四川省达州市通川区2024-2025学年高三上学期开学摸底联考数学试题（解析版）

这是一份四川省达州市通川区2024-2025学年高三上学期开学摸底联考数学试题（解析版），共18页。

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
考试时间为120分钟，满分150分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据交集的定义即可求解.
【详解】由题易得．
故选:B．
2. 若复数满足，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据复数的除法运算求得，再根据复数的模长公式求解即可.
详解】由题知，所以．
故选:D．
3. 抛物线的焦点坐标为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】将抛物线的方程化为标准方程，即可得出答案.
【详解】因为抛物线的标准方程为： ，
焦点在轴正半轴上，且 ，所以焦点坐标为，
故选:B.
4. 双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】通过双曲线的几何量，结合离心率直接求解即可．
【详解】由，
得，所以，
即双曲线的离心率．
故选：B．
5. 将正整数1，2，3，…按从小到大的顺序分组，第组含个数，分组如下：，则2025在第（ ）组．
A. 9B. 10C. 11D. 12
【答案】C
【解析】
【分析】根据等比数列的前项和公式计算即可．
【详解】由题意可设前组里含有的正整数的个数为，
则，
由于，，
故2025在第11组．
故选：C．
6. 在中，内角的对边分别为，且的面积，若的平分线交于点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意由结合余弦定理可得，从而求得，再利用等面积法即可求解.
【详解】由可知，，所以，所以．
在中，由等面积法得，
即，
即，解得，故正确.
故选:A.
7. 已知面积为的正三角形的所有顶点都在球的球面上，若三棱锥的体积为，则球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意先求出外接圆半径，再求出中点到外接圆圆心的距离，从而可求解.
【详解】设球的半径为外接圆圆心为，半径为的边长为．
因为是面积为的等边三角形，所以，解得，
所以，所以，解得，
则，则球的表面积为，故正确.
故选：B.
8. 已知函数，将的图象向右平移个单位长度后得到的图象，若在上的值域为，则函数在上的零点个数为（ ）
A. 4B. 6C. 8D. 10
【答案】C
【解析】
【分析】根据三角恒等变换可得，即可根据平移得，利用整体法，结合三角函数的性质可将问题转化为的根，即可求解.
【详解】
故，
因为当时，
由于，所以
在上的值域为，
所以解得，
即的零点即为的根，
则或，即或，
所以函数在上的零点有，共8个．
故选：C．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知命题“”为真命题，则实数的值可以是（ ）
A. 2B. 0C. D.
【答案】CD
【解析】
【分析】进行参变分离，设，判断函数的单调性，求出最值即可求出的取值范围，即可求解．
【详解】因为命题“”为真命题，
所以．
令，
根据增函数减去减函数知：为增函数，
当时，有最小值，
故实数的取值范围为．
故选：CD．
10. 已知随机变量，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据正态分布的概念，识别期望与方差，利用期望和方差的性质计算，利用正太分布的图象及正态分布的对称性来求解即可．
【详解】由随机变量，
得，，，，故A正确；
，故B正确；
，故C错误；
两个随机变量的均为120，由正态分布特点知D正确．
故选：ABD．
11. 若定义在R上的偶函数y=fx，对任意两个不相等的实数，都有，则称y=fx为“函数”．下列函数为“函数”的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据题意可得“ 函数”的条件为：fx在上单调递减，在上单调递增，且fx为偶函数，对各项进行分析，从而可求解.
【详解】根据题意，对任意两个不相等的实数，都有，
变形可得，即．
若，则，可得，
即fx1>fx2,fx在0,+∞上单调递减．又为偶函数，
所以fx在上单调递增．
对A：定义域为，且，则fx为偶函数，
根据二次函数性质可得fx在上单调递减，在上单调递增，符合题意，故正确；
对：定义域为，且，则fx为偶函数，
函数，在上单调递增，在上单调递减，函数为增函数，
根据复合函数定义可知函数上单调递增，在上单调递减，故不符合题意，故错误；
对C：，定义域为，且，则fx为偶函数，
且，则fx在上单调递减，在上单调递增，故符合题意，故正确；
对D：，定义域为，且满足，则fx为偶函数，
当x>0时，，由为减函数，为增函数，
则在上单调递减，同理可得fx在上单调递增，故符合题意，故正确.
故选：ACD．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 在的展开式中，含的项的系数为____________．
【答案】
【解析】
【分析】根据二项展开式可得，从而可求解.
【详解】由题意可得的二项展开式的通项公式为，
令，可得，所以，故含的项的系数为80.
故答案：80.
13. 已知函数，若当时，函数存在最小值，则实数的取值范围是____________．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意可得在上单调递增，则得f'1<0f'2>0，从而可得存在极小值点x0∈1,2x0∈1,2，从而可求解.
【详解】由题意可得fx在时有最小值，即在1,2上有极小值即可，
因为在上单调递增，所以只需f'1<0f'2>0
即m+2<0,4+e+m>0,解得，
这时存在x0∈1,2，使得在区间上单调递减，在区间上单调递增，
即函数在区间上有极小值也即是最小值．所以的取值范围是．
故答案为：.
