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专题27 等差数列及其前n项和9题型分类-备战2025年高考数学一轮专题复习全套考点突破和专题检测（原卷版）
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这是一份专题27 等差数列及其前n项和9题型分类-备战2025年高考数学一轮专题复习全套考点突破和专题检测（原卷版），共17页。试卷主要包含了等差数列的有关概念，等差数列的有关公式，等差数列的常用性质等内容，欢迎下载使用。
1．等差数列的有关概念
(1)等差数列的定义
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示，定义表达式为an－an－1＝d(常数)(n≥2，n∈N*)．
(2)等差中项
由三个数a，A，b组成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，且有2A＝a＋b.
2．等差数列的有关公式
(1)通项公式：an＝a1＋(n－1)d.
(2)前n项和公式：Sn＝na1＋eq \f(nn－1,2)d或Sn＝eq \f(na1＋an,2).
3．等差数列的常用性质
(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)．
(2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an.
(3)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列．
(4)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列．
(5)S2n－1＝(2n－1)an.
(6)等差数列{an}的前n项和为Sn，eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(Sn,n)))为等差数列．
常用结论
1．已知数列{an}的通项公式是an＝pn＋q(其中p，q为常数)，则数列{an}一定是等差数列，且公差为p.
2．在等差数列{an}中，a1＞0，d＜0，则Sn存在最大值；若a1＜0，d＞0，则Sn存在最小值．
3．等差数列{an}的单调性：当d＞0时，{an}是递增数列；当d＜0时，{an}是递减数列；当d＝0时，{an}是常数列．
4．数列{an}是等差数列⇔Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)．这里公差d＝2A.
一、单选题
1．（2024·河南郑州·模拟预测）公差不为零的等差数列中，，则下列各式一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·北京海淀·三模）已知等差数列的公差为，数列满足，则“”是“为递减数列”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
3．（2024高二上·浙江温州·期末）在等差数列中，为的前n项和，，，则无法判断正负的是（ ）
A．B．C．D．
4．（2024高二·全国·课后作业）设是等差数列，则“”是“数列是递增数列”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
5．（2024高三上·北京·阶段练习）已知等差数列单调递增且满足，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
6．（2024·江西上饶·模拟预测）2022年10月16日上午10时，举世瞩目的中国共产党第二十次全国代表大会在北京人民大会堂隆重开幕，某单位组织全体人员在报告厅集体收看，已知该报告厅共有16排座位，共有432个座位数，并且从第二排起，每排比前一排多2个座位数，则最后一排的座位数为（ ）
A．12B．26C．42D．50
7．（2024高二下·全国·课后作业）已知数列是等差数列，若，则等于（ ）
A．7B．14C．21D．7(n-1)
8．（2024高二下·全国·课后作业）如果等差数列中，，那么（ ）
A．14B．12C．28D．36
9．（2024高三下·河南·阶段练习）已知数列满足，其前n项和为，若，则（ ）
A．B．0C．2D．4
10．（2024·陕西榆林·模拟预测）设为等差数列的前项和，若，则（ ）
A．5B．6C．7D．8
11．（2024·安徽蚌埠·模拟预测）已知等差数列满足，则（ ）
A．B．C．D．
12．（2024·江西新余·二模）记是公差不为0的等差数列的前项和，若，，则数列的公差为（ ）
A．B．C．2D．4
13．（2024·四川凉山·三模）在等差数列中，，，则（ ）．
A．3B．5C．7D．9
14．（2024·河北·模拟预测）已知等差数列的前项和是，则（ ）
A．B．
C．D．
15．（2024高三下·云南昆明·阶段练习）已知数列满足：，且满足，则（ ）
A．1012B．1013C．2022D．2023
16．（2024·北京）在等差数列中，，．记，则数列（ ）．
A．有最大项，有最小项B．有最大项，无最小项
C．无最大项，有最小项D．无最大项，无最小项
17．（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知数列中，，当时，，，成等差数列.若，那么（ ）
A．B．C．D．
18．（2024·全国）记为数列的前项和，设甲：为等差数列；乙：为等差数列，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
19．（2024高二下·辽宁·阶段练习）设函数，数列满足，且数列是递增数列，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
