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专题27 等差数列及其前n项和9题型分类-备战2025年高考数学一轮专题复习全套考点突破和专题检测（解析版）
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这是一份专题27 等差数列及其前n项和9题型分类-备战2025年高考数学一轮专题复习全套考点突破和专题检测（解析版），共64页。试卷主要包含了等差数列的有关概念，等差数列的有关公式，等差数列的常用性质等内容，欢迎下载使用。
1．等差数列的有关概念
(1)等差数列的定义
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示，定义表达式为an－an－1＝d(常数)(n≥2，n∈N*)．
(2)等差中项
由三个数a，A，b组成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，且有2A＝a＋b.
2．等差数列的有关公式
(1)通项公式：an＝a1＋(n－1)d.
(2)前n项和公式：Sn＝na1＋eq \f(nn－1,2)d或Sn＝eq \f(na1＋an,2).
3．等差数列的常用性质
(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)．
(2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an.
(3)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列．
(4)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列．
(5)S2n－1＝(2n－1)an.
(6)等差数列{an}的前n项和为Sn，eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(Sn,n)))为等差数列．
常用结论
1．已知数列{an}的通项公式是an＝pn＋q(其中p，q为常数)，则数列{an}一定是等差数列，且公差为p.
2．在等差数列{an}中，a1＞0，d＜0，则Sn存在最大值；若a1＜0，d＞0，则Sn存在最小值．
3．等差数列{an}的单调性：当d＞0时，{an}是递增数列；当d＜0时，{an}是递减数列；当d＝0时，{an}是常数列．
4．数列{an}是等差数列⇔Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)．这里公差d＝2A.
一、单选题
1．（2024·河南郑州·模拟预测）公差不为零的等差数列中，，则下列各式一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据等差数列通项求出，再利用基本不等式即可求出，对于CD选项，利用特殊值法反驳即可.
【详解】因为,所以,
因为公差不为零,,所以，B正确，A错误，
取,则,此时,C,D均不正确,
故选：B.
2．（2024·北京海淀·三模）已知等差数列的公差为，数列满足，则“”是“为递减数列”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】利用反例说明充分性不成立，再根据等差数列的性质判断必要性.
【详解】因为，所以且，则，
若，不妨令，则，，，，，，
显然不单调，故充分性不成立，
若为递减数列，则不是常数数列，所以单调，
若单调递减，又在，上单调递减，则为递增数列，矛盾；
所以单调递增，则，且，其中当，时也不能满足为递减数列，故必要性成立，
故“”是“为递减数列”的必要不充分条件.
故选：B
3．（2024高二上·浙江温州·期末）在等差数列中，为的前n项和，，，则无法判断正负的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据等差数列，，，可以求出，且，，，从而判断出，，的正负，选出正确答案.
【详解】设公差为，因为，，可知：，且，，所以，从而，不确定正负，，
故选：B
4．（2024高二·全国·课后作业）设是等差数列，则“”是“数列是递增数列”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】根据等差数列的单调性的判定方法，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.
【详解】由题意可得公差，所以数列是递增数列，即充分性成立；
若数列是递增数列，则必有，即必要性成立．
故选：C．
5．（2024高三上·北京·阶段练习）已知等差数列单调递增且满足，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】设出公差，根据单调递增，得到，结合等差数列的性质得到，变形为，解不等式求出答案.
【详解】因为为等差数列，设公差为，
因为数列单调递增，所以，
所以，
则，解得：，
故选：C
6．（2024·江西上饶·模拟预测）2022年10月16日上午10时，举世瞩目的中国共产党第二十次全国代表大会在北京人民大会堂隆重开幕，某单位组织全体人员在报告厅集体收看，已知该报告厅共有16排座位，共有432个座位数，并且从第二排起，每排比前一排多2个座位数，则最后一排的座位数为（ ）
A．12B．26C．42D．50
【答案】C
【分析】根据题意，把各排座位数看作等差数列，设等差数列通项为，首项为，公差为，前项和为，由已知求出，再根据等差数列通项公式求出即可．
【详解】根据题意，把各排座位数看作等差数列，
设等差数列通项为，首项为，公差为，前项和为，则，
所以，解得，
所以，
故选：C．
7．（2024高二下·全国·课后作业）已知数列是等差数列，若，则等于（ ）
A．7B．14C．21D．7(n-1)
【答案】B
【分析】根据等差数列的性质计算.