14. 如图，已知圆的半径为4，是圆的一条直径．两点均在圆上，，点为线段上一动点，则的取值范围是____________．
【答案】
【解析】
【分析】由平面向量的线性运算和数量积运算可得，结合的取值范围，计算即可．
【详解】如图，为圆心，连接，
则
．
因为点在线段上且，则圆心到直线的距离，所以，所以，
则，即的取值范围是，
故答案为：．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 近些年来，促进新能源汽车产业发展政策频出，新能源市场得到很大发展，销量及渗透率远超预期，新能源几乎成了各个汽车领域的热点．在对某品牌10个子工厂投资及利润的统计后，得到如下表格，分别表示第个子工厂的投资（单位：万元）和纯利润（单位：万元）．
（1）依据表中的统计数据，请判断投资与纯利润是否具有较强的线性相关程度？（参考：若，则线性相关程度一般；若，则线性相关程度较强．计算时精确度为0.01）
（2）求关于的经验回归方程（精确到0.01）．
参考数据：，．
参考公式：相关系数，对于一组具有线性相关关系的数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为．
【答案】（1）是 （2）
【解析】
【分析】（1）根据题中给出的数据，，代入相关系数公式即可求解；
（2）根据题中数据求出，然后求出，从而可求解.
【小问1详解】
依题意知，，
所以相关系数，
所以与之间具有较强的线性相关关系.
【小问2详解】
依题意知，
又因为，
所以，
所以，
所以关于的经验回归方程为.
16. 已知数列的前项和为，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据的关系，作差可得为等比数列，即可由等比通项求解，
（2）利用错位相减法，结合等比数列求和公式即可求解.
【小问1详解】
当时，，即，
当时，①，②，
①-②得，即，所以．
因为，
所以数列是首项为3，公比为3的等比数列．
则，即．
小问2详解】
由（1）得，，
所以，
，
故，
所以．
17. 如图，在三棱柱中，平面．
（1）求证：平面；
（2）设点满足，若平面与平面的夹角为，求实数．
【答案】（1）证明见解析
（2）12
【解析】
【分析】（1）根据题意由线面垂直求出，再利用线面垂直即可求解；
（2）建立空间直角坐标系，分别求出平面和平面的法向量，再利用空间向量法求出面面夹角，从而可求解.
【小问1详解】
证明：平面平面，．
又，且平面，
平面．
平面．
又平面，
平面．
【小问2详解】
由（1）知四边形为正方形，即，且有，
以点为原点，以所在直线分别为轴，以过点和平面垂直的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则．
，
．
设平面的一个法向量为，由得：
，取．
由（1）知平面平面的一个法向量为，
，解得.
所以.
18. 已知函数，当时，．
（1）求实数的值；
（2）判断函数的单调性；
（3）设，证明：对任意两个不等实数，不等式恒成立．
【答案】（1）1 （2）在上单调递增
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据函数的单调性，即可根据求解，
（2）求导，根据导数的符号即可求解，
（3）对式子变形后构造函数，即可求导，根据单调性求解最值求解.
【小问1详解】
由均在单调递增知在上单调递增，
由当时，，可知，即．
【小问2详解】
由（1）知，的定义域为，
．
令，
所以，所以在上单调递增．
【小问3详解】
．不妨设，
则要证明，
只需证明，
即，
即证．
设，则只需证明，化简得．
设，则在上恒成立，
在上单调递增，
当时，，即，得证．
【点睛】方法点睛：
1. 导函数中常用两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
2.利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用.
3.证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.
19. 定义：若椭圆上的两个点满足，则称为该椭圆的一个“共轭点对”，记作．已知椭圆的一个焦点坐标为，且椭圆过点．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）求证：有两个点满足“共轭点对”，并求出的坐标；
（3）设（2）中的两个点分别是，设为坐标原点，点在椭圆上，且，顺时针排列且，证明：四边形的面积小于．
【答案】（1）
（2）证明见解析，点的坐标为
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）由题意，根据椭圆的焦点坐标、点在椭圆上以及，，的关系列出等式即可求出椭圆的标准方程；
（2）设，根据“共轭点对”得到直线方程为，再联立方程求解；
（2）将直线的方程与椭圆方程联立，求出，的坐标，设点，，，，利用点差法得到，设过点且与直线平行的直线的方程为，求出直线与椭圆相切时的值，再检验证明此时不满足，进而证明四边形面积小于．
【小问1详解】
由题，椭圆的另一焦点为F21,0，
因此，
所以，
所以椭圆的标准方程为．
【小问2详解】
设“共轭点对”中点的坐标为Bx,y，
根据“共轭点对”定义：
点的坐标满足所以或
于是有两个点满足，且点的坐标为．
【小问3详解】
设．
设所在直线为，则的方程为．
设点，则
两式相减得．
又，于是，则，所以线段的中点在直线上．
所以线段被直线平分．
设点到直线的距离为，
则四边形的面积．
又，则有．
设过点且与直线平行的直线的方程为，则当与相切时，取得最大值．
由消去得
令，解得．
当时，方程为，即，解得，
则此时点或点必有一个和点重合，不符合条件，
从而直线与不可能相切，
即小于直线和平行直线（或）的距离，
所以．
【点睛】方法点睛：圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略：
（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；
（2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；
（3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
（4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
（5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.投入万元
32
31
33
36
37
38
39
43
45
46
纯利润万元
25
30
34
37
39
41
42
44
48
50