20．（2024·北京·三模）等差数列的前项和为，若，，则数列的通项公式可能是（ ）
A．B．C．D．
21．（2024·浙江杭州·模拟预测）已知等差数列公差不为0，正项等比数列，，，则以下命题中正确的是（ ）
A．B．C．D．
22．（2024·海南海口·一模）家庭农场是指以农户家庭成员为主要劳动力的新型农业经营主体．某家庭农场从2019年开始逐年加大投入，加大投入后每年比前一年增加相同额度的收益，已知2019年的收益为30万元，2021年的收益为50万元．照此规律，从2019年至2026年该家庭农场的总收益为（ ）
A．630万元B．350万元C．420万元D．520万元
23．（2024·江西·模拟预测）天干地支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支.十天干即：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，…，以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，…，以此类推，2023年是癸卯年，请问：在100年后的2123年为（ ）
A．癸未年B．辛丑年C．己亥年D．戊戌年
二、多选题
24．（2024·福建泉州·模拟预测）已知等差数列的公差为，前项和为，且，成等比数列，则（ ）
A．B．
C．当时，是的最大值D．当时，是的最小值
25．（2024·江苏盐城·三模）已知数列对任意的整数，都有，则下列说法中正确的有（ ）
A．若，则
B．若，，则
C．数列可以是等差数列
D．数列可以是等比数列
26．（2024·安徽安庆·二模）已知为等差数列，前项和为，，公差d = −2 ，则（ ）
A．=
B．当n = 6或7时，取得最小值
C．数列的前10项和为50
D．当n≤2023时，与数列（m N）共有671项互为相反数．
27．（2024·广东佛山·模拟预测）已知数列，下列结论正确的有（ ）
A．若，，则
B．若，，则
C．若，则数列是等比数列
D．若为等差数列的前项和，则数列为等差数列
三、填空题
28．（2024高二·全国·专题练习）已知等差数列{an}的首项为3，公差为2，则a10＝ ．
29．（2024高三上·宁夏·期中）设等差数列的前项和为，若，，则
30．（2024·上海·模拟预测）已知是公差不为零的等差数列，且，则
31．（2024·全国）记为等差数列的前n项和．若，则公差 ．
32．（2024·上海·模拟预测）已知等差数列的公差不为零，为其前n项和，若，则中不同的数值有 个.
33．（2024·广东佛山·模拟预测）设随机变量的分布列如下：
其中，，…，构成等差数列，则 .
34．（2024·上海黄浦·三模）南宋的数学家杨辉“善于把已知形状、大小的几何图形的求面积、体积的连续量问题转化为离散量的垛积问题”，在他的专著《详解九章算法·商功》中，杨辉将堆垛与相应立体图形作类比，推导出了三角垛、方垛、刍童垛等的公式，例如三角垛指的是如图顶层放1个，第二层放3个，第三层放6个，第四层放10个第n层放个物体堆成的堆垛，则 ．
35．（2024·广东东莞·模拟预测）已知等差数列的首项，公差为，前项和为．若恒成立，则公差的取值范围是 ．
36．（2024·云南·三模）已知为等差数列的前项和.若，，则当取最小值时，的值为 .
37．（2024高三上·上海嘉定·期中）已知等差数列的各项均为正整数，且，则的最小值是
38．（2024·全国·模拟预测）已知为等差数列的前项和，且，，则当取最大值时，的值为 .
39．（2024高三·全国·对口高考）已知等差数列的前项和为，若公差，；则的值为 .
40．（2024高二上·上海长宁·阶段练习）已知等差数列的前n项和为，若，，则
41．（2024·山东）将数列{2n–1}与{3n–2}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}的前n项和为 ．
42．（2024·上海嘉定·三模）已知，，将数列与数列的公共项从小到大排列得到新数列，则 .
43．（2024·甘肃张掖·模拟预测）已知等差数列的前n项和为，公差d为奇数，且同时满足：①存在最大值；②；③．则数列的一个通项公式可以为 ．（写出满足题意的一个通项公式）
44．（2024·江苏南京·模拟预测）设等差数列的前n项和为.已知，.若存在正整数k，使得对任意的都有恒成立，则k的值为 ．
45．（2024·河南新乡·模拟预测）已知数列的前项和为，（），且，.若恒成立，则实数的取值范围为 .
46．（2024高二下·北京·阶段练习）设是公差为的无穷等差数列的前项和，则下列命题正确的是 .
①若，则数列有最大项；②若数列有最大项，则
③若数列对任意的，恒成立，则
④若对任意的，均有，则恒成立
47．（2024高二下·甘肃定西·期中）已知等差数列的前n项和为，并且，若对恒成立，则正整数的值为 .
48．（2024高二上·上海静安·期末）已知数列是等差数列，若，，且数列的前项和有最大值，那么当时，的最大值为 ．
49．（2024高二下·北京海淀·期中）已知是等差数列{}的前n项和，若仅当时取到最小值，且，则满足的n的最小值为 .
50．（2024高三·全国·课后作业）记等差数列的前n项和为，若，，则当取得最大值时，n＝ ．
51．（2024高二下·湖南衡阳·期末）已知等差数列的通项公式为，当且仅当时，数列的前项和最大.则满足的的最大值为 .
52．（2024高二上·河南郑州·开学考试）等差数列中，，，给出下列命题：①，②，③是各项中最大的项，④是中最大的值，⑤为递增数列.其中正确命题的序号是 .
53．（2024高二上·江苏盐城·期中）已知数列满足，则的最小值为 .
54．（2024·新疆乌鲁木齐·一模）设是等差数列的前项和，若，，则数列中的最大项是第 项.
