广东省多校联考2024-2025学年高三上学期一调考试数学试题（解析版）

这是一份广东省多校联考2024-2025学年高三上学期一调考试数学试题（解析版），共16页。试卷主要包含了选择题的作答，填空题和解答题的作答， 下列求导结果正确的是， 已知函数且，则等内容，欢迎下载使用。

本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟.
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名､考号等填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.选择题的作答：选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.填空题和解答题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，则=（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据交集的概念求解即可.
【详解】因为，，
则.
故选：A.
2. 设，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】说明二者与同一个命题等价，再得到二者等价，即是充分必要条件.
【详解】根据立方的性质和指数函数的性质，和都当且仅当，所以二者互为充要条件.
故选：C.
3. 曲线在原点处的切线斜率为（ ）
A. B. 0C. D. 1
【答案】D
【解析】
【分析】根据导数的几何意义即可求解.
【详解】因为，则，
故选：D.
4. 若、、为三个集合，，则一定有（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由已知等式可推导得到，由此可依次判断各个选项得到结果.
【详解】因为，
所以，，，
所以,
所以，
对于A，因为，所以，故A正确；
对于B，当且仅当时，，故B错误；
对于C，当时，满足，故C错误；
对于D，当时，满足，故D错误.
故选：A.
5. 已知函数的定义域为，的图象关于中心对称，是偶函数，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据对称性定义，再加赋值可解.
【详解】的图象关于1,0中心对称，则（∗）；
f2x+2是偶函数，则，
则的图象关于轴对称，则（∗∗）；
令代入（∗）得，，解得f1=0，代入 （∗∗）得到.
故选：D.
6. 近年来纯电动汽车越来越受消费者的青睐，新型动力电池迎来了蓬勃发展的风口，于1898年提出蓄电池的容量（单位：），放电时间（单位：）与放电电流（单位：）之间关系的经验公式：，其中为常数.为测算某蓄电池的常数，在电池容量不变的条件下，当放电电流时，放电时间；当放电电流时，放电时间.若计算时取，，则该蓄电池的常数大约为（ ）
A. 1.25B. 1.75C. 2.25D. 2.55
【答案】C
【解析】
【分析】利用经验公式将数据代入构造方程组，再由对数运算法则可解得常数.
【详解】根据题意由可得，
两式相除可得，即可得，
两边同时取对数可得，即可得；
即
故选：C
7. 已知函数，“存在，函数的图象既关于直线对称，又关于点对称”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】以为整体，结合正弦函数对称性解得，进而根据包含关系分析充分、必要条件.
【详解】若存在，函数的图象既关于直线对称，又关于点对称，
因为，且，则，
则，解得，
又因为2,+∞是的真子集，
所以“存在，函数图象既关于直线对称，又关于点对称”是“”的必要不充分条件.
故选：B.
8. 已知关于的不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】将不等式恒成立问题转化成判断函数与的符号问题，再利用二次函数和三角函数性质即可得出结论.
【详解】根据题意可得对于函数，
当时，即时，，此时满足恒成立，
因此，只需恒成立即可，因此恒成立；
又易知，所以可得，
因此可得；
当时，即或时，此时，
若，可得恒成立，
因此只需满足在x∈0,+∞上恒成立，显然不合题意；
若，可得恒成立，
因此只需满足在x∈0,+∞上恒成立，
不妨取，可得，显然不合题意；
综上可知，实数的取值范围是.
故选：C
【点睛】方法点睛：解决三角不等式往往利用三角函数有界性，并根据恒成立条件限定出含参数不等式范围，即可求得结论.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列求导结果正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据基本初等函数的求导公式分别求导即可.
【详解】对于A， ，故A错误；
对于B， ，故B正确；
对于C， ，故C正确；
对于D， ，故D正确.
故选：BCD .
10. 已知函数且，则（ ）
A. B.
C. 最小值为D.
【答案】AD
【解析】
【分析】根据给定条件，可得，利用对数运算性质计算判断AB；变形给定的式子，借助对勾函数的单调性判断CD.
