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    四川省达州市通川区2024-2025学年高三上学期开学摸底联考数学试题(解析版)
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    四川省达州市通川区2024-2025学年高三上学期开学摸底联考数学试题(解析版)

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    这是一份四川省达州市通川区2024-2025学年高三上学期开学摸底联考数学试题(解析版),共18页。

    1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上.
    2.回答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
    3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.
    考试时间为120分钟,满分150分
    一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
    1. 已知集合,则( )
    A. B. C. D.
    【答案】B
    【解析】
    【分析】根据交集的定义即可求解.
    【详解】由题易得.
    故选:B.
    2. 若复数满足,则( )
    A. B. C. D.
    【答案】D
    【解析】
    【分析】根据复数的除法运算求得,再根据复数的模长公式求解即可.
    详解】由题知,所以.
    故选:D.
    3. 抛物线的焦点坐标为( )
    A. B.
    C. D.
    【答案】B
    【解析】
    【分析】将抛物线的方程化为标准方程,即可得出答案.
    【详解】因为抛物线的标准方程为: ,
    焦点在轴正半轴上,且 ,所以焦点坐标为,
    故选:B.
    4. 双曲线的离心率为( )
    A. B. C. D.
    【答案】B
    【解析】
    【分析】通过双曲线的几何量,结合离心率直接求解即可.
    【详解】由,
    得,所以,
    即双曲线的离心率.
    故选:B.
    5. 将正整数1,2,3,…按从小到大的顺序分组,第组含个数,分组如下:,则2025在第( )组.
    A. 9B. 10C. 11D. 12
    【答案】C
    【解析】
    【分析】根据等比数列的前项和公式计算即可.
    【详解】由题意可设前组里含有的正整数的个数为,
    则,
    由于,,
    故2025在第11组.
    故选:C.
    6. 在中,内角的对边分别为,且的面积,若的平分线交于点,则( )
    A. B. C. D.
    【答案】A
    【解析】
    【分析】根据题意由结合余弦定理可得,从而求得,再利用等面积法即可求解.
    【详解】由可知,,所以,所以.
    在中,由等面积法得,
    即,
    即,解得,故正确.
    故选:A.
    7. 已知面积为的正三角形的所有顶点都在球的球面上,若三棱锥的体积为,则球的表面积为( )
    A. B. C. D.
    【答案】B
    【解析】
    【分析】根据题意先求出外接圆半径,再求出中点到外接圆圆心的距离,从而可求解.
    【详解】设球的半径为外接圆圆心为,半径为的边长为.
    因为是面积为的等边三角形,所以,解得,
    所以,所以,解得,
    则,则球的表面积为,故正确.
    故选:B.
    8. 已知函数,将的图象向右平移个单位长度后得到的图象,若在上的值域为,则函数在上的零点个数为( )
    A. 4B. 6C. 8D. 10
    【答案】C
    【解析】
    【分析】根据三角恒等变换可得,即可根据平移得,利用整体法,结合三角函数的性质可将问题转化为的根,即可求解.
    【详解】
    故,
    因为当时,
    由于,所以
    在上的值域为,
    所以解得,
    即的零点即为的根,
    则或,即或,
    所以函数在上的零点有,共8个.
    故选:C.
    二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
    9. 已知命题“”为真命题,则实数的值可以是( )
    A. 2B. 0C. D.
    【答案】CD
    【解析】
    【分析】进行参变分离,设,判断函数的单调性,求出最值即可求出的取值范围,即可求解.
    【详解】因为命题“”为真命题,
    所以.
    令,
    根据增函数减去减函数知:为增函数,
    当时,有最小值,
    故实数的取值范围为.
    故选:CD.
    10. 已知随机变量,则下列说法正确的是( )
    A. B.
    C. D.
    【答案】ABD
    【解析】
    【分析】根据正态分布的概念,识别期望与方差,利用期望和方差的性质计算,利用正太分布的图象及正态分布的对称性来求解即可.
    【详解】由随机变量,
    得,,,,故A正确;
    ,故B正确;
    ,故C错误;
    两个随机变量的均为120,由正态分布特点知D正确.
    故选:ABD.
    11. 若定义在R上的偶函数y=fx,对任意两个不相等的实数,都有,则称y=fx为“函数”.下列函数为“函数”的是( )
    A. B.
    C. D.
    【答案】ACD
    【解析】
    【分析】根据题意可得“ 函数”的条件为:fx在上单调递减,在上单调递增,且fx为偶函数,对各项进行分析,从而可求解.
    【详解】根据题意,对任意两个不相等的实数,都有,
    变形可得,即.
    若,则,可得,
    即fx1>fx2,fx在0,+∞上单调递减.又为偶函数,
    所以fx在上单调递增.
    对A:定义域为,且,则fx为偶函数,
    根据二次函数性质可得fx在上单调递减,在上单调递增,符合题意,故正确;
    对:定义域为,且,则fx为偶函数,
    函数,在上单调递增,在上单调递减,函数为增函数,
    根据复合函数定义可知函数上单调递增,在上单调递减,故不符合题意,故错误;
    对C:,定义域为,且,则fx为偶函数,
    且,则fx在上单调递减,在上单调递增,故符合题意,故正确;
    对D:,定义域为,且满足,则fx为偶函数,
    当x>0时,,由为减函数,为增函数,
    则在上单调递减,同理可得fx在上单调递增,故符合题意,故正确.
    故选:ACD.
    三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
    12. 在的展开式中,含的项的系数为____________.
    【答案】
    【解析】
    【分析】根据二项展开式可得,从而可求解.
    【详解】由题意可得的二项展开式的通项公式为,
    令,可得,所以,故含的项的系数为80.
    故答案:80.
    13. 已知函数,若当时,函数存在最小值,则实数的取值范围是____________.
    【答案】
    【解析】
    【分析】根据题意可得在上单调递增,则得f'1<0f'2>0,从而可得存在极小值点x0∈1,2x0∈1,2,从而可求解.
    【详解】由题意可得fx在时有最小值,即在1,2上有极小值即可,
    因为在上单调递增,所以只需f'1<0f'2>0
    即m+2<0,4+e+m>0,解得,
    这时存在x0∈1,2,使得在区间上单调递减,在区间上单调递增,
    即函数在区间上有极小值也即是最小值.所以的取值范围是.
    故答案为:.
    14. 如图,已知圆的半径为4,是圆的一条直径.两点均在圆上,,点为线段上一动点,则的取值范围是____________.
    【答案】
    【解析】
    【分析】由平面向量的线性运算和数量积运算可得,结合的取值范围,计算即可.
    【详解】如图,为圆心,连接,


