专题19 三角函数的图象和性质7题型分类-备战2025年高考数学一轮专题复习全套考点突破和专题检测（原卷版）

这是一份专题19 三角函数的图象和性质7题型分类-备战2025年高考数学一轮专题复习全套考点突破和专题检测（原卷版），共18页。试卷主要包含了对称性与周期性，奇偶性等内容，欢迎下载使用。


1．用“五点法”作正弦函数和余弦函数的简图
(1)在正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，1))，(π，0)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，－1))，(2π，0)．
(2)在余弦函数y＝cs x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，0))，(π，－1)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，0))，(2π，1)．
2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)
3．对称性与周期性
(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是eq \f(1,2)个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是eq \f(1,4)个周期．
(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是eq \f(1,2)个周期．
4．奇偶性
若f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω≠0)，则
(1)f(x)为偶函数的充要条件是φ＝eq \f(π,2)＋kπ(k∈Z)．
(2)f(x)为奇函数的充要条件是φ＝kπ(k∈Z)．
一、单选题
1．（2024高三上·广东汕头·阶段练习）设函数，如果，则的值是（ ）
A．-10B．8C．-8D．-7
2．（2024·江西鹰潭·一模）已知的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，且的图象关于y轴对称，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·浙江·模拟预测）已知，，是函数的两个零点，且的最小值为，若将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于原点对称，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
4．（2024·湖南·模拟预测）将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若对满足的，总有的最小值等于，则（ ）
A．B．C．D．
5．（2024·全国·模拟预测）将函数的图象上各点向右平移个单位长度得函数的图象，则的单调递增区间为（ ）
A．B．
C．D．
6．（2024高三下·河南·阶段练习）已知函数，若函数的图象向左平移个单位长度后得到的函数的部分图象如图所示，则不等式的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数，若将的图像向右平移个单位长度后图象关于轴对称，则实数的最小值为（ ）
A．B．
C．D．
8．（2024·河南·模拟预测）已知函数，则“，”是“为偶函数”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
9．（2024·云南昆明·一模）已知函数，若存在，使得方程有三个不等的实根，，且，则（ ）
A．B．C．D．
10．（2024·四川遂宁·一模）函数的图象经过点，将该函数的图象向右平移个单位长度后，所得函数图象关于原点对称，则的最小值是（ ）
A．B．C．3D．
11．（2024·全国·模拟预测）若函数为奇函数，则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
12．（2024·海南海口·模拟预测）已知函数（）的图象与函数的图象的对称中心完全相同，且在上，有极小值，则（ ）
A．B．
C．函数是偶函数D．在上单调递增
13．（2024·广东潮州·模拟预测）设函数，的最小正周期为，且过点，则下列正确的有（ ）
A．在单调递减
B．的一条对称轴为
C．的周期为
D．把函数的图象向左平移个长度单位得到函数的解析式为
14．（2024·广东佛山·模拟预测）已知函数的图象关于对称，则（ ）
A．的最大值为2
B．是偶函数
C．在上单调递增
D．把的图象向左平移个单位长度，得到的图象关于点对称
15．（2024·安徽合肥·模拟预测）已知函数，则下列说法正确的有（ ）
A．若，则
B．将的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于轴对称
C．函数的最小正周期为
D．若在上有且仅有3个零点，则的取值范围为
16．（2024高三上·海南·期末）已知函数，，恒成立，在上单调，则（ ）
A．
B．将的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象
C．
D．若函数在上有5个零点，则
17．（2024高三上·山东德州·阶段练习）声音是由物体振动产生的声波，纯音的数学模型是函数，我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音.若一个复合音的数学模型是函数，则下列结论不正确的是（ ）
A．是偶函数B．的最小正周期为
C．在区间上单调递增D．的最小值为1
18．（2024高三上·江苏无锡·期中）已知函数，下列叙述正确的有（ ）
A．的周期为2π；B．是偶函数；
C．在区间上单调递减；D．x1，x2∈R，
19．（2024·重庆·模拟预测）声音是由于物体的振动产生的能引起听觉的波，我们听到的声音多为复合音．若一个复合音的数学模型是函数，则下列结论正确的是（ ）
A．的一个周期为B．的最小值为
C．的图象关于点对称D．在区间上有3个零点
20．（2024高三上·河南三门峡·期末）已知函数满足：，，则（ ）
A．的图象关于直线对称B．函数是偶函数
C．函数在上单调递减D．函数的值域为
21．（2024·全国·模拟预测）已知函数，，且有两个零点，则下列结论正确的是（ ）
A．当时，B．
C．若，则D．
22．（2024·全国）已知函数的图像关于点中心对称，则（ ）
A．在区间单调递减
B．在区间有两个极值点
C．直线是曲线的对称轴
D．直线是曲线的切线
三、填空题
23．（2024高三·全国·课后作业）函数（）的图像的相邻两支截直线所得线段长为，则的值是 .
