北京市房山区2024-2025学年高三上入学考试数学试题（解析版）

这是一份北京市房山区2024-2025学年高三上入学考试数学试题（解析版），共18页。
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用交集的定义直接求解并判断即可.
【详解】集合，所以.
故选：A
2. 若复数满足，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据复数的乘法即可得到答案.
【详解】由题意得.
故选：C.
3. 双曲线的渐近线方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定双曲线方程直接求出其渐近线方程即可.
【详解】双曲线的渐近线方程为：.
故选：C
4. 已知圆与直线相切，则（ ）
A. 2B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用点到直线的距离公式，结合圆的切线性质求解即得.
【详解】圆的圆心为，半径为，
依题意，.
故选：D
5. 的展开式中的常数项为
A. B. C. 6D. 24
【答案】D
【解析】
【分析】利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，令的指数为求出，将的值代入通项求出展开式的常数项．
【详解】解：二项式展开式的通项为，
令，解得，
所以展开式的常数项为.
故选：D
6. 设向量，则“”是“”的（ ）
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】利用垂直关系的坐标表示，结合充分条件、必要条件判断即得.
【详解】向量，则，解得或，
所以“”是“”的充分而不必要条件.
故选：A
7. 已知函数的图象与直线的相邻两个交点间的距离等于，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】化简函数解析式，由条件确定函数的周期，结合周期公式求.
【详解】由已知，
因为函数的图象与直线的相邻两个交点间的距离等于，
所以函数的最小正周期为，又，
所以，故.
故选：B.
8. 已知正四棱锥的八条棱长均为4，是底面上一个动点，，则点所形成区域的面积为（）
A. 1B. C. 4D.
【答案】B
【解析】
【分析】由，可知的轨迹为以为圆心，1为半径的圆以及圆内的点，利用圆的面积求解即可.
【详解】设顶点在底面上的射影为，连接，则为正方形的中心，如图.

易知,故.
因为当时,,
所以的轨迹为以为圆心，1为半径的圆以及圆内的点，
而正方形内切圆的圆心为，半径为，
故的轨迹在正方形内部，因此表示的区域面积为.
故选：B
9. 近年来纯电动汽车越来越受消费者的青睐，新型动力电池迎来了蓬勃发展的风口，于1898年提出蓄电池的容量（单位：），放电时间（单位：）与放电电流（单位：）之间关系的经验公式：，其中为常数.为测算某蓄电池的常数，在电池容量不变的条件下，当放电电流时，放电时间；当放电电流时，放电时间.若计算时取，，则该蓄电池的常数大约为（ ）
A. 1.25B. 1.75C. 2.25D. 2.55
【答案】C
【解析】
【分析】利用经验公式将数据代入构造方程组，再由对数运算法则可解得常数.
【详解】根据题意由可得，
两式相除可得，即可得，
两边同时取对数可得，即可得；
即.
故选：C
10. 已知集合，是集合表示的平面图形的面积，则（ ）
A. 1B. C. 2D.
【答案】B
【解析】
【分析】由集合，的元素满足的条件，找出所对应的图形，再借助图形的对称性即可求出面积．
【详解】集合表示平行直线与围成的正方形，
集合，
因此集合表示的平面图形为图中阴影部分，
由图形的对称性知：正方形内阴影部分的面积与空白部分的面积相等，
所以．
故选：B
【点睛】关键点点睛：正确找出可行域和利用对称性求出面积是解题关键.
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．
11. 抛物线的准线方程是_______
【答案】
【解析】
【分析】先根据抛物线的标准方程得到焦点在y轴上以及，再直接代入即可求出其准线方程.
【详解】因为抛物线的标准方程为，焦点在y轴上，
所以：，即，所以，
所以准线方程为：，
故答案是：.
【点睛】该题考查的是有关抛物线的几何性质，涉及到的知识点是已知抛物线的标准方程求其准线方程，属于简单题目.
12. 在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于轴对称．若，则______．
【答案】##
【解析】
【分析】根据角关于轴对称的特点即可得到答案.
【详解】因为角与角的终边关于轴对称，所以，
所以.
故答案为：.
13. 已知函数若，则______；若在上单调递增，则的一个值为______．
【答案】 ①. 0 ②. （答案不唯一）
【解析】
【分析】根据分段函数，代入求值即可；根据增函数的概念列不等式即可.
【详解】若,则时，,所以;
当x