福建省宁德市古田县第一中学2024-2025学年高三第一次模拟考试数学试卷（解析版）

这是一份福建省宁德市古田县第一中学2024-2025学年高三第一次模拟考试数学试卷（解析版），共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 设全集，集合，则为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据一元二次不等式求集合A，再根据集合间的运算求解.
【详解】由题意可得：，
则.
故选：C.
2. 函数在单调递减，且为奇函数，若，则满足的的取值范围是．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】 是奇函数，故 ；又 是减函数，，
即 则有 ，解得 ，故选D.
3. 命题“”的否定为（ ）
A. B. 不存在
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】通过改量词，否结论，即可容易求得结果.
【详解】命题“”的否定为“”.
故选：D.
4. 设，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据指数以及对数的单调性即可求解.
【详解】因为，所以，因为，所以.
因为，所以，所以.
故选：D
5. 定义，若关于x的不等式在上恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】由，可得等价于，即，
因为，所以，所以，
所以实数的取值范围为.
故选：C
6. 若两个正实数x，y满足，且不等式有解，则实数m的取值范围是（ ）
A. B. 或
C. D. 或
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，利用基本不等式求得的最小值，把不等式有解，转化为不等式，即可求解.
【详解】由两个正实数满足，得，
则，
当且仅当，即时取等号，
又由不等式有解，可得，解得或，
所以实数的取值范围为或.
故选：B.
7. 甲、乙、丙、丁四位同学在玩一个猜数字游戏，甲、乙、丙共同写出三个集合：，，，然后他们三人各用一句话来正确描述“”表示的数字，并让丁同学猜出该数字，以下是甲、乙、丙三位同学的描述，甲：此数为小于5的正整数；乙：是的必要不充分条件；丙：是的充分不必要条件.则“”表示的数字是（ ）
A. 3或4B. 2或3C. 1或2D. 1或3
【答案】C
【解析】
【分析】根据此数为小于5的正整数得到，再推出是的真子集，是的真子集，从而得到不等式，求出，得到答案.
【详解】因为此数为小于5的正整数，所以，
.因为是的必要不充分条件，是的充分不必要条件，
所以是的真子集，是的真子集，
所以且，解得，所以“”表示的数字是1或2，故正确.
故选：C.
8. 若对任意的，，且，，则m的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】首先得出，再将整理为，构造函数，其中，当时，，即在，单调递减，求出，分析得出减区间，即可得出m的取值范围．
【详解】由题可知，，
因为，且，
所以，两边同时除以得，
，即，
设函数，其中，
因为当时，，
所以在单调递减，
因为，
令，，
当时，，即在上单调递增，
当时，，即在上单调递减，
所以，
故选：D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知命题：，，命题： ，，若命题与命题一真一假，则实数的可能值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】考虑p真q假和p假q真两种情况，分别求解，再逐项判断即可.
【详解】如果p真q假，对于 ，有 ，对于 ， 为假，
则 ， 为真，即 ， ，所以当p为真q为假时， ；
如果p为假q为真，则 ，使得 成立，即 ，
q为真，则 ，所以 ；
综上，p和q一真一假，则 或 ，
对于A， ，可以；对于B， ，不可以；对于C， ，可以；对于D，不可以；
故选：AC.
10. 对于集合M，N，我们把属于集合M但不属于集合N的元素组成的集合叫做集合M与N的“差集”，记作，即，且；把集合M与N中所有不属于的元素组成的集合叫做集合M与N的“对称差集”，记作，即，且.下列四个选项中，正确的有（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据集合的新定义得到A正确，当时，，B错误，根据定义知C正确，画出集合图形知D正确，得到答案.
【详解】若，则，A正确；
当时，，B错误；
，且，C正确；
和均表示集合中阴影部分，D正确.
故选：ACD.
11. 设函数，则（ ）
A. 当时，有三个零点
B. 当时，是的极大值点
C. 存在a，b，使得为曲线的对称轴
D. 存在a，使得点为曲线的对称中心
【答案】AD
【解析】
【分析】A选项，先分析出函数极值点为，根据零点存在定理和极值的符号判断出在上各有一个零点；B选项，根据极值和导函数符号的关系进行分析；C选项，假设存在这样的，使得为的对称轴，则为恒等式，据此计算判断；D选项，若存在这样的，使得为的对称中心，则，据此进行计算判断，亦可利用拐点结论直接求解.
【详解】A选项，，由于，
故时，故在上单调递增，
时，，单调递减，
则在处取到极大值，在处取到极小值，
由，，则，
根据零点存在定理在上有一个零点，
又，，则，
则在上各有一个零点，于是时，有三个零点，A选项正确；
B选项，，时，，单调递减，
时，单调递增，
此时在处取到极小值，B选项错误；
C选项，假设存在这样的，使得为的对称轴，
即存在这样的使得，
即，
根据二项式定理，等式右边展开式含有的项为，
于是等式左右两边的系数都不相等，原等式不可能恒成立，
于是不存在这样的，使得为的对称轴，C选项错误；
D选项，
方法一：利用对称中心的表达式化简
，若存在这样的，使得为的对称中心，
则，事实上，
，
于是
即，解得，即存在使得是的对称中心，D选项正确.
方法二：直接利用拐点结论
任何三次函数都有对称中心，对称中心的横坐标是二阶导数的零点，
，，，
由，于是该三次函数的对称中心为，
由题意也是对称中心，故，
即存在使得是的对称中心，D选项正确.
故选：AD
【点睛】结论点睛：（1）的对称轴为；（2）关于对称；（3）任何三次函数都有对称中心，对称中心是三次函数的拐点，对称中心的横坐标是的解，即是三次函数的对称中心
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 写出一个定义域不为R的奇函数___________.