55．（2024高二下·山东潍坊·期中）在数列中，若，前项和，则的最大值为 ．
56．（2024·福建·模拟预测）在等差数列中，前m项（m为奇数）和为70，其中偶数项之和为30，且，则的通项公式为 .
57．（2024高二下·辽宁·阶段练习）设等差数列，的前n项和分别为，，且，则 .
58．（2024高二下·辽宁沈阳·阶段练习）两个等差数列，的前n项和分别为和，已知，则 ．
四、解答题
59．（2024·江苏·模拟预测）设数列的前n项和为，且满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)证明：数列中的任意不同的三项均不能构成等差数列.
60．（2024·湖南·模拟预测）记等差数列的前n项和为，已知，．
(1)求的通项公式；
(2)设，数列的前n项和为，若，求m的值．
61．（2024·湖南·二模）记为等差数列的前项和，，．
(1)求数列的通项公式；
(2)求的值．
62．（2024高二下·江苏南京·期末）记为数列的前项和．
(1)从下面两个条件中选一个，证明：数列是等差数列；
①数列是等差数列；②
(2)若数列为等差数列，且，，求数列的前项和．
63．（2024·全国）记是公差不为0的等差数列的前n项和，若．
（1）求数列的通项公式；
（2）求使成立的n的最小值．
64．（2024·重庆万州·模拟预测）已知数列的前项和为，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列的前项和为，设，求的最小值.
65．（2024·广东深圳·模拟预测）已知等差数列满足，．
(1)求；
(2)数列满足，为数列的前项和，求．
66．（2024·湖南长沙·模拟预测）已知数列的前n项和为，数列的前n项积为，且满足．
(1)求证：为等差数列；
(2)记，求数列的前2023项的和M．
67．（2024高三·全国·专题练习）已知数列满足，．
(1)证明：是等差数列，并求出的通项．
(2)证明：．
68．（2024·福建福州·模拟预测）已知数列的前项和为，且.
(1)求证：数列是等差数列；
(2)求数列的前项和.
69．（2024高三上·山东济南·期末）已知数列满足：，，.
(1)记，求数列的通项公式；
(2)记数列的前项和为，求.
（一）
等差数列基本量的运算
(1)等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，n，d，an，Sn，知道其中三个就能求出另外两个(简称“知三求二”)．
(2)确定等差数列的关键是求出两个最基本的量，即首项a1和公差d.
题型1：等差数列基本量的运算
1-1．（2024·广西·模拟预测）设为等差数列，若，则公差（ ）
A．－2B．－1C．1D．2
1-2．（2024高二上·广东珠海·期末）已知等差数列的前项和为，，则 （ ）
A．54B．71C．80D．81
1-3．（2024·安徽安庆·二模）记为等差数列的前项和，若，则（ ）
A．30B．28C．26D．13
（二）
等差数列的判定与证明
判断数列{an}是等差数列的常用方法
(1)定义法．
(2)等差中项法．
(3)通项公式法．
(4)前n项和公式法．
题型2：等差数列的判定与证明
2-1．（2024·浙江·模拟预测）已知正项等比数列和数列，满足是和的等差中项，.
(1)证明：数列是等差数列，
(2)若数列的前项积满足，记，求数列的前20项和.
2-2．（2024·山西晋中·模拟预测）数列中，，前n项和满足．
（1）证明：为等差数列；
（2）求．
2-3．（2024高一下·浙江宁波·期末）已知数列中，，当时，其前项和满足：，且，数列满足：对任意有.
(1)求证：数列是等差数列；
(2)求数列的通项公式；
(3)设是数列的前项和，求证：.
（三）
等差数列的性质
1.等差数列项的性质的关注点
(1)在等差数列题目中，只要出现项的和问题，一般先考虑应用项的性质．
(2)项的性质常与等差数列的前n项和公式Sn＝eq \f(na1＋an,2)相结合．
2.等差数列前n项和的常用的性质是：
在等差数列{an}中，数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列，且有S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)；S2n－1＝(2n－1)an.
题型3：等差数列项的性质
3-1．（2024·河南·模拟预测）已知数列是等差数列，其前项和为，则等于（ ）
A．63B．C．45D．
3-2．（2024·全国）记为等差数列的前项和．若，则（ ）
A．25B．22C．20D．15
3-3．（2024高二下·全国·课后作业）已知等差数列中，，则（ ）
A．30B．15C．5D．10
题型4：等差数列前n项和的性质
4-1．（2024高一下·四川成都·阶段练习）若两个等差数列，的前n项和分别是，，已知，则 .
4-2．（2024高三·全国·课后作业）已知数列与均为等差数列，且前n项和分别为与，若，则 ．
4-3．（2024高三·全国·专题练习）已知等差数列的项数为奇数，且奇数项的和为40，偶数项的和为32，则 .
4-4．（2024高二下·辽宁·期末）等差数列中，，前项和为，若，则 .
