河南省郑州市巩义市2023-2024学年九年级上学期期末数学试题（解析版）

这是一份河南省郑州市巩义市2023-2024学年九年级上学期期末数学试题（解析版），共25页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

本试卷分试题卷和答题卡两部分，考试时间100分钟，满分120分．考生应首先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效．交卷时只交答题卡．
一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，只有项是符合题目要求的．
1. 抛物线的顶点坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查二次函数的性质，根据二次函数为常数，，顶点坐标是，据此求解即可．
【详解】解：抛物线的顶点坐标是，
故选：A．
2. 某农科所在相同条件下做某作物种子发芽率的试验，结果如下表所示：
则种子发芽的概率估计值是（ ）
A. 0.960B. 0.950C. 0.945D. 0.940
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了模拟实验，利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率，根据某农科所在相同条件下做某作物种子发芽率的试验表，可得大量重复试验发芽率逐渐稳定在0.950左右，所以估计该作物种子发芽的概率为0.950．
【详解】解：根据频率估计概率可知该作物种子发芽的概率为0.950，
故选：B．
3. 用配方法解方程，变形后结果正确是（ ）
A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据配方法可直接进行求解．
【详解】解：由方程两边同时加上4可得；
故选C．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握配方法是解题的关键．
4. 把下图中的五角星图案，在平面内绕着它的中心旋转后得到的图案是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了利用旋转设计图案的知识，根据旋转的性质，旋转前后，各点的相对位置不变，得到的图形全等，找到关键点，分析选项可得答案。
【详解】解：根据旋转的性质，结合五角星图案阴影部分绕中心旋转后，得到的图案是
故选：B
5. 把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知，则球的直径长是（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，根据题意连接，作，延长交于点，可得，根据垂径定理可得，设圆的半径为，则，在中，根据勾股定理即可求解．
【详解】解：如图所示，连接，过点作于点，延长交于点，

∴，，
设圆的半径为，则，，
在中，，
∴，
解得，，即圆的半径为，
∴球的直径长为，
故选：A ．
6. 如图，中，为边上的点，且，已知的面积为4，则的面积为（ ）
A. 6B. 8C. 9D. 12
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，平行四边形的性质，先由平行四边形的性质得到，再证明得到，接着根据已知条件得到，则，据此可得答案．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵的面积为4，
∴的面积为9，
故选：C．
7. 如图，都是的半径，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查圆周角定理，利用圆周角定理可得，，结合可得结论．
【详解】解：∵，，
∴
∵，
∴，
∴，
故选：B．
8. 如图，小明同学用自制的直角三角形纸板测量树的高度，他调整自己的位置，设法使斜边保持水平，并且边与点在同一直线上．已知纸板的两条边，测得边离地面的高度，则树的高度为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握知识点是解题的关键．先利用勾股定理求出长，再利用相似三角形的性质求解即可．
【详解】解：在直角三角形纸板中，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得，
∵，
∴，
故选：D．
9. 若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征．掌握反比例函数图象上的点的坐标满足其解析式是解题关键．
将点，，分别代入，求出，，的值，再比较即可．
【详解】解：将点，，分别代入，得
，，，
解得：，，，
，
故选：D．
10. 如图，某中学综合与实践小组要围成一个矩形菜园，其中一边靠墙，的长不能超过，其余的三边用总长为40米的栅栏围成．有下列结论：①的长可以为；②有两个不同的值满足菜园的面积为；③菜园面积的最大值为．正确结论的个数是（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查一元二次方程的应用和二次函数的应用，设边长为，则边长为，根据列出方程，解方程求出x的值，根据x取值范围判断①；根据矩形的面积，解方程求出x的值可以判断②；设矩形菜园的面积为，根据矩形的面积公式列出函数解析式，再根据函数的性质求函数的最值可以判断③.
