2023-2024学年浙江省杭州市下城区启正中学八年级（下）月考数学试卷（3月份）

这是一份2023-2024学年浙江省杭州市下城区启正中学八年级（下）月考数学试卷（3月份），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）下列图形是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．（3分）下列各式中，最简二次根式是（ ）
A．B．C．D．
3．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
4．（3分）若x＝2是关于x的一元二次方程x2+mx﹣2＝0的一个根，则m的值为（ ）
A．1B．3C．﹣1D．﹣3
5．（3分）若一个八边形的每个内角都相等，则该八边形的每一个内角的度数为（ ）
A．45°B．135°C．150°D．1080°
6．（3分）用配方法解一元二次方程p2﹣2p﹣5＝0时，可配方得（ ）
A．（p+1）2＝6B．（p+2）2＝9C．（p﹣1）2＝6D．（p﹣2）2＝9
7．（3分）为了美化环境，2021年某市的绿化投资额为20万元，2023年的绿化投资额为45万元，则这两年该市绿化投资额的年平均增长率为（ ）
A．40%B．50%C．60%D．70%
8．（3分）用反证法证明“四边形至少有一个角是钝角或直角”时，应先假设（ ）
A．四边形中每个角都是锐角
B．四边形中每个角都是钝角或直角
C．四边形中有三个角是锐角
D．四边形中有三个角是钝角或直角
9．（3分）如图，在矩形ABCD中，AD＝6，AB＝4，点E、G、H、F分别在AB、BC、CD、AD上，且AF＝CG＝2，BE＝DH＝1，点P是直线EF、GH之间任意一点，连接PE、PF、PG、PH，则图中阴影面积（△PEF和△PGH的面积和）等于（ ）
A．7B．8C．12D．14
10．（3分）如图，四边形ABCD，对角线BD⊥AB，且平分∠ADC，O为BD的中点．在AD上取一点G，使CG⊥BD，E为垂足，取AC中点F，连结BF．下列五句判断：①AO＝2BO；②EF∥AD；③AG＝2BF；④连结DF，则四边形BCDF是平行四边形；⑤FB＝2GE．其中判断正确的是（ ）
A．①③④B．③④⑤C．②④⑤D．②③④
二、填空题（本题有6个小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）二次根式，则x的取值范围是 ．
12．（3分）把一元二次方程化成一般形式是 ．
13．（3分）如图，是一座建筑物的截面图，高BC＝8m，坡面AB的坡度为，则斜坡AB的长度为 ．
14．（3分）已知x2+2（n+1）x+4n是一个关于x的完全平方式，则常数n＝ ．
15．（3分）我国三国时期的数学家赵爽（公元3～4世纪）研究过一元二次方程的正数解的几何解法．以方程x2+5x﹣14＝0，即x（x+5）＝14为例说明，他在其所著的《勾股圆方图注》中记载的方法是：构造如图中大正方形的面积是（x+x+5）2同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即4×14+52，因此x＝2．小明用此方法解关于x的方程x2+mx﹣n＝0时，构造出同样的图形，已知大正方形的面积为14，小正方形的面积为4，则m＝ ，n＝ ．
16．（3分）在▱ABCD，∠DAB、∠ABC的平分线分别与边CD交于点M、N，若点C、D、M、N相邻两点间的距离相等，则的值为 ．
三、解答题（本题有8个小题，共72分）
17．（6分）计算：
（1）；
（2）．
18．（6分）解方程：
（1）x2﹣6x＝﹣8；
（2）x（x+4）＝3x+12．
19．（8分）如图，一个长方形被分割成四部分．其中图形①、②、③都是正方形，且正方形①、③的面积分别为24和3．
（1）求图②的边长；
（2）求图中阴影部分的面积．
20．（8分）如图，方格纸中有三个点A，B，C，要求作一个四边形使这三个点在这个四边形的边（包括顶点）上，且四边形的顶点在方格的顶点上．
（1）在甲图中作出的四边形是中心对称图形但不是轴对称图形；
（2）在乙图中作出的四边形是轴对称图形但不是中心对称图形；
（3）在丙图中作出的四边形既是轴对称图形又是中心对称图形．
21．（10分）如图，E，F是▱ABCD的对角线AC上两点，DF∥BE．
（1）求证：四边形DEBF为平行四边形；
（2）若AC＝8，AB＝6，∠CAB＝30°，求平行四边形ABCD的面积．