【详解】函数，由，得，
对于AB，，则，解得，A正确，B错误；
对于C，在上单调递增，则，C错误；
对于D，，
而在上单调递增，，因此，D正确.
故选：AD
11. 麦克斯韦妖（Maxwell＇s demn），是在物理学中假想的妖，能探测并控制单个分子的运动，于1871年由英国物理学家詹姆斯·麦克斯韦为了说明违反热力学第二定律的可能性而设想的．当时麦克斯韦意识到自然界存在着与熵增加相拮抗的能量控制机制．但他无法清晰地说明这种机制．他只能诙谐地假定一种“妖”，能够按照某种秩序和规则把作随机热运动的微粒分配到一定的相格里．麦克斯韦妖是耗散结构的一个雏形．可以简单的这样描述，一个绝热容器被分成相等的两格，中间是由“妖”控制的一扇小“门”，容器中的空气分子作无规则热运动时会向门上撞击，“门”可以选择性的将速度较快的分子放入一格，而较慢的分子放入另一格，这样，其中的一格就会比另外一格温度高，可以利用此温差，驱动热机做功．这是第二类永动机的一个范例．而直到信息熵的发现后才推翻了麦克斯韦妖理论．设随机变量X所有取值为1，2，…n，且（，2，…n），定义X的信息熵，则下列说法正确的有（ ）
A. n=1时
B n=2时，若，则与正相关
C. 若，，
D. 若n=2m，随机变量y的所有可能取值为1,2,…,m，且（j=1,2,…,m）则
【答案】ABD
【解析】
【分析】求出判断出A；分析对于的单调性判断B；利用数列求和求出判断C；计算出，利用基本不等式和对数函数的性质判断D作答.
【详解】对于A，若，则，因此，A正确；
对于B，当n=2时，，，
令，则，
即函数在上单调递增，所以与正相关，B正确；
对于C，，，则，
，而，
于是
，令，
则，两式相减得
，因此，，C错误；
对于D，若，随机变量的所有可能的取值为，且（），
，
，
由于，即有，则，
因此，所以，即成立，D正确.
故选：ABD
【点睛】思路点睛：错位相减求和.一般地，如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{an·bn}的前n项和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列{bn}的公比，然后作差求解．
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知命题“，使得”是假命题，则实数的取值范围是__________.
【答案】
【解析】
【分析】通过构造函数，利用函数的导数，求出函数的最小值，然后求解实数的取值范围．
【详解】因为命题“，使得”是假命题，
所以命题“，使得”是真命题，
即对，恒成立，
令，则，
所以，
所以.
故答案为：.
13. 若有则的取值范围是__________.
【答案】
【解析】
【分析】令函数，转化成求在的最小值.
【详解】由题意可得，恒成立，
令函数，
则，
当时，，
在上是增函数，
故时，
所以.
故答案为：.
14. 已知函数，其极大值点和极小值点分别为，记点，直线交曲线于点，若存在常数，使得，则______.
【答案】
【解析】
【分析】求得，令，得到或，得出直线的方程，联立方程组得到，令，利用导数求得的单调性，得到有且仅有2个零点，其中，得到，假设存在常数，利用，求得，代入得，设，求得hx单调性，得到，使得，进而得出的值.
【详解】解：由函数，可得，
令，可得或，
当或时，f'x>0；当时，f'x<0，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
因为或，
所以直线的方程为，即，
由，可得，
令，可得，
令，可得，当时，；当时，，
所以在上递减，在上递增，
因为，
所以有且仅有2个零点，其中，
这表明方程的解集为，
即直线与曲线y=fx交于另一点，且点的横坐标为，
由，即，
假设存在常数，上的，
则，所以，
代入，可得，
设函数，可得，
当时，h'x<0；当时，h'x>0，
所以hx在单调递减，在单调递增，
因为，
所以，存在唯一的实数，使得，
此时 ，
所以存在常数，上的，且.
【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：
1、合理转化，根据题意转化为两个函数的最值之间的比较，列出不等式关系式求解；
2、构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
3、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
4、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 设集合，.
