三年（2022-2024）高考数学真题分类汇编（全国通用）专题10 数列（九大考点）（原卷版）

这是一份三年（2022-2024）高考数学真题分类汇编（全国通用）专题10 数列（九大考点）（原卷版），共10页。试卷主要包含了设等差数列的公差为，且，记为等差数列的前n项和，记为等差数列的前项和，已知等内容，欢迎下载使用。

考点1：等差数列基本量运算
1．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）设等差数列的公差为，且．令，记分别为数列的前项和．
(1)若，求的通项公式；
(2)若为等差数列，且，求．
2．（2022年高考全国乙卷数学（文）真题）记为等差数列的前n项和．若，则公差 ．
3．（2023年高考全国甲卷数学（文）真题）记为等差数列的前项和．若，则（ ）
A．25B．22C．20D．15
4．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）已知等差数列的公差为，集合，若，则（ ）
A．－1B．C．0D．
5．（2024年高考全国甲卷数学（文）真题）已知等差数列的前项和为，若，则（ ）
A．B．C．1D．
6．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）记为等差数列的前项和，已知，，则（ ）
A．B．C．D．
7．（2023年高考全国乙卷数学（文）真题）记为等差数列的前项和，已知．
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前项和．
8．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）记为等差数列的前n项和，若，，则 .
9．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）记为数列的前项和，设甲：为等差数列；乙：为等差数列，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
考点2：等比数列基本量运算
10．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）记为等比数列的前n项和，若，，则（ ）．
A．120B．85C．D．
11．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）设等比数列的各项均为正数，前n项和，若，，则（ ）
A．B．C．15D．40
12．（2023年天津高考数学真题）已知数列的前n项和为，若，则（ ）
A．16B．32C．54D．162
13．（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）已知等比数列的前3项和为168，，则（ ）
A．14B．12C．6D．3
14．（2023年高考全国甲卷数学（文）真题）记为等比数列的前项和．若，则的公比为 ．
15．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）已知为等比数列，，，则 .
考点3：数列的实际应用
16．（2024年北京高考数学真题）汉代刘歆设计的“铜嘉量”是龠、合、升、斗、斛五量合一的标准量器，其中升量器、斗量器、斛量器的形状均可视为圆柱.若升、斗、斛量器的容积成公比为10的等比数列，底面直径依次为 ，且斛量器的高为，则斗量器的高为 ，升量器的高为 ．
17．（2023年北京高考数学真题）我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的“环权”．已知9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且，则 ；数列所有项的和为 ．
18．（2022年新高考全国II卷数学真题）图1是中国古代建筑中的举架结构，是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中是举，是相等的步，相邻桁的举步之比分别为．已知成公差为0.1的等差数列，且直线的斜率为0.725，则（ ）
A．0.75B．0.8C．0.85D．0.9
19．（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列：，，，…，依此类推，其中．则（ ）
A．B．C．D．
考点4：数列的最值问题
20．（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）记为数列的前n项和．已知．
(1)证明：是等差数列；
(2)若成等比数列，求的最小值．
21．（2022年新高考北京数学高考真题）设是公差不为0的无穷等差数列，则“为递增数列”是“存在正整数，当时，”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
考点5：数列的递推问题（蛛网图问题）
22．（2024年高考全国甲卷数学（文）真题）已知等比数列的前项和为，且.
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前n项和.
23．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知双曲线，点在上，为常数，．按照如下方式依次构造点：过作斜率为的直线与的左支交于点，令为关于轴的对称点，记的坐标为.
(1)若，求；
(2)证明：数列是公比为的等比数列；
(3)设为的面积，证明：对任意正整数，.
24．（2022年新高考浙江数学高考真题）已知数列满足，则（ ）
A．B．C． D．
25．（2023年北京高考数学真题）已知数列满足，则（ ）
A．当时，为递减数列，且存在常数，使得恒成立
B．当时，为递增数列，且存在常数，使得恒成立
C．当时，为递减数列，且存在常数，使得恒成立
D．当时，为递增数列，且存在常数，使得恒成立
考点6：等差数列与等比数列的综合应用
26．（2022年新高考浙江数学高考真题）已知等差数列的首项，公差．记的前n项和为．
(1)若，求；
(2)若对于每个，存在实数，使成等比数列，求d的取值范围．
27．（2022年新高考全国II卷数学真题）已知为等差数列，是公比为2的等比数列，且．
(1)证明：；
(2)求集合中元素个数．
28．（2024年北京高考数学真题）设与是两个不同的无穷数列，且都不是常数列.记集合，给出下列4个结论：
①若与均为等差数列，则M中最多有1个元素；
②若与均为等比数列，则M中最多有2个元素；
③若为等差数列，为等比数列，则M中最多有3个元素；
④若为递增数列，为递减数列，则M中最多有1个元素.