22．（10分）定义：若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足b＝ac．则称此方程为“蛟龙”方程．
（1）当b＜0时，判断此时“蛟龙”方程ax2+bx+c＝0（a≠0）解的情况，并说明理由．
（2）若“蛟龙”方程2x2+mx+n＝0 有两个相等的实数根，请解出此方程．
23．（12分）根据以下素材，完成探索任务：
24．（12分）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，BD＝2AB，E，F，H分别是OD，OA，CB的中点，FH交BD于点G．
（1）求证：线段FH与线段BE互相平分；
（2）若EF＝12，求GH的长度；
（3）求OG：CD的值．
2023-2024学年浙江省杭州市下城区启正中学八年级（下）月考数学试卷（3月份）
参考答案与试题解析
一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，共30分）
1．【分析】根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
【解答】解：选项A、B、C都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
选项D能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：D．
【点评】本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
2．【分析】被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；被开方数的因数是整数，因式是整式．那么，这个根式叫做最简二次根式．
【解答】解：A、，被开方数含分母，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
B、，被开方数中含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
C、是最简二次根式，故本选项符合题意；
D、，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了最简二次根式的定义，能熟记最简二次根式的定义是解此题的关键，
3．【分析】根据二次根式加减乘除法运算的计算法则计算即可求解．
【解答】解：A、不能合并，不符合题意；
B、5﹣4＝，不符合题意；
C、×＝3，符合题意；
D、÷＝，不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，关键是熟练掌握计算法则正确进行计算．
4．【分析】将x＝2代入方程x2+mx﹣2＝0得到关于m的方程求解即可．
【解答】解：将x＝2代入方程x2+mx﹣2＝0
得：4+2m﹣2＝0，解得：m＝﹣1．
故选：C．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的根的定义，将已知方程的一个根代入方程得到新的方程是解答本题关键．
5．【分析】根据多边形内角和的计算方法求出八边形的内角和，再根据各个内角都相等，进而求出每一个内角的度数．
【解答】解：这个八边形的内角和为（8﹣2）×180°＝1080°，
由于这个八边形的每个内角都相等，所以该八边形的每一个内角的度数为1080°÷8＝135°，
故选：B．
【点评】本题考查多边形的内角与外角，掌握多边形内角和的计算公式是正确解答的前提．
6．【分析】先根据等式的性质移项，再配方，即可得出选项．
【解答】解：p2﹣2p﹣5＝0，
p2﹣2p＝5，
配方得：p2﹣2p+1＝5+1，
（p﹣1）2＝6，
故选：C．
【点评】本题考查了解一元二次方程，能正确配方是解此题的关键，解一元二次方程的方法有直接开平方法，公式法，配方法，因式分解法等．
7．【分析】设这两年该市绿化投资额的年平均增长率为x，利用2023年该市的绿化投资额＝2021年该市的绿化投资额×（1+这两年该市绿化投资额的年平均增长率）2，可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【解答】解：设这两年该市绿化投资额的年平均增长率为x，
根据题意得：20（1+x）2＝45，
解得：x1＝0.5＝50%，x2＝﹣2.5（不符合题意，舍去），
