三年（2022-2024）高考数学真题分类汇编（全国通用）专题14 坐标系与参数方程、不等式选讲（四大考点）（解析版）

这是一份三年（2022-2024）高考数学真题分类汇编（全国通用）专题14 坐标系与参数方程、不等式选讲（四大考点）（解析版），共8页。试卷主要包含了设，函数，已知.，已知实数满足等内容，欢迎下载使用。

考点1：不等式选讲之面积问题
1．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）设，函数．
(1)求不等式的解集；
(2)若曲线与轴所围成的图形的面积为2，求．
【解析】（1）若,则,
即,解得,即,
若,则,
解得,即,
综上,不等式的解集为.
（2）.
画出的草图,则与轴围成,
的高为,所以,
所以,解得.
2．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）已知.
(1)求不等式的解集；
(2)在直角坐标系中，求不等式组所确定的平面区域的面积.
【解析】（1）依题意，，
不等式化为：或或，
解，得无解；解，得，解，得，因此，
所以原不等式的解集为：
（2）作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影，
由，解得，由, 解得，又，
所以的面积.
考点2：不等式选讲之证明不等式、范围问题
3．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）已知实数满足．
(1)证明：；
(2)证明：．
【解析】（1）因为，
当时等号成立，则，
因为，所以;
（2）
4．（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）已知a，b，c均为正数，且，证明：
(1)；
(2)若，则．
【解析】（1）[方法一]：【最优解】柯西不等式
由柯西不等式有，
所以，当且仅当时，取等号，所以.
[方法二]：基本不等式
由，，， ，
当且仅当时，取等号，所以.
（2）证明：因为，，，，由（1）得，
即，所以，
由权方和不等式知，
当且仅当，即，时取等号，
所以.
5．（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）已知a，b，c都是正数，且，证明：
(1)；
(2)；
【解析】（1）证明：因为，，，则，，，
所以，
即，所以，当且仅当，即时取等号．
（2）证明：因为，，，
所以，，，
所以，，
当且仅当时取等号．
考点3：直角坐标方程与极坐标方程互化
6．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）已知点，直线（t为参数），为的倾斜角，l与x轴正半轴，y轴正半轴分别交于A，B两点，且．
(1)求；
(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求l的极坐标方程．
【解析】（1）因为与轴，轴正半轴交于两点，所以，
令，，令，，
所以，所以，
即，解得，
因为，所以．
（2）由（1）可知，直线的斜率为，且过点，
所以直线的普通方程为：，即，
由可得直线的极坐标方程为．
7．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，曲线：（为参数，）.
(1)写出的直角坐标方程；
(2)若直线既与没有公共点，也与没有公共点，求的取值范围.
【解析】（1）因为，即，可得，
整理得，表示以为圆心，半径为1的圆，
又因为，
且，则，则，
故.
（2）因为（为参数，），
整理得，表示圆心为，半径为2，且位于第二象限的圆弧，
如图所示，若直线过，则，解得；
若直线，即与相切，则，解得，
若直线与均没有公共点，则或，
即实数的取值范围.
8．（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）在直角坐标系中，曲线的参数方程为（t为参数），曲线的参数方程为（s为参数）．
(1)写出的普通方程；
(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，求与交点的直角坐标，及与交点的直角坐标．
【解析】（1）因为，，所以，即的普通方程为．
（2）因为，所以，即的普通方程为，
由，即的普通方程为．
联立，解得：或，即交点坐标为，；
联立，解得：或，即交点坐标为，．
9．（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）在直角坐标系中，曲线C的参数方程为，（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为．
(1)写出l的直角坐标方程；
(2)若l与C有公共点，求m的取值范围．
【解析】（1）因为l：，所以，
又因为，所以化简为，
整理得l的直角坐标方程：
（2）[方法一]：【最优解】参数方程
联立l与C的方程，即将，代入中，
可得，
化简为，
要使l与C有公共点，则有解，
令，则，令，，
对称轴为，开口向上，
，
，
，即m的取值范围为.
[方法二]：直角坐标方程
由曲线的参数方程为，为参数，消去参数，可得，
联立，得，即，即有，即，的取值范围是．
【整体点评】方法一：利用参数方程以及换元，转化为两个函数的图象有交点，是该题的最优解；
方法二：通过消参转化为直线与抛物线的位置关系，再转化为二次函数在闭区间上的值域，与方法一本质上差不多，但容易忽视的范围限制而出错．
考点4：的几何意义
10．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
(1)写出的直角坐标方程；
(2)设直线l：（为参数），若与l相交于两点，若，求.
【解析】（1）由，将代入，
故可得，两边平方后可得曲线的直角坐标方程为.
（2）对于直线的参数方程消去参数，得直线的普通方程为.
法1：直线的斜率为，故倾斜角为，
故直线的参数方程可设为，.
将其代入中得
设两点对应的参数分别为，则，
且，故，
，解得.
法2：联立，得，
，解得，
设,，
则，
解得
考点
三年考情（2022-2024）
命题趋势
考点1：不等式选讲之面积问题
2023年高考全国甲卷数学（理）真题
2023年高考全国乙卷数学（理）真题
高考对选做题的考查相对稳定，考查内容、频率、题型、难度均变化不大．不等式选讲主要以证明不等式为主，坐标系与参数方程主要以考察直角坐标方程与极坐标方程互化为主.
考点2：不等式选讲之证明不等式、范围问题
2024年高考全国甲卷数学（理）真题
2022年高考全国甲卷数学（理）真题
2022年高考全国乙卷数学（理）真题
考点3：直角坐标方程与极坐标方程互化
2023年高考全国甲卷数学（理）真题
2023年高考全国乙卷数学（理）真题
2022年高考全国甲卷数学（理）真题
2022年高考全国乙卷数学（理）真题
考点4：的几何意义
2024年高考全国甲卷数学（理）真题