专题14 导数的应用--函数的最值问题5题型分类-备战2025年高考数学一轮专题复习全套考点突破和专题检测（解析版）

这是一份专题14 导数的应用--函数的最值问题5题型分类-备战2025年高考数学一轮专题复习全套考点突破和专题检测（解析版），共84页。试卷主要包含了函数的最值，不等式的恒成立与能成立问题等内容，欢迎下载使用。


1.函数的最值
函数最大值为极大值与靠近极小值的端点之间的最大者；函数最小值为极小值与靠近极大值的端点之间的最小者．
导函数为
（1）当时，最大值是与中的最大者；最小值是与中的最小者．
（2）当时，最大值是与中的最大者；最小值是与中的最小者．
一般地，设是定义在上的函数，在内有导数，求函数在上的最大值与最小值可分为两步进行：
（1）求在内的极值（极大值或极小值）；
（2）将的各极值与和比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．
注：①函数的极值反映函数在一点附近情况，是局部函数值的比较，故极值不一定是最值；函数的最值是对函数在整个区间上函数值比较而言的，故函数的最值可能是极值，也可能是区间端点处的函数值；
②函数的极值点必是开区间的点，不能是区间的端点；
③函数的最值必在极值点或区间端点处取得．
2.不等式的恒成立与能成立问题
（1）若函数在区间D上存在最小值和最大值，则
不等式在区间D上恒成立；
不等式在区间D上恒成立；
不等式在区间D上恒成立；
不等式在区间D上恒成立；
（2）若函数在区间D上不存在最大（小）值，且值域为，则
不等式在区间D上恒成立．
不等式在区间D上恒成立．
（3）若函数在区间Ｄ上存在最小值和最大值，即，则对不等式有解问题有以下结论：
不等式在区间D上有解；
不等式在区间D上有解；
不等式在区间D上有解；
不等式在区间D上有解；
（4）若函数在区间D上不存在最大（小）值，如值域为，则对不等式有解问题有以下结论：
不等式在区间D上有解
不等式在区间D上有解
（5）对于任意的，总存在，使得；
（6）对于任意的，总存在，使得；
（7）若存在，对于任意的，使得；
（8）若存在，对于任意的，使得；
（9）对于任意的，使得；
（10）对于任意的，使得；
（11）若存在，总存在，使得
（12）若存在，总存在，使得．
一、单选题
1．（2024·全国）当时，函数取得最大值，则（ ）
A．B．C．D．1
【答案】B
【分析】根据题意可知，即可解得，再根据即可解出．
【详解】因为函数定义域为，所以依题可知，，，而，所以，即，所以，因此函数在上递增，在上递减，时取最大值，满足题意，即有．
故选：B.
2．（2024·全国）已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为，且，则该正四棱锥体积的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】设正四棱锥的高为，由球的截面性质列方程求出正四棱锥的底面边长与高的关系，由此确定正四棱锥体积的取值范围.
【详解】∵球的体积为，所以球的半径,
[方法一]：导数法
设正四棱锥的底面边长为，高为，
则，,
所以，
所以正四棱锥的体积，
所以，
当时，，当时，，
所以当时，正四棱锥的体积取最大值，最大值为，
又时，，时，,
所以正四棱锥的体积的最小值为，
所以该正四棱锥体积的取值范围是.
故选：C.
[方法二]：基本不等式法
由方法一故所以当且仅当取到，
当时，得，则
当时，球心在正四棱锥高线上，此时，
，正四棱锥体积，故该正四棱锥体积的取值范围是
3．（2024高二下·全国·专题练习）如果圆柱的轴截面周长l为定值，那么圆柱的体积的最大值是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由题意，，则，求导分析单调性，即可得最大值
【详解】
设底面半径为，高为，则，即，
所以，
则，
令则，令则；令则,
故当，单调递增，当，单调递减,
即时，取得最大值.
故选：A．
4．（2024高三上·河南焦作·期中）在直角坐标系中，一个长方形的四个顶点都在椭圆上，将该长方形绕轴旋转，得到一个圆柱体，则该圆柱体的体积最大时，其侧面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】设椭圆与长方形在第一象限交点为，即可得圆柱体的母线长为，底面圆的半径为，可得圆柱体的体积为，令，利用导数求的最大值，即可求得答案
【详解】设椭圆与长方形在第一象限交点为，
根据长方形和椭圆的对称性可得，将该长方形绕轴旋转得到的圆柱体的母线长为，底面圆的半径为，
由可得，
所以圆柱体的体积为，
令，则，
令，解得，
所以当，，单调递增；当，，单调递减，
所以当时，有最大值，即此时圆柱体的体积最大，
所以此时圆柱体的母线长为，底面圆的半径为，
故圆柱体的侧面积为
故选：C
5．（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知不等式有实数解，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】构造两个函数，先利用导数求出单调区间，从而得到在处取到最小值，再利用二次函数的性质知在处取到最大值，从而可求出结果.
【详解】，所以不等式有实数解，即不等式成立，
设， ，
当时，，当时，，
所以在区间上是减函数，在区间上是增函数，，
又因为，当时，，
因为不等式有实数解，则
故选：C.
【点睛】关键点睛：处理本题的关键在于，通过构造两个函数，利用导数和二次函数的性质，分别求出两个函数的最值，两个函数均在处取到最值，从而得解.
6．（2024·四川成都·模拟预测）若关于的不等式在内有解，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】题设中的不等式等价于，令，结合导数可得该函数的单调性，结合可得的解，从而可求实数的取值范围.
【详解】由有意义可知，.
由，得.
令，即有.
因为，所以，令，
问题转化为存在，使得.
因为，令，即，解得；
令，即，解得，
所以在上单调递增，在上单调递减.
又，所以当时，.
因为存在，使得成立，所以只需且，解得.
故选：.
7．（2024高三·全国·对口高考）已知在区间上的最大值就是函数的极大值，则m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
由函数的极大值与最大值的关系即可求解.
【详解】，令，得，
因为在区间上的最大值就是函数的极大值，
则必有，所以.
故选：C.
8．（2024高三上·重庆沙坪坝·阶段练习）已知a，，关于x的不等式在R上恒成立，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】数形结合，分类讨论不成立，则，要最大，需要，，对于取定的b，要最大需要a更大，所以只需过的切线斜率最大.借助导数求函数的最值.
【详解】如图，

由图象可知，不成立，则，要最大，需要，；
时，时不成立，则；
对于取定的b，要最大需要a更大，所以只需过作的切线，切线斜率即为最大的a.
设切点，则，.
，,
当时，，单调递增；当时，，单调递减.
所以在时，取得最大值.
故选：B.
9．（2024高三上·江苏镇江·开学考试）对于实数，不等式恒成立，则实数m的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】构造同构函数，分析单调性，转化为恒成立，即，再求解的最小值即可.
【详解】已知，由知.故排除BD.
由得，，
构造函数，是上的增函数，
则由得，即，
令，
，由得，
当，则单调递减，
当，则单调递增，
，
则，又，则.
故选：C.
二、填空题
10．（2024·全国·模拟预测）在直角坐标系中，矩形的四个顶点都在椭圆上，将该矩形绕轴旋转一周，得到一个圆柱体，当该圆柱体的体积最大时，其侧面积为
【答案】/
【分析】设椭圆与长方形在第一象限交点为，即可得圆柱体的母线长为，底面圆的半径为，可得圆柱体的体积为，令，利用导数求的最大值，即可求得答案.
【详解】设矩形在第一象限的顶点坐标为，根据长方形和椭圆的对称性可得，
将该矩形绕轴旋转一周得到的圆柱体的母线长，底面圆的半径，
由，可得，
所以圆柱体的体积，
令，则，令，解得，
所以当时，单调递增，
当时，单调递减，
所以当时，有最大值，即此时圆柱体的体积最大，
所以此时圆柱体的母线长，底面圆的半径，
故圆柱体的侧面积为．
故答案为：.
11．（2024高三上·重庆·阶段练习）已知，则当取得最大值时， ．
【答案】
【分析】设，利用二倍角的正切公式得到，再利用导数即可求出其最值时的值，再代入即可得到答案.
【详解】设，因为，则，则，
则．
设函数，
则．
当时，即，，此时单调递增；
当时，即，，此时单调递减，
所以当时，取得最大值，即取得最大值，
此时．
故答案为：.
【点睛】关键点睛：本题的关键是利用二倍角公式构造出关于的函数关系，再利用导数法求出最值即可.
12．（2024高三上·四川成都·开学考试）已知面积为的锐角其内角A，B，C所对边分别为a，b，c，且，则边c的最小值为 ．
【答案】2
【分析】利用正余弦定理化简可得，再由面积公式化简得，构造函数利用导数求最小值即可.
