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专题04 函数的概念与性质5题型分类-备战2025年高考数学一轮专题复习全套考点突破和专题检测（原卷版）
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这是一份专题04 函数的概念与性质5题型分类-备战2025年高考数学一轮专题复习全套考点突破和专题检测（原卷版），共18页。试卷主要包含了函数的概念，函数的单调性，函数的最值，函数的奇偶性，函数的周期性，已知函数f=，若，则a=等内容，欢迎下载使用。
1．函数的概念
2．函数的单调性
3．函数的最值
4．函数的奇偶性
5．函数的周期性
周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期.
一、单选题
1．（2024高三·全国·专题练习）函数y=f(x)的图象与直线的交点个数（ ）
A．至少1个B．至多1个C．仅有1个D．有0个、1个或多个
2．（2024高一上·湖南·期中）下列四组函数中，表示同一个函数的一组是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2024高三·全国·专题练习）下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）
A．，
B．
C．，
D．，，0，，，，0，
4．（2024·河南·模拟预测）已知函数且，则（ ）
A．-16B．16C．26D．27
5．（2024·四川乐山·一模）已知，满足，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
6．（2024·江西）已知函数f(x)=(a∈R)，若，则a=（ ）
A．B．C．1D．2
7．（2024·山东）已知函数的定义域是，若对于任意两个不相等的实数，，总有成立，则函数一定是（ ）
A．奇函数B．偶函数C．增函数D．减函数
8．（2024高一上·全国·课后作业）若定义在R上的函数f(x)对任意两个不相等的实数a，b，总有>0成立，则必有（ ）
A．f(x)在R上是增函数B．f(x)在R上是减函数
C．函数f(x)先增后减D．函数f(x)先减后增
9．（2024高三·全国·专题练习）函数的单调递增区间是（ ）
A． B． 和
C．和D． 和
10．（2024高三·全国·专题练习）函数的单调递减区间为（ ）
A．B．
C．D．
11．（2024高二下·陕西宝鸡·期末）函数的单调递减区间为（ ）
A．B．
C．D．
12．（2024高三上·山东·阶段练习）若函数（且）在区间内单调递增，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
13．（2024高一上·四川广安·期末）已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
14．（2024高三上·江西抚州·期末）已知函数在上是减函数，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
15．（2024高一上·天津红桥·期末）已知函数在上具有单调性，则实数k的取值范围为（ ）．
A．B．
C．或D．或
16．（2024·北京朝阳·一模）下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（ ）
A．B．C．D．
17．（2024·北京顺义·一模）下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（ ）
A．B．C．D．
18．（2024·北京海淀·二模）下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是（ ）
A．B．C．D．
19．（2024·全国·模拟预测）已知函数是奇函数，函数是偶函数．若，则（ ）
A．B．C．0D．
20．（2024高三·全国·专题练习）设函数与的定义域是，函数是一个偶函数，是一个奇函数，且，则等于（ ）
A．B．C．D．
21．（2024·宁夏银川·二模）已知函数，若，则（ ）
A．B．0C．1D．
22．（2024·河南·模拟预测）已知在R上单调递增，且为奇函数.若正实数a，b满足，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
23．（2024高三·重庆渝中·阶段练习）已知函数在区间的最大值是M，最小值是m，则的值等于( )
A．0B．10C．D．
24．（2024高一下·福建福州·期中）已知函数，若，则（ ）
A．等于B．等于C．等于D．无法确定
25．（2024高一上·山西长治·阶段练习）定义域为的函数满足，，若时，恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