【详解】解：设边长为，则边长为，
当时，，
解得
∵的长不能超过，
∴， 故①不正确；
∵菜园面积为，
∴，
整理得：
解得或
∵，
∴，
∴的长只有一个值满足菜园面积为，故②错误；
设矩形菜园的面积为，
根据题意得：，
∵，
∴当时，y有最大值，最大值为200. 故③正确；
∴正确的有１个，
故选：B．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. 一元二次方程的正数解是____________．
【答案】2024
【解析】
【分析】本题主要考查解一元二次方程，运用因式分解法求出方程的解，再判断出正数解即可．
【详解】解：∵，
∴
∴
∴
∴一元二次方程的正数解是2024，
故答案为：2024．
12. 如图是一个可以自由转动的质地均匀的转盘，被分成12个相同的小扇形．若把某些小扇形涂上红色，使转动的转盘停止时，指针指向红色的概率是，则涂上红色的小扇形有____________个．
【答案】2
【解析】
【分析】本题考查已知概率求数量，根据指针指向红色的概率，求出涂上红色的小扇形的个数即可．
【详解】解：由题意，得：涂上红色的小扇形有（个）；
故答案：2．
13. A4纸是我们常用的打印纸，把纸沿长边中点对折，形成两个相同的小长方形，我们发现折叠得到的小长方形与折叠前的大长方形相似，则大长方形与小长方形的相似比为____________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查相似多边形的性质，如图，设大长方形的长为，宽为，则小长方形的长为，宽为，根据矩形矩形列出比例式，求出的值即可．
【详解】解：设大长方形的长为，宽为，如图，
则，，，
∵矩形矩形，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
14. 如图，在中，是的内切圆，若，则图中阴影部分的面积为____________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查与圆相关的阴影部分面积，熟练掌握扇形的面积公式是解题的关键，根据题意求出圆的半径和的度数，再计算出与的差，即可得到答案．
【详解】解：连接，
∵是的内切圆，
∴分别与相切于点，
∴四边形是正方形，
设的半径为，
∴，
∵，，
∴，
∴，，，
∴，解得：，
∵是的内切圆，
∴，
∴，
∴阴影部分的面积，
故答案为：．
15. 在矩形中，．点是边上一动点（不与点重合），以点为圆心，长为半径画弧，交射线于点，若，则的长为____________．
【答案】2或
【解析】
【分析】本题主要考查了矩形的性质和勾股定理的应用，分两种情况：点E在弧与的交点左侧和右侧，设，则，，所以，或，在中由勾股定理列方程，求出的值即可．
【详解】解：在矩形中，
∵，
∴；
设，则，
∵，
∴，
①当点E在弧与的交点左侧时，则，
在中，，
∴，
解得，或（不合题意，舍去）,
∴；
②当点E在弧与的交点右侧时，则，
在中，，
∴，
解得，或（不合题意，舍去）；
∴；
综上，的长为2或．
故答案为：2或．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）
16. 在下面的四组条件中选择其中一组的值，使这个一元二次方程有两个不相等的实数根，并解这个方程．
①；②；③；④．
（注意：如果选择多组条件分别作答，按第一个解答计分．）
【答案】选择③；选择④
【解析】
【分析】本题主要考查的是根据一元二次方程根的判别式以及解一元二次方程，一元二次方程中根的判别式大于0.方程有两个不相等的实数根；根的判别式等于0，方程有两个相等的实数根；根的判别式小于0，方程无解，选择条件时要先判断方程是否成立，再求解即可．
【详解】解：选①时，，
，方程有两个相等的实数根，
故①不符合题意；
选②时，，
，方程没有实数根，
故②不符合题意；
选择③时，，
，
，
；
选择④时，，
，
17. 巩义市教育局通过抽签确定，2024年中招体育考试必考项目为：长跑和实心球；考生自选技能项目：篮球、足球二选一；考生自选素质项目：一分钟跳绳、50米跑、立定跳远三选一．对于考生自选素质项目，甲、乙两名同学各自随机选择一分钟跳绳、50米跑、立定跳远三种中的一种，记一分钟跳绳为A，50米跑为B，立定跳远为C．假设这两名同学选择考试哪种项目不受任何因素影响，且每一种被选到的可能性相等．记甲同学的选择为，乙同学的选择为．
