专题05 幂函数与二次函数4题型分类-备战2025年高考数学一轮专题复习全套考点突破和专题检测（原卷版）

这是一份专题05 幂函数与二次函数4题型分类-备战2025年高考数学一轮专题复习全套考点突破和专题检测（原卷版），共14页。试卷主要包含了幂函数的定义，幂函数的特征，常见的幂函数图像及性质，二次函数解析式的三种形式，二次函数的图像，二次函数在闭区间上的最值等内容，欢迎下载使用。


1、幂函数的定义
一般地，（为有理数）的函数，即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常数的函数称为幂函数.
2、幂函数的特征：同时满足一下三个条件才是幂函数
①的系数为1； ②的底数是自变量； ③指数为常数.
（3）幂函数的图象和性质
3、常见的幂函数图像及性质：
4、二次函数解析式的三种形式
（1）一般式：；
（2）顶点式：；其中，为抛物线顶点坐标，为对称轴方程.
（3）零点式：，其中，是抛物线与轴交点的横坐标.
5、二次函数的图像
二次函数的图像是一条抛物线，对称轴方程为，顶点坐标为.
（1）单调性与最值
①当时，如图所示，抛物线开口向上，函数在上递减，在上递增，当时，；
②当时，如图所示，抛物线开口向下，函数在上递增，在上递减，当时，
（2）与轴相交的弦长
当时，二次函数的图像与轴有两个交点和，.
6、二次函数在闭区间上的最值
闭区间上二次函数最值的取得一定是在区间端点或顶点处.
对二次函数，当时，在区间上的最大值是，最小值是，令：
（1）若，则；
（2）若，则；
（3）若，则；
（4）若，则.
一、单选题
1．（2024高一·全国·假期作业）关于x的方程有两个实数根，，且，那么m的值为（ ）
A．B．C．或1D．或4
2．（2024·山东）关于函数，以下表达错误的选项是（ ）
A．函数的最大值是1B．函数图象的对称轴是直线
C．函数的单调递减区间是D．函数图象过点
3．（2024·浙江）若函数在区间[0,1]上的最大值是M,最小值是m,则的值
A．与a有关，且与b有关B．与a有关，但与b无关
C．与a无关，且与b无关D．与a无关，但与b有关
4．（2024·新疆阿勒泰·三模）已知函数则函数，则函数的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
5．（2024·湖南娄底·模拟预测）已知函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
6．（2024·海南·模拟预测）已知函数，，的图象如图所示，则（ ）
A．B．
C．D．
7．（2024高一上·宁夏吴忠·阶段练习）已知函数，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B．C．D．
8．（2024高三·河北·专题练习）设，二次函数的图象为下列之一，则的值为（ ）
A．B．C．D．
9．（2024高三下·河南新乡·开学考试）已知函数若的最小值为6，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
10．（2024·全国·模拟预测）已知x，，满足，，则（ ）
A．-1B．0C．1D．2
11．（2024·贵州毕节·二模）已知，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
12．（2024高三·全国·专题练习）已知a，b，c∈R，函数f (x)＝ax2＋bx＋c.若f (0)＝f （4）>f （1），则（ ）
A．a>0，4a＋b＝0B．a<0，4a＋b＝0
C．a>0，2a＋b＝0D．a<0，2a＋b＝0
13．（2024·浙江）已知函数f(x)=x2+bx，则“b＜0”是“f(f(x))的最小值与f(x)的最小值相等”的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
14．（2024高三·全国·专题练习）如果函数在区间上单调递减，则的最大值为（ ）
A．16B．18C．25D．
15．（2024·陕西）对二次函数（为非零整数），四位同学分别给出下列结论，其中有且仅有一个结
论是错误的，则错误的结论是
A．是的零点B．1是的极值点
C．3是的极值D．点在曲线上
16．（2024·四川乐山·一模）已知幂函数和，其中，则有下列说法：
①和图象都过点；
②和图象都过点；
③在区间上，增长速度更快的是；
④在区间上，增长速度更快的是.