26．（2024·全国·一模）已知定义在上的函数满足，且当时，.设在上的最大值为（），且数列的前项的和为.若对于任意正整数不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
27．（2024·四川内江·二模）定义域为的函数满足，当时，，若时，恒成立，则实数的取值范围是( )
A．B．
C．D．
28．（2024高三·全国·专题练习）设函数定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，则下列结论错误的是（ ）
A．B．为奇函数
C．在上是减函数D．方程仅有6个实数解
29．（2024·湖北·模拟预测）已知函数是定义在上的偶函数，对任意，且，有，若，则不等式的解集是（ ）
A． B．C．D．
30．（2024·广西·模拟预测）已知定义在上的函数在上单调递减，且为偶函数，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
31．（2024·北京西城·模拟预测）已知函数，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
32．（2024·河南商丘·模拟预测）已知是定义在上的奇函数，，且在上单调递增，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
33．（2024·安徽黄山·二模）已知函数，则使不等式成立的的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
34．（2024·河北唐山·一模）已知函数,则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
35．（2024高二下·江苏镇江·阶段练习）已知函数，则关于的不等式的解集为（ ）
A．B．
C．∪D．∪
二、多选题
36．（2024高一上·甘肃庆阳·期中）已知函数在区间上是偶函数，在区间上是单调函数，且，则（ ）
A．B．
C．D．
37．（2024高一上·浙江杭州·阶段练习）设函数的定义域都为R，且是奇函数，是偶函数，则下列结论正确的是（ ）
A．是偶函数B．是奇函数
C．是奇函数D．是偶函数
38．（2024·河北·模拟预测）已知函数，的定义域均为，导函数分别为，，若，，且，则（ ）
A．4为函数的一个周期B．函数的图象关于点对称
C．D．
39．（2024·山东滨州·二模）函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，且满足，函数的图象关于点对称，则（ ）
A．的图象关于点对称B．8是的一个周期
C．一定存在零点D．
40．（2024高二下·江苏南通·期末）已知函数对任意都有，若的图象关于直线对称，且对任意的，，且，都有，则下列结论正确的是（ ）．
A．是偶函数B．的周期
C．D．在单调递减
三、填空题
41．（2024高三·全国·专题练习）若，则 .
42．（2024高一下·湖北省直辖县级单位·期末）函数的定义域为 ．
43．（2024高三上·海南·阶段练习）已知正数a，b满足，则函数的定义域为 .
44．（2024高三·全国·专题练习）已知函数的定义域为， 则函数的定义域为
45．（2024高一上·全国·专题练习）已知函数定义域为 ，则函数的定义域为 .
46．（2024高三·全国·专题练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为
47．（2024高三上·宁夏银川·阶段练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为 ．
48．（2024高一上·安徽合肥·期中）若函数的定义域为R，则实数a的取值范围是 ．
49．（2024高一上·江苏南通·阶段练习）函数的定义域为，则实数a的取值范围是 .
50．（2024高一上·黑龙江佳木斯·阶段练习）若函数的定义域是R，则实数的取值范围是 .
51．（2024高三·广东深圳·阶段练习）写出一个满足：的函数解析式为 .
52．（2024高三·全国·专题练习）已知定义在上的单调函数，若对任意都有，则方程的解集为 ．
53．（2024高三·全国·专题练习）函数的值域为
54．（2024高三下·重庆渝中·阶段练习）函数的最大值为 .
55．（2024·浙江）已知函数则 ；若当时，，则的最大值是 ．
56．（2024·上海静安·二模）已知函数为偶函数，则函数的值域为 .
57．（2024高三下·四川成都·期末）已知函数是偶函数，则 ．
58．（2024高三下·湖南·阶段练习）已知函数，若是偶函数，则 ．
四、解答题
59．（2024高一上·安徽宣城·期中）根据下列条件，求的解析式
(1)已知满足
(2)已知是一次函数，且满足；
(3)已知满足
60．（2024高三·全国·专题练习）根据下列条件，求函数的解析式．
(1)已知，则的解析式为__________．
(2)已知满足，求的解析式．
(3)已知，对任意的实数x，y都有，求的解析式．
61．（2024高一上·浙江·课后作业）已知，求的解析式.