（1）请用列表法或画树状图法，求所有可能出现的结果；
（2）求甲、乙两名同学在自选素质项目中，选择考试同一项目的概率．
【答案】（1）见解析；
（2）．
【解析】
【分析】本题考查了用树状图法求概率，树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
（1）根据题意画出树状图，再由树状图求得所有等可能的结果即可；
（2）由（1）可知，共有9种等可能的结果，其中甲、乙两名同学选择参加自选素质的结果有3种，再由概率公式求解即可．
【小问1详解】
解：画树状图如下：
共有9种等可能的结果，分别为；
【小问2详解】
解：由（1）可知，共有9种等可能的结果，其中甲、乙两名同学选择考试同一项目的结果有3种，
甲、乙两名同学选择考试同一项目的概率．
18. 在平面直角坐标系中，的顶点为．
（1）平移，若点的对应点的坐标为，画出平移后的；
（2）将以点为旋转中心旋转，画出旋转后对应的；
（3）已知将绕某一点旋转可以得到，则旋转中心的坐标为______．
【答案】（1）见详解 （2）见详解
（3）．
【解析】
【分析】本题考查了坐标与图形，平移作图、旋转作图以及找出旋转中心，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）因为点的对应点的坐标为，所以找出点的坐标，最后依次连接，即可作答．
（2）因为将以点为旋转中心旋转，所以找出点的坐标，最后依次连接，即可作答
（3）运用数形结合思想，直接得与的旋转中心的坐标，即可作答．
【小问1详解】
解：如图所示：
【小问2详解】
解：如图所示：
小问3详解】
解：由图得将绕某一点旋转可以得到，则旋转中心的坐标为．
19. 如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，反比例函数的图象分别与交于点和点，且点为的中点．
（1）求反比例函数的表达式和点的坐标；
（2）若一次函数与反比例函数的图象相交于点，当点在反比例函数图象上D，E之间的部分时（点可与点D，E重合），直接写出的取值范围．
【答案】（1），；
（2）．
【解析】
【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，一次函数与反比例函数综合，矩形的性质，灵活运用所学知识是解题的关键．
（1）利用待定系数法求出反比例函数解析式，根据矩形的性质得到，，，再由为的中点得到点B坐标，从而得到点D的横坐标为3，进而求出点E的坐标即可；
（2）求出直线恰好经过D和恰好经过E时m的值，即可得到答案．
【小问1详解】
解：反比例函数的图象分别与交于点和点，
，
反比例函数的表达式为
四边形是矩形，
，，
点，且点为的中点．
，
∴点D的横坐标为3，
在中，，
；
【小问2详解】
解：当直线经过点时，则，
解得；
当直线经过点时，则，
解得；
∵一次函数与反比例函数的图象相交于点，当点在反比例函数图象上D，E之间的部分时（点可与点D，E重合）
∴．
20. 如图，已知等腰内接于，过点作，交的延长线于点．
（1）求证：是的切线；
（2）若的半径长为1，求的长．
【答案】（1）见解析；
（2）．
【解析】
【分析】本题主要考查切线的判定，圆周角定理和勾股定理等知识，正确作出辅助线是解答本题的关键．
（1）作于点，根据切线的判定即可求出答案；
（2）证明，，在中运用勾股定理可求出的长．
【小问1详解】
证明：作于点，
是的外接圆．
．
又，
．
又是的半径，
是的切线．
【小问2详解】
解：，
，
又
．
又，
．
．
在中，．
又，
即．
解得：．
21. 巩义特产小相菊花茶深受顾客喜爱，小相菊花茶进价为元/两，某商店对销售情况作了调查，结果发现月最大销售量（两）与售价（元/两）之间的函数关系如图中的线段所示．（月最大销售量指进货量足够的情况下最多售出两数）
（1）求出与之间的函数表达式；
（2）若该菊花茶某月的总销售利润元，求关于的函数表达式，当售价为多少元/两时，销售利润最大，该月进货数量应定为多少？
（3）若该商店某月进货两，如果销售不完，就以亏本元/两计入总利润，当销售单价定为多少时，当月月利润最大？（注：“两”是一种质量单位）
【答案】（1）；
（2），销售单价为元时利润最大，该月进货数量应定为两；
（3）售价定为元/两时，当月月利润最大．
【解析】
【分析】（）利用待定系数法解答即可求解；
（）由题意可得，再根据二次函数的性质解答即可求解；