∴这两年该市绿化投资额的年平均增长率为50%．
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
8．【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立．
【解答】解：用反证法证明“四边形中至少有一个角是钝角或直角”时第一步应假设：四边形中每个角都是锐角．
故选：A．
【点评】此题考查了反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
9．【分析】根据题目数据可以证明△AEF与△CGH全等，根据全等三角形对应边相等可得EF＝GH，同理可得EG＝FH，然后根据两组对边相等的四边形是平行四边形可得四边形EGHF是平行四边形，所以△PEF和△PGH的面积和等于平行四边形EGHF的面积的一半，再利用平行四边形EGHF的面积等于矩形ABCD的面积减去四周四个小直角三角形的面积即可求解．
【解答】解：连接EG，FH，
∵在矩形ABCD中，AD＝6，AB＝4，AF＝CG＝2，BE＝DH＝1，
∴AE＝AB﹣BE＝4﹣1＝3，
CH＝CD﹣DH＝4﹣1＝3，
∴AE＝CH，
在△AEF与△CGH中，
，
∴△AEF≌△CGH（SAS），
∴EF＝GH，
同理可得，△BGE≌△DFH，
∴EG＝FH，
∴四边形EGHF是平行四边形，
∵△PEF和△PGH的高的和等于点H到直线EF的距离，
∴△PEF和△PGH的面积和＝×平行四边形EGHF的面积，
平行四边形EGHF的面积
＝4×6﹣×2×3﹣×1×（6﹣2）﹣×2×3﹣×1×（6﹣2），
＝24﹣3﹣2﹣3﹣2，
＝14，
∴△PEF和△PGH的面积和＝×14＝7．
故选：A．
【点评】本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定与性质，作出辅助线并证明出四边形EGHF是平行四边形是解题的关键．
10．【分析】根据含30°角直角三角形的性质即可判定①；根据题意证明出△GED≌△CED（ASA），得到GE＝CE，然后利用三角形中位线的性质即可判定②；延长AB，DC交于点H，然后证明出△ABD≌△HBD（ASA），得到AB＝HB，然后得到BF是△AHC的中位线，得到BF∥DH，然后结合等边对等角得到∠FEB＝∠FBD，然后结合AG＝2FE即可判断③；连接FD，证明出△FOB≌△COD（ASA），得到FB＝CD，然后结合FB∥CD，即可证明出四边形BCDF是平行四边形，进而可判断④；由GC＝2GE，FB＝CD，而GC≠CD，从而得到FB≠2GE，即可判断⑤．
【解答】解：∵BD⊥AB，但∠BAO≠30°，
∴AO≠2BO，故①错误；
∵CG⊥BD，
∴∠GED＝∠CED，
∵BD平分∠ADC，
∴∠GDE＝∠CDE，
又∵DE＝DE，
∴△GED≌△CED（ASA），
∴GE＝CE，
∵AC中点为F，
∴EF∥AD，故②正确；
如图所示，延长AB，DC交于点H
∵BD⊥AB，
∴∠ABD＝∠HBD＝90°，
∵∠GDE＝∠CDE，BD＝BD，
∴△ABD≌△HBD（ASA），
∴AB＝HB，
∵点F为AC的中点，
∴BF是△AHC的中位线，
∴BF∥DH，
∴∠FBD＝∠HDE，
∵∠GDE＝∠CDE，
∴∠FBD＝∠GDE，
∵EF∥AD，
∴∠FEB═∠GDE＝∠FBD，
∴FB＝FE，
∵EF是△AGC的中位线，
∴AG＝2FE，
∴AG＝2BF，故③正确；
如图所示，连接FD，
∵∠FBO＝∠CDO，OB＝OD，∠FOB＝∠COD，
∴△FOB≌△COD（ASA），
∴FB＝CD，
又∵FB∥CD，
∴四边形BCDF是平行四边形，故④正确；
∵GC＝2GE，FB＝CD，而GC≠CD，
∴FB≠2GE，故⑤错误，
综上所述，其中判断正确的是②③④．
故选：D．
【点评】本题综合考查了中位线定理、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质和判定、平行四边形的判定等知识点．掌握相关结论是解题关键．
二、填空题（本题有6个小题，每小题3分，共18分）
11．【分析】根据二次根式的被开方数是非负数即可得出答案．
【解答】解：根据题意知：3+x≥0，
解得x≥﹣3．
故答案为：x≥﹣3．
【点评】考查了二次根式的意义和性质．概念：式子（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