62．（2024高一上·陕西延安·阶段练习）已知函数．
(1)判断函数的单调性，并利用定义证明；
(2)若，求实数的取值范围．
63．（2024高三·全国·专题练习）设，，证明：函数是x的增函数．
64．（2024高三上·上海静安·期中）已知函数，且.
(1)求的值，并指出函数的奇偶性；
(2)在（1）的条件下，运用函数单调性的定义，证明函数在上是增函数.
65．（2024高三·全国·专题练习）利用图象判断下列函数的奇偶性：
(1)
(2)
(3)；
(4)；
(5).
66．（2024高一上·四川遂宁·期末）定义在上的函数，对任意，满足下列条件：① ②
（1）是否存在一次函数满足条件①②，若存在，求出的解析式；若不存在，说明理由.
（2）证明：为奇函数；
67．（2024高一上·安徽蚌埠·期末）已知定义在上的函数，满足：
①；
②任意的，，.
（1）求的值；
（2）判断并证明函数的奇偶性.
概念
一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数
三要素
对应关系
y＝f(x)，x∈A
定义域
x的取值范围
值域
与x对应的y的值的集合{f(x)|x∈A}
增函数
减函数
定义
一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I，如果∀x1，x2∈D
当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数
当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数
图象描述
自左向右看图象是上升的
自左向右看图象是下降的
前提
设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足
条件
(1)∀x∈I，都有f(x)≤M；
(2)∃x0∈I，使得f(x0)＝M
(1)∀x∈I，都有f(x)≥M；
(2)∃x0∈I，使得f(x0)＝M
结论
M为最大值
M为最小值
奇偶性
定义
图象特点
偶函数
一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数
关于y轴对称
奇函数
一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数
关于原点对称
（一）
函数的概念与表示
1．函数的三要素
（1）函数的三要素：定义域、对应关系、值域．
（2）如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为同一个函数．
2．函数的表示法
表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法．
3．分段函数
若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．
4．函数的定义域
（1）无论抽象函数的形式如何，已知定义域还是求定义域，均是指其中的x的取值集合．
（2）若f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出．
（3）若复合函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在[a，b]上的值域．
5．函数解析式的求法
（1）配凑法．
（2）待定系数法．
（3）换元法．
（4）解方程组法．
6．分段函数求值问题的解题思路
（1）求函数值：当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．
（2）求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验．
题型1：函数的概念与表示
1-1．（2024高二下·宁夏吴忠·学业考试）如图，可以表示函数的图象的是（ ）
A．B．
C．D．
1-2．（2024高三·全国·课后作业）下列各组函数中，表示同一个函数的是（ ）．
A．，
B．，
C．，
D．，
1-3．（2024·全国·模拟预测）已知函数，则 （ ）
A．-6B．0C．4D．6
1-4．（2024·北京朝阳·二模）函数的定义域为 .
1-5．（2024高三·全国·课后作业）已知函数的定义域为，则函数的定义域为 ．
1-6．（2024高一上·湖南邵阳·期末）已知的定义域为，那么a的取值范围为 ．
1-7．（2024高三·全国·专题练习）若函数的值域是，则函数的值域为 ．
1-8．（2024高三·全国·课后作业）函数的值域为 .
1-9．（2024高一·上海·专题练习）求下列函数的值域
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）；
（7）；
（8）
（9）；
（10）.
1-10．（2024高三·全国·专题练习）求下列函数的解析式：
(1)已知，求的解析式；
(2)已知，求的解析式；
(3)已知是一次函数且，求的解析式；
(4)已知满足，求的解析式.
