B和点D，E，其中点A，D在第一象限，过抛物线C上一点分别作的垂线，垂足分别为M，N，O为坐标原点，若，则（ ）
A. 抛物线C的准线方程为B. 若，则直线的倾斜角为
C. 四边形的面积的最小值为64D. 四边形的周长的最大值为
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据直线和抛物线的位置关系结合韦达定理，结合向量数量积可得，得，判断A，结合向量坐标运算可判断B，根据弦长公式结合抛物线焦半径性质判断C选项．根据基本不等式判断D选项.
【详解】对A，由题意得，准线方程为，
设直线，与联立得，
设,，,，故，
则，所以，解得，
故准线方程为，A正确；
对B，由A选项可知，，
因为，所以，代入，得，即，
因为点在第一象限，所以，解得，
故直线的斜率为，设直线的倾斜角为，
则，解得B正确；
对D，抛物线的焦点的坐标为，．且四边形为矩形，
因为，，
所以，由，
即，当且仅当时，等号成立，
所以四边形周长的最大值为，故D正确；
对C，由A选项，得，，
则，同理得，
，
所以，当且仅当时，等号成立，
此时，故C错误．
故选：ABD．
【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法：（1）几何法，若题目的条件能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；（2）代数法，若题目的条件能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 的展开式中的系数为______．
【答案】14
【解析】
【分析】根据二项式定理的通项公式，即可求解．
【详解】因为的展开式通项公式为，
其中，
故二项式的展开式中的系数为：．
故答案为：.
13. 设随机变量X服从正态分布，则的最小值为______．
【答案】18##0.125
【解析】
【分析】由题意可知，，再由基本不等式求解即可．
【详解】由题意可知，正态曲线关于对称，所以，
所以，
因为，得，
得，等号成立时，，
所以的最小值为.
故答案为：
14. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A为钝角，．则的取值范围是____________．
【答案】
【解析】
【分析】由正弦定理得到，即，结合角的范围可得，，令，化简得到，结合二次函数的性质，即可求解．
【详解】由，根据正弦定理得：，
由于，可知，即，
因为为钝角，则为锐角，即，
则，则．
．
因为为锐角，所以，即，则，
设，则，
．
因为，则，从而．
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 已知是各项均为正数，公差不为0的等差数列，其前n项和为，且成等比数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）定义在数列中，使为整数的叫做“调和数”，求在区间内所有“调和数”之和．
【答案】（1）
（2）1086
【解析】
【分析】（1）结合等比中项的知识求得等差数列an的公差，从而求得通项公式.
（2）利用列举法写出“调和数”，结合等比数列前项和公式求得.
小问1详解】
因为成等比数列，
所以，
因为an是各项均为正数，公差不为0的等差数列，设其公差为，
所以，
所以，
所以.
【小问2详解】
设，所以，
令，且b为整数，
又由，，
所以b可以取1，2，3，4，5，6，
此时分别为，
所以区间内所有“调和数”之和
16. 甲、乙两人准备进行羽毛球比赛，比赛规定：一回合中赢球的一方作为下一回合的发球方.若甲发球，则本回合甲赢的概率为，若乙发球，则本回合甲赢的概率为，每回合比赛的结果相互独立.经抽签决定，第1回合由甲发球.
（1）求第4个回合甲发球的概率；
（2）设前4个回合中，甲发球的次数为，求的分布列及期望.
【答案】（1）
（2）分布列见解析，
【解析】
【分析】（1）分类讨论结合独立事件乘法公式计算即可；
（2）分情况讨论列出分布列并计算期望即可.
【小问1详解】
由题可知，第2回合甲发球的概率为，乙发球的概率为.
所以第3回合甲发球的概率为，
乙发球的概率为.
可得第4个回合甲发球的概率为.
故第4个回合甲发球的概率为；
【小问2详解】
由题意可知：可以取1，2，3，4.
当时，；当时，；
当时，前4个回合甲发球两次的情况分以下三种：
第一种情况，甲第1，2回合发球，乙第3，4回合发球，其概率为.
第二种情况，甲第1，3回合发球，乙第2，4回合发球，其概率为.
第三种情况，甲第1，4回合发球，乙第2，3回合发球，其概率为.
故前4个回合甲发球两次的概率为；
当时，，
故的分布列为：
.
17. 如图，在多面体中，底面是平行四边形，，为的中点，．
（1）证明：
（2）若多面体的体积为，求半面与平面夹角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由余弦定理可得，由勾股定理得，再由，得平面，，从而四边形为平行四边形，，，由此能证明．
（2）推导出平面，取中点，连接，设，由多面体的体积，求出，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面与平面夹角的余弦值．
【小问1详解】
在中，由余弦定理可得，
，，，
，平面，
平面，又平面，，
由于，所以四边形为平行四边形，
，．
【小问2详解】
，，
又，平面，
平面，
取中点，连接，设，
设多面体的体积为，
则．
解得．
建立如图所示的空间直角坐标系，
则,2,，,1,，,,，,0,，
．
则平面的一个法向量，
,1,，,0,，
设平面的一个法向量，
则，取，得，
所以．
所以平面与平面夹角的余弦值为．
18. 已知椭圆的左，右顶点分别、，短轴长为2，以为直径的圆与直线相切
（1）求椭圆的方程．
（2）过点作直线l交椭圆于，两点（与，不重合），连接交于点．证明：点在定直线上．
【答案】（1）
（2）证明见详解.
【解析】
【分析】（1）先确定，再根据直线与圆的位置关系求，可得椭圆标准方程.
（2）设直线：，与椭圆方程联立，求出，，再得到直线的方程，求出交点即可判断.
【小问1详解】
易知：，
由以为直径的圆与直线相切，所以点O0,0到直线的距离为，
所以.
所以，椭圆的方程为：》
【小问2详解】
如图：
因为直线的斜率不为0，所以可设直线：，将其带入椭圆，得：
，
整理得：.
由得：.
设，，则，.
所以
又A-2,0，
所以直线的方程为：y=y1x1+2x+2，
直线的方程为：
所以.
所以.
即与的交点在定直线：上.
19. 若函数y=fx满足：对任意的实数，有恒成立，则称函数y=fx为“增函数”.
（1）求证：函数不是“增函数”；
（2）若函数是“增函数”，求实数的取值范围；
（3）设，若曲线y=gx在处的切线方程为，求的值，并证明函数y=gx是“增函数”.
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3），证明见解析
【解析】
【分析】（1）利用给定新函数定义，举反例即可证明.
（2）结合新函数定义得恒成立，利用不等式求解范围即可.
（3）借助导数的几何意义，对该函数求导后，令导数函数值为1，可得该方程的根，且时其中一个根，结合导数可证明该函数严格单调递增，故有且仅有，而后设出，根据在0,+∞上是严格增函数，可得在0,+∞上是严格增函数，又，则，即可证明.
【小问1详解】
取，则，因为，
故函数不是“增函数”.
【小问2详解】
因为函数是“增函数”，
故任意的，有恒成立，
即恒成立，
所以恒成立，
又，故，则，
则，即.
【小问3详解】
，
根据题意，得，可得方程的一个解，
令，则，故在0,+∞上是严格增函数，
所以是唯一解，
又，此时在处的切线方程即为，故；
设，其中，
，由在0,+∞上是严格增函数以及，
得，
即，
所以在0,+∞上是严格增函数，
因为，则，故，得证，
所以函数y=gx是“增函数”.
【点睛】关键点点睛：本题时给出函数的新定义，由此去判断求解问题，解答本题的关键是要理解函数的新定义，明确其含义，依此取判断解决问题.
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