其中正确结论的序号是 .
考点7：数列新定义问题
29．（2022年新高考北京数学高考真题）已知为有穷整数数列．给定正整数m，若对任意的，在Q中存在，使得，则称Q为连续可表数列．
(1)判断是否为连续可表数列？是否为连续可表数列？说明理由；
(2)若为连续可表数列，求证：k的最小值为4；
(3)若为连续可表数列，且，求证：．
30．（2024年上海夏季高考数学真题）无穷等比数列满足首项，记，若对任意正整数集合是闭区间，则的取值范围是 ．
31．（2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题）设m为正整数，数列是公差不为0的等差数列，若从中删去两项和后剩余的项可被平均分为组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列是可分数列．
(1)写出所有的，，使数列是可分数列；
(2)当时，证明：数列是可分数列；
(3)从中一次任取两个数和，记数列是可分数列的概率为，证明：．
32．（2023年北京高考数学真题）已知数列的项数均为m，且的前n项和分别为，并规定．对于，定义，其中，表示数集M中最大的数.
(1)若，求的值；
(2)若，且，求；
(3)证明：存在，满足 使得．
33．（2024年北京高考数学真题）已知集合．给定数列，和序列，其中，对数列进行如下变换：将的第项均加1，其余项不变，得到的数列记作；将的第项均加1，其余项不变，得到数列记作；……；以此类推，得到，简记为．
(1)给定数列和序列，写出；
(2)是否存在序列，使得为，若存在，写出一个符合条件的；若不存在，请说明理由；
(3)若数列的各项均为正整数，且为偶数，求证：“存在序列，使得的各项都相等”的充要条件为“”．
考点8：数列通项与求和问题
34．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）记为数列的前项和，已知．
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
35．（2024年天津高考数学真题）已知数列是公比大于0的等比数列．其前项和为．若．
(1)求数列前项和；
(2)设，．
（ⅰ）当时，求证：；
（ⅱ）求．
36．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）设为数列的前n项和，已知．
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
37．（2022年新高考天津数学高考真题）设是等差数列，是等比数列，且．
(1)求与的通项公式；
(2)设的前n项和为，求证：；
(3)求．
考点9：数列不等式
38．（2023年天津高考数学真题）已知是等差数列，．
(1)求的通项公式和．
(2)设是等比数列，且对任意的，当时，则，
（Ⅰ）当时，求证：；
（Ⅱ）求的通项公式及前项和．
39．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知为等差数列，，记，分别为数列，的前n项和，，．
(1)求的通项公式；
(2)证明：当时，．
40．（2022年新高考全国I卷数学真题）记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列．
(1)求的通项公式；
(2)证明：．
考点
三年考情（2022-2024）
命题趋势
考点1：等差数列基本量运算
2023年全国Ⅰ卷、2024年全国Ⅱ卷
2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题
2022年高考全国乙卷数学（文）真题
2023年高考全国甲卷数学（文）真题
2023年高考全国乙卷数学（理）真题
2024年高考全国甲卷数学（文）真题
2024年高考全国甲卷数学（理）真题
2023年高考全国乙卷数学（文）真题
高考对数列的考查相对稳定，考查内容、频率、题型、难度均变化不大．等差数列、等比数列以选填题的形式为主，数列通项问题与求和问题以解答题的形式为主，偶尔出现在选择填空题当中，常结合函数、不等式综合考查.
考点2：等比数列基本量运算
2023年全国Ⅱ卷、2023年天津卷
2023年高考全国甲卷数学（理）真题
2022年高考全国乙卷数学（理）真题
2023年高考全国甲卷数学（文）真题
2023年高考全国乙卷数学（理）真题
考点3：数列的实际应用
2024年北京高考数学真题
2023年北京高考数学真题
2022年新高考全国II卷数学真题
2022年高考全国乙卷数学（理）真题
考点4：数列的最值问题
2022年高考全国甲卷数学（理）真题
2022年新高考北京数学高考真题
考点5：数列的递推问题（蛛网图问题）
2024年高考全国甲卷数学（文）真题
2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题
2022年新高考浙江数学高考真题
2023年北京高考数学真题
考点6：等差数列与等比数列的综合应用
2022年新高考浙江数学高考真题
2022年新高考全国II卷数学真题
2024年北京高考数学真题
考点7：数列新定义问题
2022年新高考北京数学高考真题
2024年上海夏季高考数学真题
2023年北京卷、2024年北京卷
考点8：数列通项与求和问题
2024年高考全国甲卷数学（理）真题
2024年天津高考数学真题
2023年高考全国甲卷数学（理）真题
2022年新高考天津数学高考真题
考点9：数列不等式
2023年天津高考数学真题
2023年全国Ⅱ卷、2022年全国I卷