（二）
函数的单调性与最值
1．函数的单调性
（1）∀x1，x2∈I且x1≠x2，有eq \f(fx1－fx2,x1－x2)>0(<0)或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0(<0)⇔f(x)在区间I上单调递增(减)．
（2）在公共定义域内，增函数＋增函数＝增函数，减函数＋减函数＝减函数．
（3）y＝f(x)(f(x)>0或f(x)<0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝eq \f(1,fx)的单调性相反．
（4）复合函数的单调性：同增异减．
2．确定函数单调性的四种方法
（1）定义法．
（2）导数法．
（3）图象法．
（4）性质法．
3．函数单调性的应用
（1）比较函数值的大小时，先转化到同一个单调区间内，然后利用函数单调性解决．
（2）求解函数不等式时，由条件脱去“f”，转化为自变量间的大小关系，应注意函数的定义域．
（3）利用单调性求参数的取值(范围)．根据其单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组))或先得到其图象的升降，再结合图象求解．对于分段函数，要注意衔接点的取值．
题型2：函数的单调性与最值
2-1．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，满足对任意的实数，且，都有，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
2-2．（2024高三上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）若函数在区间上的最大值为，则实数 .
2-3．（2024·河南·模拟预测）已知函数为定义在R上的单调函数，且，则在上的值域为 ．
2-4．（2024高三下·河南·阶段练习）已知函数且，若曲线在点处的切线与直线垂直，则在上的最大值为 .
2-5．（2024·天津河西·模拟预测）已知函数是上的偶函数，对任意，，且都有成立．若，，，则，，的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
（三）
函数的奇偶性
1．函数的奇偶性
（1）奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性．
（2）偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性．
2．函数奇偶性的判断
（1）定义域关于原点对称，否则即为非奇非偶函数．
（2）判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立．
3．函数奇偶性的应用
（1）利用函数的奇偶性可求函数值或求参数的取值，求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的函数或得到参数的恒等式，利用方程思想求参数的值．
（2）利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象，结合几何直观求解相关问题．
题型3：函数的奇偶性
3-1．（2024·广东湛江·二模）已知奇函数则 ．
3-2．（2024高三·全国·专题练习）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则函数的解析式为 ．
3-3．（2024·新疆阿勒泰·一模）若函数为偶函数，则 .
3-4．（2024高三下·江西·阶段练习）若函数是偶函数，则 ．
3-5．（2024高一上·安徽蚌埠·期末）已知定义在上的函数，满足：①；②为奇函数；③，；④任意的，，.
（1）判断并证明函数的奇偶性；
（2）判断并证明函数在上的单调性.
（四）
函数的周期性
1．函数周期性常用结论
（1）若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0)．
（2）若f(x＋a)＝eq \f(1,fx)，则T＝2a(a>0)．
2．函数的周期性
（1）求解与函数的周期有关的问题，应根据题目特征及周期定义，求出函数的周期．
（2）利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化到已知区间上，进而解决问题．
题型4：函数的周期性
4-1．（2024高一下·全国·课后作业）在如图所示的的图象中，若，则 .
4-2．（2024高一上·陕西宝鸡·期末）已知是定义在上的函数，对任意实数都有，且当时，，则 .
4-3．（2024高三·全国·对口高考）已知是定义在上的偶函数，并且满足，当时，，则等于（ ）
A．B．C．D．
4-4．（2024高一下·全国·课后作业）函数是以4为周期的周期函数，且当时，，试求当时，的解析式.
（五）
函数的对称性
1、函数自身的对称性
(1)函数的图像关于点对称的充要条件是：
，即。
推论：函数的图像关于原点对称的充要条件是。
(2)函数的图像关于直线对称的充要条件是：
，即。
推论：函数的图像关于轴对称的充要条件是。
2、不同函数对称性
(1)函数与的图像关于直线成轴对称。
推论1:函数与图象关于直线对称
推论2:函数与 图象关于直线对称
推论3:函数与图象关于直线对称
题型5：函数的对称性
5-1．（2024高三上·湖北武汉·期末）已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，将的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，则函数在时的值域为（ ）
A．B．C．D．
5-2．（2024·全国·模拟预测）已知函数，且对任意的实数x，恒成立.若存在实数，，…，（），使得成立，则n的最大值为（ ）
A．25B．26C．28D．31
5-3．（2024·全国·模拟预测）已知定义在上的图象连续的函数的导数是，，当时，，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
5-4．（2024·贵州毕节·三模）已知定义在R上的函数满足：对任意，都有，且当时，（其中为的导函数）．设，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
1．函数的概念
2．函数的单调性
3．函数的最值
4．函数的奇偶性
5．函数的周期性
周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期.