（四）
等差数列前n项和的最值
求等差数列前项和最值的2种方法
（1）函数法：利用等差数列前项和的函数表达式，通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解．
（2）邻项变号法：①若，则满足的项数使得取得最大值；
②若，则满足的项数使得取得最小值．
题型5：等差数列前n项和的最值
5-1．（2024·河南郑州·模拟预测）在等差数列中，已知，且，则当取最大值时，（ ）
A．10B．11C．12或13D．13
5-2．（2024·四川成都·模拟预测）设为等差数列的前n项和，且，都有，若，则（ ）
A．的最小值是B．的最小值是
C．的最大值是D．的最大值是
5-3．（2024高二上·陕西渭南·期中）设等差数列的前项和为，已知，，则以下选项中，最大的是（ ）
A．B．C．D．
5-4．（2024高三上·湖南长沙·阶段练习）已知数列满足:对恒成立,且,其前项和有最大值,则使得的最大的的值是 .
（五）
等差数列的实际应用
(1)与等差数列前n项和有关的应用题，其关键在于构造合适的等差数列．
(2)遇到与正整数有关的应用题时，可以考虑与数列知识联系，抽象出数列的模型，并用有关知识解决相关的问题，是数学建模的核心素养的体现．
题型6：等差数列的实际应用
6-1．（2024·江苏南通·模拟预测）现有茶壶九只，容积从小到大成等差数列，最小的三只茶壶容积之和为0.5升，最大的三只茶壶容积之和为2.5升，则从小到大第5只茶壶的容积为（ ）
A．0.25升B．0.5升C．1升D．1.5升
6-2．（2024·北京）《中国共产党党旗党徽制作和使用的若干规定》指出，中国共产党党旗为旗面缀有金黄色党徽图案的红旗，通用规格有五种.这五种规格党旗的长(单位:cm)成等差数列，对应的宽为(单位: cm),且长与宽之比都相等，已知，，，则
A．64B．96C．128D．160
6-3．（2024高二下·北京昌平·期中）从冬至日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影长度依次成等差数列，冬至、立春、春分这三个节气的日影长度之和为尺，前九个节气日影长度之和为尺，则谷雨这一天的日影长度为（ ）
A．尺B．尺C．尺D．尺
6-4．（2024·河北唐山·模拟预测）2022年卡塔尔世界杯是第二十二届世界杯足球赛，是历史上首次在卡塔尔和中东国家境内举行，也是继2002年韩日世界杯之后时隔二十年第二次在亚洲举行的世界杯足球赛.某网站全程转播了该次世界杯，为纪念本次世界杯，该网站举办了一针对本网站会员的奖品派发活动，派发规则如下：①对于会员编号能被2整除余1且被7整除余1的可以获得精品足球一个；②对于不符合①中条件的可以获得普通足球一个.已知该网站的会员共有1456人（编号为1号到1456号，中间没有空缺），则获得精品足球的人数为（ ）
A．102B．103C．104D．105
6-5．（2024·全国）北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)（ ）
A．3699块B．3474块C．3402块D．3339块
（六）
关于等差数列奇偶项问题的讨论
对于奇偶项通项不统一的数列的求和问题要注意分类讨论．主要是从为奇数、偶数进行分类．
题型7：关于等差数列奇偶项问题的讨论
7-1．（2024·全国）已知为等差数列，，记，分别为数列，的前n项和，，．
(1)求的通项公式；
(2)证明：当时，．
7-2．（2024高二下·陕西西安·期末）已知数列满足， ，.
(1)若数列为数列的奇数项组成的数列，证明：数列为等差数列；
(2)求数列的前50项和.
7-3．（2024·江苏南京·一模）已知数列和满足：.
（1）若，求数列的通项公式；
（2）若.
求证：数列为等差数列；
记数列的前项和为，求满足的所有正整数和的值.
（七）
对于含绝对值的等差数列求和问题
由正项开始的递减等差数列的绝对值求和的计算题解题步骤如下：
（1）首先找出零值或者符号由正变负的项
（2）在对进行讨论，当时，，当时，
题型8：对于含绝对值的等差数列求和问题
8-1．（2024·辽宁大连·模拟预测）已知等差数列的前n项和为，其中，．
(1)求数列的通项；
(2)求数列的前n项和为．
8-2．（2024·全国）记为等差数列的前项和，已知．
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前项和．
8-3．（2024高三·全国·专题练习）在公差为的等差数列中，已知，且，，成等比数列．
(1)求，；
(2)若，求
（八）
等差数列中的范围与恒成立问题
与数列有关的恒成立问题主要有两大类,一是根据数列不等式恒成立,求参数范围,二是数列不等式的
证明
题型9：等差数列中的范围与恒成立问题
9-1．（2024高三上·重庆九龙坡·期中）等差数列的前n项和记为，已知，，若存在正数k，使得对任意，都有恒成立，则k的值为 ．
9-2．（2024·上海杨浦·二模）数列满足对任意恒成立，则 .