24．（2024高三下·江西鹰潭·阶段练习）函数的最小正周期是 ．
25．（2024·四川遂宁·三模）已知函数，，，且，则=
26．（2024高三下·上海松江·阶段练习）已知函数，则函数的最小正周期是 ．
27．（2024·上海·模拟预测）已知函数的最小正周期是，则 .
28．（2024·陕西咸阳·一模）设函数相邻两条对称轴之间的距离为，，则的最小值为 ．
29．（2024高三上·上海浦东新·阶段练习）函数的最小正周期为 .
30．（2024高三上·内蒙古·阶段练习）设函数（，，是常数，，）．若在区间上具有单调性，且，则的最小正周期为 ．
31．（2024高三·全国·对口高考）设函数的图象关于点成中心对称，若，则 .
32．（2024·河南开封·模拟预测）已知函数的图象关于点对称，那么的最小值为 ．
33．（2024·全国·模拟预测）将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象.若函数的图象关于点对称，则的最小值为 .
34．（2024高三上·江西吉安·期末）记函数（）的最小正周期为，且的图象关于对称，当取最小值时， .
35．（2024·四川泸州·一模）写出满足条件“函数的图象关于直线对称”的的一个值 ．
36．（2024高三上·全国·阶段练习）已知函数图象的一条对称轴为．若,则的最大 ．
37．（2024·河南·模拟预测）曲线的一个对称中心为 （答案不唯一）.
38．（2024·河北·一模）函数的最小值为 .
39．（2024·湖北襄阳·模拟预测）若函数的最小值为，则常数的一个取值为 .（写出一个即可）
40．（2024高三·全国·对口高考）的最小值为 .
41．（2024·上海嘉定·三模）若关于的方程在上有实数解，则实数的取值范围是 .
42．（2024·江西鹰潭·模拟预测）函数的值域为 ．
43．（2024高一下·四川成都·阶段练习）已知函数，，则函数的值域为 ．
44．（2024高三·全国·专题练习）设函数，，则的最小值为 .
45．（2024高三·安徽亳州·阶段练习）已知函数，该函数的最大值为 ．
46．（2024高三下·江苏苏州·开学考试）设角、均为锐角，则的范围是 ．
47．（2024·陕西咸阳·模拟预测）函数的值域是 .
48．（2024高三·全国·专题练习）设、且，求的取值范围是 .
49．（2024高一下·辽宁·期中）函数的最大值为 ．
50．（2024高一·全国·课后作业）函数的值域为 .
51．（2024·江西·模拟预测）函数的最大值为 ．
52．（2024·全国）关于函数f（x）=有如下四个命题：
①f（x）的图象关于y轴对称．
②f（x）的图象关于原点对称．
③f（x）的图象关于直线x=对称．
④f（x）的最小值为2．
其中所有真命题的序号是 ．
53．（2024·四川乐山·一模）函数 上所有零点之和为 .
54．（2024·全国）已知函数在区间有且仅有3个零点，则的取值范围是 ．
55．（2024·全国）记函数的最小正周期为T，若，为的零点，则的最小值为 ．
四、解答题
56．（2024高一上·湖北武汉·期末）函数.
(1)请用五点作图法画出函数在上的图象；（先列表，再画图）
(2)设，，当时，试研究函数的零点的情况.