一、单选题
1．（2024高三·全国·专题练习）函数y=f(x)的图象与直线的交点个数（ ）
A．至少1个B．至多1个C．仅有1个D．有0个、1个或多个
2．（2024高一上·湖南·期中）下列四组函数中，表示同一个函数的一组是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2024高三·全国·专题练习）下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）
A．，
B．
C．，
D．，，0，，，，0，
4．（2024·河南·模拟预测）已知函数且，则（ ）
A．-16B．16C．26D．27
5．（2024·四川乐山·一模）已知，满足，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
6．（2024·江西）已知函数f(x)=(a∈R)，若，则a=（ ）
A．B．C．1D．2
7．（2024·山东）已知函数的定义域是，若对于任意两个不相等的实数，，总有成立，则函数一定是（ ）
A．奇函数B．偶函数C．增函数D．减函数
8．（2024高一上·全国·课后作业）若定义在R上的函数f(x)对任意两个不相等的实数a，b，总有>0成立，则必有（ ）
A．f(x)在R上是增函数B．f(x)在R上是减函数
C．函数f(x)先增后减D．函数f(x)先减后增
9．（2024高三·全国·专题练习）函数的单调递增区间是（ ）
A． B． 和
C．和D． 和
10．（2024高三·全国·专题练习）函数的单调递减区间为（ ）
A．B．
C．D．
11．（2024高二下·陕西宝鸡·期末）函数的单调递减区间为（ ）
A．B．
C．D．
12．（2024高三上·山东·阶段练习）若函数（且）在区间内单调递增，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
13．（2024高一上·四川广安·期末）已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
14．（2024高三上·江西抚州·期末）已知函数在上是减函数，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
15．（2024高一上·天津红桥·期末）已知函数在上具有单调性，则实数k的取值范围为（ ）．
A．B．
C．或D．或
16．（2024·北京朝阳·一模）下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（ ）
A．B．C．D．
17．（2024·北京顺义·一模）下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（ ）
A．B．C．D．
18．（2024·北京海淀·二模）下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是（ ）
A．B．C．D．
19．（2024·全国·模拟预测）已知函数是奇函数，函数是偶函数．若，则（ ）
A．B．C．0D．
20．（2024高三·全国·专题练习）设函数与的定义域是，函数是一个偶函数，是一个奇函数，且，则等于（ ）
A．B．C．D．
21．（2024·宁夏银川·二模）已知函数，若，则（ ）
A．B．0C．1D．
22．（2024·河南·模拟预测）已知在R上单调递增，且为奇函数.若正实数a，b满足，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
23．（2024高三·重庆渝中·阶段练习）已知函数在区间的最大值是M，最小值是m，则的值等于( )
A．0B．10C．D．
24．（2024高一下·福建福州·期中）已知函数，若，则（ ）
A．等于B．等于C．等于D．无法确定
25．（2024高一上·山西长治·阶段练习）定义域为的函数满足，，若时，恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
26．（2024·全国·一模）已知定义在上的函数满足，且当时，.设在上的最大值为（），且数列的前项的和为.若对于任意正整数不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
27．（2024·四川内江·二模）定义域为的函数满足，当时，，若时，恒成立，则实数的取值范围是( )
A．B．
C．D．
28．（2024高三·全国·专题练习）设函数定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，则下列结论错误的是（ ）
A．B．为奇函数
C．在上是减函数D．方程仅有6个实数解