（1）若且，求的取值范围；
（2）若，求的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据且，列不等式组求的取值范围；
（2）分和两种情形进行讨论，根据，列不等式组求的取值范围.
【小问1详解】
因为，且，所以，解得，，
综上所述，的取值范围为.
【小问2详解】
由题意，需分为和两种情形进行讨论：
当时，，解得，，满足题意；
当时，因为，所以，解得，或无解；
综上所述，的取值范围为.
16. 函数的定义域为．
（1）设，求的取值范围；
（2）若恒成立，求的范围．
【答案】（1）；
（2）．
【解析】
【分析】（1）根据指数函数的单调性求出函数的值域；
（2）依题意在上恒成立，利用基本不等式求出的最小值，即可得解.
【小问1详解】
∵，，在上单调递增，
∴当时，取最小值为，当时，取最大值为2，
∴的取值范围为．
【小问2详解】
∵在上恒成立，
又，当且仅当即时取等号，
∴的最小值为，∴．
17. 已知函数
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）探究的最小值.
【答案】（1）
（2）答案见解析.
【解析】
【分析】（1）当时，求出f1=0，求导，得到，利用导数的几何意义求出切线方程；
（2）对求定义域，求导，根据取不同的值得到函数单调性，即可求出最小值.
小问1详解】
当时，，则f1=0，
由，得.
因此所求的切线方程为.
即.
【小问2详解】
由题意得的定义域为0,+∞.
由，得.
当时，f'x>0，则在0,+∞上单调递增，故没有最小值.
当时，令f'x<0，得，令0，得，
则在上单调递减，在上单调递增，
所以
18. 2023年我国汽车出口跃居世界首位.整车出口491万辆，同比增长.作为中国外贸“新三样”之一，新能源汽车成为出口增长新动能.已知某款新能源汽车在匀速行驶状态下每千米的耗电量（单位：）与速度（单位：）在的函数关系为.假设电价是1元.
（1）当车速为多少时，车辆每千米的耗电量最低？
（2）已知司机的工资与开车时间成正比例关系，若总费用=电费+司机的工资，甲地到乙地的距离为，最经济的车速是，则司机每小时的工资为多少元？
【答案】（1）
（2）150元.
【解析】
【分析】（1）利用导数求函数的最小值；
（2）首先计算汽车行驶的总费用，并求函数的导数，由题意可知，是函数的极值点，代入即可求解.
【小问1详解】
由
有，令，得或（舍），
当时，,单调递减，
当时，,单调递增，
所以当车速为时，车辆每千米的耗电量最低；
【小问2详解】
设司机的工资为元，则行车的总费用为
，由题意知时，，
得，即司机每小时的工资为150元.
19. 已知，，函数.
（1）若，求；
（2）设.记M为的所有零点组成的集合，为M的子集，它们各有n个元素，且.设.，且.证明：.
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）利用导数根据恒成立问题可得，设，利用导数判断其单调性和最值，进而可得结果；
（2）构造恰当的函数，并利用导数工具证明的两个零点之和小于零，再利用函数证明相应的不等式.
【小问1详解】
根据题意有.
当时，，可知在内单调递减；
当时，fn'x>0，可知在0,+∞内单调递增；
故.
设，则φ'x=1-xx，
当时，φ'x>0，φx在0,1内单调递增；
当时，φ'x<0，φx在1,+∞内单调递减；
则，
故若，则.
【小问2详解】
由题设可知，由（1）可知，，
且在内单调递减，在0,+∞内单调递增；
若有两个零点，则正､负各一个，
故共有个零点，即有个元素，且个是正数，个是负数.
又因为各有个元素，且，故的所有元素要么属于，要么属于.
若且，则且，
故至少有个零点是正数，这与恰有个零点是正数矛盾，
同理，也不能同为负数.
故与异号，，
由上不妨设，则，
设，则，
当且仅当，即可得时，等号成立，
可知在内单调递减，
则，即，
故.
所以.
【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于构造恰当的函数，并利用导数工具证明相应的不等式.