57．（2024·北京）设函数．
(1)若，求的值．
(2)已知在区间上单调递增，，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在，求的值．
条件①：；
条件②：；
条件③：在区间上单调递减．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
58．（2024·黑龙江齐齐哈尔·三模）已知函数在区间上单调，其中，，且．
(1)求的图象的一个对称中心的坐标；
(2)若点在函数的图象上，求函数的表达式．
59．（2024高一下·北京·期中） ，，，
(1)若，求的值；
(2)若函数的最小正周期为
①求的值；
②当时，对任意，不等式恒成立，求的取值范围
60．（2003·北京）已知函数，求的定义域，判断它的奇偶性，并求其值域．
函数
y＝sin x
y＝cs x
y＝tan x
图象
定义域
R
R
{x|x≠kπ＋eq \f(π,2)}
值域
[－1,1]
[－1,1]
R
周期性
2π
2π
π
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
单调递增区间
eq \b\lc\[\rc\] (\a\vs4\al\c1(2kπ－\f(π,2)，2kπ＋\f(π,2)))
[2kπ－π，2kπ]
eq \b\lc\(\rc\) (\a\vs4\al\c1(kπ－\f(π,2)，kπ＋\f(π,2)))
单调递减区间
eq \b\lc\[\rc\] (\a\vs4\al\c1(2kπ＋\f(π,2)，2kπ＋\f(3π,2)))
[2kπ，2kπ＋π]
对称中心
(kπ，0)
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(kπ＋\f(π,2)，0))
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(kπ,2)，0))
对称轴方程
x＝kπ＋eq \f(π,2)
x＝kπ
（一）
五点作图法
（1）在正弦函数，的图象中，五个关键点是：．
（2）在余弦函数，的图象中，五个关键点是：．
题型1：五点作图法
1-1．（2024高一下·北京·阶段练习）已知函数
(1)用“五点作图法”在给定坐标系中画出函数在上的图像；
(2)求，的单调递增区间；
(3)当时，的取值范围为，直接写出m的取值范围.
1-2．（2024高一下·湖北·期中）要得到函数的图象，可以从正弦函数或余弦函数图象出发，通过图象变换得到，也可以用“五点法”列表、描点、连线得到．
(1)由图象变换得到函数的图象，写出变换的步骤和函数；
(2)用“五点法”画出函数在区间上的简图．

（二）
函数的奇偶性
由是奇函数和是偶函数可拓展得到关于三角函数奇偶性的重要结论：
（1）若为奇函数，则；
（2）若为偶函数，则；
（3）若为奇函数，则；
（4）若为偶函数，则；
若为奇函数，则，该函数不可能为偶函数．
题型2：函数的奇偶性
2-1．（2024高一下·河南南阳·期中）下列6个函数：①，②，③，④，⑤，⑥，其中最小正周期为π的偶函数的编号为 .
2-2．（2024高三·广东·学业考试）函数是（ ）
A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为π的偶函数
C．最小正周期为的奇函数D．最小正周期为的偶函数
2-3．（2024高三·北京海淀·专题练习）函数，则（ ）
A．若，则为奇函数B．若，则为偶函数
C．若，则为偶函数D．若，则为奇函数
2-4．（2024·贵州贵阳·模拟预测）使函数为偶函数，则的一个值可以是（ ）
A．B．C．D．
2-5．（2024·湖北·模拟预测）函数的图像向左平移个单位得到函数的图像，若函数是偶函数，则（ ）
A．B．C．D．
2-6．（2024高三上·浙江·期末）将函数的图象向右平移个单位得到一个奇函数的图象，则的取值可以是（ ）
A．B．C．D．
（三）
函数的周期性
关于三角函数周期的几个重要结论：
（1）函数的周期分别为，．
（2）函数，的周期均为
（3）函数的周期均．
题型3：函数的周期性
3-1．（2024高三上·河北衡水·阶段练习）下列函数中，最小正周期为的奇函数是（ ）
A．B．
C．D．
3-2．（2024高三·全国·对口高考）函数的最小正周期是 .
3-3．（2024高三上·河北·阶段练习）函数的最小正周期为（ ）
A．B．C．D．
3-4．（2024高三下·北京密云·期中）设函数在的图象大致如图所示，则的最小正周期为（ ）
A．B．
C．D．
3-5．（2024高三·全国·专题练习）已知函数.则 .