则其中正确命题的序号是（ ）
A．①③B．②③C．①④D．②④
17．（2024·河北衡水·模拟预测）已知幂函数是定义在区间上的奇函数，则（ ）
A．8B．4C．2D．1
18．（2024·北京东城·一模）下列函数中，定义域与值域均为R的是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
19．（2024·江苏·模拟预测）若函数，且，则（ ）
A．B．
C．D．
20．（2024·吉林长春·模拟预测）已知幂函数图像经过点，则下列命题正确的有（ ）
A．函数为增函数B．函数为偶函数
C．若，则D．若，则
21．（2024高一上·重庆·阶段练习）已知关于x的方程x2＋(m－3)x＋m＝0，下列结论正确的是（ ）
A．方程x2＋(m－3)x＋m＝0有实数根的充要条件是m∈{m|m<1或m>9}
B．方程x2＋(m－3)x＋m＝0有一正一负根的充要条件是m∈{m|m<0}
C．方程x2＋(m－3)x＋m＝0有两正实数根的充要条件是m∈{m|0D．方程x2＋(m－3)x＋m＝0无实数根的必要条件是m∈{m|m>1}
22．（2024高一上·湖南长沙·期中）设二次函数的值域为，下列各值（或式子）中一定大于的有（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
23．（2024高一上·全国·期末）已知幂函数的图象关于原点对称，则满足成立的实数a的取值范围为 .
24．（2024高一上·四川眉山·期中）下面命题：①幂函数图象不过第四象限；②图象是一条直线；③若函数的定义域是，则它的值域是；④若函数的定义域是，则它的值域是；⑤若函数的值域是，则它的定义域一定是．其中不正确命题的序号是 ．
25．（2024高三上·河北衡水·周测）已知，，若对，，，则实数的取值范围是 .
26．（2024高三上·福建三明·期中）已知，则实数的取值范围是

27．（2024高三下·上海嘉定·阶段练习）已知函数，若函数的值域为，则实数的取值范围为 ．
28．（2024高三·全国·专题练习）不等式的解集为： ．
29．（2024高一上·全国·课后作业）已知幂函数，若，则a的取值范围是 .
30．（2024·上海闵行·一模）已知二次函数的值域为，则函数的值域为 ．
31．（2024·贵州毕节·模拟预测）写出一个同时具有下列性质①②③的非常值函数 .
①在上恒成立；②是偶函数；③.
32．（2024·新疆阿勒泰·一模）已知二次函数（a，b为常数）满足，且方程有两等根，在上的最大值为，则的最大值为 .
33．（2024·湖北）为实数，函数在区间上的最大值记为. 当 时，的值最小.
四、解答题
34．（2024高三下·上海浦东新·阶段练习）已知.
(1)若，，解关于的不等式；
(2)若，在上的最大值为，最小值为，求证：.
35．（2024高一下·贵州黔东南·开学考试）已知函数是定义在上的奇函数，且时，，.
(1)求在区间上的解析式；
(2)若对，则，使得成立，求的取值范围.
36．（2024高一上·河南平顶山·期末）已知函数．
(1)利用函数单调性的定义证明是单调递增函数；
(2)若对任意，恒成立，求实数的取值范围．
37．（2024高一上·贵州毕节·期末）已知函数．
(1)当时，解关于x的不等式；
(2)函数在上的最大值为0，最小值是，求实数a和t的值．
38．（2024高一上·辽宁大连·期中）已知值域为的二次函数满足，且方程的两个实根满足．
(1)求的表达式；
(2)函数在区间上的最大值为，最小值为，求实数的取值范围．
39．（2024高三上·全国·阶段练习）已知函数为偶函数.
（1）求的值；
（2）设函数，是否存在实数，使得函数在区间上的最小值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
40．（2024高一上·湖南衡阳·期末）二次函数为偶函数，，且恒成立．
(1)求的解析式；
(2)，记函数在上的最大值为，求的最小值．
41．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，当时，设的最大值为，求的最小值．
42．（2024高一上·广东·期中）已知函数，
(1)当时，①求函数单调递增区间；②求函数在区间的值域；
(2)当时，记函数的最大值为，求的最小值．
43．（2024高一上·山东潍坊·阶段练习）已知是一元二次方程的两个实数根.
(1)是否存在实数，使得成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；
(2)求使的值为整数的实数的整数值.
44．（2024高一上·安徽·阶段练习）已知函数，且函数的值域为.
（1）求实数a的值；
（2）若关于x的不等式在上恒成立，求实数m的取值范围；
（3）若关于x的方程有三个不同的实数根，求实数k的取值范围.
45．（2024高三上·江西鹰潭·阶段练习）已知幂函数的定义域为R.
(1)求实数的值；
(2)若函数在上不单调，求实数的取值范围.