【详解】，
,
由正余弦定理可得：，
化简得，
由余弦定理可得，即，
又，故，
所以，其中，
令，，
当时，，则，单调递减，
当时，，则，单调递增，、
所以，所以，
即，当时，等号成立.
故答案为：2
13．（2024高三上·吉林长春·开学考试）函数在内有最小值，则实数的取值范围为 .
【答案】
【分析】将函数在内有最小值等价转化成函数在内必有极值点，再利用导函数研究极值点的范围即可求得实数的取值范围.
【详解】由题意可得，函数的定义域为，
易知，
若函数在内有最小值，则函数在内必有极值点，
又，不妨设为方程的两个不相等实数根，
则有，不妨令，因此即可；
令，根据零点存在定理可得，
解得；
经检验在内有最小值，所以实数的取值范围为.
故答案为：
【点睛】方法点睛：函数在某开区间上有最值问题一般情况下是转化成有极值点，再将极值点问题转化成其导函数在该区间内有零点的问题，利用零点存在定理即可实现问题求解.
14．（2024·湖北武汉·三模）已知函数，，则函数的最小值为 .
【答案】/0.5
【分析】对求导，然后令，判断的单调性，得到的值域，从而判断的单调性，即可确定函数的最小值.
【详解】因为，
所以，
记，，
则，因为，所以，
所以在上单调递增，所以，
所以在上恒成立，所以在上单调递增，
故当时，函数有最小值为，
故答案为：
15．（2024·安徽安庆·二模）已知，且，则的最小值为 .
【答案】1
【分析】
由，得，构造函数，，用导数得在上为增函数，可得，即，代入后再构造函数，利用导数可求出最小值.
【详解】因为，，所以，所以，且，
所以，
设，，
则，因为，所以，在上为增函数，
因为，所以，则，所以，
所以，
令，则，
令，则，则在上为增函数，
令得，即，
则存在唯一实数，使得，即，
所以当时，，，当时，，，
所以在上为减函数，在上为增函数，
所以.
所以的最小值为.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：将变形为，再利用指对同构，设，，将化为是本题解题关键.
16．（2024·海南海口·模拟预测）已知正实数，满足：，则的最小值为 .
【答案】
【分析】将变形为，设，对求导可知在上单调递增，所以，则，所以，令，对求导，即可求出的最小值
【详解】由可得：,
所以，，
设，，
所以在上单调递增，所以，
则，所以，
所以，所以，令，
令，解得：；令，解得：；
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以.
故的最小值为.
故答案为：.
17．（2024高三·福建泉州·阶段练习）已知函数的最小值为0，则a的取值范围为 ．
【答案】
【分析】把函数化成分段函数，按分段讨论函数的取值情况作答.
【详解】函数定义域为，，显然，
当时，，当时，函数在上单调递减，，因此，
当时，函数在上单调递减，其取值集合为，
函数在上单调递增，函数值集合为，因此存在，使得，
而，于是，不符合题意，
当时，，令，，当时，，
即在上单调递增，，，即有，
当时，，即，当且仅当时取等号，因此，
当时，，显然当时，，函数在上单调递减，
，不符合题意，
综上得，，
所以则a的取值范围为.
故答案为：
18．（2024高三下·江苏南通·开学考试）若函数的最小值为，则 ．
【答案】
【分析】分类讨论，根据函数的单调性与最值的关系求解.
【详解】当时，，
，
当时，，当时，，
所以在单调递减，在单调递增，
所以解得，与矛盾；
当时，，
(i)若，即，
则有在单调递减，单调递增，
所以解得，与矛盾；
(ii)若，即，
则有在单调递减，单调递增，
所以解得，满足题意；
综上，，
故答案为:.
19．（2024高三·全国·专题练习）若函数在区间上存在最大值，则实数的取值范围为
【答案】
【分析】根据开区间上连续函数的最值点必为导函数的零点，然后求导，数形结合，根据零点存在性定理建立不等式即可求解
【详解】因为，
且函数在区间上存在最大值，
故只需满足，
所以，
解得．
故答案为：
20．（2024·山西运城·模拟预测）已知函数，若函数在上存在最小值.则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】先利用导数判断出函数的极值点，建立不等式，即可求出的取值范围.
【详解】，，
当时，，单调递减；当或时，，单调递增，
∴在处取得极小值，在处取得极大值.
令，解得或，
又∵函数在上存在最小值，且为开区间，
所以，解得.
即的取值范围是.
故答案为：.
21．（2024·贵州黔东南·模拟预测）若存在实数（），使得关于x的不等式对恒成立，则b的最大值是 .
【答案】
【分析】先考虑恒成立，得到.再考虑恒成立，得到，再解不等式即得解.
【详解】当，且时，由，得.
设，则.
当时，，在上单调递增，
当时，，在上单调递减.
所以，得，
等价于，而，
当且仅当时等号成立.
所以，则，
所以，
解得，所以b的最大值是.
故答案为：
【点睛】方法点睛：求解不等式的恒成立问题，常用的方法有：（1）分离参数求最值；（2）直接求函数的最值；（3）端点优先法.要根据已知条件灵活选择方法求解.
22．（2024高三下·陕西安康·阶段练习）若不等式 对恒成立，则a的取值范围是 .
【答案】
【分析】观察解析式的结构，用同构思路构造函数，运用导数判断单调性求解.
【详解】令 ，则
，
令，，则 ,
当时，；当时，，所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，
所以,当x趋近于0时，趋近于，所以，
令，，，则，
当时，；当时，，所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以，
若恒成立，即恒成立，所以，所以；
故答案为：.
【点睛】观察函数的解析式的结构是问题的核心，如果是直接求导，则很难计算，一般来说，当导函数的结构很复杂的时候，应该考虑是否存在其他方式解决问题.
三、解答题
23．（2024·北京）已知函数．
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）若在处取得极值，求的单调区间，以及其最大值与最小值．
【答案】（1）；（2）函数的增区间为、，单调递减区间为，最大值为，最小值为.
【分析】（1）求出、的值，利用点斜式可得出所求切线的方程；
（2）由可求得实数的值，然后利用导数分析函数的单调性与极值，由此可得出结果.
【详解】（1）当时，，则，，，
此时，曲线在点处的切线方程为，即；
（2）因为，则，
由题意可得，解得，
故，，列表如下：
所以，函数的增区间为、，单调递减区间为.
当时，；当时，.
所以，，.
24．（2004·浙江）设曲线在点处的切线l与x轴y轴所围成的三角形面积为．
(1)求切线l的方程；
(2)求的最大值．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（1）求出导函数，由导数的几何意义求得切线方程；
（2）求出切线与坐标的交点坐标，计算出三角形面积后，由导数求得最大值．
【详解】（1），时，
所以切线方程为，即．
（2）在中，令得，令得，
因为，
所以，
，
所以时，，递增，时，，递减，
所以．
25．（2004·湖南）已知函数，其中，e为自然对数的底数．
(1)讨论函数的单调性；
(2)求函数在区间上的最大值．
【答案】(1)当时，在上单调递增，在上单调递减；
当时，在和上单调递减；在上单调递增；
(2)当时，最大值是；当时，最大值是；
当时，在区间上的最大值是.
【分析】（1）先确定函数的定义域然后求导数，讨论，在函数的定义域内解不等式和即可．
（2）欲求函数在区间上的最大值，先求在区间上的单调性，讨论的值，分别求出最大值．
【详解】（1），函数定义域为，．
当时，令，得．
若，则，从而在上单调递增；
若，则，从而在上单调递减．
当时，令，得，解得或，有．
若，则或，从而在和上单调递减；
若，则，从而在上单调递增；
（2）由（1）中求得单调性可知，
当时，在区间上单调递增，最大值是．
当时，在区间上单调递增，最大值是．
当时，在区间上单调递增，在区间单调递减，最大值是．
26．（2024高二下·黑龙江大庆·期中）已知函数.
(1)若时，求的单调区间；
(2)求在上的最小值.
【答案】(1)递增区间为，递减区间为；
(2)答案见解析.
【分析】（1）把代入，利用导数求出的单调区间作答.
（2）利用导数分段讨论函数在上的单调性，再求出最小值作答.
【详解】（1）当时，的定义域为，求导得，
当时，，当时，，即函数在上单调递增，在上单调递减，
所以函数的递增区间为，递减区间为.
（2），函数，求导得，由，得，
当时，，当时取等号，因此函数在上单调递增，，
当时，由，得，由，得，
于是函数在上单调递增，在上单调递减，，
由，得，当时，，
当时，，当时，，
所以当时，函数的最小值为，当时，函数的最小值为.
27．（2024·江西）已知函数在上单调递减，且满足，.
(1)求的取值范围；
(2)设，求在上的最大值和最小值.
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】（1）由题设条件可得，求出导数后就、、、分类讨论后可求其范围.