    因为点在线段上且,则圆心到直线的距离,所以,所以,
    则,即的取值范围是,
    故答案为:.
    四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
    15. 近些年来,促进新能源汽车产业发展政策频出,新能源市场得到很大发展,销量及渗透率远超预期,新能源几乎成了各个汽车领域的热点.在对某品牌10个子工厂投资及利润的统计后,得到如下表格,分别表示第个子工厂的投资(单位:万元)和纯利润(单位:万元).
    (1)依据表中的统计数据,请判断投资与纯利润是否具有较强的线性相关程度?(参考:若,则线性相关程度一般;若,则线性相关程度较强.计算时精确度为0.01)
    (2)求关于的经验回归方程(精确到0.01).
    参考数据:,.
    参考公式:相关系数,对于一组具有线性相关关系的数据,其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为.
    【答案】(1)是 (2)
    【解析】
    【分析】(1)根据题中给出的数据,,代入相关系数公式即可求解;
    (2)根据题中数据求出,然后求出,从而可求解.
    【小问1详解】
    依题意知,,
    所以相关系数,
    所以与之间具有较强的线性相关关系.
    【小问2详解】
    依题意知,
    又因为,
    所以,
    所以,
    所以关于的经验回归方程为.
    16. 已知数列的前项和为,且.
    (1)求数列的通项公式;
    (2)求数列的前项和.
    【答案】(1)
    (2)
    【解析】
    【分析】(1)根据的关系,作差可得为等比数列,即可由等比通项求解,
    (2)利用错位相减法,结合等比数列求和公式即可求解.
    【小问1详解】
    当时,,即,
    当时,①,②,
    ①-②得,即,所以.
    因为,
    所以数列是首项为3,公比为3的等比数列.
    则,即.
    小问2详解】
    由(1)得,,
    所以,

    故,
    所以.
    17. 如图,在三棱柱中,平面.
    (1)求证:平面;
    (2)设点满足,若平面与平面的夹角为,求实数.
    【答案】(1)证明见解析
    (2)12
    【解析】
    【分析】(1)根据题意由线面垂直求出,再利用线面垂直即可求解;
    (2)建立空间直角坐标系,分别求出平面和平面的法向量,再利用空间向量法求出面面夹角,从而可求解.
    【小问1详解】
    证明:平面平面,.
    又,且平面,
    平面.
    平面.
    又平面,
    平面.
    【小问2详解】
    由(1)知四边形为正方形,即,且有,
    以点为原点,以所在直线分别为轴,以过点和平面垂直的直线为轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
    则.


