专题22 平面向量的概念及线性运算5题型分类-备战2025年高考数学一轮专题复习全套考点突破和专题检测（解析版）

这是一份专题22 平面向量的概念及线性运算5题型分类-备战2025年高考数学一轮专题复习全套考点突破和专题检测（解析版），共59页。试卷主要包含了向量的有关概念，向量的线性运算，给出下列四个命题等内容，欢迎下载使用。


1．向量的有关概念
(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小称为向量的长度(或模)．
(2)零向量：长度为0的向量，记作0．
(3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量．
(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，也叫做共线向量，规定：零向量与任意向量平行．
(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．
(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．
2．向量的线性运算
3.向量共线定理
向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa.
4．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即eq \(A1A2,\s\up6(—→))＋eq \(A2A3,\s\up6(—→))＋eq \(A3A4,\s\up6(—→))＋…＋eq \(An－1An,\s\up6(———→))＝eq \(A1An,\s\up6(—→))，特别地，一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量．
5．若F为线段AB的中点，O为平面内任意一点，则eq \(OF,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→)))．
6．若A，B，C是平面内不共线的三点，则eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \(PC,\s\up6(→))＝0⇔P为△ABC的重心，eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))．
7．对于任意两个向量a，b，都有||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.
一、单选题
1．（2024高三上·安徽·期中）已知平面向量和实数，则“”是“与共线”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】
根据平面向量共线的判定定理结合充分、必要条件分析判断.
【详解】若，则与共线，可知充分性成立；
若与共线，例如，则不成立，可知必要性不成立；
所以“”是“与共线”的充分不必要条件.
故选：A.
2．（2024高三上·云南德宏·期末）已知为的边的中点.若，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】应用向量加减、数乘的几何意义，用，表示出.
【详解】由，
所以.
故选：B
3．（2024高三上·青海西宁·期末）已知向量，不共线，，，，则（ ）
A．B．C．6D．
【答案】A
【分析】
由向量平行的性质计算即可.
【详解】
因为，所以，
，则
解得.
故选：A.
4．（2024·江苏南京·模拟预测）如图1，儿童玩具纸风车的做法体现了数学的对称美，取一张正方形纸折出“十”字折痕，然后把四个角向中心点翻折，再展开，把正方形纸两条对边分别向中线对折，把长方形短的一边沿折痕向外侧翻折，然后把立起来的部分向下翻折压平，另一端折法相同，把右上角的角向上翻折，左下角的角向下翻折，这样，纸风车的主体部分就完成了，如图2，是一个纸风车示意图，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据题意，结合图形，易于判断A,B两项；对于C项，理解折纸过程知点是线段的中点，易得结论；对于D项，合并其中两个向量后，只需判断余下的两向量能否共线即可.
【详解】不妨设，则，
对于A项，显然与方向不一致，所以，故A项错误；
对于B项，由图知是钝角，则，故B项错误；
对于C项，由题意知点是线段的中点，则易得：,即得：，故C项正确；
对于D项，由，而与显然不共线，故．即项错误．
故选：C．
5．（2024高二上·新疆·阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．若，则B．若，互为相反向量，则
C．空间中两平行向量相等D．在四边形ABCD中，
【答案】D
【分析】根据向量的相关定义即可求解ABC,根据向量的减法运算即可求解D.
【详解】对于A，向量不可以比较大小，所以A错误；
对于B, 若，互为相反向量，则，故B错误；
对于C，两向量相等需要向量的方向相同，且长度相同，故C错误；
对于D，四边形ABCD中，，故D正确.
故选：D
6．（2024高三上·浙江·阶段练习）已知平面向量，，均为单位向量，则“”是“与共线”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】利用向量加法的三角形不等式，结合充分条件、必要条件的定义判断即得.
【详解】平面向量，，均为单位向量，则，当且仅当同向共线时取等号，
则当时，与共线，反之，与共线并且方向相反时，，
所以“”是“与共线”的充分不必要条件，A正确.
故选：A
7．（2024·北京大兴·三模）设，是非零向量，“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据向量相等、单位向量判断条件间的推出关系，结合充分、必要性定义即知答案.
【详解】由表示单位向量相等，则同向，但不能确定它们模是否相等，即不能推出，
由表示同向且模相等，则，
所以“”是“”的必要而不充分条件.
故选：B
8．（2024高三·全国·对口高考）给出下列四个命题：
①若，则；
②若，则A，B，C，D是一个平行四边形的四个顶点；
③若，则；
④若，，则；
其中正确的命题的个数为（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】D
【分析】结合向量的概念、性质，说明、情况下的反例判断①、②，由向量相等、共线，注意共线向量传递性的前提判断③、④.
【详解】①若，只能说明模相等，它们方向不一定相同或相反，错；
②若，若且，即A，B，C，D是一个平行四边形的四个顶点，若四点共线，不能构成平行四边形，错；
③若，即、分别为相等向量，故，对；
④若，，当为零向量时不一定成立，错.
故选：D
9．（2024高一下·江西九江·期中）设为两个非零向量，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合共线向量的定义分析判断
【详解】因为，所以同向共线，所以，
因为，所以同向共线，此时不一定成立，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A
10．（2024·海南）在中，D是AB边上的中点，则=（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据向量的加减法运算法则算出即可.
【详解】
故选：C
【点睛】本题考查的是向量的加减法，较简单.
11．（2024·山东潍坊·模拟预测）在中，，点为的中点，设，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据平面向量线性运算的几何意义，结合平面向量基本定理进行求解即可.
【详解】因为，点为的中点，
所以
.
故选：A.
12．（2024高二上·云南大理·期末）已知在中，点在边上，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据向量的线性运算即可.
【详解】在中，，又点在边上，且，
则，
故选：A.