（2）易得，求出其导数后就、、、分类讨论后可得参数的取值范围.
【详解】（1）由，得，
则，，
依题意须对于任意 ，有.
当时，因为二次函数 的图像开口向上，
而 ，所以须 ，即.
当 时，对任意 有 ，符合条件；
当时，对于任意 ，，符合条件；
当 时，因，不符合条件，
故的取值范围为.
（2）因
（i）当时，，
在上取得最小值 ，在上取得最大值，
（ii）当 时，对于任意 有.
在 取得最大值 ，在 取得最小值.
（iii）当时，由 得，
① 若 ，即 时，
在上单调递增，在得最小值；
在 取得最大值.
② 若 ，即 时，
在 取得最大值 ，
在 或 取得最小值，而，，
则当 时，在取得最小值，
当 时，在取得最小值.
28．（2024高二下·山西朔州·阶段练习）设a∈R，函数f(x)＝ax3－3x2.
（1）若x＝2是函数y＝f(x)的极值点，求a的值；
（2）若函数g(x)＝f(x)＋，x∈[0，2]，在x＝0处取得最大值，求a的取值范围
【答案】（1）a＝1；（2）.
【分析】（1）根据＝0，即可求出a的值，然后验证所求a的值满足x＝2是函数y＝f(x)的极值点；
（2）利用最大值求出的取值范围，然后再验证所求的取值范围满足在x＝0处取最大值即可.
【详解】（1）＝3ax2－6x＝3x(ax－2)．
因为x＝2是函数y＝f(x)的极值点，
所以＝0，即6(2a－2)＝0，因此a＝1.
经验证，当a＝1时，x＝2是函数y＝f(x)的极值点，所以.
（2）由题意知， ，
因为当g(x)在区间[0，2]上的最大值为g(0)，所以，即，
故得.
反之，当时，对任意x∈[0，2]，
而g(0)＝0，故g(x)在区间[0，2]上的最大值为g(0)．
综上所述，a的取值范围为.
29．（2024高三上·重庆沙坪坝·开学考试）已知函数.
(1)设，经过点作函数图像的切线，求切线的方程；
(2)若函数有极大值，无最大值，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，求导得，再由导数的几何意义，即可得到结果；
（2）根据题意，求导得，令，然后分与两种情况，分别讨论，即可得到结果.
【详解】（1）时，
设切点为，则切线斜率为，
切线方程：，
将点带入得：，
此时斜率，所以切线方程为.
（2）函数的定义域为，令，则
（1）当时在单调递增，
注意到时，，注意到时，，
故存在，使得，在时单调递减，在时，单调递增，函数有极小值，无极大值，不符合题意.
（2）当时，令，令，
所以在单调递增，在单调递减.
当时，当时，
所以，
若，则恒成立，在单调递减，无极值和最值.
若，即，此时存在，使得，
且在有单调递减；在有单调递增，此时为的极大值.
注意到时，要使无最大值，则还应满足，
即，同时，
带入整理得.
由于，且在单调递减，故，
即，
综上实数的取值范围为.
【点睛】关键点睛：本题主要考查了求切线方程问题以及导数与函数极值，最值的综合问题，难度较大，解决本题的关键在于分情况进行讨论，将问题合理转化.
30．（2024高三·广东中山·阶段练习）用长为的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？
【答案】长为m，宽为1m，高为m时，体积最大，最大体积为3
【分析】设出长方体的宽为m，表达出长方体的长和高，从而体积，并根据长宽高均大于0，求出，求导后得到的单调性和极值，最值情况，并确定此时的长、宽、高.
【详解】设长方体的宽为m，则长方体的长为m，故长方体的高为m，
由，解得：，
设长方体的体积为，
故，
则，
令，解得：，
令，解得：，
故在上单调递增，在上单调递减，
故在处取得极大值，也是最大值，最大值为，
此时长为m，宽为1m，高为m.
31．（2024高二下·广东汕头·期中）某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：），其中容器的中间为圆柱形，左、右两端均为半球形，按照设计要求容器的容积为，且，假设该容器的建造费用仅与其表面积有关，已知圆柱形部分每平方米的建造费用为3万元，半球形部分每平方米的建造费用为（）万元，该容器的总建造费用为万元.
（1）写出关于的函数表达式，并求该函数的定义域；
（2）求该容器的总建造费用最少时的的值.
【答案】（1），定义域为；
（2）当时，；当时，.
【分析】（1）利用，可得，则可得关于的函数表达式，
，代入即得解；
（2）求导，分，两种情况讨论，即得解
【详解】（1）设容器的容积为，由题意，知.
又，故.
由于，
解得，
所以，
其定义域为.
（2）由（1）得，.
由于，所以.
当时，.令，则，
所以.
①当，即时，
若，则；若，则；若，则.
所以是该函数的极小值点，也是最小值点.
②当，即时，若，则（仅当时，），所以函数单调递减.
所以是该函数的最小值点.
综上所述，当时，总建造费用最少时；当时，总建造费用最少时.
32．（2023·福建）在平面直角坐标系中，已知矩形的长为2，宽为1，边分别在轴、轴的正半轴上， 点与坐标原点重合（如图所示）．将矩形折叠，使A点落在线段上．
(1)若折痕所在直线的斜率为，试写出折痕所在直线的方程；
(2)求折痕的长的最大值．
【答案】(1)；
(2).
【分析】(1)分与分类讨论，根据对称关系即可求解; (2)根据折痕在不同的位置分类讨论即可求解.
【详解】（1）当时，此时点与点重合，折痕所在的直线方程;
②当时，将矩形折叠后点落在线段上的点为，所以与关于折痕所在的直线对称，有，故点坐标为，从而折痕所在的直线与的交点坐标（线段的中点）为.
故折痕所在的直线方程, 即，
由①②得折痕所在的直线方程为；
（2）折痕所在的直线与坐标轴的交点坐标分别为，
解，得；解，得，
因为在上,所以，
当时，直线交于
；
②当时，直线与轴、轴的交点落在矩形的边和上，
，
所以，令，解得，此时取得最大值，且；
③当时，直线交于，
所以折痕的长度的最大值为.
33．（2024高二下·广东揭阳·期末）如图，有一块半椭圆形钢板，其长半轴为，短半轴为，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底是半椭圆的短轴，上底的端点在椭圆上，记，梯形面积为．
(Ⅰ)求面积关于变量的函数表达式，并写出定义域；
(Ⅱ)求面积的最大值．
【答案】（I）
，
其定义域为
（II）梯形面积的最大值为
【详解】试题分析：（1）建立平面直角坐标系，得椭圆标准方程，即满足的方程： (y≥0)，由于，可解得y＝2 (0试题解析：（1）依题意，以AB的中点O为原点建立直角坐标系(如图)，设点C的横坐标为x.
点C的纵坐标y满足方程 (y≥0)，
解得y＝2 (0S＝ (2x＋2r) 2＝2(x＋r)·，
其定义域为{x|0（2）记f(x)＝4(x＋r)2(r2－x2)，0则f ′(x)＝8(x＋r)2(r－2x)．
令f ′(x)＝0，则x＝r.因为当00；
当因此，当x＝r时，S取得最大值，最大值为＝r2，即梯形面积S的最大值为r2.
考点：椭圆在实际问题中的应用，用导数求函数的最值．
34．（2024·广东广州·一模）人们用大数据来描述和定义信息时代产生的海量数据，并利用这些数据处理事务和做出决策，某公司通过大数据收集到该公司销售的某电子产品1月至5月的销售量如下表.
该公司为了预测未来几个月的销售量，建立了y关于x的回归模型：.
(1)根据所给数据与回归模型，求y关于x的回归方程（的值精确到0.1）；
(2)已知该公司的月利润z（单位：万元）与x，y的关系为，根据（1）的结果，问该公司哪一个月的月利润预报值最大？
参考公式：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，.
【答案】(1)；
(2)第9个月的月利润预报值最大
【分析】（1）根据数据与回归方程的公式进行求解，得到回归方程；（2）结合第一问所求得到关于的函数，通过导函数求出单调区间，极值及最值，求出答案.
【详解】（1）令，则，，
，，所以y关于x的回归方程为；
（2）由（1）知：，
，令，
令得：，令得：，令得：，所以在处取得极大值，也是最大值，
所以第9个月的月利润预报值最大.
35．（2024高三·全国·专题练习）为落实立德树人根本任务，坚持五育并举全面推进素质教育，某学校举行了乒乓球比赛，其中参加男子乒乓球决赛的12名队员来自3个不同校区，三个校区的队员人数分别是3，4，5.本次决赛的比赛赛制采取单循环方式，即每名队员进行11场比赛（每场比赛都采取5局3胜制），最后根据积分选出最后的冠军.积分规则如下：比赛中以或取胜的队员积3分，失败的队员积0分；而在比赛中以取胜的队员积2分，失败的队员的队员积1分.已知第10轮张三对抗李四，设每局比赛张三取胜的概率均为.
