专题07 对数与对数函数6题型分类-备战2025年高考数学一轮专题复习全套考点突破和专题检测（解析版）

这是一份专题07 对数与对数函数6题型分类-备战2025年高考数学一轮专题复习全套考点突破和专题检测（解析版），共54页。试卷主要包含了对数式的运算，对数函数的定义及图像等内容，欢迎下载使用。


1、对数式的运算
（1）对数的定义：一般地，如果且，那么数叫做以为底的对数，记作，读作以为底的对数，其中叫做对数的底数，叫做真数．
（2）常见对数：
①一般对数：以且为底，记为，读作以为底的对数；
②常用对数：以为底，记为；
③自然对数：以为底，记为；
（3） 对数的性质和运算法则：
①；；其中且；
②（其中且，）；
③对数换底公式：；
④；
⑤；
⑥，；
⑦和；
⑧；
2、对数函数的定义及图像
（1）对数函数的定义：函数 且叫做对数函数．
对数函数的图象
一、单选题
1．（2024高一上·内蒙古包头·期中）函数的图象恒过定点（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据对数函数的性质确定定点即可.
【详解】当时，即函数图象恒过.
故选：A
2．（2024·北京·模拟预测）已知函数，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】将已知不等式化为，在同一坐标系下作出两个函数的图象，可得不等式的解集．
【详解】由题意，不等式，即，
等价于在上的解，
令，，则不等式为，
在同一坐标系下作出两个函数的图象，如图所示，
可得不等式的解集为，
故选：B
3．（2024高三·北京·学业考试）将函数的图象向上平移1个单位长度，得到函数的图象，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据函数平移变换进行求解即可.
【详解】将函数的图象向上平移1个单位长度，得到函数.
故选：B.
4．（2024高三·河南·阶段练习）已知，分别是方程和的根，若，实数a，，则的最小值为（ ）
A．1B．C．D．2
【答案】D
【分析】根据对称性求得，结合换元法以及基本不等式求得正确答案.
【详解】；.
函数与函数的图象关于直线对称，
由解得，设，
则，即，
，
令，则，
则
，
当且仅当时等号成立.
故选：D
5．（2024高三·全国·专题练习）若满足，满足，则等于（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】D
【分析】将所给式化简可得，，进而和是直线和曲线、曲线交点的横坐标.再根据反函数的性质求解即可
【详解】由题意，故有
故和是直线和曲线、曲线交点的横坐标.
根据函数和函数互为反函数，它们的图象关于直线对称，
故曲线和曲线的图象交点关于直线对称.
即点（x1，5﹣x1）和点（x2，5﹣x2）构成的线段的中点在直线y=x上，
即，求得x1+x2=5，
故选：D.
6．（2024·陕西·模拟预测）已知 是方程的根， 是方程的根，则的值为（ ）
A．2B．3C．6D．10
【答案】A
【分析】先把方程与方程变形成方程，和方程，借助图象交点求和的关系，即可求出．
【详解】方程可变形为方程，方程可变形为方程，
是方程的根，是方程的根，
是函数与函数的交点横坐标，是函数与函数的交点横坐标，
函数与函数互为反函数，
函数与函数的交点横坐标等于函数与函数的交点纵坐标,即在数图象上，
又图象上点的横纵坐标之积为2， ，
故选：．
7．（2024·天津）化简的值为（ ）
A．1B．2C．4D．6
【答案】B
【分析】根据对数的性质可求代数式的值.
【详解】原式
，
故选：B
8．（2024·浙江）已知，则（ ）
A．25B．5C．D．
【答案】C
【分析】根据指数式与对数式的互化，幂的运算性质以及对数的运算性质即可解出．
【详解】因为，，即，所以．
故选：C.
9．（2024高三上·广西南宁·阶段练习）若，则（ ）
A．B．C．1D．
【答案】C
【分析】由已知表示出，再由换底公式可求.
【详解】，，
.
故选：C.
10．（2005·江西）函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】首先，考查对数的定义域问题，也就是的真数一定要大于零，其次，分母不能是零．
【详解】解：由，得，
又因为，即，得
故，的取值范围是，且．
定义域就是
故选：B．
11．（2024·海南海口·二模）已知函数是上的单调函数，且，则在上的值域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据函数的单调性，建立方程，可得答案.
【详解】因为是上的单调函数，所以存在唯一的，使得，
则．
因为为上的增函数，且，所以，
所以．因为在上单调递增，所以，得．
故选：D.
12．（2024高三上·山东泰安·阶段练习）函数的定义域是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据分式与对数函数的定义域求解即可
【详解】由题意，，解得
故选：C
13．（2024高三·全国·专题练习）已知函数且，若函数的值域是，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】首先求出在上的取值范围，依题意需当时，，分、两种情况讨论，结合对数函数的性质计算可得.
【详解】当时，，函数在上单调递增，
在上单调递减，所以，即；
若函数的值域是，则需当时，．
当时，在上单调递增，
此时，不合题意；
当时，在上单调递减，
此时，即，则，
所以，显然，解得，又，所以．
综上所述，实数的取值范围是．
故选：B
14．（2024高二下·云南保山·期末）函数的图象可能是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用排除法，结合函数的奇偶性以及函数值的符号分析判断.