13．（2024高三上·重庆·阶段练习）在中，为边上的中线，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据图形的几何性质，以及向量加减法、数乘运算的几何意义，即可得出答案.
【详解】
因为，所以
由已知可得，，
所以，，
所以，.
故选：A.
14．（2024·河南·模拟预测）在等腰梯形中，，若，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据给定的几何图形，结合向量的线性运算求解即得.
【详解】在等腰梯形中，，，，则有，
所以.
故选：A
15．（2024·全国·模拟预测）在等腰梯形中，，，点是线段上靠近的三等分点，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】通过添设辅助线，借助于三角形和等腰梯形，利用平面向量的加减法将进行转化，最终用来表示即得.
【详解】
如图等腰梯形中，取中点，连接，则,,
于是，
.
故选:D.
16．（2024·山西·一模）已知矩形中，为边中点，线段和交于点，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】取中点，可证得四边形为平行四边形，得到，结合三角形中位线性质可确定为上靠近的三等分点，从而根据向量线性运算推导得到结果.
【详解】取中点，连接，交于点，
，，四边形为平行四边形，
，又为中点，，同理可得：，
，
.
故选：D.
17．（2024高三上·广东·开学考试）在中，已知，，与交于，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】过作直线交于，结合和可求出，再由表示出即可求出答案.
【详解】如图，过作直线交于，因为，
所以，因为，所以设，则，
所以，因为，所以，
所以.
故选：C.
18．（2024·全国·模拟预测）在平行四边形中，点是上靠近的四等分点，与交于点，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】结合平行四边形性质推出，根据向量的线性运算，即可求得答案.
【详解】平行四边形中,，则∽，
因为点是上靠近的四等分点，所以，
所以，

故．
故选：B．
19．（2024·四川绵阳·二模）已知平面向量a，b不共线，，，则（ ）
A．A，B，D三点共线B．A，B，C三点共线
C．B，C，D三点共线D．A，C，D三点共线
【答案】D
【分析】根据平面向量共线的定义一一判断求解.
【详解】对A，与不共线，A错误；
对B，则与不共线，B错误；
对于C，则与不共线，C错误；
对于D，，
即，又线段AC与CD有公共点C，所以A，C，D三点共线，D正确.
故选：D.
20．（2024高三上·山东滨州·期中）已知点是平面内任意一点，则“存在，使得”是“三点共线”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
【答案】C
【分析】根据平面向量的线性运算即可得到结论.
【详解】充分性：由得，
故，则，故三点共线，所以充分性成立，
必要性：若三点共线，由共线向量定理可知，从而，所以，所以，
所以必要性成立.
综上所述：”是“三点共线”的充要条件.
故选：C
21．（内蒙古通辽市科尔沁左翼中旗实验高级中学2024届高三上学期第二次月考数学试题）已知向量不共线，，，，则（ ）
A．A，B，C三点共线B．A，C，D三点共线
C．A，B，D三点共线D．B，C，D三点共线
【答案】C
【分析】根据向量共线定理进行判断即可.
【详解】因为不共线，，，，
易得互不共线，所以A，B，C三点不共线，B，C，D三点不共线，故AD错误；
又，易得不共线，则A，C，D三点不共线，故B错误；
而，所以A，B，D三点共线，故C正确.
故选：C.
22．（2024·河南·三模）已知、、均为非零向量，且，，则（ ）
A．与垂直B．与同向C．与反向D．与反向
【答案】C
【分析】根据数乘向量的定义可得出结论.
【详解】因为，，所以与同向，与反向，所以与反向．
故选：C.
23．（2024高三上·安徽亳州·期中）在中，，，与交于点，且，则（ ）
A．B．C．D．1
【答案】B
【分析】
根据题意结合三点共线的判定定理和结论分析可得和，运算求解即可.
【详解】因为，则为的中点，可得，
注意到三点共线，可得，
又因为三点共线，则∥，
则存在实数，使得，即，
则，可得，
综上所述：，解得，可得.
故选：B.
24．（2024高三下·河南·阶段练习）已知四边形，下列说法正确的是（ ）
A．若，则四边形为平行四边形
B．若，则四边形为矩形
C．若，且，则四边形为矩形
D．若，且，则四边形为梯形
【答案】A
【分析】根据向量共线和模长相等的几何与意义结合平行四边形、矩形、梯形的定义逐项判断即可.
【详解】A选项，若，则且，则四边形为平行四边形，正确；
选项，如图