(1)比赛结束后冠亚军(没有并列)恰好来自不同校区的概率是多少？
(2)第10轮比赛中，记张三取胜的概率为，求出的最大值点.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用互斥事件的概率公式和古典摡型的概率计算公式，即可看求解；
（2）由题意求得，然后利用导数求得函数的单调性与最值，即可求解.
【详解】（1）解：根据题意，比赛结束后冠亚军恰好来自不同校区的概率是；
（2）解：由题可知，
，
令，得，
当时，，在上单调递增；
当时，，在上单调递减.
所以的最大值点.
36．（2024·河北·模拟预测）5G技术对社会和国家十分重要．从战略地位来看，业界一般将其定义为继蒸汽机革命、电气革命和计算机革命后的第四次工业革命．某科技集团生产A，B两种5G通信基站核心部件，下表统计了该科技集团近几年来在A部件上的研发投入（亿元）与收益y（亿元）的数据，结果如下：
(1)利用样本相关系数r说明是否可以用线性回归模型拟合y与x的关系（当时，可以认为两个变量有很强的线性相关性）；
(2)求出y关于x的经验回归方程，并利用该方程回答下列问题：
①若要使生产A部件的收益不低于15亿元，估计至少需要投入多少研发资金？（精确到0.001亿元）
②该科技集团计划用10亿元对A，B两种部件进行投资，对B部件投资元所获得的收益y近似满足，则该科技集团针对A，B两种部件各应投入多少研发资金，能使所获得的总收益P最大．
附：样本相关系数，
回归直线方程的斜率，截距．
【答案】(1)答案见解析
(2)回归方程为，①6.684亿元；②在A，B两种部件上分别投入8亿元，2亿元.
【分析】（1）先计算出，再根据公式计算出，再由即可判断；
（2）根据公式先求出回归直线方程，①令，解不等式即可求解；②根据题意，写出总收益的函数表达式，对函数求导，得出函数的单调性，然后利用函数的单调性求出最值即可.
【详解】（1），，
，，，
∴．
可以用线性回归模型拟合y与x的关系．
（2）∵，
∴，
∴y关于的经验回归方程为，
①令，得，解得，
∴若要使生产A部件的收益不低于15亿元，估计至少需要投入6.684亿元研发资金．
②设B部件的研发投入为亿元，则A部件的研发投入为亿元，
总收益，
，
令得，
当时，，P单调递增；当，，P单调递减，
所以当时，P取得最大值22亿元．
所以该科技集团在A，B两种部件上分别投入8亿元，2亿元的研发资金，可使所获得的总收益P最大．
37．（2024高三·全国·专题练习）甲､乙两人参加一个游戏，该游戏设有奖金256元，谁先赢满5局，谁便赢得全部的奖金，已知每局游戏乙赢的概率为，甲赢的概率为，每局游戏相互独立，在乙赢了3局甲赢了1局的情况下，游戏设备出现了故障，游戏被迫终止，则奖金应该如何分配才为合理？有专家提出如下的奖金分配方案：如果出现无人先赢5局且游戏意外终止的情况，则甲､乙按照游戏再继续进行下去各自赢得全部奖金的概率之比分配奖金.记事件A为“游戏继续进行下去甲获得全部奖金”，试求当游戏继续进行下去，甲获得全部奖金的概率，并判断当时，事件A是否为小概率事件，并说明理由.（注：若随机事件发生的概率小于，则称随机事件为小概率事件）
【答案】；事件A是小概率事件，理由见解析
【分析】设游戏继续进行Y局甲获得全部奖金，则最后一局必然甲赢，则分时，甲以赢和时，甲以赢，得到甲获得全部奖金的概率求解.
【详解】解：设游戏继续进行Y局甲获得全部奖金，则最后一局必然甲赢.
由题知，当时，甲以赢，所以，
当时，甲以赢，所以，
甲获得全部奖金的概率，
所以，
所以，
，，
在上单调递减，
所以，
故事件A是小概率事件.
38．（2024高三上·云南保山·阶段练习）已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)若，函数在上恒成立，求整数a的最大值.
【答案】(1)答案见解析
(2)4
【分析】（1）对函数求导后分解因式，对参数的取值范围进行分类讨论即可得到函数的单调性；
（2）由可得，转化为在上恒成立，构造函数并利用导数求出的最小值即可求得结果.
【详解】（1）根据题意可得，
若，在上恒成立，此时函数在上单调递增；
若，此时，
当时，满足，此时函数在，上单调递增；
当时，满足，此时函数在单调递减；
若，此时，
当时，满足，此时函数在，上单调递增，
当时，满足，此时函数在单调递减；
综上可知，时，在上单调递增；
时，在和上单调递增，在单调递减；
时，在和上单调递增，在单调递减；
（2）由可得，解得；
所以，则，
易知时，，
若函数在上恒成立，等价成在上恒成立；
令，则；
令，则在上恒成立，
即函数在上单调递增，
易知，由于，所以，
而，且，所以；
因此在有且仅有一个零点，满足，且；
所以当时，，当时，；
因此函数在上单调递减，在上单调递增；
所以的最小值为，显然，
因此，又是整数，
所以的最大值为4.
【点睛】关键点点睛：本题在求解函数的最小值时，需限定其导函数的零点的取值范围，此时应当尽量缩小其范围以便求得整数的最大值.
39．（2024·甘肃临夏·一模）已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)若对于任意正实数x，不等式恒成立，求实数k的取值范围．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】
（1）研究函数的定义域，导数的符号，确定函数的单调性；
（2）分离参数，然后构造函数，利用导数研究该函数的最大值即可．
【详解】（1）
定义域为，，
令，
①当时，恒成立，，是增函数；
②时，，
当，即时，由得，，
由或，，
故的单调递减区间为，单调递增区间为，，
当，即时，恒成立，是增函数，
综上可知： 时，是增函数，时，的单调递减区间为，单调递增区间为，
（2）
不等式恒成立，即恒成立，
整理得恒成立，
令，
则，易知，
当时，，单调递增，时，，单调递减，
故，
故即为所求，故的取值范围是.
【点睛】关键点点睛：根据不等式恒成立，研究参数的取值范围，能分离参数的一定要分离参数，
分离参数是本题的关键，分离参数后转化为求函数最大值问题，一般需要利用导数求最大值得解.
40．（2024·河北唐山·模拟预测）已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)若，求的最小值．
【答案】(1)在上单调递增，在上单调递减
(2)4
【分析】（1）利用导数求解函数单调性即可.
（2）首先根据题意得到，从而得到，再利用导数求出函数的最大值，即可得到答案.
【详解】（1）函数定义域为R，．
当或时，；当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减．
（2）由得，，
所以，
因为，所以，即．
令，则．
所以当时，单调递增，
当时，单调递减，
因此，当时取得最大值，
即取得最大值，
故的最小值为4．
41．（2024高三上·河南·阶段练习）设且，函数，且为奇函数．
(1)求a；
(2)求的最小值．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（1）利用奇函数的定义结合条件即得；
（2）由题可得，然后通过换元法可得，再利用导数求函数的最值即得.
【详解】（1）因为，且为奇函数
所以，即，
所以，解得，又，
故．
（2）由（1）知，
所以，
令，则，
所以，令，得，
当时，单调递减；当时，单调递增．
所以当取得最小值，
即时，的最小值为．
42．（2024高三上·陕西汉中·阶段练习）已知函数．
(1)若曲线在点处的切线方程为，求的值；
(2)当时，求在上的最大值．
【答案】(1)2
(2)．
【分析】（1）根据切线的斜率求得的值.
（2）利用导数判断出在上的单调性，从而求得在上的最大值．
【详解】（1）由，得，
，
又曲线在点处的切线方程为，
故，
．
（2）当时，，
由、在上分别单调递增、单调递减可得：
在上单调递增，
而，
，使得，
故在上单调递减，在上单调递增，
又，
在上的最大值为．
【点睛】利用导数求函数在闭区间上的最值，步骤如下：先确定函数的定义域，利用导数求得函数的单调区间，根据函数的单调区间，对比极值点和区间端点处的函数值来求得最值.导函数的作用是得到函数的单调区间，所以导函数主要看符号.
43．（2024高三上·北京东城·开学考试）设函数
(1)当时，求函数在处的切线方程；
(2)当时，求证：
(3)当时，求函数在上的最小值
【答案】(1)
(2)证明过程见解析
(3)答案见解析
【分析】（1）求出，，利用点斜式得到切线方程；
（2）求导得到函数单调性，极值和最值，证明出结论；
（3）求导，分和两种情况，求出函数在上的单调性，得到函数最小值.