【详解】因为定义域为，
且，
所以为奇函数，函数图象关于原点对称，故B，D都不正确；
对于C，时，，，
所以，所以，故C不正确；
对于选项A，符合函数图象关于原点对称，也符合时，，故A正确．
故选：A.
15．（2024·海南·模拟预测）已知函数，，的图象如图所示，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】由函数图象可确定大小关系，结合指数函数单调性可得结果.
【详解】由图象可知：，.
故选：C.
16．（2024高三上·江苏无锡·期末）函数的部分图象大致为（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】先求出定义域，由得到为偶函数，结合函数在上函数值的正负，排除BC，结合函数图象的走势，排除D，得到正确答案.
【详解】变形为，定义域为，
，故为偶函数，关于y轴对称．
当时，，时，，排除BC，
又时，，故排除D，A正确.
故选：A．
17．（2024高二下·北京东城·期末）若函数的图象过点，则（ ）
A．3B．1C．-1D．-3
【答案】A
【分析】因为函数图象过一点，代入该点的坐标解方程即得解.
【详解】解：由已知得，所以，解得：，
故选：A．
18．（2024高三上·福建宁德·阶段练习）已知函数且的图象恒过定点，点在幂函数的图象上，则（ ）
A．B．2C．1D．
【答案】B
【分析】令便可得到函数图象恒过点，将点代入幂函数中，解得的解析式，然后计算的值.
【详解】函数中，令，解得，此时，
所以函数y的图象恒过定点，又点P在幂函数的图象上，
所以，解得，所以，
.
故选：B.
19．（2007·天津）设均为正数，且，，．则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】试题分析：在同一坐标系中分别画出，， 的图象，
与 的交点的横坐标为， 与的图象的交点的横坐标为 ，与 的图象的交点的横坐标为，从图象可以看出．
考点：指数函数、对数函数图象和性质的应用．
【方法点睛】一般一个方程中含有两个以上的函数类型，就要考虑用数形结合求解，在同一坐标系中画出两函数图象的交点，函数图象的交点的横坐标即为方程的解．
【详解】
20．（2024·湖南）函数的图象和函数的图象的交点个数是
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【详解】试题分析：解：在同一坐标系中画出函数的图象和函数g（x）=lg2x的图象，如下图所示：
由函数图象得，两个函数图象共有3个交点，故选C.
考点：1.函数的图象与图象变化；2.零点个数．
21．（2024·北京）下列函数中，在区间上单调递增的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】利用基本初等函数的单调性，结合复合函数的单调性判断ABC，举反例排除D即可.
【详解】对于A，因为在上单调递增，在上单调递减，
所以在上单调递减，故A错误；
对于B，因为在上单调递增，在上单调递减，
所以在上单调递减，故B错误；
对于C，因为在上单调递减，在上单调递减，
所以在上单调递增，故C正确；
对于D，因为，，
显然在上不单调，D错误.
故选：C.
22．（2024高二下·吉林长春·期末）函数的单调减区间为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先由解析式求出函数定义域，再由复合函数单调性，即可得出结果.
【详解】由题意，，解得：或，
即函数的定义域为：，
因为函数由与复合而成，
外函数显然单调递减，
要求的单调减区间，只需单调递增，
又是开口向上，对称轴为的二次函数，
所以在上单调递增，
即函数的单调减区间为.
故选：B.
【点睛】本题主要考查求对数型复合函数的单调区间，熟记复合函数单调性的判定方法即可，涉及一元二次不等式解法，属于基础题型.
23．（2024高一上·黑龙江大庆·期末）若函数在区间内恒有，则的单调递增区间是
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】试题分析：由题意得，因为，，函数在区间内恒有，所以，由复合函数的单调性可知的单调递减区间，对复合函数的形式进行判断，可得到函数的单调递增区间为，故选C．
考点:1.对数函数的图象与性质；2.复合函数的单调性；3.函数恒成立问题.
【方法点睛】本题主要考查的是用复合函数的单调性求单调区间，函数恒成立问题，对数函数的图象与性质，属于中档题，本题要根据题设中所给的条件解出的底数的值，由，可得到内层函数的值域，再由恒成立，可得到底数的取值范围，再利用复合函数的单调性求出其单调区间即可，因此本题中正确将题设中所给的条件进行正确转化得出底数的范围，是解决本题的关键.
24．（2024·全国）若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】将不等式变为，根据的单调性知，以此去判断各个选项中真数与的大小关系，进而得到结果.
【详解】由得：，
令，
为上的增函数，为上的减函数，为上的增函数，
，
，，，则A正确，B错误；
与的大小不确定，故CD无法确定.
故选：A.
【点睛】本题考查对数式的大小的判断问题，解题关键是能够通过构造函数的方式，利用函数的单调性得到的大小关系，考查了转化与化归的数学思想.