，但是四边形不是矩形，错误；
选项，若，且，则四边形可以是等腰梯形,也可以是矩形，故错误．
选项，若，且，则四边形可以是平行四边形，也可以是梯形，故错误.
故选：A
25．（2024高三上·辽宁朝阳·阶段练习）在梯形ABCD中，，，则（ ）
A．5B．6C．－5D．－6
【答案】B
【分析】根据向量的线性表示即可求解.
【详解】因为，
所以.
所以.
故选：B
26．（2024·福建福州·模拟预测）已知是两个不共线的向量，若与是共线向量，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据题意，由平面向量共线定理，列出方程，即可得到结果.
【详解】依题意，设，又是两个不共线的向量，
所以，所以．
故选：D
27．（2024·陕西安康·模拟预测）已知平面向量与不共线，向量，若，则实数的值为（ ）
A．1B．C．1或D．或
【答案】C
【分析】根据平面共线定理，由向量平行，求得满足满足的方程，求解即可.
【详解】由，且均不为零向量，则，
可得，则，
整理得，解得或．
故选：C．
28．（2024高三上·河南·阶段练习）如图，在中，为的中点，，与交于点，若，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由向量共线的性质分别设，，结合条件依次表示出，，对应解出，即可求解.
【详解】设，，
则，
而与不共线，∴，解得，∴.
故选：A.
29．（2024高三上·福建·阶段练习）在中，，，E是AB的中点，EF与AD交于点P，若，则（ ）
A．B．C．D．1
【答案】A
【分析】利用向量的线性运算求得，由此求得m，n，进而求得.
【详解】
因为，所以，
则.
因为A，P，D三点共线，所以.
因为，所以.
因为E是边AB的中点，
所以.因为E，P，F三点共线，
所以，
则，解得，从而，，故.
故选：A
30．（2024高一下·陕西渭南·期中）下列说法中正确的是（ ）
A．单位向量都相等
B．平行向量不一定是共线向量
C．对于任意向量，必有
D．若满足且与同向，则
【答案】C
【分析】对于A：根据单位向量的概念即可判断；对于B：根据共线向量的定义即可判断；对于C：分类讨论向量的方向，根据三角形法则即可判断；对于D：根据向量不能比较大小即可判断.
【详解】依题意，
对于A，单位向量模都相等，方向不一定相同，故错误；
对于B，平行向量就是共线向量，故错误；
对于C，若同向共线，，
若反向共线，，
若不共线，根据向量加法的三角形法则及
两边之和大于第三边知.
综上可知对于任意向量，必有，故正确；
对于D，两个向量不能比较大小，故错误.
故选：C.
31．（2024高一下·上海·课后作业）给出如下命题：
①向量的长度与向量的长度相等；
②向量与平行，则与的方向相同或相反；
③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；
④两个公共终点的向量，一定是共线向量；
⑤向量与向量是共线向量，则点，，，必在同一条直线上．
其中正确的命题个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】根据向量的基本概念，对每一个命题进行分析与判断，找出正确的命题即可．
【详解】对于①，向量与向量，长度相等，方向相反，故①正确；
对于②，向量与平行时，或为零向量时，不满足条件，故②错误；
对于③，两个有共同起点且相等的向量，其终点也相同，故③正确；
对于④，两个有公共终点的向量，不一定是共线向量，故④错误；
对于⑤，向量与是共线向量，点，，，不一定在同一条直线上，故⑤错误．
综上，正确的命题是①③．
故选：B．
32．（2024高一下·山西朔州·期中）下列命题中正确的是（ ）
A．若，则
B．
C．若，则与的方向相反
D．若，则
【答案】B
【分析】对于A：利用向量不能比较大小直接判断；对于B：利用向量的线性运算法则直接判断；对于C：由，可以得到与的方向相同或与中有零向量.对于D： 的方向不确定.即可判断.
【详解】对于A：因为向量不能比较大小，所以A错误；
对于B：.故B正确；
对于C：若，则与的方向相同或与中有零向量.故C错误；
对于D：若，但的方向不确定.故D错误.
故选：B
33．（福建省南平市高级中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题）下列说法正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则不是共线向量
【答案】C
【分析】A. 因为向量不能比较大小，所以该选项错误；
B. 不一定相等，所以该选项错误；
C. 若，则，所以该选项正确；
D. 若，则也有可能是共线向量，所以该选项错误.
【详解】A. 因为向量不能比较大小，所以该选项错误；
B. 若，则不一定相等，有可能它们方向不同，但是模相等，所以该选项错误；
C. 若，则，所以该选项正确；
D. 若，则也有可能是共线向量，有可能方向相同模不相等，有可能方向相反，所以该选项错误.
故选：C
34．（2024高一·全国·课后作业）若，则，，（ ）
A．都是非零向量时也可能无法构成一个三角形
B．一定不可能构成三角形
C．都是非零向量时能构成三角形
D．一定可构成三角形
【答案】A
【分析】考虑非零向量共线和不共线，可得到BCD错误，A正确.
【详解】ACD选项，若非零向量共线时，也能满足，但无法构成一个三角形，A正确，CD错误；
B选项，当非零向量两两不共线时，可构成三角形，B错误.
故选：A
35．（2024·山东泰安·模拟预测）在中，点为中点，点在上且.记，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用向量加法、减法法则线性表示即可.
【详解】如图所示：

由，
所以，
又，
，
又因为为中点，
，
则，
故选：B.
36．（2024·河北邯郸·三模）已知等腰梯形满足，与交于点，且，则下列结论错误的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据题意，由平面向量的线性运算，对选项逐一判断，即可得到结果.
【详解】
依题意，显然，故有，
即，，则，故A正确；
又四边形是等腰梯形，故，即，故B正确；
在中，，故C正确；
又，所以D错误；
故选：D.
37．（2024·河北·模拟预测）已知为所在平面内一点，且满足，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据向量的线性表示和加减法运算即可求解.
【详解】如图，
因为，所以是线段的四等分点，且,
所以,
故A,B错误；
由，可得，故C正确，D错误，
故选:C.
38．（2024·贵州贵阳·模拟预测）在中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，向量减法的三角形法则，用基底表示，从而求得结果.
【详解】
由D为中点，根据向量的运算法则，
可得，
在中，.
故选:D．
39．（2024高三下·贵州黔东南·阶段练习）已知在平行四边形ABCD中，E，F分别是边CD，BC的中点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用向量的线性运算的几何意义，结合由中位线定理和平行四边形的性质进行转化后即可判定.
【详解】如图所示，由中位线定理和平行四边形的性质得：
，
故选：D
40．（2024高一下·全国·阶段练习）如图所示，点E为的边AC的中点，F为线段BE上靠近点B的四等分点，则=（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据平面向量的线性运算结合图像将用表示，即可得出答案.
【详解】解：
.
故选：C.
41．（2024高一下·四川泸州·期末）在平行四边形中，对角线与交于点，若，则（ ）
A．B．2C．D．
【答案】B
【分析】根据平行四边形法则以及平行四边形的性质即可求出．
【详解】在平行四边形中，，所以．
故选：B．
42．（2024·河南·三模）已知等腰梯形ABCD中，，，BC的中点为E，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】结合图象，根据向量的线性运算法则求解即可.
【详解】∵，
∴，
∴，
∴．
故选：B.