（四）
函数的单调性
三角函数的单调性，需将函数看成由一次函数和正弦函数组成的复合函数，利用复合函数单调区间的单调方法转化为解一元一次不等式．
如函数的单调区间的确定基本思想是吧看做是一个整体，
如由解出的范围，所得区间即为增区间；
由解出的范围，所得区间即为减区间．
若函数中，可用诱导公式将函数变为，则的增区间为原函数的减区间，减区间为原函数的的增区间．
对于函数的单调性的讨论与以上类似处理即可．
题型4：函数的单调性
4-1．（2024·四川乐山·三模）将函数的图象向左平移个单位长度，所得图象的函数（ ）
A．在区间上单调递减B．在区间上单调递减
C．在区间上单调递增D．在区间上单调递增
4-2．（2024·北京密云·三模）已知函数，则（ ）
A．在上单调递减B．在上单调递增
C．在上单调递减D．在上单调递增
4-3．（2024高一上·重庆江北·期末）的部分图像如图所示，则其单调递减区间为（ ）
A．B．
C．D．
4-4．（2024高一下·四川凉山·期中）函数的单调递增区间为（ ）
A．B．
C．D．
（五）
函数的对称性（对称轴、对称中心）
关于三角函数对称的几个重要结论；
（1）函数的对称轴为，对称中心为；
（2）函数的对称轴为，对称中心为；
（3）函数函数无对称轴，对称中心为；
（4）求函数的对称轴的方法；令，得；对称中心的求取方法；令，得
，即对称中心为．
（5）求函数的对称轴的方法；令得，即对称中心为
题型5：函数的对称性（对称轴、对称中心）
5-1．（2024高三·全国·课后作业）函数图象的一个对称中心的坐标是 ．
5-2．（2024·新疆喀什·模拟预测）函数向左平移个单位长度之后关于对称，则的最小值为 .
5-3．（2024·山东济南·模拟预测）已知函数的最小正周期为，则的图象关于（ ）
A．对称B．对称C．对称D．对称
5-4．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，若，且直线为图象的一条对称轴，则的最小值为 ．
5-5．（2024·贵州·模拟预测）已知函数（，，）的部分图象如图所示，则的对称中心为（ ）
A．B．
C．D．
5-6．（2024高三下·上海宝山·阶段练习）已知，函数，的最小正周期为，将的图像向左平移个单位长度，所得图像关于轴对称，则的值是 ．
5-7．（2024·上海徐汇·三模）已知函数的对称中心为，若函数的图象与函数的图象共有6个交点，分别为，，…，，则 .
（六）
函数的定义域、值域（最值）
求三角函数的最值，通常要利用正、余弦函数的有界性，一般是通过三角变换化归为下列基本类型处理．
（1），设，化为一次函数在上的最值求解．
（2），引入辅助角，化为，求解方法同类型（1）
（3），设，化为二次函数在闭区间上的最值求解，也可以是或型．
（4），设，则，故，故原函数化为二次函数在闭区间上的最值求解．
（5）与，根据正弦函数的有界性，即可用分析法求最值，也可用不等式法求最值，更可用数形结合法求最值．这里需要注意的是化为关于或的函数求解释务必注意或的范围．
（6）导数法
（7）权方和不等式
题型6：函数的定义域、值域（最值）
6-1．（2024高一下·上海静安·期末）函数的定义域为 ．
6-2．（2024·江苏南通·模拟预测）已知函数的最大值为M，最小值为m，则的值为（ ）
A．0B．2C．4D．6
6-3．（2024高三·全国·专题练习）函数对于，都有，则的最小值为（ ）.
A．B．C．D．
6-4．（2024·河北邯郸·一模）已知函数，如果存在实数，使得对任意的实数，都有成立，则的最小值为
A．B．C．D．
6-5．（2024高三·全国·专题练习）实数满足，则的范围是 .
6-6．（2024高三·全国·专题练习）设，则的最小值为 .
6-7．（2024高一·全国·单元测试）函数的值域为 ．
（七）
三角函数性质的综合
三角函数的性质（如奇偶性、周期性、单调性、对称性）中，尤为重要的是对称性．
因为对称性奇偶性（若函数图像关于坐标原点对称，则函数为奇函数；若函数图像关于轴对称，则函数为偶函数）；对称性周期性（相邻的两条对称轴之间的距离是；相邻的对称中心之间的距离为；相邻的对称轴与对称中心之间的距离为）；对称性单调性（在相邻的对称轴之间，函数单调，特殊的，若，函数在上单调，且，设，则深刻体现了三角函数的单调性与周期性、对称性之间的紧密联系）
题型7：三角函数性质的综合
7-1．（2024·河北石家庄·模拟预测）已知函数，则下列说法错误的是（ ）
A．的值域为
B．的单调递减区间为
C．为奇函数，
D．不等式的解集为
7-2．（2024·全国·模拟预测）已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）

A．
B．
C．不等式的解集为
D．将的图象向右平移个单位长度后所得函数的图象在上单调递增