25．（2024·全国）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】法一：根据指对互化以及对数函数的单调性即可知，再利用基本不等式，换底公式可得，，然后由指数函数的单调性即可解出．
【详解】［方法一］：（指对数函数性质）
由可得，而，所以，即，所以.
又，所以，即，
所以.综上，.
［方法二］：【最优解】（构造函数）
由，可得．
根据的形式构造函数 ，则，
令，解得 ，由 知 .
在 上单调递增，所以 ，即 ，
又因为 ，所以 .
故选：A.
【点评】法一：通过基本不等式和换底公式以及对数函数的单调性比较，方法直接常用，属于通性通法；
法二：利用的形式构造函数，根据函数的单调性得出大小关系，简单明了，是该题的最优解．
26．（2024·全国）已知，，，则下列判断正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】对数函数的单调性可比较、与的大小关系，由此可得出结论.
【详解】，即.
故选：C.
27．（2024高一上·北京海淀·期末）已知，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】化简不等式，结合解方程组以及函数的图象确定正确答案.
【详解】的定义域是，AB选项错误.
①，
由解得或，
画出的图象如下图所示，
由图可知，不等式①的解集为.
故选：D
28．（2024高三上·北京丰台·期末）已知函数，则不等式的解集是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】将不等式问题转化为函数图象问题，结合图象求得正确答案.
【详解】依题意，，
由解得或
画出的图象如下图所示，
由图可知，不等式的解集是.
故选：A
29．（2024·海南）已知函数在上单调递增，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】首先求出的定义域，然后求出的单调递增区间即可.
【详解】由得或
所以的定义域为
因为在上单调递增
所以在上单调递增
所以
故选：D
【点睛】在求函数的单调区间时一定要先求函数的定义域.
30．（2024高三上·云南保山·阶段练习）已知是上的单调递减函数，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】由分段函数两段都是减函数，以及端点处函数值的关系可得答案．
【详解】因为是上的单调递减函数，
所以，解得．
故选：C．
31．（2007·山西）设函数在区间，上的最大值与最小值之差为，则_____
A． B．2C． D．4
【答案】D
【分析】利用函数的单调性求出最值，再应用条件求．
【详解】解：当时，在区间，上是增函数，故最大值为，最小值为（a），
所以，
所以，满足，
故选:D
32．（2008·全国）若函数的图象与函数的图象关于直线对称，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由题意知，函数是函数的反函数，求出，进而可得答案．
【详解】函数的图象与函数的图象关于直线对称，
所以函数是函数的反函数，
由得，∴，把互换得：，即，
因为，所以．
故选：B．
33．（2024·河南·模拟预测）已知函数的图象与的图象关于直线对称，且满足，则（ ）
A．4B．2C．1D．
【答案】B
【分析】
根据图象的对称性得点，在函数的图象上，列方程组求解即可得解.
【详解】
函数的图象与的图象关于直线对称，
所以点，在函数的图象上，
所以，所以，所以，
又，所以，所以.
故选：B
34．（2004·上海）若函数的图象与函数的图象关于直线对称，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】函数图象关于直线对称,它们互为反函数,求出反函数即得.
【详解】因为函数的图象与函数的图象关于直线对称,
所以它们是互为反函数，
由得，，反函数为，即．
故选：A.
35．（2024·陕西）设函数的反函数为，则函数的图像是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由解得，然后将互换，即可得到其反函数解析式，再结合对数函数的图像即可得到结果.
【详解】由解得，即且
所以函数的反函数为
结合对数函数的图像可知A正确.
故选:A.
36．（2024高二下·陕西西安·阶段练习）已知函数，则（ ）
A．3B．2C．D．
【答案】B
【分析】根据分段函数解析式，代入求值，
【详解】因为，所以，
因为，所以.
故选：B
37．（2024高一下·全国·单元测试）设函数，若，则的值为（ ）
A．B．1C．或1D．或1或
【答案】B
【分析】分与两种情况，解方程，求出答案.
【详解】当时，，则，解得或（舍去），满足要求；
当时，，则，解得，不满足要求，舍去.
故选：B
38．（2024高二上·山东济南·开学考试）若函数的值域为，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】结合复合函数的单调性及二次函数的性质对进行分类讨论，再由分段函数的性质可求．
【详解】若时，
当时，单调递增，此时；
当时，，在上单调递增，在上单调递减，此时，
若函数值域为，则需，解得；
若时，
当时，单调递减，此时；
当时，，在上单调递增，在上单调递减，此时，
所以，不满足函数值域为，不符合题意，舍去，
若时，
当时，；
当时，，在上单调递增，在上单调递减，此时，
所以，不满足函数值域为，不符合题意，舍去，
综上的取值范围为，
故选：B.
39．（2024高一下·湖南·期末）已知函数（且，，为常数）的图象如图，则下列结论正确的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】D
【分析】根据函数图象及对数函数的性质可求解.
【详解】因为函数为减函数，所以
又因为函数图象与轴的交点在正半轴，所以，即
又因为函数图象与轴有交点，所以，所以，
故选：D
二、多选题
40．（2024高三下·江苏南京·开学考试）当时，，则的值可以为（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABC
【分析】分和，分别作函数与的图象，观察在处的函数值关系可解.