43．（2024·广东广州·模拟预测）在中，是边上一点，且是上一点，若，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据平面向量基本定理用表示，又因为三点共线，利用系数和为1求解结果.
【详解】由，得出，
由得
，
因为三点共线，所以，解得.
故选：D.
44．（2024·湖北武汉·三模）如图，在中，M为线段的中点，G为线段上一点，，过点G的直线分别交直线，于P，Q两点，，，则的最小值为（ ）．
A．B．C．3D．9
【答案】B
【分析】先利用向量的线性运算得到，再利用三点共线的充要条件，得到，再利用基本不等式即可求出结果.
【详解】因为M为线段的中点，所以，又因为，所以，
又，，所以，
又三点共线，所以，即，
所以，
当且仅当，即时取等号.
故选：B.
45．（2024高三·山西·阶段练习）如图，在中，D是BC边中点，CP的延长线与AB交于AN，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】设，将用表示，再根据N，P，C三点共线，即可得解.
【详解】设，
则，
因为N，P，C三点共线，
所以，解得，
所以，所以.
故选：B.
46．（2024·湖北武汉）如图所示，已知点G是△ABC的重心，过点G作直线分别与AB，AC两边交于M，N两点，设x＝，y＝，则的值为（ ）
A．3B．4
C．5D．6
【答案】A
【分析】由向量共线的推论知且，结合已知有，再由重心的性质有，根据平面向量基本定理列方程组即可求值.
【详解】由题意且，而x＝，y＝，
所以，
又G是△ABC的重心，故，
所以，可得，即.
故选：A
47．（2024高三下·重庆沙坪坝·阶段练习）在中，为上一点，为线段上任一点（不含端点），若，则的最小值是（ ）
A．8B．10C．13D．16
【答案】D
【分析】由题设且，进而可得，将目标式化为，结合基本不等式“1”的代换求最小值，注意等号成立条件.
【详解】由题意，如下示意图知：，且，又，
所以，故且，
故，
仅当，即时等号成立.
所以的最小值是16.
故选：D
48．（湖南省长沙市第一中学2023-2024学年高一下学期第一次阶段性检测数学试题）已知向量、不共线，且，若与共线，则实数的值为（ ）
A．B．C．或D．或
【答案】C
【分析】根据平面向量共线的基本定理可得关于实数的等式，解之即可.
【详解】因为与共线，则存在，使得，即，
因为向量、不共线，则，整理可得，即，
解得或.
故选：C.
49．（2024高三·全国·专题练习）已知直线上有三点，，，为外一点，又等差数列的前项和为，若，则（ ）
A．B．3C．D．
【答案】A
【分析】由向量共线可得，再结合等差数列前项和公式即求.
【详解】点、、是直线上不同的三点，
存在非零实数，使；
若，
，；
；
数列是等差数列，
；
．
故选：A．
二、多选题
50．（2024高三·全国·专题练习）（多选）下列命题正确的是（ ）
A．若都是单位向量，则.
B．“”是“”的必要不充分条件
C．若都为非零向量，则使＋＝成立的条件是与反向共线
D．若，则
【答案】BCD
【分析】根据平面向量的定义以及向量共线的概念一一判断.
【详解】对A，都是单位向量，则模长相等，但方向不一定相同，
所以得不到，A错误；
对B，“”推不出“”，但 “”能推出 “”，
所以“”是“”的必要不充分条件，B正确；
对C，因为与反向共线，
且，都为单位向量，则＋＝，C正确；
对D，若，则，D正确，
故选:BCD.
51．（2024高三上·黑龙江双鸭山·阶段练习）下列说法中不正确的是（ ）
A．若，则
B．若与共线，则或
C．若，为单位向量，则
D．是与非零向量共线的单位向量
【答案】BC
【分析】根据零向量的定义与性质，单位向量的定义以及共线向量的定理，可得答案.
【详解】对于A，根据零向量的定义，若，则，故A正确；
对于B，当时，显然与共线，但是零向量的方向是任意的，所以不一定有或，
故B错误；
对于C，设，，显然为单位向量，但，故C错误；
对于D，由，则为单位向量，由，则向量与共线，
即是与非零向量共线的单位向量，故D正确.
故选：BC.
52．（2024高三·全国·专题练习）（多选题）给出下列命题，不正确的有（ ）
A．若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同
B．若A，B，C，D是不共线的四点，且＝，则四边形ABCD为平行四边形
C．的充要条件是且
D．已知λ，μ为实数，若，则与共线
【答案】ACD
【分析】根据向量共线的定义以及命题的充分必要条件的定义一一判断求解.
【详解】A错误，两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等，
但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点；
B正确，因为＝，所以＝且，
又A，B，C，D是不共线的四点，所以四边形ABCD为平行四边形；
C错误，当且方向相反时，即使，也不能得到，
所以且不是的充要条件，而是必要不充分条件；
D错误，当时，与可以为任意向量，满足，
但与不一定共线．
故选:ACD.
53．（2024高一下·湖南张家界·阶段练习）下列命题中错误的有（ ）
A．平行向量就是共线向量
B．相反向量就是方向相反的向量
C．与同向，且，则
D．两个向量平行是这两个向量相等的必要不充分条件
【答案】BC
【分析】根据平行向量和共线向量的定义即可判断A的正误；
根据方向相反的向量和相反向量的定义即可判断B的正误；
根据向量的定义即可判断C的正误；
根据平行向量和相等向量的定义即可判断D的正误．
【详解】由平行向量和共线向量的定义可知，A选项正确；
因为相反向量是方向相反，长度相等的两个向量，所以B选项错误；
因为向量是既有大小又有方向的量，所以任何两个向量都不能比较大小，所以C选项错误；
因为两个向量平行不能推出两个向量相等，而两个向量相等可以推出这两个向量平行，
因此两个向量平行是这两个向量相等的必要不充分条件，所以D正确．
故选：BC.
54．（2024高三·全国·专题练习）（多选题）给出下列命题，不正确的有（ ）
A．若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同
B．若A，B，C，D是不共线的四点，且＝，则四边形ABCD为平行四边形
C．的充要条件是且
D．已知λ，μ为实数，若，则与共线
【答案】ACD
【分析】根据向量共线的定义以及命题的充分必要条件的定义一一判断求解.
【详解】A错误，两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等，
但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点；
B正确，因为＝，所以＝且，
又A，B，C，D是不共线的四点，所以四边形ABCD为平行四边形；
C错误，当且方向相反时，即使，也不能得到，
所以且不是的充要条件，而是必要不充分条件；
D错误，当时，与可以为任意向量，满足，
但与不一定共线．
故选:ACD.
三、填空题
55．（2024·江苏）在△ABC中，D在边BC上，延长AD到P，使得AP=9，若（m为常数），则CD的长度是 ．