．（2024·安徽·模拟预测）已知数列满足：，，，从第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列．
(1)求；
(2)设，若恒成立，求的取值范围．
1
2
3
4
5
6
P
1．等差数列的有关概念
(1)等差数列的定义
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示，定义表达式为an－an－1＝d(常数)(n≥2，n∈N*)．
(2)等差中项
由三个数a，A，b组成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，且有2A＝a＋b.
2．等差数列的有关公式
(1)通项公式：an＝a1＋(n－1)d.
(2)前n项和公式：Sn＝na1＋eq \f(nn－1,2)d或Sn＝eq \f(na1＋an,2).
3．等差数列的常用性质
(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)．
(2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an.
(3)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列．
(4)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列．
(5)S2n－1＝(2n－1)an.
(6)等差数列{an}的前n项和为Sn，eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(Sn,n)))为等差数列．
常用结论
1．已知数列{an}的通项公式是an＝pn＋q(其中p，q为常数)，则数列{an}一定是等差数列，且公差为p.
2．在等差数列{an}中，a1＞0，d＜0，则Sn存在最大值；若a1＜0，d＞0，则Sn存在最小值．
3．等差数列{an}的单调性：当d＞0时，{an}是递增数列；当d＜0时，{an}是递减数列；当d＝0时，{an}是常数列．
4．数列{an}是等差数列⇔Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)．这里公差d＝2A.
一、单选题
1．（2024·河南郑州·模拟预测）公差不为零的等差数列中，，则下列各式一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·北京海淀·三模）已知等差数列的公差为，数列满足，则“”是“为递减数列”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
3．（2024高二上·浙江温州·期末）在等差数列中，为的前n项和，，，则无法判断正负的是（ ）
A．B．C．D．
4．（2024高二·全国·课后作业）设是等差数列，则“”是“数列是递增数列”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
5．（2024高三上·北京·阶段练习）已知等差数列单调递增且满足，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
6．（2024·江西上饶·模拟预测）2022年10月16日上午10时，举世瞩目的中国共产党第二十次全国代表大会在北京人民大会堂隆重开幕，某单位组织全体人员在报告厅集体收看，已知该报告厅共有16排座位，共有432个座位数，并且从第二排起，每排比前一排多2个座位数，则最后一排的座位数为（ ）
A．12B．26C．42D．50
7．（2024高二下·全国·课后作业）已知数列是等差数列，若，则等于（ ）
A．7B．14C．21D．7(n-1)
8．（2024高二下·全国·课后作业）如果等差数列中，，那么（ ）
A．14B．12C．28D．36
9．（2024高三下·河南·阶段练习）已知数列满足，其前n项和为，若，则（ ）
A．B．0C．2D．4
10．（2024·陕西榆林·模拟预测）设为等差数列的前项和，若，则（ ）
A．5B．6C．7D．8
11．（2024·安徽蚌埠·模拟预测）已知等差数列满足，则（ ）
A．B．C．D．
12．（2024·江西新余·二模）记是公差不为0的等差数列的前项和，若，，则数列的公差为（ ）
A．B．C．2D．4
13．（2024·四川凉山·三模）在等差数列中，，，则（ ）．
A．3B．5C．7D．9
14．（2024·河北·模拟预测）已知等差数列的前项和是，则（ ）
A．B．
C．D．
15．（2024高三下·云南昆明·阶段练习）已知数列满足：，且满足，则（ ）
A．1012B．1013C．2022D．2023
16．（2024·北京）在等差数列中，，．记，则数列（ ）．
A．有最大项，有最小项B．有最大项，无最小项
C．无最大项，有最小项D．无最大项，无最小项
17．（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知数列中，，当时，，，成等差数列.若，那么（ ）
A．B．C．D．
18．（2024·全国）记为数列的前项和，设甲：为等差数列；乙：为等差数列，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
19．（2024高二下·辽宁·阶段练习）设函数，数列满足，且数列是递增数列，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
20．（2024·北京·三模）等差数列的前项和为，若，，则数列的通项公式可能是（ ）
A．B．C．D．
21．（2024·浙江杭州·模拟预测）已知等差数列公差不为0，正项等比数列，，，则以下命题中正确的是（ ）
A．B．C．D．
22．（2024·海南海口·一模）家庭农场是指以农户家庭成员为主要劳动力的新型农业经营主体．某家庭农场从2019年开始逐年加大投入，加大投入后每年比前一年增加相同额度的收益，已知2019年的收益为30万元，2021年的收益为50万元．照此规律，从2019年至2026年该家庭农场的总收益为（ ）
A．630万元B．350万元C．420万元D．520万元
23．（2024·江西·模拟预测）天干地支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支.十天干即：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，…，以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，…，以此类推，2023年是癸卯年，请问：在100年后的2123年为（ ）
A．癸未年B．辛丑年C．己亥年D．戊戌年
二、多选题
24．（2024·福建泉州·模拟预测）已知等差数列的公差为，前项和为，且，成等比数列，则（ ）
A．B．
C．当时，是的最大值D．当时，是的最小值
25．（2024·江苏盐城·三模）已知数列对任意的整数，都有，则下列说法中正确的有（ ）
A．若，则
B．若，，则
C．数列可以是等差数列
D．数列可以是等比数列
26．（2024·安徽安庆·二模）已知为等差数列，前项和为，，公差d = −2 ，则（ ）
A．=
B．当n = 6或7时，取得最小值
C．数列的前10项和为50
D．当n≤2023时，与数列（m N）共有671项互为相反数．
27．（2024·广东佛山·模拟预测）已知数列，下列结论正确的有（ ）
A．若，，则
B．若，，则
C．若，则数列是等比数列
D．若为等差数列的前项和，则数列为等差数列
三、填空题
28．（2024高二·全国·专题练习）已知等差数列{an}的首项为3，公差为2，则a10＝ ．
29．（2024高三上·宁夏·期中）设等差数列的前项和为，若，，则
30．（2024·上海·模拟预测）已知是公差不为零的等差数列，且，则
31．（2024·全国）记为等差数列的前n项和．若，则公差 ．
32．（2024·上海·模拟预测）已知等差数列的公差不为零，为其前n项和，若，则中不同的数值有 个.