【详解】分别记函数，
由图1知，当时，不满足题意；

当时，如图2，要使时，不等式恒成立，只需满足，即，即，解得.

故选：ABC
41．（2024·湖北·模拟预测）已知，，，，则以下结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【分析】先根据题意将条件转化为a，b是函数分别与函数，图象交点的横坐标．从而得到两交点关于直线对称，进而即可判断A；结合选项A整理得到，进而即可判断B；再结合选项A，构造函数，根据导函数性质即可判断C；结合选项B即基本不等式(注意：，即不等式取不到等号)即可判断D．
【详解】对于A，由题意知，a，b是函数分别与函数，图象交点的横坐标，
由的图象关于对称，
则其向上，向右都平移一个单位后的解析式为，
所以的图象也关于对称，
又，两个函数的图象关于直线对称，
故两交点，关于直线对称，
所以，，故A正确；
对于B，结合选项A得，则，即，即成立，故B正确；
对于C，结合选项A得，令，则，
所以在上单调递减，则，故C错误；
对于D，结合选项B得(，即不等式取不到等号)，故D正确．
故选：ABD．
42．（2024·广东惠州·一模）若，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【分析】利用条件进行指对数转换，得到，从而有，再对各个选项逐一分析判断即可得出结果.
【详解】因为，所以，则，
选项A，，故正确；
选项B，因为，且，所以，故B正确；
选项C，因为，故C错误；
选项D，因为，故D正确，
故选：ABD．
43．（2024高一上·江苏南京·期末）若函数，且，则实数的值可能为（ ）
A．B．0C．2D．3
【答案】BCD
【分析】分和两种情况求解即可.
【详解】当时，由，得，得，解得或，
当时，由，得，得，解得（舍去）或，
综上，，或，或，
故选：BCD
44．（2024高一下·贵州毕节·期末）已知函数，若，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】BCD
【分析】由已知结合对数函数的性质及对数的运算性质可得，代入整理可求结论．
【详解】因为，
若，
则，即，
所以，故B正确；
（当且仅当时取等号），但，即等号不成立，故A不正确；
，当且仅当时等号成立，故C正确；
，当且仅当时等号成立，此时，不符合题意，
由，令，任取，
所以由于，所以，所以，则，
在上为增函数，
所以，可得，故D正确．
故选：BCD．
45．（2024高二下·福建三明·期末）若函数为奇函数，为偶函数，且当时，，则（ ）
A．B．周期为4
C．为偶函数D．当时，
【答案】BD
【分析】根据函数为奇函数，为偶函数，结合奇偶函数的定义可得为奇函数，且周期为4，然后逐个分析判断即可.
【详解】因为为奇函数，所以，
因为为偶函数，所以，所以，
所以，所以，
所以，，
所以为奇函数，且周期为4，所以B正确，C错误，
对于A，因为，且为奇函数，所以，所以A错误，
对于D，当时，则，因为，所以，所以D正确，
故选：BD
【点睛】关键点点睛：此题考查函数奇偶性的应用，考查函数周期性的应用，解题的关键是利用已知等式结奇偶性的定义可得函数为奇函数且周期为4，考查数学化简计算能力，属于较难题.
三、填空题
46．（2024·四川成都·模拟预测） ．
【答案】
【分析】利用指对数运算的性质化简求值即可.
【详解】.
故答案为：
47．（2024·河南·二模）已知，，则 ．
【答案】/
【分析】根据指对数互化可得，结合求参数值即可.
【详解】由题设，则且，
所以，即，故.
故答案为：
48．（2024·上海徐汇·模拟预测）方程的解集为 ．
【答案】
【分析】依题意得到，解得即可.
【详解】因为,
则，解得，
所以方程的解集为.
故答案为：
49．（2024·山东淄博·二模）设，满足，则 .
【答案】/0.5
【分析】令，则，根据即可求解．
【详解】令，则，
所以，整理得，
解得(负值舍去)，所以.
故答案为：.
50．（2024·天津南开·二模）计算的值为 .
【答案】8
【分析】由对数的运算性质求解即可.
【详解】原式
.
故答案为：8.
51．（2024高三·全国·专题练习）若，，用a，b表示
【答案】
【分析】先求出，再根据换底公式及对数的运算性质即可得解.
【详解】因为，所以，
.
故答案为：.
52．（2024高一上·江西景德镇·期末）解关于x的不等式解集为 ．
【答案】
【分析】根据给定的不等式，利用对数函数、指数函数单调性求解作答.
【详解】不等式，
解，即，有，解得，
解，即，化为，有，解得，
因此，
所以不等式解集为.
故答案为：
53．（2024高三下·上海浦东新·阶段练习）方程的解为 ．
【答案】
【分析】设函数，，由函数的单调性，结合特殊值，即可求得方程的解.
【详解】设函数，，由于函数在上均为增函数，
又，故方程的解为.
故答案为：.