12．【分析】根据一元二次方程的一般形式：形如ax2+bx+c＝0（a，b，c为常数且a≠0），进行计算即可解答．
【解答】解：，
x2﹣3+x2﹣4x+4＝2，
x2﹣3+x2﹣4x+4﹣2＝0，
2x2﹣4x﹣1＝0，
故答案为：2x2﹣4x﹣1＝0．
【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式，准确熟练地进行计算是解题的关键．
13．【分析】根据坡度求得∠A＝30°，解Rt△ABC，即可求解．
【解答】解：依题意，，
∴∠A＝30°．
在Rt△ABC中，BC＝8m，
∴．
故答案为：16m．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，求得是∠A＝30°解题的关键．
14．【分析】利用x2+2（n+1）x+4n是一个关于x的完全平方式，则x2+2（n+1）x+4n＝0的判别式等于0，据此即可求得n的值．
【解答】解：根据题意得：[2（n+1）]2﹣4×4n＝0，
解得：n＝1．
故答案为：1．
【点评】本题考查了完全平方式的定义以及根的判别式，得出判别式等于0是关键．
15．【分析】画出方程x2+mx﹣n＝0的拼图过程，由面积之间的关系得m2＝4，4n＝14﹣4，即可求解．
【解答】解：如图，
由题意得：m2＝4，4n＝14﹣4，
解得：m＝2，负值舍去，．
故答案为：2，．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，理解一元二次方程的正数解的几何解法是解题的关键．
16．【分析】设AD＝a，则BC＝a，①当点N在点M左侧时，得出DM＝CN＝AD＝a，再得出DN＝MN＝CM，进而得出AB＝a，即可得出答案；②当点N在点M右侧时，得出DM＝CN＝AD＝a，进而得出AB＝CD＝3a，即可得出答案．
【解答】解：在▱ABCD中，CD＝AB，BC＝AD，AB∥CD，
∴∠AMD＝∠MAB，
∵AM平分∠BAD，
∴∠DAM＝∠BAM，
∴∠DAM＝∠AMD，
∴DM＝AD，
同理BC＝CN，
∴DM＝CN＝AD，
设AD＝a，则BC＝a，
①当点N在点M左侧时，如图1，
∴DM＝CN＝AD＝a，
∵点C，D，M，N相邻两点间的距离相等，
∴DN＝MN＝CM，
设DN＝MN＝CN＝x，
∴DM+CN＝DN+MN+MN+CM＝4x＝2a，
∴x＝a，
∴CM＝a，
∴AB＝CD＝DM+CM＝a，
∴；
②当点N在点M右侧时，如图2，
∵DM＝CN＝AD＝a，
∵点C，D，M，N相邻两点间的距离相等，
∴DM＝MN＝CM＝a，
∴AB＝CD＝DM+MN+MN＝3a，
∴；
即的值为或．
故答案为：或．
【点评】此题主要考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定，得出DM＝CN＝AD是解本题的关键．
三、解答题（本题有8个小题，共72分）
17．【分析】（1）根据二次根式的乘法法则，先算乘法，再算减法；
（2）根据分母有理化，二次根式的除法法则化简，再算减法．
【解答】解：（1）
＝
＝；
（2）
＝
＝
＝
＝．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解决问题的关键．
18．【分析】（1）移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；
（2）移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
【解答】解：（1）x2﹣6x＝﹣8，
x2﹣6x+8＝0，
（x﹣4）（x﹣2）＝0，
∴x﹣4＝0或x﹣2＝0，
∴x1＝4，x2＝2；
（2）x（x+4）＝3x+12，
x（x+4）＝3（x+4），
x（x+4）﹣3（x+4）＝0，
（x+4）（x﹣3）＝0，
∴x+4＝0或x﹣3＝0，
∴x1＝﹣4，x2＝3．
【点评】本题考查了解一元二次方程，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键．
19．【分析】根据开方运算，可得正方形①、正方形②的边长，根据线段的和差，可得阴影的长、阴影的宽，根据矩形的面积，可得答案．
【解答】解：（1）正方形①的边长是＝2，
正方形③的边长是，
正方形②的边长是（2﹣），
（2）阴影的宽是（2﹣﹣）＝4﹣2，
图中阴影部分的面积是：×（2﹣2）＝6﹣6．
