湖南省长沙市岳麓实验中学2024-2025学年高二上学期入学考试数学试题（原卷版）

这是一份湖南省长沙市岳麓实验中学2024-2025学年高二上学期入学考试数学试题（原卷版），共5页。试卷主要包含了请将答案正确填写在答题卡上等内容，欢迎下载使用。
数学
考试范围：必修部分；考试时间：120分钟，满分120分.
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
一、单选题（共40分）
1. 已知是虚数单位，则的虚部是（ ）
A. B. C. D.
2. 对于①，②，③，④．⑤，⑥，则为第三象限角的充要条件为（ ）
A. ①③B. ④⑥C. ②③D. ②⑤
3 若，则（ ）
A. B. C. 2D.
4. 表示的小数部分，则的值是
A. -1B. -2C. 0D.
5. 函数（其中，的图象如图所示，为了得到的图象，可以将的图象
A. 向右平移个单位长度
B. 向右平移个单位长度
C. 向左平移个单位长度
D. 向左平移个单位长度
6. 已知函数，是公差不为0的等差数列，，则的值为（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 5
7. 在平面内，四边形ABCD的与互补，，则四边形ABCD面积的最大值=（ ）
A. B. C. D.
8. 在三棱锥中，．若与面所成角最大值为，则的值为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题（共18分）
9. 若，则下列不等式中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
10. 已知定义域为的函数对任意实数都有，且，则（ ）
A. B.
C. D.
11. 设函数，已知在[0,2π]有且仅有4个零点，下述四个结论正确的是（ ）
A. 在有且仅有3个极大值点
B. 在有且仅有2个极小值点
C. 取值范围是[,）
D. 在上单调递增
三、填空题（共15分）
12. 若关于的方程有两个不同的实数解，则实数的取值范围是________.
13. 在三棱锥中，底面是边长为2等边三角形，是以为斜边的等腰直角三角形，若二面角的大小为，则三棱锥外接球的表面积为______.
14. 设函数的最大值为，最小值为，那么________
四、解答题（共77分）
15. 某中学为增强学生环保意识，举办了“爱贵阳，护环境”的知识竞赛活动，为了解本次知识竞赛活动参赛学生的成绩，从中抽取了名学生的分数（得分取正整数，满分为100分，所有学生的得分都在区间中）作为样本进行统计，按照，，，，的分组作出如图甲所示的频率分布直方图，并作出如图乙的样本分数茎叶图（图中仅列出了得分在，的数据）.
（1）求样本容量和频率分布直方图中，的值；
（2）在选取的样本中，从竞赛成绩不低于80分的2组学生中按分层抽样抽取了5名学生，再从抽取的这5名学生中随机抽取2名学生到观山湖公园参加环保知识宣传活动，求抽到的2名学生成绩均在的概率（将样本频率视为概率）.
16. 如图，在四棱锥中，底面，，，，，，是的中点.
(1)求证：平面；
(2)求三棱锥的体积；
(3)求二面角的余弦值．
17. 某公司为提高员工的综合素质，聘请专业机构对员工进行专业技术培训，其中培训机构费用成本为12000元.公司每位员工的培训费用按以下方式与该机构结算：若公司参加培训的员工人数不超过30人时，每人的培训费用为850元；若公司参加培训的员工人数多于30人，则给予优惠：每多一人，培训费减少10元.已知该公司最多有60位员工可参加培训，设参加培训的员工人数为人，每位员工的培训费为元，培训机构的利润为元.
（1）写出与之间的函数关系式；
（2）当公司参加培训的员工为多少人时，培训机构可获得最大利润？并求最大利润.
18. 在中，分别是所对的边，,，三角形的面积为，
（1）求的大小；
（2）求的值．
19. 如图，一个角形海湾，（常数为锐角）.拟用长度为（为常数）的围网围成一个养殖区，有以下两种方案可供选择：
图1 图2
方案一：如图1，围成扇形养殖区，其中；
方案二：如图2，围成三角形养殖区，其中．
现给定数据如下：，
（1）求方案一中养殖区的面积；
（2）求方案二中养殖区的最大面积；
（3）为使养殖区的面积最大，应选择何种方案？并说明理由．