【答案】或0
【分析】根据题设条件可设，结合与三点共线，可求得，再根据勾股定理求出，然后根据余弦定理即可求解.
【详解】∵三点共线，
∴可设，
∵，
∴，即，
若且，则三点共线，
∴，即，
∵，∴，
∵,,，
∴，
设，，则，.
∴根据余弦定理可得，，
∵，
∴，解得，
∴的长度为.
当时， ，重合，此时的长度为，
当时，，重合，此时，不合题意，舍去.
故答案为：0或.
【点睛】本题考查了平面向量知识的应用、余弦定理的应用以及求解运算能力，解答本题的关键是设出．
56．（2024高三·全国·专题练习）下列命题正确的是 ．（填序号）
①向量、共线的充要条件是有且仅有一个实数，使；
②在中，；
③只有方向相同或相反的向量是平行向量；
④若向量、不共线，则向量与向量必不共线．
【答案】④
【解析】取可判断命题①的正误；利用平面向量加法法则可判断命题②的正误；利用零向量与任何向量共线可判断命题③的正误；利用平面向量的基本定理可判断命题④的正误.
【详解】对于命题①，若，，则向量、共线，但不存在，使得，命题①错误；
对于命题②，由平面向量加法法则可得，命题②错误；
对于命题③，零向量与任意非零向量共线，但零向量的方向任意，命题③错误；
对于命题④，、不共线，则向量、、、均为非零向量，
若与共线，则存在实数，使得，可得，
，此时不存在，故假设不成立，即与向量不共线，命题④正确.
故答案为：④.
【点睛】本题考查与向量有关命题正误的判断，考查共线向量的判断以及平面向量加法法则的应用，属于基础题.
57．（2024·全国·模拟预测）在平行四边形ABCD中，点G在AC上，且满足，若，则 .
【答案】1
【分析】
利用向量线性运算求得，与题干对照即可求解.
【详解】
，则，，
所以.
故答案为：1
58．（2024高三·全国·专题练习）在中，是边的中点，，过点的直线交直线分别于两点，且，则 .
【答案】
【分析】由三点共线的性质列式求值.
【详解】
由题意：
由三点共线知，.
，
消去，得.
故答案为：
59．（2024·安徽淮北·一模）已知抛物线准线为，焦点为，点，在抛物线上，点在上，满足：，，若，则实数 .
【答案】
【分析】由题设共线，作，垂足分别为，结合抛物线定义及相似比求参数值即可.
【详解】由题设知：共线，且，如下图，

作，垂足分别为，则，
所以，又，则，
所以，即，故.
故答案为：2
60．（2024高三·全国·专题练习）给出下列四个命题：
①若与是共线向量，则与也是共线向量；
②若，则与是共线向量；
③若，则与是共线向量；
④若，则与任何向量都共线．
其中为真命题的有 (填序号)．
【答案】①②③
【分析】对①，利用平面向量平行四边形法则即可判断①为真命题，对②，根据题意得到与同向，或是零向量，或，均为零向量，即可判断②为真命题，对③，根据题意得到与方向相反，或，中至少有一个零向量，即可判断③为真命题，对④，当是零向量，是非零向量时满足题意，即可判断④为假命题.
【详解】对①，若与是共线向量，由向量的平行四边形法则可知，
必有与是共线向量，故①为真命题.
对②，若，则与同向，或是零向量，或，均为零向量，
所以与是共线向量，故②为真命题；
对③，若，则与方向相反，或，中至少有一个零向量，
所以与是共线向量，所以③是真命题；
对④，当是零向量，是非零向量时，成立，
而不能与任何向量都共线，所以④是假命题．
故答案为：①②③
61．（2024高一下·安徽合肥·期中）设是不共线的两个向量，.若三点共线，则k的值为 .
【答案】
【分析】根据三点共线可得向量共线，由此利用向量共线定理可列出向量等式，即可求得答案.
【详解】因为三点共线，故,
则，使得，
又，
故，则，解得，
故答案为：
62．（2024高三上·河南·专题练习）已知平行四边形中，点为线段的中点，交于点，若，则 ．
【答案】/
【分析】作出图像，利用平面向量的加减和数乘运算法则即可求解.
【详解】作图如下，