54．（2024·北京海淀·模拟预测）不等式的解集为 ．
【答案】
【分析】利用数形结合思想，结合对数函数和二次函数的图象进行求解即可.
【详解】由，
在同一直角坐标系内画出函数的图象如下图所示：
因为，
所以由函数的图象可知：当时，有，
故答案为：
55．（2024·新疆阿勒泰·三模）正数满足，则a与大小关系为 ．
【答案】/
【分析】构造函数，并运用其单调性比较大小即可.
【详解】因为，
所以，
设，则，
所以，
又因为与在上单调递增，
所以在上单调递增，
所以.
故答案为：.
56．（2024高三·全国·专题练习）已知函数在上的最大值是2，则a等于
【答案】2
【分析】利用对数函数单调性结合条件进行分类讨论分别求出最大值，进而即得.
【详解】当时，函数在上单调递增，
则，解得，
当时，函数在上单调递减，
则，无解，
综上，a等于.
故答案为：2.
57．（2024高一上·山东临沂·期末）若函数（且）在上的最大值为2，最小值为m，函数在上是增函数，则的值是 ．
【答案】3
【分析】根据对数函数的单调性，分类讨论，再结合已知进行求解得出和的值，最后根据的单调性检验即可得到.
【详解】当时，函数是正实数集上的增函数，而函数在上的最大值为，因此有，解得，所以，此时在上是增函数，符合题意，因此；
当时，函数是正实数集上的减函数，而函数在上的最大值为，因此有，，所以，此时在上是减函数，不符合题意.
综上所述，，，.
故答案为：3.
58．（2024高一上·河南南阳·期中）若函数有最小值，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】分和两种情况讨论，根据外层函数的单调性、内层函数的最值以及真数恒大于零可得出关于实数的不等式组，由此可解出实数的取值范围.
【详解】当时，外层函数为减函数，对于内层函数，，则对任意的实数恒成立，
由于二次函数有最小值，此时函数没有最小值；
当时，外层函数为增函数，对于内层函数，
函数有最小值，若使得函数有最小值，
则，解得.
综上所述，实数的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】本题考查实数的取值范围的求法，考查对数函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．
59．（2024·河南·模拟预测）写出一个同时具有下列性质①②③的函数: .
① ;②当时，单调递减; ③为偶函数.
【答案】（不唯一）
【分析】根据对数函数性质即可做出判断.
【详解】性质①显然是和对数有关，性质②只需令对数的底即可，性质③只需将自变量加绝对值即变成偶函数.
故答案为：（不唯一）
60．（2024高三上·江苏泰州·期中）已知函数同时满足（1）；（2），其中，则符合条件的一个函数解析式＝ ．
【答案】（答案不唯一）
【分析】由已知函数性质，结合函数的单调性定义和对数函数的运算性质得且，写出一个符合要求的解析式即可.
【详解】由（2）知：在上递减，
由（1），结合对数的运算性质知：，则，
综上，且，故满足要求.
故答案为：（答案不唯一）
61．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，若且，则的取值范围为 .
【答案】
【分析】作出函数的图象，可得出，利用双勾函数的单调性可求得的取值范围.
【详解】画出的图象如图：
∵，且，
∴且，，
∴，即，∴，，
由图象得在上为减函数，
∴，
∴的取值范围是.
故答案为：.
62．（2024高三·全国·专题练习）已知函数,若，则 ，函数的值域为 ．
【答案】 2
【分析】根据可解得的值，代入分段函数，结合对数函数及指数函数的值域求解分段函数的值域即可.
【详解】由得，即，即函数,
当时，；当时，．故函数的值域为．
故答案为：2；.
63．（2024高一下·上海宝山·阶段练习）若函数f(x)＝lg（x2﹣mx+1）的定义域为R，则实数m的取值范围是 ．
【答案】(-2,2)
【分析】根据定义域为R得到在R上恒成立，然后列不等式求解即可.
【详解】由题意得在R上恒成立，所以，解得.
故答案为：.
64．（2024高一上·山西运城·阶段练习）若函数的值域为R，则实数m的取值范围是
【答案】
【分析】因为函数的值域为R，所以真数能取到大于0的一切实数.分类讨论 两种情况，再取并集即得.
【详解】令，
函数的值域为，
真数能取到大于0的一切实数.
当时，，此时函数的值域为，不符合题意，舍去.
当时，需有，解得.
综上，实数的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】本题考查函数的值域，用到分类讨论的数学思想方法，属于中档题.
四、解答题
65．（2024高三上·陕西安康·期末）已知函数.
(1)若，求a的值；
(2)若对任意的，恒成立，求的取值范围.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）由可求得的值，进而可求得实数的值；
（2）由可得出或，分、两种情况讨论，可得出关于实数的不等式，由此可解得实数的取值范围.
【详解】（1）解：因为，所以，
所以，所以，解得.
（2）解：由，得，即，
即或.
当时，，则或，
因为，则不成立，
由可得，得；
当时，，则或，
因为，则不成立，所以，解得.
综上，的取值范围是.
66．（2024·上海宝山·模拟预测）已知，.