29．（2024·湖北·模拟预测）已知函数是定义在上的偶函数，对任意，且，有，若，则不等式的解集是（ ）
A． B．C．D．
30．（2024·广西·模拟预测）已知定义在上的函数在上单调递减，且为偶函数，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
31．（2024·北京西城·模拟预测）已知函数，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
32．（2024·河南商丘·模拟预测）已知是定义在上的奇函数，，且在上单调递增，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
33．（2024·安徽黄山·二模）已知函数，则使不等式成立的的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
34．（2024·河北唐山·一模）已知函数,则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
35．（2024高二下·江苏镇江·阶段练习）已知函数，则关于的不等式的解集为（ ）
A．B．
C．∪D．∪
二、多选题
36．（2024高一上·甘肃庆阳·期中）已知函数在区间上是偶函数，在区间上是单调函数，且，则（ ）
A．B．
C．D．
37．（2024高一上·浙江杭州·阶段练习）设函数的定义域都为R，且是奇函数，是偶函数，则下列结论正确的是（ ）
A．是偶函数B．是奇函数
C．是奇函数D．是偶函数
38．（2024·河北·模拟预测）已知函数，的定义域均为，导函数分别为，，若，，且，则（ ）
A．4为函数的一个周期B．函数的图象关于点对称
C．D．
39．（2024·山东滨州·二模）函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，且满足，函数的图象关于点对称，则（ ）
A．的图象关于点对称B．8是的一个周期
C．一定存在零点D．
40．（2024高二下·江苏南通·期末）已知函数对任意都有，若的图象关于直线对称，且对任意的，，且，都有，则下列结论正确的是（ ）．
A．是偶函数B．的周期
C．D．在单调递减
三、填空题
41．（2024高三·全国·专题练习）若，则 .
42．（2024高一下·湖北省直辖县级单位·期末）函数的定义域为 ．
43．（2024高三上·海南·阶段练习）已知正数a，b满足，则函数的定义域为 .
44．（2024高三·全国·专题练习）已知函数的定义域为， 则函数的定义域为
45．（2024高一上·全国·专题练习）已知函数定义域为 ，则函数的定义域为 .
46．（2024高三·全国·专题练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为
47．（2024高三上·宁夏银川·阶段练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为 ．
48．（2024高一上·安徽合肥·期中）若函数的定义域为R，则实数a的取值范围是 ．
49．（2024高一上·江苏南通·阶段练习）函数的定义域为，则实数a的取值范围是 .
50．（2024高一上·黑龙江佳木斯·阶段练习）若函数的定义域是R，则实数的取值范围是 .
51．（2024高三·广东深圳·阶段练习）写出一个满足：的函数解析式为 .
52．（2024高三·全国·专题练习）已知定义在上的单调函数，若对任意都有，则方程的解集为 ．
53．（2024高三·全国·专题练习）函数的值域为
54．（2024高三下·重庆渝中·阶段练习）函数的最大值为 .
55．（2024·浙江）已知函数则 ；若当时，，则的最大值是 ．
56．（2024·上海静安·二模）已知函数为偶函数，则函数的值域为 .
57．（2024高三下·四川成都·期末）已知函数是偶函数，则 ．
58．（2024高三下·湖南·阶段练习）已知函数，若是偶函数，则 ．
四、解答题
59．（2024高一上·安徽宣城·期中）根据下列条件，求的解析式
(1)已知满足
(2)已知是一次函数，且满足；
(3)已知满足
60．（2024高三·全国·专题练习）根据下列条件，求函数的解析式．
(1)已知，则的解析式为__________．
(2)已知满足，求的解析式．
(3)已知，对任意的实数x，y都有，求的解析式．
61．（2024高一上·浙江·课后作业）已知，求的解析式.
62．（2024高一上·陕西延安·阶段练习）已知函数．
(1)判断函数的单调性，并利用定义证明；
(2)若，求实数的取值范围．
63．（2024高三·全国·专题练习）设，，证明：函数是x的增函数．
64．（2024高三上·上海静安·期中）已知函数，且.