【详解】（1）当时，，，
又，故，
所以函数在处的切线方程为；
（2）当时，，，
当时，，当时，，
故在上单调递减，在上单调递增，
故在上取得极小值，也是最小值，
且，
故在R上恒成立.
（3），
，，
令，解得，令，解得，
当时，，故在上单调递减，在上单调递增，
此时在上取得极小值，也是最小值，
故在上的最小值为，
当时，，故在上单调递减，
此时在上的最小值为
综上：当时，在上的最小值为，
当时，在上的最小值为.
44．（2024·北京）已知函数．
（Ⅰ）求曲线的斜率等于的切线方程；
（Ⅱ）设曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为，求的最小值．
【答案】（Ⅰ），（Ⅱ）.
【分析】（Ⅰ）根据导数的几何意义可得切点的坐标，然后由点斜式可得结果；
（Ⅱ）根据导数的几何意义求出切线方程，再得到切线在坐标轴上的截距，进一步得到三角形的面积，最后利用导数可求得最值.
【详解】（Ⅰ）因为，所以，
设切点为，则，即，所以切点为，
由点斜式可得切线方程为：，即.
（Ⅱ）[方法一]：导数法
显然，因为在点处的切线方程为：，
令，得，令，得，
所以，
不妨设时，结果一样，
则，
所以
，
由，得，由，得，
所以在上递减，在上递增，
所以时，取得极小值，
也是最小值为.
[方法二]【最优解】：换元加导数法
．
因为为偶函数，不妨设，，
令，则．
令，则面积为，只需求出的最小值．
．
因为，所以令，得．
随着a的变化，的变化情况如下表：
所以．
所以当，即时，．
因为为偶函数，当时，．
综上，当时，的最小值为32．
[方法三]：多元均值不等式法
同方法二，只需求出的最小值．
令，
当且仅当，即时取等号．
所以当，即时，．
因为为偶函数，当时，．
综上，当时，的最小值为32．
[方法四]：两次使用基本不等式法
同方法一得到
,下同方法一.
【整体点评】（Ⅱ）的方法一直接对面积函数求导数，方法二利用换元方法，简化了运算，确定为最优解；方法三在方法二换元的基础上，利用多元均值不等式求得最小值，运算较为简洁；方法四两次使用基本不等式，所有知识最少，配凑巧妙，技巧性较高.
45．（2024高三上·广东惠州·阶段练习）已知函数．
(1)若的单调递增区间为，求的值．
(2)求在上的最小值．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）对函数求导，利用导函数判断出其单调区间，再根据单调区间即可解得；
（2）对参数进行分类讨论，得出其单调性即可求出函数在上的最小值．
【详解】（1）函数定义域为
由于函数的单调增区间为，且，故；
当时，，故函数的单调递增区间为．
即可得，则．
（2），
①当时，，则在上单调递增，所以；
②当，，，则在上单调递减，
时，，则在单调递增；
（i）当，即时，在单调递增，此时，
（ii）当，即时，在上单调递减，在上单调递增；
此时．
综上所述：
当时，；当时，．
46．（2024高三上·四川泸州·阶段练习）设函数，，其中，．
(1)求的单调区间；
(2)设，函数，求证：在区间上的最大值不小于．
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）直接求导，分和讨论即可；
（2）首先证明有关极值点的结论，再分，和讨论即可.
【详解】（1）若，则，
分两种情况讨论：
①当时，有恒成立，
此时的单调递增区间为，无单调减区间；
②当时，令，解得或，
当或时，，为增函数，
当时，，为减函数，
故的增区间为，，减区间为；
综上所述：当时，的单调递增区间为，无单调减区间；
当时，的单调递增区间为，，单调递减区间为.
（2）首先证明以下结论：若存在极值点，且，其中，则；
若存在极值点，则必有，且，
由题意可得，，则，
进而，
又，
由题意及（1）可得：存在唯一的实数，满足，其中，
则有，故有；
设在区间上的最大值M，表示x、y两个数的最大值，
下面分三种情况讨论：
①当时，，
由（1）知在区间上单调递减，
所以在区间上的取值范围是，
因此
，所以。
②当时，，
由（1）、和开头所证的结论知，，，
所以在区间上的取值范围是，
因此
，
③当时，，
由（1）、和开头所证的结论知，，，
所以在区间上的取值范围是，
因此
，
综上所述，当时，在区间上的最大值不小于.
【点睛】关键点睛：本题第二问的关键首先是证明有关极值点的结论，即若存在极值点，且，其中，则，再去对进行合理分类讨论.
47．（2024高三·全国·课后作业）用铁皮做一个体积为的正三棱柱形有盖箱子，问底面边长为多少时，用料最省？并求出这时所有铁皮的面积（焊缝、拼缝处所耗材料忽略不计）．
【答案】当正三棱柱的底面边长为14cm时，用料最省，此时所有铁皮的面积为．
【分析】设正三棱柱的底面边长为a cm，高为h cm，由其体积得出a与h的关系式，则所有铁皮的面积，求导利用导数得出的最值点，即可得出答案.
【详解】设正三棱柱的底面边长为，高为，
由其体积为，得．
在不计损耗的前提下，所有铁皮的面积，
求导得．
令，解得a＝14，与在都是单调递增，则为单调递增，
则时，，单调递减，时，，单调递增，
所以时，最小，
所以当正三棱柱的底面边长为14cm时，用料最省，此时所有铁皮的面积为．
48．（2024高三上·山东烟台·期末）某工厂拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的上端为半球形，下部为圆柱形，该容器的体积为立方米，且.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分侧面的建造费用为每平方米2.25千元，半球形部分以及圆柱底面每平方米建造费用为千元.设该容器的建造费用为千元.
(1)写出关于的函数表达式，并求该函数的定义域；
(2)求该容器的建造费用最小时的.
【答案】(1)，
(2)见解析
【分析】（1）由圆柱和球的体积的表达式, 得到和的关系. 再由圆柱和球的表面积公式建立关系 式, 将表达式中的用表示，并注意到写定义域时, 利用, 求出自变量的范围.
（2）用导数的知识解决, 注意到定义域的限制, 在区间中, 极值末必存在, 将极值点在区间内和在区间外进行分类讨论.
【详解】（1）设该容器的体积为，则，
又，所以
因为，所以.
所以建造费用，
因此，.
（2）由（1）得，.
由于，所以，令，得.
若，即，当时，，为减函数，当时，，为增函数，此时为函数的极小值点，也是最小值点.
若，即，当时，，为减函数，此时是的最小值点.
综上所述，当时，建造费用最小时；当时，建造费用最小时.
49．（2024高三上·全国·开学考试）已知函数，且.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若关于的不等式恒成立，其中是自然对数的底数，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求导，利用导数值求解斜率，即可由点斜式求解直线方程，
（2）将问题转化为在上恒成立，构造函数 ，，利用导数求解单调性，即可求解.
【详解】（1）由题，当时，，，
，，所以切线方程为，
化简得，即曲线在点处的切线方程为.
（2），即，即在上恒成立，
令，则.
对于，，故其必有两个零点，且两个零点的积为，
则两个零点一正一负，设其正零点为，则，即，
且在上时则，此时单调递减，
在上，，此时单调递增，
因此当时，取最小值，
故，即.
令，则，
当时，，当时，，
则在上单调递增，在上单调递减，又，故，
显然函数在上是关于的单调递增函数，则，
所以实数的取值范围为
【点睛】方法点睛：对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略：
1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．
50．（2024·湖南长沙·模拟预测）已知函数．
(1)若存在最大值M，证明：；
(2)在（1）的条件下，设函数，求的最小值（用含M，k的代数式表示）．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）求定义域，求导，由零点存在性定理得到存在，使得，分与两种情况，结合隐零点和基本不等式得到证明；
（2）对求导，二次求导，结合隐零点得到的最小值，利用同构得到的最小值.
【详解】（1）的定义域为，
，
记，易知单调递增，
又因为，
所以存在，使得，
①当时，在上单调递减，在上单调递增，
所以无最大值，即不符题意；
②当时，在上单调递增，在上单调递减，
所以，
因为，所以，所以，
所以，即．
（2）由（1）可知，且，所以，
，令，
则，令，解得，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增．
当时，，又，
所以存在，使得，
可知，
因为，所以，所以，
由（1）可知，，即，
因为，所以，
所以．
设，易知单调递增，且，
所以，
所以，
即的最小值为．
【点睛】隐零点的处理思路：
第一步：用零点存在性定理判定导函数零点的存在性，其中难点是通过合理赋值，敏锐捕捉零点存在的区间，有时还需结合函数单调性明确零点的个数；
第二步：虚设零点并确定取范围，抓住零点方程实施代换，如指数与对数互换，超越函数与简单函数的替换，利用同构思想等解决，需要注意的是，代换可能不止一次.