（1）当时，求函数的值域；
（2）对任意，其中常数，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）当时，当时，当时，.
【分析】（1）依题意可得，根据二次函数的性质计算可得；
（2）由得，令，对一切的恒成立，参变分离，根据函数的单调性求出函数的最值即可求出参数的取值范围；
【详解】（1）因为，，
令，
∵，∴，所以当，即时取最大值，当或，即或时取最小值，
∴函数的值域为.
（2）由得，
令，∵，∴，
∴对一切的恒成立，
①当时，若时，；
当时，恒成立，即，
函数在单调递减，于是时取最小值-2，此时，
于是；
②当时，此时时，恒成立，即，
∵，当且仅当，即时取等号，即的最小值为-3，；
③当时，此时时，恒成立，即，
函数在单调递增，于是时取最小值，
此时，于是.
综上可得：当时，当时，当时，
67．（2024·全国）解不等式：．
【答案】
【分析】根据对数的运算法则化简后，根据对数函数的单调性及定义域建立不等式组求解.
【详解】原不等式可化为
所以原不等式.
故原不等式的解集为.
68．（2024·北京）解不等式：．
【答案】
【分析】由对数函数的单调性和定义域即可求解.
【详解】由对数函数的单调性和定义域，
可得：，解得：，
所以不等式的解集为.
69．（2024高三·全国·对口高考）（1）函数是定义域在上的奇函数，当时，，求函数的解析式；
（2）函数对一切均有，当时，，当时，求函数的解析式．
【答案】（1）；（2），
【分析】（1）由奇函数的性质求解，
（2）由转化求解，
【详解】（1）当时，，所以，
因为函数是定义域在上的奇函数，，即，
所以函数的解析式；
（2）当，则，
又对任意的，有，∴．
∴．
又时，，
∴，．
70．（2024高三上·湖北·阶段练习）已知函数是定义在上的奇函数，且它的图像关于直线对称.
(1)求证：是周期为4的周期函数；
(2)若，求时，函数的解析式.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据函数的图像关于直线对称，及函数的奇偶性，结合函数周期性的定义，即可证明.
（2）由（1）中函数是周期为的函数，结合函数的奇偶性，即可求得解析式.
【详解】（1）证明：由函数的图像关于直线对称，
有，
即有，
又函数是定义在上的奇函数，有，
故，
从而，
即是周期为4的周期函数.
（2）当时，，，
由函数是定义在上的奇函数，有，故时，.
由，得，，
由（1）得，从而，时，函数的解析式为.
图象

性质
定义域：
值域：
过定点，即时，
在上增函数
在上是减函数
当时，，当时，
当时，，当时，
（一）
对数运算及对数方程、对数不等式
对数的有关运算问题要注意公式的顺用、逆用、变形用等.对数方程或对数不等式问题是要将其化为同底，利用对数单调性去掉对数符号，转化为不含对数的问题，但这里必须注意对数的真数为正.
题型1：对数运算及对数方程、对数不等式
1-1．（2024·北京）已知函数，则 ．
【答案】1
【分析】根据给定条件，把代入，利用指数、对数运算计算作答.
【详解】函数，所以.
故答案为：1
1-2．（2024高三上·湖北·阶段练习）使成立的的取值范围是
【答案】（-1，0）
【详解】在同一坐标系中分别画出函数和的图象（如图所示），由图象，得使成立的的取值范围是；故填.

1-3．（2024·全国）已知函数，若，则 ．
【答案】-7
【详解】分析：首先利用题的条件，将其代入解析式，得到，从而得到，从而求得，得到答案.
详解：根据题意有，可得，所以，故答案是.
点睛：该题考查的是有关已知某个自变量对应函数值的大小，来确定有关参数值的问题，在求解的过程中，需要将自变量代入函数解析式，求解即可得结果，属于基础题目.
1-4．（2024高三上·江苏南京·期中）设函数，则 .
【答案】
【分析】先求出，再求即可
【详解】因为，
所以，
所以，
故答案为：
1-5．（2024高三下·上海·阶段练习）若，且，则 ．
【答案】
【分析】将条件中的指数式转化为对数式，求出，代入，利用对数的运算性质可得.
【详解】，且，
且，
，
，
，
.
故答案为：.
1-6．（2024高三·全国·专题练习）= ；
【答案】
【分析】利用换底公式、对数的运算性质计算可得结果.
【详解】原式
．
故答案为：.
（二）
对数函数的图像
研究和讨论题中所涉及的函数图像是解决有关函数问题最重要的思路和方法.图像问题是数和形结合的护体解释.它为研究函数问题提供了思维方向.
题型2：对数函数的图像
2-1．（2024·山东菏泽·三模）已知函数且过定点，且定点在直线上，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】根据对数函数的性质得，代入直线方程得，再根据基本不等式可求出结果.
【详解】令，即，得，故，
由在直线上，得，即，
因为且，，所以且，，
所以.
当且仅当，即，即，时，等号成立.
故的最小值为.