33．（2024·广东佛山·模拟预测）设随机变量的分布列如下：
其中，，…，构成等差数列，则 .
34．（2024·上海黄浦·三模）南宋的数学家杨辉“善于把已知形状、大小的几何图形的求面积、体积的连续量问题转化为离散量的垛积问题”，在他的专著《详解九章算法·商功》中，杨辉将堆垛与相应立体图形作类比，推导出了三角垛、方垛、刍童垛等的公式，例如三角垛指的是如图顶层放1个，第二层放3个，第三层放6个，第四层放10个第n层放个物体堆成的堆垛，则 ．
35．（2024·广东东莞·模拟预测）已知等差数列的首项，公差为，前项和为．若恒成立，则公差的取值范围是 ．
36．（2024·云南·三模）已知为等差数列的前项和.若，，则当取最小值时，的值为 .
37．（2024高三上·上海嘉定·期中）已知等差数列的各项均为正整数，且，则的最小值是
38．（2024·全国·模拟预测）已知为等差数列的前项和，且，，则当取最大值时，的值为 .
39．（2024高三·全国·对口高考）已知等差数列的前项和为，若公差，；则的值为 .
40．（2024高二上·上海长宁·阶段练习）已知等差数列的前n项和为，若，，则
41．（2024·山东）将数列{2n–1}与{3n–2}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}的前n项和为 ．
42．（2024·上海嘉定·三模）已知，，将数列与数列的公共项从小到大排列得到新数列，则 .
43．（2024·甘肃张掖·模拟预测）已知等差数列的前n项和为，公差d为奇数，且同时满足：①存在最大值；②；③．则数列的一个通项公式可以为 ．（写出满足题意的一个通项公式）
44．（2024·江苏南京·模拟预测）设等差数列的前n项和为.已知，.若存在正整数k，使得对任意的都有恒成立，则k的值为 ．
45．（2024·河南新乡·模拟预测）已知数列的前项和为，（），且，.若恒成立，则实数的取值范围为 .
46．（2024高二下·北京·阶段练习）设是公差为的无穷等差数列的前项和，则下列命题正确的是 .
①若，则数列有最大项；②若数列有最大项，则
③若数列对任意的，恒成立，则
④若对任意的，均有，则恒成立
47．（2024高二下·甘肃定西·期中）已知等差数列的前n项和为，并且，若对恒成立，则正整数的值为 .
48．（2024高二上·上海静安·期末）已知数列是等差数列，若，，且数列的前项和有最大值，那么当时，的最大值为 ．
49．（2024高二下·北京海淀·期中）已知是等差数列{}的前n项和，若仅当时取到最小值，且，则满足的n的最小值为 .
50．（2024高三·全国·课后作业）记等差数列的前n项和为，若，，则当取得最大值时，n＝ ．
51．（2024高二下·湖南衡阳·期末）已知等差数列的通项公式为，当且仅当时，数列的前项和最大.则满足的的最大值为 .
52．（2024高二上·河南郑州·开学考试）等差数列中，，，给出下列命题：①，②，③是各项中最大的项，④是中最大的值，⑤为递增数列.其中正确命题的序号是 .
53．（2024高二上·江苏盐城·期中）已知数列满足，则的最小值为 .
54．（2024·新疆乌鲁木齐·一模）设是等差数列的前项和，若，，则数列中的最大项是第 项.
55．（2024高二下·山东潍坊·期中）在数列中，若，前项和，则的最大值为 ．
56．（2024·福建·模拟预测）在等差数列中，前m项（m为奇数）和为70，其中偶数项之和为30，且，则的通项公式为 .