(1)求的值，并指出函数的奇偶性；
(2)在（1）的条件下，运用函数单调性的定义，证明函数在上是增函数.
65．（2024高三·全国·专题练习）利用图象判断下列函数的奇偶性：
(1)
(2)
(3)；
(4)；
(5).
66．（2024高一上·四川遂宁·期末）定义在上的函数，对任意，满足下列条件：① ②
（1）是否存在一次函数满足条件①②，若存在，求出的解析式；若不存在，说明理由.
（2）证明：为奇函数；
67．（2024高一上·安徽蚌埠·期末）已知定义在上的函数，满足：
①；
②任意的，，.
（1）求的值；
（2）判断并证明函数的奇偶性.
概念
一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数
三要素
对应关系
y＝f(x)，x∈A
定义域
x的取值范围
值域
与x对应的y的值的集合{f(x)|x∈A}
增函数
减函数
定义
一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I，如果∀x1，x2∈D
当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数
当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数
图象描述
自左向右看图象是上升的
自左向右看图象是下降的
前提
设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足
条件
(1)∀x∈I，都有f(x)≤M；
(2)∃x0∈I，使得f(x0)＝M
(1)∀x∈I，都有f(x)≥M；
(2)∃x0∈I，使得f(x0)＝M
结论
M为最大值
M为最小值
奇偶性
定义
图象特点
偶函数
一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数
关于y轴对称
奇函数
一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数
关于原点对称
（一）
函数的概念与表示
1．函数的三要素
（1）函数的三要素：定义域、对应关系、值域．
（2）如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为同一个函数．
2．函数的表示法
表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法．
3．分段函数
若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．
4．函数的定义域
（1）无论抽象函数的形式如何，已知定义域还是求定义域，均是指其中的x的取值集合．
（2）若f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出．
（3）若复合函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在[a，b]上的值域．
5．函数解析式的求法
（1）配凑法．
（2）待定系数法．
（3）换元法．
（4）解方程组法．
6．分段函数求值问题的解题思路
（1）求函数值：当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．
（2）求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验．
题型1：函数的概念与表示
1-1．（2024高二下·宁夏吴忠·学业考试）如图，可以表示函数的图象的是（ ）
A．B．
C．D．
1-2．（2024高三·全国·课后作业）下列各组函数中，表示同一个函数的是（ ）．
A．，
B．，
C．，
D．，
1-3．（2024·全国·模拟预测）已知函数，则 （ ）
A．-6B．0C．4D．6
1-4．（2024·北京朝阳·二模）函数的定义域为 .
1-5．（2024高三·全国·课后作业）已知函数的定义域为，则函数的定义域为 ．
1-6．（2024高一上·湖南邵阳·期末）已知的定义域为，那么a的取值范围为 ．
1-7．（2024高三·全国·专题练习）若函数的值域是，则函数的值域为 ．
1-8．（2024高三·全国·课后作业）函数的值域为 .
1-9．（2024高一·上海·专题练习）求下列函数的值域
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）；
（7）；
（8）
（9）；
（10）.
1-10．（2024高三·全国·专题练习）求下列函数的解析式：
(1)已知，求的解析式；
(2)已知，求的解析式；
(3)已知是一次函数且，求的解析式；
(4)已知满足，求的解析式.
（二）
函数的单调性与最值
1．函数的单调性
（1）∀x1，x2∈I且x1≠x2，有eq \f(fx1－fx2,x1－x2)>0(<0)或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0(<0)⇔f(x)在区间I上单调递增(减)．
（2）在公共定义域内，增函数＋增函数＝增函数，减函数＋减函数＝减函数．
（3）y＝f(x)(f(x)>0或f(x)<0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝eq \f(1,fx)的单调性相反．
（4）复合函数的单调性：同增异减．
2．确定函数单调性的四种方法
（1）定义法．
（2）导数法．
（3）图象法．
（4）性质法．
3．函数单调性的应用
（1）比较函数值的大小时，先转化到同一个单调区间内，然后利用函数单调性解决．
（2）求解函数不等式时，由条件脱去“f”，转化为自变量间的大小关系，应注意函数的定义域．
（3）利用单调性求参数的取值(范围)．根据其单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组))或先得到其图象的升降，再结合图象求解．对于分段函数，要注意衔接点的取值．
题型2：函数的单调性与最值
2-1．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，满足对任意的实数，且，都有，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
2-2．（2024高三上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）若函数在区间上的最大值为，则实数 .