故答案为：
2-2．（2024高二上·四川绵阳·单元测试）函数的图象恒过定点，若点在直线上，其中、，则的最小值为 .
【答案】
【分析】求出定点，可得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值.
【详解】对于函数，令，可得，则，
故函数的图象恒过定点，
因为点在直线上，则，可得，
因为、，所以，，
当且仅当时，等号成立，故的最小值为.
故答案为：.
2-3．（2024高二上·河北衡水·阶段练习）已知函数，，对任意的，，有恒成立，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】由题设不等式恒成立，只需在上成立即可，进而求m范围.
【详解】函数在，上单调递增，在，上单调递增，
∴，，
对任意的，，有恒成立，
∴，即，解得，
∴实数的取值范围是．
故答案为：.
2-4．（2024高三·四川·对口高考）已知函数（a，b为常数，其中且）的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】D
【分析】由函数在定义域上单调递增，可得，排除A，C；代入,得，从而得答案.
【详解】解：由图象可得函数在定义域上单调递增，
所以，排除A，C；
又因为函数过点,
所以，解得．
故选：D
2-5．（2024·陕西）函数的图像大致为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】由函数为偶函数可排除AC，再由当时，，排除D，即可得解.
【详解】设，则函数的定义域为，关于原点对称，
又，所以函数为偶函数，排除AC；
当时， ，所以，排除D.
故选：B.
（三）
对数函数的性质（单调性、最值（值域））
研究和讨论题中所涉及的函数性质是解决有关函数问题最重要的思路和方法.性质问题是数和形结合的护体解释.它为研究函数问题提供了思维方向.
题型3：对数函数的定义域、值域问题
3-1．（2024高二下·福建莆田·期中）函数，则定义域是 ．
【答案】
【分析】根据解析式列出不等式组求解即可.
【详解】由可得，
，解得，
所以函数的定义域为.
故答案为： .
3-2．（2024·北京）函数的值域为 .
【答案】
【分析】当时，；当时，，可得值域
【详解】当时，；当时，，故函数的值域为.
【考点定位】本题考查了指数函数、对数函数和值域，求函数的值域可以利用函数的单调性，也可以利用函数的图象求.
3-3．（2024高三·全国·对口高考）若函数的定义域为，则a的取值范围为 ；若函数的值域为，则a的取值范围为 .
【答案】
【分析】第一空，由题意可得对于恒成立，结合判别式小于0即可求得答案；第二空，由题意可得能取到所有正数，结合判别式大于等于0即可求得答案；
【详解】函数的定义域为，则对于恒成立，
故，解得，即；
若函数的值域为，即能取到所有正数，
故，解得或，即，
故答案为：；
3-4．（2024高三·全国·专题练习）已知函数的值域为，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】
利用基本不等式求出函数的值域，根据题意可知，可得出关于实数的不等式，解之即可.
【详解】对任意的，，由基本不等式可得，
当且仅当时，即当时，等号成立，
因为函数的值域为，则，
所以，，解得.
因此，实数的取值范围是.
故答案为：.
题型4：对数函数的单调性和最值
4-1．（2024高三·重庆渝中·阶段练习）函数的单调递增区间为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据复合函数的同增异减即可.
【详解】函数的定义域为
令，又在定义域内为减函数，
故只需求函数在定义域上的单调递减区间，
又因为函数在上单调递减，
的单调递增区间为.
故选：B
4-2．（2024高三下·宁夏银川·阶段练习）已知函数，若在上为减函数，则a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据复合函数的单调性以及对数函数的定义域求解.
【详解】设函数，
因为在上为减函数，
所以在上为减函数，则解得，
又因为在恒成立，
所以解得，
所以a的取值范围为，
故选:B.
4-3．（2024高一下·陕西宝鸡·期末）已知函数的最小值为0，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据对数函数图像知函数最小值为0，从而转化为二次函数对恒成立，通过二次函数过定点，讨论其对称轴所在位置从而求解.
【详解】函数最小值为0，
设，
所以只要满足恒成立，
函数对称轴为，且，
①，即时，满足题意；
②，即时，
需满足，
即，得，
此时实数的取值范围是.
综上，实数的取值范围是
故答案为：.
4-4．（2024高一下·湖北·阶段练习）若函数在上单调，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】分单调递增与单调递减两种情况讨论，根据分段函数单调性判断方法列出不等式组求解.
【详解】若 在上单调递增，则，解得，
若 在上单调递减，则，解得．
综上得.
故选：D
4-5．（2024·云南·模拟预测）已知，设，则函数的最大值为 .
【答案】8
【分析】由求出的定义域为，然后换元，令，，得，根据二次函数的单调性可求出最大值.
【详解】，
由得，即的定义域为，
令，因为，所以，
所以在上为增函数，
所以时，.
故答案为：.
4-6．（2024·海南海口·模拟预测）已知正实数，满足：，则的最小值为 .
【答案】
【分析】将变形为，设，对求导可知在上单调递增，所以，则，所以，令，对求导，即可求出的最小值
【详解】由可得：,
所以，，
设，，
所以在上单调递增，所以，
则，所以，
所以，所以，令，
令，解得：；令，解得：；
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以.