57．（2024高二下·辽宁·阶段练习）设等差数列，的前n项和分别为，，且，则 .
58．（2024高二下·辽宁沈阳·阶段练习）两个等差数列，的前n项和分别为和，已知，则 ．
四、解答题
59．（2024·江苏·模拟预测）设数列的前n项和为，且满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)证明：数列中的任意不同的三项均不能构成等差数列.
60．（2024·湖南·模拟预测）记等差数列的前n项和为，已知，．
(1)求的通项公式；
(2)设，数列的前n项和为，若，求m的值．
61．（2024·湖南·二模）记为等差数列的前项和，，．
(1)求数列的通项公式；
(2)求的值．
62．（2024高二下·江苏南京·期末）记为数列的前项和．
(1)从下面两个条件中选一个，证明：数列是等差数列；
①数列是等差数列；②
(2)若数列为等差数列，且，，求数列的前项和．
63．（2024·全国）记是公差不为0的等差数列的前n项和，若．
（1）求数列的通项公式；
（2）求使成立的n的最小值．
64．（2024·重庆万州·模拟预测）已知数列的前项和为，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列的前项和为，设，求的最小值.
65．（2024·广东深圳·模拟预测）已知等差数列满足，．
(1)求；
(2)数列满足，为数列的前项和，求．
66．（2024·湖南长沙·模拟预测）已知数列的前n项和为，数列的前n项积为，且满足．
(1)求证：为等差数列；
(2)记，求数列的前2023项的和M．
67．（2024高三·全国·专题练习）已知数列满足，．
(1)证明：是等差数列，并求出的通项．
(2)证明：．
68．（2024·福建福州·模拟预测）已知数列的前项和为，且.
(1)求证：数列是等差数列；
(2)求数列的前项和.
69．（2024高三上·山东济南·期末）已知数列满足：，，.
(1)记，求数列的通项公式；
(2)记数列的前项和为，求.
（一）
等差数列基本量的运算
(1)等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，n，d，an，Sn，知道其中三个就能求出另外两个(简称“知三求二”)．
(2)确定等差数列的关键是求出两个最基本的量，即首项a1和公差d.
题型1：等差数列基本量的运算
1-1．（2024·广西·模拟预测）设为等差数列，若，则公差（ ）
A．－2B．－1C．1D．2
1-2．（2024高二上·广东珠海·期末）已知等差数列的前项和为，，则 （ ）
A．54B．71C．80D．81
1-3．（2024·安徽安庆·二模）记为等差数列的前项和，若，则（ ）
A．30B．28C．26D．13
（二）
等差数列的判定与证明
判断数列{an}是等差数列的常用方法
(1)定义法．
(2)等差中项法．
(3)通项公式法．
(4)前n项和公式法．
题型2：等差数列的判定与证明
2-1．（2024·浙江·模拟预测）已知正项等比数列和数列，满足是和的等差中项，.
(1)证明：数列是等差数列，
(2)若数列的前项积满足，记，求数列的前20项和.
2-2．（2024·山西晋中·模拟预测）数列中，，前n项和满足．
（1）证明：为等差数列；
（2）求．
2-3．（2024高一下·浙江宁波·期末）已知数列中，，当时，其前项和满足：，且，数列满足：对任意有.
(1)求证：数列是等差数列；
(2)求数列的通项公式；
(3)设是数列的前项和，求证：.
（三）
等差数列的性质
1.等差数列项的性质的关注点
(1)在等差数列题目中，只要出现项的和问题，一般先考虑应用项的性质．
(2)项的性质常与等差数列的前n项和公式Sn＝eq \f(na1＋an,2)相结合．
2.等差数列前n项和的常用的性质是：
在等差数列{an}中，数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列，且有S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)；S2n－1＝(2n－1)an.
题型3：等差数列项的性质
3-1．（2024·河南·模拟预测）已知数列是等差数列，其前项和为，则等于（ ）
A．63B．C．45D．
3-2．（2024·全国）记为等差数列的前项和．若，则（ ）
A．25B．22C．20D．15
3-3．（2024高二下·全国·课后作业）已知等差数列中，，则（ ）
A．30B．15C．5D．10
题型4：等差数列前n项和的性质
4-1．（2024高一下·四川成都·阶段练习）若两个等差数列，的前n项和分别是，，已知，则 .
4-2．（2024高三·全国·课后作业）已知数列与均为等差数列，且前n项和分别为与，若，则 ．
4-3．（2024高三·全国·专题练习）已知等差数列的项数为奇数，且奇数项的和为40，偶数项的和为32，则 .
4-4．（2024高二下·辽宁·期末）等差数列中，，前项和为，若，则 .