则，
故，，．
故答案为：．
63．（2024高三上·辽宁沈阳·阶段练习）在梯形中，，则 ．
【答案】6
【分析】根据条件，利用向量的线性运算，即可求出，从而得到结果.
【详解】因为，
又，得到，所以，
故答案为：.
64．（2024高三下·全国·专题练习）如图，在平行四边形ABCD中，，，，则 .

【答案】
【分析】利用向量的线性运算将用表示，然后根据系数相等求解即可.
【详解】由题意可得，，
所以，所以.
故答案为：.
65．（2024高三下·全国·专题练习）已知平面四边形满足，平面内点E满足，CD与AE交于点M，若，则 .
【答案】/
【分析】根据给定条件，利用向量表示结合平面向量基本定理不解即得.
【详解】平面四边形中，，则，又，则，
因此，即，
，
而不共线，所以，.
故答案为：

66．（2024高三下·全国·专题练习）已知的边的中点为，点在所在平面内，且，若，则 .
【答案】
【分析】利用平面向量的线性运算结合平面向量的基本定理可得出关于、的方程组，解出这两个未知数的值，即可得解.
【详解】如下图所示：
因为，则，可得，
所以，为的中点，又因为为的中点，
则，
同理可得，
所以，，
因为、不共线，则，解得，故.
故答案为：.
67．（2024高三上·四川南充·阶段练习）在平行四边形 中， 点E满足且， 则实数 ．
【答案】4
【分析】根据平面向量的线性运算结合平面向量基本定理分析可得结果.
【详解】由题意可得：
,
故答案为：4.
68．（2024高三上·江苏南通·期中）在中，为边上的中线，为上一点，且，若，且（），则 ．
【答案】
【分析】根据已知，可由向量分别表示出，再由可得含有的等式，又不共线，可得方程组，计算即得.
【详解】如图所示，
由为边的中点，得到，而，
因此，
所以，
因为，得，
因为，设（），所以，
所以，即．
因为与不共线，所以，得，故．
故答案为：.
69．（2024高三上·福建莆田·阶段练习）在边长为的等边中，在边上，延长到，使得，若（其中为常数），则 .
【答案】/1.5；/
【分析】结合与三点共线，可求得，再根据根据余弦定理建立方程即可求解.
【详解】因为，所以，
又在边上，即三点共线，所以，即，
所以，又，所以，，
设，，则，.
根据余弦定理可得，，
因为，所以，即，解得，
所以的长度为.
故答案为：；.

四、解答题
70．（2024高三·全国·专题练习）在平行四边形中，，为的中点，延长交于点，若，求的值.

【答案】
【分析】选为基底，根据三点共线结合向量的加减运算表示出，进而表示出以及，利用向量相等列出方程组，求得参数，即可推出，求得答案.
【详解】选为基底，一方面，由三点共线得，，
另一方面，由三点共线得
，，
由三点共线知，
可得，解得，
所以，.
由
结合，得.
71．（2024高一下·河北张家口·阶段练习）如图，在中，是的中点，是线段上靠近点的三等分点，设.

(1)用向量与表示向量；
(2)若，求证：三点共线.
【答案】(1)，
(2)证明见解析
【分析】
（1）利用向量的线性运算及平面向量的基本定理即可求解；
（2）利用向量的线性运算及向量共线的充要条件即可求解.
【详解】（1）是的中点，
；
.
（2），
与平行，
又与有公共点，
三点共线.
72．（2024高三上·吉林四平·阶段练习）如图，在中，已知.
(1)用向量分别表示与；
(2)证明：三点共线.
【答案】(1)，
(2)证明见解析
【分析】（1）选作为一组基底，其他向量用基底表示即可求解；（2）找到和的线性关系即可得解.
【详解】（1）因为，
则，.
（2）因为，
所以.
又因为与有公共点，所以三点共线.
73．（2024高三上·江苏徐州·阶段练习）在中，E为AC的中点，D为边BC上靠近点B的三等分点．
(1)分别用向量，表示向量，；
(2)若点N满足，证明：B，N，E三点共线．
【答案】(1)，
(2)证明见解析
【分析】（1）根据几何图形进行线性运算即可；
（2）利用向量共线定理即可证明.
【详解】（1）因为E为AC的中点，D为边BC上靠近点B的三等分点，
所以 ，
则，
.
（2）因为，所以，
则，
所以，即，所以，
又因为有公共点，
所以，，三点共线.