2-3．（2024·河南·模拟预测）已知函数为定义在R上的单调函数，且，则在上的值域为 ．
2-4．（2024高三下·河南·阶段练习）已知函数且，若曲线在点处的切线与直线垂直，则在上的最大值为 .
2-5．（2024·天津河西·模拟预测）已知函数是上的偶函数，对任意，，且都有成立．若，，，则，，的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
（三）
函数的奇偶性
1．函数的奇偶性
（1）奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性．
（2）偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性．
2．函数奇偶性的判断
（1）定义域关于原点对称，否则即为非奇非偶函数．
（2）判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立．
3．函数奇偶性的应用
（1）利用函数的奇偶性可求函数值或求参数的取值，求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的函数或得到参数的恒等式，利用方程思想求参数的值．
（2）利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象，结合几何直观求解相关问题．
题型3：函数的奇偶性
3-1．（2024·广东湛江·二模）已知奇函数则 ．
3-2．（2024高三·全国·专题练习）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则函数的解析式为 ．
3-3．（2024·新疆阿勒泰·一模）若函数为偶函数，则 .
3-4．（2024高三下·江西·阶段练习）若函数是偶函数，则 ．
3-5．（2024高一上·安徽蚌埠·期末）已知定义在上的函数，满足：①；②为奇函数；③，；④任意的，，.
（1）判断并证明函数的奇偶性；
（2）判断并证明函数在上的单调性.
（四）
函数的周期性
1．函数周期性常用结论
（1）若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0)．
（2）若f(x＋a)＝eq \f(1,fx)，则T＝2a(a>0)．
2．函数的周期性
（1）求解与函数的周期有关的问题，应根据题目特征及周期定义，求出函数的周期．
（2）利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化到已知区间上，进而解决问题．
题型4：函数的周期性
4-1．（2024高一下·全国·课后作业）在如图所示的的图象中，若，则 .
4-2．（2024高一上·陕西宝鸡·期末）已知是定义在上的函数，对任意实数都有，且当时，，则 .
4-3．（2024高三·全国·对口高考）已知是定义在上的偶函数，并且满足，当时，，则等于（ ）
A．B．C．D．
4-4．（2024高一下·全国·课后作业）函数是以4为周期的周期函数，且当时，，试求当时，的解析式.
（五）
函数的对称性
1、函数自身的对称性
(1)函数的图像关于点对称的充要条件是：
，即。
推论：函数的图像关于原点对称的充要条件是。
(2)函数的图像关于直线对称的充要条件是：
，即。
推论：函数的图像关于轴对称的充要条件是。
2、不同函数对称性
(1)函数与的图像关于直线成轴对称。
推论1:函数与图象关于直线对称
推论2:函数与 图象关于直线对称
推论3:函数与图象关于直线对称
题型5：函数的对称性
5-1．（2024高三上·湖北武汉·期末）已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，将的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，则函数在时的值域为（ ）
A．B．C．D．
5-2．（2024·全国·模拟预测）已知函数，且对任意的实数x，恒成立.若存在实数，，…，（），使得成立，则n的最大值为（ ）
A．25B．26C．28D．31
5-3．（2024·全国·模拟预测）已知定义在上的图象连续的函数的导数是，，当时，，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
5-4．（2024·贵州毕节·三模）已知定义在R上的函数满足：对任意，都有，且当时，（其中为的导函数）．设，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
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