（四）
等差数列前n项和的最值
求等差数列前项和最值的2种方法
（1）函数法：利用等差数列前项和的函数表达式，通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解．
（2）邻项变号法：①若，则满足的项数使得取得最大值；
②若，则满足的项数使得取得最小值．
题型5：等差数列前n项和的最值
5-1．（2024·河南郑州·模拟预测）在等差数列中，已知，且，则当取最大值时，（ ）
A．10B．11C．12或13D．13
5-2．（2024·四川成都·模拟预测）设为等差数列的前n项和，且，都有，若，则（ ）
A．的最小值是B．的最小值是
C．的最大值是D．的最大值是
5-3．（2024高二上·陕西渭南·期中）设等差数列的前项和为，已知，，则以下选项中，最大的是（ ）
A．B．C．D．
5-4．（2024高三上·湖南长沙·阶段练习）已知数列满足:对恒成立,且,其前项和有最大值,则使得的最大的的值是 .
（五）
等差数列的实际应用
(1)与等差数列前n项和有关的应用题，其关键在于构造合适的等差数列．
(2)遇到与正整数有关的应用题时，可以考虑与数列知识联系，抽象出数列的模型，并用有关知识解决相关的问题，是数学建模的核心素养的体现．
题型6：等差数列的实际应用
6-1．（2024·江苏南通·模拟预测）现有茶壶九只，容积从小到大成等差数列，最小的三只茶壶容积之和为0.5升，最大的三只茶壶容积之和为2.5升，则从小到大第5只茶壶的容积为（ ）
A．0.25升B．0.5升C．1升D．1.5升
6-2．（2024·北京）《中国共产党党旗党徽制作和使用的若干规定》指出，中国共产党党旗为旗面缀有金黄色党徽图案的红旗，通用规格有五种.这五种规格党旗的长(单位:cm)成等差数列，对应的宽为(单位: cm),且长与宽之比都相等，已知，，，则
A．64B．96C．128D．160
6-3．（2024高二下·北京昌平·期中）从冬至日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影长度依次成等差数列，冬至、立春、春分这三个节气的日影长度之和为尺，前九个节气日影长度之和为尺，则谷雨这一天的日影长度为（ ）
A．尺B．尺C．尺D．尺
6-4．（2024·河北唐山·模拟预测）2022年卡塔尔世界杯是第二十二届世界杯足球赛，是历史上首次在卡塔尔和中东国家境内举行，也是继2002年韩日世界杯之后时隔二十年第二次在亚洲举行的世界杯足球赛.某网站全程转播了该次世界杯，为纪念本次世界杯，该网站举办了一针对本网站会员的奖品派发活动，派发规则如下：①对于会员编号能被2整除余1且被7整除余1的可以获得精品足球一个；②对于不符合①中条件的可以获得普通足球一个.已知该网站的会员共有1456人（编号为1号到1456号，中间没有空缺），则获得精品足球的人数为（ ）
A．102B．103C．104D．105
6-5．（2024·全国）北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)（ ）
A．3699块B．3474块C．3402块D．3339块
（六）
关于等差数列奇偶项问题的讨论
对于奇偶项通项不统一的数列的求和问题要注意分类讨论．主要是从为奇数、偶数进行分类．
题型7：关于等差数列奇偶项问题的讨论
7-1．（2024·全国）已知为等差数列，，记，分别为数列，的前n项和，，．
(1)求的通项公式；
(2)证明：当时，．
7-2．（2024高二下·陕西西安·期末）已知数列满足， ，.
(1)若数列为数列的奇数项组成的数列，证明：数列为等差数列；
(2)求数列的前50项和.
7-3．（2024·江苏南京·一模）已知数列和满足：.
（1）若，求数列的通项公式；
（2）若.
求证：数列为等差数列；
记数列的前项和为，求满足的所有正整数和的值.
（七）
对于含绝对值的等差数列求和问题
由正项开始的递减等差数列的绝对值求和的计算题解题步骤如下：
（1）首先找出零值或者符号由正变负的项
（2）在对进行讨论，当时，，当时，
题型8：对于含绝对值的等差数列求和问题
8-1．（2024·辽宁大连·模拟预测）已知等差数列的前n项和为，其中，．
(1)求数列的通项；
(2)求数列的前n项和为．
8-2．（2024·全国）记为等差数列的前项和，已知．
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前项和．
8-3．（2024高三·全国·专题练习）在公差为的等差数列中，已知，且，，成等比数列．
(1)求，；
(2)若，求
（八）
等差数列中的范围与恒成立问题
与数列有关的恒成立问题主要有两大类,一是根据数列不等式恒成立,求参数范围,二是数列不等式的
证明
题型9：等差数列中的范围与恒成立问题
9-1．（2024高三上·重庆九龙坡·期中）等差数列的前n项和记为，已知，，若存在正数k，使得对任意，都有恒成立，则k的值为 ．
9-2．（2024·上海杨浦·二模）数列满足对任意恒成立，则 .
．（2024·安徽·模拟预测）已知数列满足：，，，从第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列．
(1)求；
(2)设，若恒成立，求的取值范围．
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