74．（2024高三上·广东广州·开学考试）向量与能作为平面向量的一组基底.
(1)若，， ，证明三点共线
(2)若与共线，求的值
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据向量线性运算得，再利用向量共线定理即可证明；
（2）由题设，则得到，解出即可.
【详解】（1），，
，又因为有公共点点，三点共线.
（2）设，，
即
则，解得
75．（2024高三·全国·专题练习）如图，已知点是边长为1的正三角形的中心，线段经过点，并绕点转动，分别交边于点，设，其中．
(1)求的值；
(2)求面积的最小值，并指出相应的的值．
【答案】(1)
(2)时，取得最小值．
【分析】（1）由正三角形的中心的性质，有，又三点共线，所以；
（2）面积表示为的函数，通过换元和基本不等式，求最小值.
【详解】（1）延长交与，由是正三角形的中心，得为的中点，
则，
由，，得，
又三点共线，所以，即．
（2）是边长为1的正三角形，则，
．
由，则，
，，解得，
．
设，则，
则，当且仅当，即时取等号，
所以当，即时，取得最小值．
【点睛】方法点睛：
应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．求算式的限值范围，根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.
76．（2024高一·全国·课后作业）如图所示，在△ABC中，D，F分别是BC，AC的中点，.
(1)用表示；
(2)求证：B，E，F三点共线．
【答案】(1)，，，，
(2)证明见解析
【分析】（1）根据平面向量的线性运算结合图像计算即可得解；
（2）利用平面向量共线定理证明，即可得证.
【详解】（1）解：在△ABC中，D，F分别是BC，AC的中点，
则，
故，
，
，
；
（2）证明：因为，，
所以，
所以，
又因有公共点，
所以B，E，F三点共线．
向量运算
法则(或几何意义)
运算律
加法
交换律：a＋b＝b＋a；
结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
减法
a－b＝a＋(－b)
数乘
|λa|＝|λ||a|，当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；
当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；
当λ＝0时，λa＝0
λ(μa)＝(λμ)a；
(λ＋μ)a＝λa＋μa；
λ(a＋b)＝λa＋λb
（一）
平面向量的基本概念
平行向量有关概念的四个关注点
(1)非零向量的平行具有传递性．
(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关．
(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．
(4)eq \f(a,|a|)是与a同方向的单位向量．
题型1：平面向量的基本概念
1-1．（2024高三上·辽宁·阶段练习）设，都是非零向量，下列四个条件中，能使一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据非零向量的方向是否相同分别判断各个选项即可.
【详解】因为，故同向.
对于A:，方向相反,A选项错误；
对于B:，得出,不能得出方向，B选项错误；
对于C:,方向向相同,则成立，C选项正确；
对于D:,不能确定的方向，D选项错误.
故选：C．
1-2．（2024高三上·福建厦门·开学考试）下列命题不正确的是（ ）
A．零向量是唯一没有方向的向量
B．零向量的长度等于0
C．若，都为非零向量，则使成立的条件是与反向共线
D．若，，则
【答案】A
【分析】AB选项，由零向量的定义进行判断；C选项，根据共线向量，单位向量和零向量的定义得到C正确；D选项，根据向量的性质得到D正确.
【详解】A选项，零向量是有方向的，其方向是任意的，故A错误；
B选项，由零向量的定义知，零向量的长度为0，故B正确；
C选项，因为与都是单位向量，所以只有当与是相反向量，即与是反向共线时才成立，故C正确；
D选项，由向量相等的定义知D正确.
故选：A
1-3．（2024高一下·全国·课后作业）设是非零向量，λ是非零实数，下列结论中正确的是（ ）
A．与的方向相反B．与的方向相同
C．D．
【答案】B
【分析】由平面向量的基本概念及数乘运算一一判定即可.
【详解】对于A，当时，与的方向相同，当时，与的方向相反，故A不正确；对于B，显然，即B正确；
对于C，，由于与1的大小不确定，故与的大小关系不确定，故C不正确；
对于D，是向量，而表示长度，两者不能比较大小，故D不正确．
故选：B
（二）
平面向量的线性运算
平面向量线性运算的常见类型及解题策略
(1)向量求和用平行四边形法则或三角形法则；求差用向量减法的几何意义．
(2)求参数问题可以通过向量的运算将向量表示出来，进行比较，求参数的值．
题型2：向量加、减法的几何意义
2-1．（2024·四川南充·一模）已知正方形的边长为1，则（ ）
A．0B．C．2D．
【答案】D
【分析】根据向量的运算法则及向量的模计算即可.
【详解】因为，
，
所以.
故选：.
2-2．（2024高三·河北·学业考试）化简所得的结果是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据向量加，减法运算，即可化简.
【详解】.
故选：C
题型3：向量的线性运算
3-1．（2024·全国）在中，点D在边AB上，．记，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据几何条件以及平面向量的线性运算即可解出．
【详解】因为点D在边AB上，，所以，即，
所以．
故选：B．
3-2．（2024高三上·云南德宏·期末）在中，若为边上的中线，点在上，且，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】利用三角形法则和平行四边形法则表示向量.
【详解】如图所示，在中，
因为为边上的中线，
所以为的中点，
所以由平行四边形法则有：
，
又点在上，且
所以，
所以
，
故选：A.
3-3．（2024·山东）已知平行四边形，点，分别是，的中点（如图所示），设，，则等于（ ）

A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用向量的线性运算，即可得到答案；
【详解】连结，则为的中位线，
，

故选：A
3-4．（2024·全国）在△中，为边上的中线，为的中点，则
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得，之后应用向量的加法运算法则-------三角形法则，得到，之后将其合并，得到，下一步应用相反向量，求得，从而求得结果.
【详解】根据向量的运算法则，可得
，
所以，故选A.
【点睛】该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算.
3-5．（2024·广东佛山·模拟预测）在中，，若，线段与交于点，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据中线性质得出，再由平面向量线性运算即可求得结果.
【详解】如下图所示：