故的最小值为.
故答案为：.
4-7．（2024·天津）已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用幂函数、对数函数的单调性结合中间值法可得出、、的大小关系.
【详解】因为，故.
故答案为：C.
题型5：对数函数性质的综合
5-1．（2024高三·全国·专题练习）已知函数满足：，则；当时，，则 ．
【答案】/
【分析】利用对数函数性质确定的范围，再利用给定关系求解作答.
【详解】依题意，，则，因此，
而，则；当时，，
所以.
故答案为：
5-2．（2024高一上·江苏徐州·期末）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则的解集是 .
【答案】
【分析】利用奇偶性求出函数的解析式，分类讨论即可求解.
【详解】当时，，所以，
因为函数是定义在R上的奇函数，所以，
所以当时，，
所以，
要解不等式，只需或或，
解得或或，
综上，不等式的解集为.
故答案为：.
5-3．（2024·陕西宝鸡·二模）已知函数，则（ ）
A．在单调递减，在单调递增B．在单调递减
C．的图像关于直线对称D．有最小值，但无最大值
【答案】C
【分析】根据复合函数的单调性的判断方法，可判断A，B；推得可判断C；根据二次函数的性质结合对数函数的单调性可判断D.
【详解】由题意可得函数的定义域为，
则，
因为在上单调递增，在上单调递减，
且在上单调递增，
故在上单调递增，在上单调递减，A，B错误；
由于，故的图像关于直线对称，C正确；
因为在时取得最大值，且在上单调递增，
故有最大值，但无最小值，D错误，
故选：C
5-4．（2024·全国）设函数，则f(x)（ ）
A．是偶函数，且在单调递增B．是奇函数，且在单调递减
C．是偶函数，且在单调递增D．是奇函数，且在单调递减
【答案】D
【分析】根据奇偶性的定义可判断出为奇函数，排除AC；当时，利用函数单调性的性质可判断出单调递增，排除B；当时，利用复合函数单调性可判断出单调递减，从而得到结果.
【详解】由得定义域为，关于坐标原点对称，
又，
为定义域上的奇函数，可排除AC；
当时，，
在上单调递增，在上单调递减，
在上单调递增，排除B；
当时，，
在上单调递减，在定义域内单调递增，
根据复合函数单调性可知：在上单调递减，D正确.
故选：D.
【点睛】本题考查函数奇偶性和单调性的判断；判断奇偶性的方法是在定义域关于原点对称的前提下，根据与的关系得到结论；判断单调性的关键是能够根据自变量的范围化简函数，根据单调性的性质和复合函数“同增异减”性得到结论.
（四）
对数函数中的恒成立问题
1.不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：
一般地，已知函数，
（1）若，，总有成立，故；
（2）若，，有成立，故；
（3）若，，有成立，故；
（4）若，，有，则的值域是值域的子集 ．
2.（1）利用数形结合思想，结合对数函数的图像求解；
（2）分离自变量与参变量，利用等价转化思想，转化为函数的最值问题.
（3）涉及不等式恒成立问题，将给定不等式等价转化，借助同构思想构造函数，利用导数探求函数单调性、最值是解决问题的关键.
题型6：对数函数中的恒成立问题
6-1．（2024高二下·黑龙江大庆·阶段练习）已知函数，若对，使得，则实数的取值范围为 .
【答案】
【分析】根据条件分析得到，然后根据的单调性分析出对应的最值，由此可求解出的取值范围.
【详解】因为对，使得，
所以，
因为的对称轴为，所以在上单调递增，所以，
又因为在上单调递增，所以，
所以，所以，即，
故答案为：.
【点睛】结论点睛：不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：
一般地，已知函数，
（1）若，，总有成立，故；
（2）若，，有成立，故；
（3）若，，有成立，故；
（4）若，，有，则的值域是值域的子集 ．
6-2．（2024·江西宜春·模拟预测）若，不等式恒成立，则实数的取值范围为 .
【答案】
【分析】分离参数，将恒成立问题转化为函数最值问题，根据单调性可得.
【详解】因为，不等式恒成立，
所以对恒成立.
记，，只需.
因为在上单调递减，在上单调递减，
所以在上单调递减，
所以，所以.
故答案为：
6-3．（2024高三下·浙江·阶段练习）已知函数，，若存在，任意，使得，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】将问题转化为在对应区间上，结合对勾函数、对数函数的性质求、的区间最值，即可求的范围.
【详解】若在上的最大值，在上的最大值，
由题设，只需即可.
在上，当且仅当时等号成立，
由对勾函数的性质：在上递增，故.
在上，单调递增，则，
所以，可得.
故答案为：.
6-4．（2024高一上·江苏镇江·期末）若不等式在上恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】把不等式变形为，分和情况讨论，数形结合求出答案.
【详解】变形为：，即在上恒成立，
若，此时在上单调递减，，而当时，，显然不合题意；
当时，画出两个函数的图像，

要想满足在上恒成立，只需，即，
解得：，综上：实数a的取值范围是.
故选：C