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】根据题意，可举例函数fx=1x，结合函数奇偶性的定义，即可求解.
【详解】令fx=1x，可得函数的定义域为，关于原点对称，
且满足，所以函数fx=1x为定义域不为的奇函数.
故答案为：（答案不唯一）
13. 已知不等式的解集是{x|2＜x＜3}，则不等式的解集是______．
【答案】或
【解析】
【分析】根据不等式的解集是，得到2和3是方程的两个根，利用韦达定理列方程解得，，然后代入不等式，解不等式即可.
【详解】因为不等式的解集是，
所以2和3是方程的两个根，
所以，，解得，
代入，得，
即，解得或.
故答案为：或.
14. 已知表示不超过的最大整数.例如，，，若，，是的充分不必要条件，则的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】由题可得，然后利用充分不必要条件的定义及集合的包含关系即求.
【详解】∵表示不超过的最大整数，
∴，，即，
又是的充分不必要条件，，
∴AB，故，即的取值范围是.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知集合，或x≥4，为实数集．
（1）若，求实数取值范围；
（2）若“”是“”的充分不必要条件，且，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）确定，根据得到，解得答案.
（2）确定是的非空真子集，得到，解得答案.
【小问1详解】
由不等式，解得，则，
或x≥4，，则，解得，
即实数的取值范围为.
【小问2详解】
或x≥4，，
若“”是“”的充分不必要条件，则是的真子集，
又由题意知，所以是的非空真子集，，
解得，所以实数的取值范围为.
16. 已知函数.
（1）求;
（2）探究的单调性，并用函数的单调性定义证明你的结论;
（3）若奇函数，求满足的的取值范围.
【答案】（1）
（2）在R上单调递增，证明见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）根据函数的解析式，代入运算，即可求解.
（2）根据题意，利用函数的单调性的定义和判定方法，即可求解；
（3）由为奇函数，列出方程求得，把不等式转化为，结合函数的单调性，即可求解.
【小问1详解】
解：由函数，可得.
【小问2详解】
解：函数在上单调递增；
证明如下：因为函数的定义域为，任取，且，
则，
因为函数在上为单调递增函数，且，
所以，且，所以，即，
所以，函数在上单调递增.
【小问3详解】
解：因为函数为奇函数，所以，即，
即，所以，
又由，即为，
又因为函数为单调递增函数，所以，所以的取值范围为.
17. 已知函数．
（1）若是函数的极值点，求在处的切线方程．
（2）若，求在区间上最大值．
【答案】（1）
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）根据函数的导数在极值点出的函数值为零，求得的值，继而可求得点的坐标，及切线的斜率，即可求得切线方程；
（2）根据函数的单调性，分类讨论比较和的大小，即可求得.
【小问1详解】
，
又是函数的极值点，
∴，即
∴，
∴，
在处的切线方程为，即，
所以在处的切线方程是
【小问2详解】
，令，得，
∴在单调递减，在单调递增
而，
①当，即时，
②当，即时，
综上，当时，；
当时，
18. 为发展空间互联网，抢占6G技术制高点，某企业计划加大对空间卫星网络研发的投入.据了解，该企业研发部原有100人，年人均投入a（）万元，现把研发部人员分成两类：技术人员和研发人员，其中技术人员有x名（且），调整后研发人员的年人均投入增加4x%，技术人员的年人均投入为万元.
（1）要使调整后的研发人员的年总投入不低于调整前的100人的年总投入，则调整后的技术人员最多有多少人？
（2）是否存在实数m，同时满足两个条件：①技术人员年人均投入始终不减少；②调整后研发人员的年总投入始终不低于调整后技术人员的年总投入？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由.
【答案】（1）75人 （2）存在，7
【解析】
分析】（1）由题意列不等式，求解即可；
（2）由技术人员的年人均投入始终不减少得，调整后研发人员的年总投入始终不低于调整后技术人员的年总投入得，综合得，根据的范围由不等式恒成立求得值.
【小问1详解】
依题意可得调整后研发人员人数为，年人均投入为万元，
则，
解得，
又， 所以调整后的技术人员的人数最多75人;
【小问2详解】
假设存在实数满足条件.
由技术人员年人均投入不减少得, 解得.
由研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入有
,
两边同除以得,
整理得,
故有,
因为, 当且仅当时等号成立, 所以,
又因为, 所以当时,取得最大值7, 所以,
，即存在这样的m满足条件，其值为7.
19. 约数，又称因数.它的定义如下：若整数除以整数除得的商正好是整数而没有余数，我们就称为的倍数，称为的约数.设正整数共有个正约数，即为.
（1）当时，若正整数的个正约数构成等比数列，请写出一个的值；
（2）当时，若构成等比数列，求正整数；
（3）记，求证：.
【答案】（1）8 （2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）正整数的个正约数构成等比数列，则满足题意，即；
（2）由题意可知，结合可推出是完全平方数，进而可得，由此可知为，即可求得；
（3）由题意知，从而可得，采用放缩法以及裂项求和的方法，即可证明结论.
【小问1详解】
当时正整数的4个正约数构成等比数列，
比如为8的所有正约数，即.
于是的一个值为8.
【小问2详解】
由题意可知，
因为，依题意可知，所以，
化简可得，所以，
因为，所以，
因此可知是完全平方数.
由于是整数的最小非1因子，是的因子，且，所以，
所以为，
所以.
【小问3详解】
证明：由题意知，
所以，
因为，
所以
，因为，所以，
所以，即.
【点睛】关键点睛：本题考查数列的应用，考查数列的性质，善于利用放缩法，裂项求和法.