由可得分别为的中点，
由中线性质可得，
又，所以，
因此.
故选：B
3-6．（2024·四川自贡·一模）如图所示的中，点是线段上靠近的三等分点，点是线段的中点，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据平面向量的线性运算求得正确答案.
【详解】
.
故选：B
题型4：根据向量线性运算求参数
4-1．（2024高三上·湖北黄冈·期中）在平行四边形中，点、分别在线段和上，满足，，若，则实数（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】B
【分析】由平面的向量的线性运算求解即可.
【详解】因为，，
则，所以，
同理，
所以，
，
又因为，
所以，解得：.
故选：B.
4-2．（2024高三上·陕西安康·阶段练习）已知是所在平面内一点，若均为正数，则的最小值为（ ）
A．B．C．1D．
【答案】B
【分析】由题设是的重心，应用向量加法、数乘几何意义可得，根据得，最后应用基本不等式求最小值，注意等号成立条件.
【详解】因为，所以点是的重心，
所以.
因为，所以，
综上，.
因为，所以三点共线，则，即.
因为均为正数，所以，则，
所以（当且仅当，即时取等号），
所以的最小值为.
故选：B
4-3．（2024高三上·全国·阶段练习）在平行四边形中，，，若，则（ ）
A．1B．2C．4D．8
【答案】D
【分析】根据向量的加减运算及数乘运算可得，从而得解.
【详解】，
，
，
，
，
，，．
故选：D．
4-4．（2024高三上·山东枣庄·期末）已知为线段上的任意一点，为直线外一点，关于点的对称点为，若，则的值为（ ）
A．B．0C．1D．2
【答案】C
【分析】依题意可得、、三点共线，即可得到，再由，即可得到，从而得解.
【详解】解：依题意可得、、三点共线，所以，
又关于点的对称点为，所以，
又，所以，
所以，，则.
故选：C
4-5．（2024·全国·模拟预测）已知点是的重心，过点的直线与边分别交于两点，为边的中点．若，则（ ）
A．B．C．2D．
【答案】A
【分析】由三角形重心的性质，结合向量的线性运算得到，再由三点共线，即可求解.
【详解】如图所示，由三角形重心的性质，可得，所以，
所以，即，
因为三点共线，可得，所以.
故选：A．

（三）
共线定理及其应用
利用共线向量定理解题的策略
(1)a∥b⇔a＝λb(b≠0)是判断两个向量共线的主要依据．
(2)若a与b不共线且λa＝μb，则λ＝μ＝0.
(3)若eq \(OA,\s\up6(→))＝λeq \(OB,\s\up6(→))＋μeq \(OC,\s\up6(→))(λ，μ为常数)，则A，B，C三点共线的充要条件是λ＋μ＝1.
题型5：共线定理及其应用
5-1．（2024高三下·湖北·阶段练习）已知向量，则“与共线”是“存在唯一实数使得”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】充分性根据验证；必要性直接证明即可.
【详解】当时，满足与共线，
但是不存在实数使得，
故充分性不成立；
存在唯一实数使得则与共线成立，
即必要性成立.
故“与共线”是“存在唯一实数使得”的必要不充分条件.
故选：B.
5-2．（2024高二上·广西玉林·阶段练习）已知向量，不共线，且，，，则一定共线的是（ ）
A．A，B，DB．A，B，CC．B，C，DD．A，C，D
【答案】A
【分析】根据给定条件，求出，再利用共线向量定理逐项判断作答.
【详解】向量，不共线，且，，，
，则有，而有公共点B，有A，B，D共线，A是；
，不存在实数，使得，因此不共线，A，B，C不共线，B不是；
，不存在实数，使得，因此不共线，B，C，D不共线，C不是；
，不存在实数，使得，因此不共线，A，C，D不共线，D不是.
故选：A
5-3．（2024高一下·陕西西安·阶段练习）若，，是三个互不相同的点，则“”是“，，三点共线”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据充分、必要条件、向量共线、三点共线的知识确定正确答案.
【详解】因为A，B，C是三个互不相同的点，
所以均不为零向量，
若，则,且有公共点,则，，三点共线，
若，，三点共线, 则,不能得到，
故“”是“，，三点共线”的充分不必要条件．
故选：A.
5-4．（2024高三上·陕西铜川·期末）在中，若，则点（ ）
A．在直线上B．在直线上C．在直线上D．为的外心
【答案】A
【分析】根据向量的减法法则将已知条件化简，再利用向量共线定理可得结论.
【详解】因为，
所以，
所以和共线，
因为和有公共端点，
所以三点共线，
所以点在直线上，
故选：A
5-5．（2024高三·全国·专题练习）在四边形中，，，，则四边形的形状是（ ）．
A．矩形B．平行四边形
C．梯形D．无法判断
【答案】C
【分析】利用向量加法运算的几何应用求，可知，即可判断四边形的形状.
【详解】由，
∴，即，而，
∴为梯形.
故选：C
5-6．（2024高三上·湖北襄阳·期末）已知是两个不共线的向量，向量共线，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．2
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用平面向量基本定理求解即得.
【详解】向量不共线，则，由共线，得，，
于是，则且，解得，
所以实数的值为.
故选：C
5-7．（2024高一下·辽宁沈阳·期末）设两个非零向量与不共线．
(1)若，，求证三点共线．
(2)试确定实数，使和共线．
【答案】(1)证明见解析；
(2)或.
【分析】(1)转化为证明向量，共线，即可证明三点共线；
(2)由共线定理可知，存在实数，使，利用向量相等，即可求解的值.
【详解】（1）因为，，，
所以

所以，共线，
又因为它们有公共点，
所以三点共线；
（2）因为和共线，
所以存在实数，使，
所以，
即 .
又，是两个不共线的非零向量，
所以
所以，
所以或.