（一）
求函数的最值
1.求函数在闭区间上的最值时，在得到极值的基础上，结合区间端点的函数值，与的各极值进行比较得到函数的最值．
2.导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
题型1：求函数的最值（不含参）
1-1．（2024·全国）函数的最小值为 .
【答案】1
【分析】由解析式知定义域为，讨论、、，并结合导数研究的单调性，即可求最小值.
【详解】由题设知：定义域为，
∴当时，，此时单调递减；
当时，，有，此时单调递减；
当时，，有，此时单调递增；
又在各分段的界点处连续，
∴综上有：时，单调递减，时，单调递增；
∴
故答案为：1.
1-2．（2024高三·全国·专题练习）已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求在区间上的最大值；
【答案】(1)；
(2)；
【分析】（1）首先求解切点和此点的导数，然后表示出切线方程.
（2）对函数求导，然后通过再求导研究导数的单调性，从而分析出导数在与0的大小关系，从而求解出函数 在的单调性，最后比较的大小，从而求解出函数的最大值；
【详解】（1）因为，
所以，
则，又，
所以曲线在点处的切线方程为.
（2）令，
则，
当时，，在上单调递增.
因为，，
所以，使得.
所以当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以函数可能在或处求得最大值，
又，，
所以.
1-3．（2024·江苏）若函数在内有且只有一个零点，则在上的最大值与最小值的和为 ．
【答案】
【分析】方法一：利用导数判断函数在上的单调性，确定零点位置，求出参数,再根据函数在上的单调性确定函数最值，即可解出.
【详解】［方法一］：【通性通法】单调性法
求导得，
当时，函数在区间内单调递增，且，所以函数在内无零点；
当时，函数在区间内单调递减，在区间内单调递增．
当时，；当时，．
要使函数在区间内有且仅有一个零点，只需，解得．
于是函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，，所以最大值与最小值之和为．
故答案为：．
［方法二］： 等价转化
由条件知有唯一的正实根，于是．令，则，所以在区间内单调递减，在区间内单调递增，且，当时，；当时，．
只需直线与的图像有一个交点，故，下同方法一．
［方法三］：【最优解】三元基本不等式
同方法二得，，当且仅当时取等号，
要满足条件只需，下同方法一．
［方法四］：等价转化
由条件知有唯一的正实根，即方程有唯一的正实根，整理得，即函数与直线在第一象限内有唯一的交点．于是平移直线与曲线相切时，满足题意，如图．
设切点，因为，于是，解得，
下同方法一．
【整体点评】方法一：利用导数得出函数在上的单调性，确定零点位置，求出参数，进而问题转化为闭区间上的最值问题，从而解出，是该类型题的通性通法；
方法二：利用等价转化思想，函数在上有唯一零点转化为两函数图象有唯一交点，从而求出参数，使问题得解；
方法三：通过三元基本不等式确定取最值条件，从而求出参数，使问题得解，是该题的最优解；
方法四：将函数在上有唯一零点转化为直线与曲线相切，从而求出参数，使问题得解．
1-4．（2024·辽宁葫芦岛·二模）已知函数，则的最大值是 ．
【答案】
【分析】利用导函数分析单调性求最值即可.
【详解】因为，
所以
.
当时，，
所以在单调递增；
当时，，
所以在单调递减；
所以.
故答案为：.
1-5．（2024·全国）函数在区间的最小值、最大值分别为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用导数求得的单调区间，从而判断出在区间上的最小值和最大值.
【详解】，
所以在区间和上，即单调递增；
在区间上，即单调递减，
又，，，
所以在区间上的最小值为，最大值为.
故选：D
题型2：求函数的最值（含参）
2-1．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，．讨论函数的最值；
【答案】答案见解析
【分析】根据题意，求得，分和，两种情况讨论，求得函数的单调性，进而求得函数的最值.
【详解】由函数，可得其定义域为，且，
当时，可得，在上单调递增，无最值；
当时，令，可得，所以在上单调递减；
令，可得，所以在单调递增，
所以的最小值为，无最大值．
综上可得：
当时，无最值；当时，的最小值为，无最大值．
2-2．（2024高三·全国·专题练习）已知函数．
(1)当时，讨论函数在上的单调性；
(2)当时，求在内的最大值；
【答案】(1)函数在上单调递增．
(2)0
【分析】（1）根据求导公式和运算法则可得，由可得，，即可求解；
（2）由题意可得，利用导数讨论函数的性质可得，进而，则在内单调递增，即可求解.
【详解】（1）当时，，，且．
当时，，，则，
即，故函数在上单调递增．
（2），
令，则，
由且，可得，，则，在内单调递增，
所以，
又当时，，
所以，在内单调递增，
故．
2-3．（2024·四川成都·模拟预测）已知函数，其中．
(1)若a=2，求的单调区间；
(2)已知，求的最小值．（参考数据：）
【答案】(1)减区间为，增区间为.
(2)
【分析】（1）对函数求导，研究导函数的符号，进而确定其单调区间；
（2）由题意得，即，对函数求导，研究导函数的符号，判断单调性，进而求最小值即可.
【详解】（1）由题设，则，且，
所以，
当时，当时，
所以的减区间为，增区间为.
（2）由题意，
所以，即，
又，且，
当或时，或时，
所以、上递减，、上递增，
又极小值，故最小值为.
2-4．（2024·天津和平·三模）已知函数，，其中.
(1)若曲线在处的切线与曲线在处的切线平行，求的值；
(2)若时，求函数的最小值；
(3)若的最小值为，证明：当时，.
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）求出函数的导函数，即可求出，，依题意两数相等，即可得到方程，解得即可；
（2）利用导数求出函数的单调区间，从而求出函数的最小值；
（3）利用导数说明的单调性，即可求出的最小值，从而得到的解析式，再利用导数求出的最大值，即可得证.
【详解】（1）因为，，
所以，，
所以，，
因为两条切线平行，所以，解得
（2）由（1）可知，令，即，
即，即，又，解得，
令，解得，所以在上单调递减，在上单调递增，
所以时，函数的最小值为.
（3）证明：因为，，，
令，则，即，
所以当时解得，所以在上单调递增，
令，解得，所以在上单调递减，
所以在处取得极小值即最小值，
所以，
即的最小值为的解析式为，，
则，令，解得，
所以当时，即在上单调递增，
当时，即在上单调递增，
所以在处取得极大值即最大值，即，
所以，即当时，总有.
【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
（二）
根据最值求参数
已知函数在某区间上的最值求参数的值(或范围)是求函数最值的逆向思维，一般先求导数，利用导数研究函数的单调性及极值点，探索最值点，根据已知最值列方程(不等式)解决问题．其中注意分类讨论思想的应用．
题型3：根据最值求参数
3-1．（2024高三上·广西桂林·阶段练习）已知函数在处取最大值，则实数（ ）
A．B．1C．D．2
【答案】C
【分析】先对函数求导，然后结合导数与单调性即可求解．
【详解】由题意得，，
当时，在上恒成立，此时单调递增，不符合题意，
当时，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，故当时，函数取极大值也是最大值，
故，
故选：C．
3-2．（2024高二下·四川绵阳·期中）已知函数．
(1)讨论函数的单调区间；
(2)当时，函数在上的最大值为，求实数的值．
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）求出的导函数，对分类讨论分析导函数的符号，可得函数的单调性；
（2）由题意，令，利用的单调性可得，从而在上单调递减，即可确定在上的最大值，从而得解.
【详解】（1）由题意得，
当时，在上恒成立，故函数在上单调递增；
当时，当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
综上，当时，函数在上单调递增；
当时，函数在单调递增，上单调递减．
（2）由题意，，
，
令，，
当时，，单调递减，则，
则，则在上单调递减，
故在上的最大值为，
所以.
3-3．（2024高三上·河南新乡·周测）若函数f（x）＝x3﹣3x在区间（a，6﹣a2）上有最小值，则实数a的取值范围是
【答案】
【分析】根据题意求出函数的导数，因为函数 f（x）在区间（a，6﹣a2）上有最小值，所以f′（x）先小于0然后再大于0，所以结合二次函数的性质可得：a＜1＜5﹣a2，进而求出正确的答案．
【详解】由题意可得：函数 f（x）＝x3﹣3x，
所以f′（x）＝3x2﹣3．
令f′（x）＝3x2﹣3＝0可得，x＝±1；
在上递增，在（-1，1）上递减，在（1，+）上递增，
因为函数 f（x）在区间（a，6﹣a2）上有最小值，则其最小值必为f（1），
1（a，6﹣a2）即a＜1＜6﹣a2，
又结合函数的性质可得：f（a）＝a3﹣3a≥f（1）＝﹣2，且6﹣a2﹣a＞0，
联立解得：﹣2≤a＜1．
故答案为[﹣2，1）．
【点睛】本题考查了利用导数求函数的单调区间与函数的最值的问题，属于中档题．
3-4．（2024高二·贵州贵阳·阶段练习）若函数在区间上有最小值，则实数的取值范围为 .