【点评】本题考查了算术平方根，利用开方得出正方形①、正方形②的边长，利用线段的和差得出阴影的长、阴影的宽是解题关键．
20．【分析】（1）平行四边形是中心对称图形但不是轴对称图形；
（2）等腰梯形是轴对称图形但不是中心对称图形；
（3）正方形既是轴对称图形又是中心对称图形．
【解答】解：（1）甲图：平行四边形，
（2）乙图：等腰梯形，
（3）丙图：正方形．
【点评】本题考查了轴对称图形和中心对称图形，熟练掌握几个常见的四边形是哪类图形是关键：①平行四边形是中心对称图形但不是轴对称图形；②等腰梯形是轴对称图形但不是中心对称图形；③矩形、菱形、正方形既是轴对称图形又是中心对称图形．
21．【分析】（1）由平行四边形的性质得CD∥AB，CD＝AB，则∠DCF＝∠BAE，由DF∥BE，得∠CFD＝∠AEB，即可证明△CFD≌△AEB，得DF＝BE，则四边形DEBF是平行四边形；
（2）作CG⊥AB交AB的延长线于点G，因为∠CAB＝30°，所以CG＝AC＝4，则S平行四边形ABCD＝6×4＝24．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，CD＝AB，
∴∠DCF＝∠BAE，
∵DF∥BE，
∴∠CFD＝∠AEB，
在△CFD和△AEB中，
，
∴△CFD≌△AEB（AAS），
∴DF＝BE，
∴四边形DEBF是平行四边形．
（2）解：作CG⊥AB交AB的延长线于点G，则∠G＝90°，
∵∠CAB＝30°，AC＝8，AB＝6，
∴CG＝AC＝×8＝4，
∴S平行四边形ABCD＝AB•CG＝6×4＝24，
∴平行四边形ABCD的面积是24．
【点评】此题重点考查平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半、平行四边形的面积公式等知识，证明△CFD≌△AEB是解题的关键．
22．【分析】（1）根据“蛟龙”方程的定义得b＝ac，故Δ＝b2﹣4ac＝b2﹣4b＝b（b﹣4），当b＜0时，Δ＞0，根据判别式的意义即可得出结论；
（2）根据“蛟龙”方程的定义得m＝2n，根据判别式的意义得Δ＝m2﹣4×2n＝4n2﹣8n＝0，求出n，进而得到方程的解．
【解答】解：（1）“蛟龙”方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个不相等的实数根，理由如下：
∵一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）为“蛟龙”方程，
∴b＝ac，
∵b＜0，
∴Δ＝b2﹣4ac＝b2﹣4b＝b（b﹣4）＞0，
∴“蛟龙”方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个不相等的实数根；
（2）∵方程2x2+mx+n＝0为“蛟龙”方程，
∴m＝2n，
∵方程2x2+mx+n＝0 有两个相等的实数根，
∴Δ＝m2﹣4×2n＝4n2﹣8n＝0，
∴n＝0或2，
当n＝0时，方程为2x2＝0，解得 x1＝x2＝0；
当n＝2时，方程为2x2+4x+2＝0，解得 x1＝x2＝﹣1．
故此方程的解为0或﹣1．
【点评】此题考查了根的判别式，解一元二次方程等知识，解题的关键是了解“蛟龙”方程的定义，难度不大．
23．【分析】任务1：证明△CFE为等腰直角三角形，得出EF＝CF，设AF＝x cm，则EF＝CF＝（60﹣x）cm，得出x（60﹣x）＝800，解得：x1＝20，x2＝40，得出甲同学所裁出的矩形纸片的两边长为20cm和40cm；
任务2：分两种情况讨论：当MQ：PQ＝1：2时，当MQ：PQ＝2：1时，先分别求出矩形的边长，再求出矩形的面积即可；
任务3：分两种情况：按照图1方式裁剪时，按照图2方式裁剪时，分别求出能够裁剪出的矩形的最大面积，然后比较即可．
【解答】解：任务1：∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠B＝∠C＝45°，
∵四边形ADEF为矩形，
∴AD＝EF，DE＝AF，∠AFE＝90°，
∴∠CFE＝180°﹣90°＝90°，
∴△CFE为等腰直角三角形，
∴EF＝CF，
设AF＝x cm，则EF＝CF＝（60﹣x）cm，
∴x（60﹣x）＝800，
解得：x1＝20，x2＝40，
当AF＝20cm时，EF＝60﹣20＝40（cm），
当AF＝40cm时，EF＝60﹣40＝20（cm），
即甲同学所裁出的矩形纸片的两边长为20cm和40cm；