（）设当月月利润为元，可得，进而可得抛物线开口向下，抛物线上的点距离对称轴越近，函数值越大，由得，据此即可求解；
本题考查了一次函数和二次函数的应用，根据题意正确求出函数解析式是解题的关键．
【小问1详解】
解：设与的函数关系式为，
点在函数上，
∴，
解得，
∴与的函数关系式为；
【小问2详解】
解：由题意可得，，
∵，
当时，取得最大值，此时，
即关于的函数表达式是，销售单价为元时利润最大，该月进货数量应定为两；
【小问3详解】
解：设当月月利润为元，
则，
∵，
∴抛物线开口向下，抛物线上的点距离对称轴越近，函数值越大，
该商店进货两，
，
解得，
当时，取得最大值，
答：售价定为元/两时，当月月利润最大．
22. 在巩义市第一届青少年科技运动会上，某校课外科技活动小组依据压缩空气能产生动力这一科学原理，研制了气压火箭，通过实验，收集了火箭相对于出发点的飞行水平距离（单位：m），飞行高度（单位：m）的变化数据如表．
探究发现与之间的数量关系可以用我们已学过的函数来描述．
（1）直接写出关于的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
（2）如图，活动小组在水平安全线上处设置一个高度可以变化的发射平台发射该火箭．根据上面的探究发现解决下列问题：
①若发射平台相对于地面的高度为，求火箭落到地面时飞行的水平距离；
②在地面上设置回收区域．为了能使火箭落到内（不包括端点，我们可以通过调节发射平台的高度来实现，求发射平台相对于地面的高度的变化范围．
【答案】（1）；
（2）①火箭落到地面时飞行的水平距离为40m；②发射平台相对于地面的高度的变化范围是大于且小于．
【解析】
【分析】本题主要考查一次函数的应用，二次函数的应用等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
（1）根据待定系数法求解即可；
（2）①令二次函数代入函数解析式即可求解；
②设发射平台相对于安全线的高度为，则飞机相对于安全线的飞行高度，然后代入两个端点即可求解．
小问1详解】
解：由表中数据可知，与成二次函数关系，
∴设，且过三点，
∴，
解得，，
∴与之间的函数关系式为；
【小问2详解】
解：①当时，，
解得，（舍去），，
所以，火箭落到地面时飞行的水平距离为；
②∵，
∴
设发射平台相对于安全线的高度为，则飞行高度为，
当时，，
解得，；
当时，，
解得，，
∴，即发射平台相对于地面的高度的变化范围是大于且小于．
23. 综合运用
如图1，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形的顶点在轴的正半轴上，直线是由轴绕点逆时针旋转得到的．如图2，将正方形绕点逆时针旋转，旋转角为，在旋转过程中，交直线于点交轴于点．
（1）当旋转角为多少度时，（直接写出结果，不要求写解答过程）；
（2）若点的横坐标为，求的长；
（3）若点的横坐标为，点的纵坐标为，请判断与的数量关系及的取值范围，并写出解答过程．
【答案】（1）；
（2）；
（3），，过程见解析．
【解析】
【分析】本题主要考查了坐标与图形，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等知识，解答本题的关键是正确添加辅助线，构造相似三角形．
（1）证明，则进而求解；
（2）由勾股定理求出，证明得到，即可得解；
（3）根据（2）的思路可得，再根据点C、B与点F重合时得出，结合旋转角为可得出的取值范围，从而解决问题．
【小问1详解】
解：∵四边形是正方形，
∴，
当时，
在和中，
，
∴，
∴，
∵直线是由轴绕点逆时针旋转得到的，
∴，
∴，
∴；
∴当旋转角为时，；
【小问2详解】
解：过点作轴于点，如图，
∵点的横坐标为，
∴，
在中，
由勾股定理得，，
∵，
∴，
∴，
又，
∴，
∴
∴；
【小问3详解】
解：由（2）知，，
∴，
∵，
∴，
∴，
当点F与点C重合时，，即；
当点F与点B重合时，，
∵旋转角为，
∴，
∴与的数量关系是，的取值范围是．
种子个数
100
300
400
600
1000
2000
3000
发芽种子个数
96
282
382
567
945
1912
2850
发芽种子频率
0.960
0.940
0.955
0.945
0.945
0.956
0.950
飞行水平距离
0
8
12
20
24
飞行高度
0
3.2
4.2
5
4.8