【答案】
【分析】
函数在区间上有最小值，即在这个区间上有极小值，而且极小值是开区间的最小值，从而列不等式求解即可.
【详解】
，
所以在和上，，函数单调递减；
在上，，函数单调递增；
且
当时，，
即，
所以在区间上有最小值，则：
解得.
故答案为：
3-5．（2024·山东·一模）若函数在区间上存在最小值，则整数的取值可以是 ．
【答案】（答案不唯一，、均可）
【分析】利用导数分析函数的单调性与极值，作出图形，求出使得的的值，根据函数在区间上有最小值可得出关于实数的不等式组，解之即可.
【详解】因为，则.
由可得，由可得或，
所以，函数的减区间为，增区间为、，
所以，函数的极大值为，极小值为，
令，其中，则，解得，
因为函数在区间上存在最小值，则，解得，
所以，整数的取值集合为.
故答案为：（答案不唯一，、均可）.
3-6．（2024高三上·吉林长春·开学考试）函数在内有最小值，则实数的取值范围为 .
【答案】
【分析】将函数在内有最小值等价转化成函数在内必有极值点，再利用导函数研究极值点的范围即可求得实数的取值范围.
【详解】由题意可得，函数的定义域为，
易知，
若函数在内有最小值，则函数在内必有极值点，
又，不妨设为方程的两个不相等实数根，
则有，不妨令，因此即可；
令，根据零点存在定理可得，
解得；
经检验在内有最小值，所以实数的取值范围为.
故答案为：
【点睛】方法点睛：函数在某开区间上有最值问题一般情况下是转化成有极值点，再将极值点问题转化成其导函数在该区间内有零点的问题，利用零点存在定理即可实现问题求解.
3-7．（2024·全国·模拟预测）已知四棱锥的各个顶点都在同一个球面上．若该球的体积为，则该四棱锥体积的最大值是 ．
【答案】/
【分析】根据球的体积求出半径，再判断出体积最大时为正四棱锥，根据直角三角形中勾股定理求出正四棱锥底面边长和高的关系，表示出正四棱锥的体积，通过导数求得其最大值.
【详解】球的体积,球的半径
要使该四棱锥体积最大，如图四棱锥，对于底面所在的小圆中，顶点到该小圆面距离最大，也就是高最大，即点位于小圆圆心与球心所在直线与球面的交点（远离小圆圆心的那点）；同时要使四棱锥体积最大，底面四边形面积取最大，
（其中为与的夹角）
所以当、取最大即小圆的直径，取最大为1时，即时，底面四边形面积最大，也就是四边形为正方形时，其面积最大，因此当四棱锥为正四棱锥时，其体积最大.

设，高，
则,在Rt中，,即，
所以正四棱锥的体积
，故当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减，
所以时，函数取得最大值
故答案为：.
3-8．（2024高三下·云南昆明·阶段练习）已知函数在区间上最大值为M，最小值为m，则的值是 .
【答案】
【分析】求导，得到函数的单调性，进而求出最值，得到答案.
【详解】由题意， ，，在上，
故函数单调递增，所以，，，
故的值是.
故答案为：
3-9．（2024·贵州毕节·模拟预测）当时，函数的最小值为1，则 ．
【答案】
【分析】利用导数得到函数单调性，再分和讨论即可.
【详解】当时，，所以在上单调递减，
当时，，令，解得，
若，即，此时在和上单调递减，
注意当分别代入分段函数的解析式得到的值均为，
故在上单调递减，在上单调递增，则此时，解得，
但不满足，故舍去；
若，即，此时在上单调递减，在上单调递增，
则此时，解得，满足，
综上所述，.
故答案为：.
【点睛】关键点睛：本题的关键是通过导数求出当时，从而得到导函数零点，然后讨论与0的大小关系，即对进行分类讨论得到值.
（三）
函数单调性、极值、最值得综合应用
求函数在区间上的最值的方法：
（1）若函数在区间上单调，则与一个为最大值，另一个为最小值；
（2）若函数在区间内有极值，则要求先求出函数在区间上的极值，再与、比大小，最大的为最大值，最小的为最小值；
（3）若函数在区间上只有唯一的极大点，则这个极值点就是最大（最小）值点，此结论在导数的实际应用中经常用到.
题型4：函数单调性、极值、最值得综合应用
4-1．（2024高三·全国·专题练习）设函数，已知是函数的极值点．
(1)若函数在内单调递减，求实数m的取值范围；
(2)讨论函数的零点个数；
(3)求在内的最值．
【答案】(1)
(2)有2个零点
(3)最大值为，最小值为．
【分析】（1）由已知可得，，根据已知可得，所以，代入可得，求导进而根据已知，可推得在内恒成立，分，，根据二次函数的性质即可得出答案；
（2）由已知可得，根据导函数得出函数的单调区间以及极大值，又，根据零点的存在性定理以及，即可得出函数零点的个数；
（3）由已知，求出导函数.构造，根据导函数得出恒成立，进而即可得出恒成立，所以在上单调递减，根据单调性即可得出答案.
【详解】（1）由已知可得，.
因为是函数的极值点，
所以当时，，即，所以.
此时有，.
令，，
则在上恒成立，
所以，即在上单调递减.
又当时，，
所以时，，所以函数在上单调递增；
时，，所以函数在上单调递减.
所以，当时，函数取得极小值，所以，
所以．
则，
所以，．
因为，所以.
设，
要使在内单调递减，则应有在内恒成立，
只需在内恒成立，只需在上的最小值即可．
当时，满足条件；
当时，，
此时，函数在处有最小值，
所以，解得，所以；
当时，，
此时，要使在上恒成立，
所以只需，解得，所以.
综上可知，实数m的取值范围为．
（2）由已知可得，，
则.
因为，所以，.
当时，有.
当时，，所以在上单调递增；
当时，，所以在上单调递减.
故的极大值为.
又，
由零点存在性定理知，可知在内存在一个零点.
又，
故函数有2个零点．
（3）由题可得（且），
则.
设，则，
令，解得，
当时，，所以在上单调递减；
当时，，所以在内单调递增.
所以，故恒成立.
又因为当且时，，
所以恒成立，所以在上单调递减，
故在内的最大值为，最小值为．
【点睛】方法点睛：根据导函数研究函数零点的个数：先求出导函数，然后得出函数的单调性，求出函数的极值，结合零点的存在性定理，即可得出零点的个数.
4-2．（2024高三·全国·专题练习）已知．
(1)求函数在内的极值点；
(2)求函数在上的最值．
【答案】(1)极大值点为，极小值点为
(2)最小值为0，最大值为
【分析】（1）利用导数讨论的单调区间，然后可得；
（2）利用二次导数讨论单调性即可求解.
【详解】（1）由得．
令，解得，，即，．
又，所以，．
，随x变化而变化的情况如下表所示：
x
+
0
-
0
+
↑
极大值
↓
极小值
↑
所以函数在内的极大值点为，极小值点为．
（2）由题知．，
记，
则．
因为，所以，又，
所以，所以函数单调递增，，
所以当时，，即，函数单调递减；
当时，，即，函数单调递增．
，
，
，
显然，所以函数在上的最小值为，最大值为．
4-3．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，其中．
(1)当时，求函数在内的极值；
(2)若函数在上的最小值为5，求实数的取值范围．
【答案】(1)极大值为9，无极小值
(2)
【分析】（1）首先求得导函数，然后利用导函数研究函数的单调性，据此可求得函数的值域；
（2）求得函数的导函数，然后结合导函数的符号确定函数的单调性，分类讨论即可求得实数的取值范围.
【详解】（1）由题意得，当时，，
则，
令，得，，
，在内随x变化而变化的情况如下表所示：
x
1
+
0
单调递增
极大值9
单调递减
故在内的极大值为9，无极小值；
（2），
①当时，，且不恒为0，
所以函数在区间上单调递增，
所以在上，，
由题意，则，解得，与矛盾，
②当时，，且不恒为0，
所以函数在区间上单调递减，
所以在上，，符合题意，
③当时，当时，，函数在区间上单调递减，
当时，，函数在区间上单调递增，
所以在上，，
由题意，则，即，即，
即，解得或，与矛盾，
综上，实数a的取值范围为．
【点睛】方法点睛：求函数在区间上的最值的方法：
（1）若函数在区间上单调，则与一个为最大值，另一个为最小值；
（2）若函数在区间内有极值，则要求先求出函数在区间上的极值，再与、比大小，最大的为最大值，最小的为最小值；
（3）若函数在区间上只有唯一的极大点，则这个极值点就是最大（最小）值点，此结论在导数的实际应用中经常用到.