任务2：当MQ：PQ＝1：2时，设MQ＝NP＝x cm，则PQ＝2x cm，
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴，
∠B＝∠C＝45°，
∵四边形MNPQ为矩形，
∴∠MQP＝∠NPQ＝90°，
∴∠MQB＝∠CPN＝180°﹣90°＝90°，
∴△MBQ和△CPN为等腰直角三角形，
∴BQ＝MQ，CP＝NP，
∴BQ＝CP＝MQ＝x，
∴，
解得：，
即，，
即此时矩形面积为；
当MQ：PQ＝2：1时，设MQ＝NP＝2x cm，则PQ＝x cm，
∵四边形MNPQ为矩形，
∴∠MQB＝∠CPN＝180°﹣90°＝90°，
∴BQ＝MQ，CP＝NP，
∴BQ＝CP＝MQ＝2x cm，
∴，
解得：，
即，，
即此时矩形面积为；
综上分析可知，符合乙同学裁剪方案的矩形纸片的面积为900cm2或576cm2．
任务3：当按照图2方式裁剪时，设矩形的面积为y cm2，AF＝x cm（0＜x＜60cm），则EF＝CF＝（60﹣x）cm，根据题意得：
y＝x（60﹣x）＝﹣x2+60x＝﹣（x﹣30）2+900，
∴当x＝30时，y最大，最大值为900
当按照图3方式裁剪时，设矩形的面积为S cm2，MQ＝tcm（0＜t＜30cm），则BQ＝CP＝MQ＝tcm，
∴，
根据题意得：，
∴当时，S最大，且最大值为900，
即此时矩形的最大面积为900cm2；
综上分析可知，矩形纸片的最大面积为900cm2．
【点评】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，勾股定理，一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意数形结合，注意分类讨论．
24．【分析】（1）连接BF，EH，由平行四边形的性质可得AD∥BC，AD＝BC，由中位线定理可知EF∥AD，，，可得EF∥BH，EF＝BH，可知四边形BFEH是平行四边形，即可证明结论；
（2）由（1）知，EF＝12，得AD＝BC＝24，由平行四边形性质结合BD＝2AB，得AB＝OB，根据等腰三角形的性质可知BF⊥OA，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半得，进而可得；
（3）由（1）（2）可知GE＝GB，OB＝AB，设OG＝x，CD＝y，利用平行四边形的性质表示出，GB＝OB﹣OG＝y﹣x，得等式整理即可求解．
【解答】（1）证明：连接BF，EH，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∵E，F，H分别是OD，OA，CB的中点，即EF为△AOD的中位线，
∴EF∥AD，，，
∴EF∥BH，EF＝BH，
∴四边形BFEH是平行四边形，
∴GH＝GF，GE＝GB，
∴线段FH与线段BE互相平分；
（2）解：由（1）知，EF＝12，
∴AD＝BC＝24，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BD＝2OB，
又∵BD＝2AB，
∴AB＝OB，
∵F为OA的中点，
∴BF⊥OA，
又∵H为BC的中点，
∴，
∵GH＝GF，
∴；
（3）由（1）（2）可知GE＝GB，OB＝AB，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，OB＝OD，
∵E为OD的中点，
∴，
设OG＝x，CD＝y，则OB＝OD＝AB＝CD＝y，
，
则，GB＝OB﹣OG＝y﹣x，
∴y+x＝y﹣x，
∴OG：CD＝1：4．
【点评】本题考查平行四边形的判定及性质，三角形中位线，直角三角形斜边中线等于斜边一半，等腰三角形的性质，熟练掌握相关图形的性质是解决问题的关键．
如何故剪出符合要求的矩形纸片？
素材1
如图1，△ABC是腰长为60cm的等腰直角三角形卡纸，甲，乙、丙三名同学分别用这样的卡纸试图裁剪出不一样的矩形纸片，并使长方形的四个顶点都在△ABC的边上．

素材2
甲同学按图2的方式裁剪，想裁出面积为800cm2的矩形纸片，乙同学按图3的方式裁剪，想裁出两边长之比为1：2的矩形纸片，丙同学想裁出面积最大的矩形纸片．

任务1
计算矩形纸片的边长
请帮甲同学计算此矩形纸片的两边长
任务2
计算矩形纸片的面积
请求出符合乙同学裁剪方案的矩形纸片的面积
任务3
计算矩形纸片的最大面积
请帮丙同学计算出面积最大的矩形纸片的面积