函数
图象
定义域
值域
奇偶性
奇
偶
奇
非奇非偶
奇
单调性
在上单调递增
在上单调递减，在上单调递增
在上单调递增
在上单调递增
在和上单调递减
公共点
（一）
幂函数的定义及其图像
1、幂函数在第一象限内图象的画法如下：
①当时，其图象可类似画出；
②当时，其图象可类似画出；
③当时，其图象可类似画出．
题型1：幂函数的定义及其图像
1-1．（2024·江西·模拟预测）已知幂函数的图象过点，则（ ）
A．0B．2C．4D．5
1-2．（2024高三·河北·学业考试）已知幂函数的图象过点，则的值为（ ）
A．2B．3C．4D．9
1-3．（2024高一下·湖北宜昌·期中）已知函数 且 的图象经过定点， 若幂函数 的图象也经过该点， 则 ．
1-4．（2024高一·全国·课后作业）已知幂函数（且互质）的图象关于y轴对称，如图所示，则（ ）
A．p，q均为奇数，且
B．q为偶数，p为奇数，且
C．q为奇数，p为偶数，且
D．q为奇数，p为偶数，且
1-5．（2024高一上·陕西西安·期中）幂函数中a的取值集合C是的子集，当幂函数的值域与定义域相同时，集合C为（ ）
A．B．C．D．
（二）
幂函数性质的综合应用
函数
图象
定义域
值域
奇偶性
奇
偶
奇
非奇非偶
奇
单调性
在上单调递增
在上单调递减，在上单调递增
在上单调递增
在上单调递增
在和上单调递减
公共点
题型2：幂函数性质的综合应用
2-1．（2024高一上·上海杨浦·期末）已知，若幂函数奇函数，且在上为严格减函数，则 .
2-2．（2024高三上·宁夏固原·期中）已知函数是幂函数，且在上递减，则实数（ ）
A．B．或C．D．
2-3．（2024·海南·模拟预测）已知为幂函数，则（ ）．
A．在上单调递增B．在上单调递减
C．在上单调递增D．在上单调递减
2-4．（2024·江苏）已知y=f(x)是奇函数，当x≥0时， ，则f(-8)的值是 .
2-5．（2024高三·全国·课后作业）已知幂函数（m为正整数）的图像关于y轴对称，且在上是严格减函数，求满足的实数a的取值范围．
（三）
二次方程的实根分布及条件
一般情况下需要从以下4个方面考虑：
（1）开口方向；（2）判别式；（3）对称轴与区间端点的关系；（4）区间端点函数值的正负.
题型3：二次方程的实根分布及条件
3-1．（2024高三·全国·阶段练习）方程的一根在区间内，另一根在区间内，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3-2．（2024高三·全国·专题练习）关于的方程有两个不相等的实数根，且，那么的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
3-3．（2024高一·江苏·课后作业）设a为实数，若方程在区间上有两个不相等的实数解，则a的取值范围是（ ）.
A．B．
C．D．
（四）
二次函数“动轴定区间”、“定轴动区间”问题
（1）要熟练掌握二次函数在某区间上的最值或值域的求法，特别是含参数的两类问题——动轴定区间和定轴动区间，解法是抓住“三点一轴”，三点指的是区间两个端点和区间中点，一轴指对称轴.即注意对对称轴与区间的不同位置关系加以分类讨论，往往分成：①轴处在区间的左侧；②轴处在区间的右侧；③轴穿过区间内部（部分题目还需讨论轴与区间中点的位置关系），从而对参数值的范围进行讨论.
（2）对于二次方程实根分布问题，要抓住四点，即开口方向、判别式、对称轴位置及区间端点函数值正负.
题型4：二次函数“动轴定区间”、“定轴动区间”问题
4-1．（2024高一上·海南·期中）已知在区间 上的值域为.
(1)求实数的值；
(2)若不等式 当上恒成立，求实数k的取值范围.
4-2．（2024·浙江）设函数.
（1）当时，求函数在上的最小值的表达式；
（2）已知函数在上存在零点，，求的取值范围.
4-3．（2024高一上·海南·期末）已知函数在区间上有最大值2和最小值1.
(1)求的值；
(2)不等式在上恒成立，求实数的取值范围；
(3)若且方程有三个不同的实数解，求实数的取值范围.
4-4．（2024·浙江）已知函数，记是在区间上的最大值.
（1）证明：当时，；
（2）当，满足，求的最大值.
4-5．（2024高一上·浙江·阶段练习）已知函数．
(1)当时，解方程；
(2)当时，记函数在上的最大值为，求的最小值．