4-4．（2024·天津河北·二模）已知，函数，其中e是自然对数的底数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)当时，求函数的单调区间；
(3)求证：函数存在极值点，并求极值点的最小值.
【答案】(1)
(2)单调增区间为，单调减区间为
(3)证明见解析，的最小值是e．
【分析】（1）先求的导函数, 再点斜式求曲线在点处的切线方程
（2）先求的导函数，根据的正负判定函数的增减即可；
（3）根据导数的分母正，需要分子有变号零点，转变为双变量函数的恒成立和有解问题，利用导数再次确定新函数单调性和最值即可求解.
【详解】（1）当时，,,
,,
曲线在点处的切线方程,
切线方程.
（2）当时，，
则
令，得；
令，得；
所以，函数的单调增区间为，单调减区间为．
（3）
令，因为，
所以方程，有两个不相等的实根，
又因为，
所以，
令，列表如下:

-
0
+
减
极小值
增
所以存在极值点.
所以存在使得成立，
所以存在使得，
所以存在使得对任意的有解，因此需要讨论等式左边的关于的函数，
记，
所以，
当时，单调递减；
当时，单调递增．
所以当时，的最小值为．
所以需要，
即需要，
即需要，
即需要
因为在上单调递增，且，
所以需要，
故的最小值是e．
4-5．（四川省宜宾市2023届高三三模数学（理科）试题）已知函数.
(1)讨论函数的极值点个数；
(2)若，的最小值是，求实数m的所有可能值.
【答案】(1)时，恰有一个极值点；时，恰有三个极值点；
(2).
【分析】（1）求出函数的导数，按与分类讨论，并借助零点存在性定理推理作答.
（2）利用（1）中信息，按与探讨利用导数函数的最小值作答.
【详解】（1）函数的定义域是，求导得，
令，求导得，递减，
递增，，
①当时，，递减，递增，有1个极小值点；
②当时，，
令，则，函数在上递增，，即，
当时，，此时，使得，
令，有，令，，
即有在上递增，，函数在上递增，，则，
当时，，此时，使得，
因此递减，递增，
递减，递增，有3个极值点，
所以当时，恰有一个极值点；当时，恰有三个极值点.
（2）由（1）知，①当时，在上单调递减，在上单调递增，
，即，令，
，函数在上单调递增，，则；
②当时，，使得，，使得，
递减，递增，
递减，递增，
其中，则，
显然符合要求，即有，
综上提，
所以m的所有可能值是上的实数.
【点睛】思路点睛：涉及含参的函数零点问题，利用导数分类讨论，研究函数的单调性、最值等，结合零点存在性定理，借助数形结合思想分析解决问题.
（四）
不等式恒成立与存在性问题
1.求解不等式的恒成立问题，常用的方法有：（1）分离参数求最值；（2）直接求函数的最值；（3）端点优先法.要根据已知条件灵活选择方法求解.
2.在不等式恒成立或不等式有解条件下求参数的取值范围，一般利用等价转化的思想其转化为函数的最值或值域问题加以求解，可采用分离参数或不分离参数法直接移项构造辅助函数．
题型5：不等式恒成立与存在性问题
5-1．（2024高三·全国·专题练习）若存在，使得不等式成立，则m的取值范围为
【答案】
【分析】利用参变分离可得，恒成立，设，，利用导数可求其最小值，故可求参数的取值范围.
【详解】存在，要使成立，即，，
令，，即，
又，设，，
则，则在内单调递增，
，则，在内单调递增，
，故m的取值范围为．
故答案为：.
5-2．（2024·浙江金华·模拟预测）对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为 .
【答案】
【分析】移项化简可得.换元，根据的范围，求得.构造函数，，求导根据导函数得出函数的单调性，以及的最小值，即可得出答案.
【详解】原题等价于，.
令，，则.
当时，.
当时，，所以函数在上单调递增；
当时，，所以函数在上单调递减.
所以，函数在处取得唯一极大值，也是最大值.
又，所以.
令，，则.
当时，.
因为，
所以，当时，，所以函数在上单调递减；
当时，，所以函数在上单调递增.
所以，函数在处取得唯一极小值，也是最小值.
所以，当时，有.
要使时，有恒成立，则应有.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：移项，构造函数，通过导函数得出函数的单调性，研究函数的最值，即可得出参数的取值范围.
5-3．（2024高三上·内蒙古呼和浩特·开学考试）设函数，．
(1)当时，求函数在处的切线方程；
(2)讨论函数的单调性；
(3)若在R上恒成立，求实数a的取值范围．
【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)
【分析】（1）求出，，写出切线方程；
（2），讨论，，确定的正负找出单调区间.
（3）恒成立，讨论的单调性，由得a的取值范围．
【详解】（1）∵ ∴，，，
∴切线方程为：.
（2），
①当时，，在R上单调递增；
②当时，，
负
0
正
减
极小值
增
综上所述：
时，的单调递增区间为R；
时，的单调递减区间为，单调递增区间.
（3），
令，即，.
①时，，单调递增，，故不成立，舍去.
②时，恒成立，此时.
③时，由（2）知，，故只需即可，
，
即.
综上所述：.
【点睛】方法点睛：恒（能）成立问题的解法：
若在区间上有最值，则
（1）恒成立：；；
（2）能成立：；.
若能分离常数，即将问题转化为：（或），则
（1）恒成立：；；
（2）能成立：；.
5-4．（2024高三上·辽宁朝阳·阶段练习）已知函数，其中.
(1)求函数的单调区间；
(2)若存在，使得不等式成立，求的取值范围.
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）求得，分、和，分类讨论，结合导数的符号，即可求得函数的单调区间；
（2）不等式转化为，设，根据题意得到存在，，求得，分、和，三种情况讨论，得到函数的单调性和最值，进而求得的取值范围.
【详解】（1）解：由函数的定义域为，且，
当时，无单调性；
当时，对任意恒成立，
所以函数的单调递增区间为，，无单调递减区间；
当时，对任意恒成立，
所以函数的单调递减区间为，无单调递增区间.
（2）解：由不等式，即，则，
设，，
根据题意，存在，，
又由，且，
当时，在上恒成立，不满足题意；
当时，方程，可得，
即在上恒成立，则在上单调递增，所以，
即在上恒成立，不满足题意；
当时，令，得，，
由和，得，
则当时，，在上单调递减，此时，
因此，当时，存在，使得不等式成立，
所以满足题意的的取值范围为.
【点睛】方法技巧：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：
1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．
5-5．（2024高三上·福建莆田·开学考试）已知函数，.
(1)若不等式的解集为，求不等式的解集；
(2)若对于任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据不等式的解集转化为一元二次方程，利用根与系数之间的关系求出，然后解一元二次不等式即可；
（2）问题转化为在恒成立，令，，根据函数的单调性求出的范围即可；
【详解】（1）若不等式的解集为，
即1，2是关于的方程的两个根，
则，即，
则，由得，
即，得，解得或，
即不等式的解集为．
（2）不等式对于任意的恒成立，
即对于任意的恒成立，
令，，
则，
令，解得，
当时，当时时
故在上单调递增，在上单调递减，
又，，
故，所以．
5-6．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，是上的奇函数，当时，取得极值．
(1)求函数的单调区间和极大值；
(2)若对任意，都有成立，求实数的取值范围；
(3)若对任意，，都有成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)的单调减区间为，单调增区间为和；极大值为2
(2)
(3)
【分析】（1）由是上的奇函数求出，当时，取得极值，求出，利用导数求的单调区间和极大值；
（2）对任意，都有成立，等价于在时恒成立，构造新函数，利用导数求区间内的最大值即可；
（3）依题意有在区间上的最大值都小于或等于的最小值，利用函数单调性和二次函数的性质，分别求在区间上的最大值和在区间上的最小值即可.
【详解】（1）是上的奇函数，
，即，得恒成立，
可得，即，
又当时，取得极值，，
解得，故函数，导函数，
令解得，当或时，，
当时，，
单调增区间为和，单调减区间为，
故当时，取到极大值
（2），对任意，都有成立，只需在时恒成立，
构造函数，，则有，
令可得或，当时，，单调递减
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
当时，取到极大值，又，故的最大值为8，
故实数的取值范围为：；
（3）若对任意，，都有成立，
即在区间上的最大值都小于或等于的最小值，
由（1）可知：当时，单调递减，当时，单调递增，
故当时，函数取到极小值，也是该区间的最小值，
而为开口向上的抛物线，对称轴为，故当时取最大值，
由，解得
故实数的取值范围为：
增
极大值
减
极小值
增
月份x
1
2
3
4
5
销售量y（万件）
4.9
5.8
6.8
8.3
10.2
研发投入x（亿元）
1
2
3
4
5
收益y（亿元）
3
7
9
10
11
a
0
减
极小值
增