    设平面的一个法向量为,由得:
    ,取.
    由(1)知平面平面的一个法向量为,
    ,解得.
    所以.
    18. 已知函数,当时,.
    (1)求实数的值;
    (2)判断函数的单调性;
    (3)设,证明:对任意两个不等实数,不等式恒成立.
    【答案】(1)1 (2)在上单调递增
    (3)证明见解析
    【解析】
    【分析】(1)根据函数的单调性,即可根据求解,
    (2)求导,根据导数的符号即可求解,
    (3)对式子变形后构造函数,即可求导,根据单调性求解最值求解.
    【小问1详解】
    由均在单调递增知在上单调递增,
    由当时,,可知,即.
    【小问2详解】
    由(1)知,的定义域为,

    令,
    所以,所以在上单调递增.
    【小问3详解】
    .不妨设,
    则要证明,
    只需证明,
    即,
    即证.
    设,则只需证明,化简得.
    设,则在上恒成立,
    在上单调递增,
    当时,,即,得证.
    【点睛】方法点睛:
    1. 导函数中常用两种常用的转化方法:一是利用导数研究含参函数的单调性,常化为不等式恒成立问题.注意分类讨论与数形结合思想的应用;二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理.
    2.利用导数解决含参函数的单调性问题时,一般将其转化为不等式恒成立问题,解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用.
    3.证明不等式,构造一个适当的函数,利用它的单调性进行解题,是一种常用技巧.许多问题,如果运用这种思想去解决,往往能获得简洁明快的思路,有着非凡的功效.
    19. 定义:若椭圆上的两个点满足,则称为该椭圆的一个“共轭点对”,记作.已知椭圆的一个焦点坐标为,且椭圆过点.
    (1)求椭圆C的标准方程;
    (2)求证:有两个点满足“共轭点对”,并求出的坐标;
    (3)设(2)中的两个点分别是,设为坐标原点,点在椭圆上,且,顺时针排列且,证明:四边形的面积小于.
    【答案】(1)
    (2)证明见解析,点的坐标为
    (3)证明见解析
    【解析】
    【分析】(1)由题意,根据椭圆的焦点坐标、点在椭圆上以及,,的关系列出等式即可求出椭圆的标准方程;
    (2)设,根据“共轭点对”得到直线方程为,再联立方程求解;
    (2)将直线的方程与椭圆方程联立,求出,的坐标,设点,,,,利用点差法得到,设过点且与直线平行的直线的方程为,求出直线与椭圆相切时的值,再检验证明此时不满足,进而证明四边形面积小于.
    【小问1详解】
    由题,椭圆的另一焦点为F21,0,
    因此,
    所以,
    所以椭圆的标准方程为.
    【小问2详解】
    设“共轭点对”中点的坐标为Bx,y,
    根据“共轭点对”定义:
    点的坐标满足所以或
    于是有两个点满足,且点的坐标为.
    【小问3详解】
    设.
    设所在直线为,则的方程为.
    设点,则
    两式相减得.
    又,于是,则,所以线段的中点在直线上.
    所以线段被直线平分.
    设点到直线的距离为,
    则四边形的面积.
    又,则有.
    设过点且与直线平行的直线的方程为,则当与相切时,取得最大值.
    由消去得
    令,解得.
    当时,方程为,即,解得,
    则此时点或点必有一个和点重合,不符合条件,
    从而直线与不可能相切,
    即小于直线和平行直线(或)的距离,
    所以.
    【点睛】方法点睛:圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略:
    (1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系,从而确定参数的取值范围;
    (2)利用已知参数的范围,求新的参数的范围,解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系;
    (3)利用隐含的不等关系建立不等式,从而求出参数的取值范围;
    (4)利用已知的不等关系建立不等式,从而求出参数的取值范围;
    (5)利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数,求其值域,从而确定参数的取值范围.投入万元
    32
    31
    33
    36
    37
    38
    39
    43
    45
    46
    纯利润万元
    25
    30
    34
    37
    39
    41
    42
    44
    48
    50

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