【详解】因为，所以.
故选：B
8．（2024高二下·全国·课后作业）如果等差数列中，，那么（ ）
A．14B．12C．28D．36
【答案】C
【分析】根据等差数列的性质计算.
【详解】∵，∴，则，又，
故.
故选:C.
9．（2024高三下·河南·阶段练习）已知数列满足，其前n项和为，若，则（ ）
A．B．0C．2D．4
【答案】C
【分析】先利用等差中项判定数列为等差数列，再利用等差数列前n项和公式、等差数列的性质即可求解.
【详解】根据题意，可得数列为等差数列，所以，所以，
所以，所以.
故选：C．
10．（2024·陕西榆林·模拟预测）设为等差数列的前项和，若，则（ ）
A．5B．6C．7D．8
【答案】A
【分析】根据等差数列的中项公式和等差数列的求和公式，准确运算，即可求解.
【详解】由等差数列性质和的求和公式，可得，所以.
故选：A.
11．（2024·安徽蚌埠·模拟预测）已知等差数列满足，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用等差中项求解即可.
【详解】因为数列是等差数列，
所以，即，
所以，
故选：A
12．（2024·江西新余·二模）记是公差不为0的等差数列的前项和，若，，则数列的公差为（ ）
A．B．C．2D．4
【答案】A
【分析】由等差数列和等差数列的前项和公式代入求解即可得出答案.
【详解】由可得：①，
由可得：②，
由①②可得：或(舍去).
故选：A.
13．（2024·四川凉山·三模）在等差数列中，，，则（ ）．
A．3B．5C．7D．9
【答案】C
【分析】由等差中项性质得，利用等差数列通项公式求基本量公差，进而写出通项公式，即可得.
【详解】由题设，则，而，
若等差数列公差为，则，
所以，通项公式为，故.
故选：C
14．（2024·河北·模拟预测）已知等差数列的前项和是，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】设等差数列的公差为，根据等差数列的通项公式与前项和求解，即可求得.
【详解】由已知设等差数列的公差为，则，，
解得，，所以．
故选：D.
15．（2024高三下·云南昆明·阶段练习）已知数列满足：，且满足，则（ ）
A．1012B．1013C．2022D．2023
【答案】A
【分析】变形得到，即中的奇数项是1为公差的等差数列，利用等差数列通项公式求出答案.
【详解】因为，所以，两式相减，得：，
所以数列中的奇数项是以为首项，1为公差的等差数列，
所以.
故选：A.
16．（2024·北京）在等差数列中，，．记，则数列（ ）．
A．有最大项，有最小项B．有最大项，无最小项
C．无最大项，有最小项D．无最大项，无最小项
【答案】B
【分析】首先求得数列的通项公式，然后结合数列中各个项数的符号和大小即可确定数列中是否存在最大项和最小项.
【详解】由题意可知，等差数列的公差，
则其通项公式为：，
注意到，
且由可知，
由可知数列不存在最小项，
由于，
故数列中的正项只有有限项：，.
故数列中存在最大项，且最大项为.
故选：B.
【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式，等差数列中项的符号问题，分类讨论的数学思想等知识，属于中等题.
17．（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知数列中，，当时，，，成等差数列.若，那么（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】依题意可得数列的递推关系，再一一代入即可求解.
【详解】当时，，，成等差数列，则，
由于，则，
故选：D.
18．（2024·全国）记为数列的前项和，设甲：为等差数列；乙：为等差数列，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】C
【分析】利用充分条件、必要条件的定义及等差数列的定义，再结合数列前n项和与第n项的关系推理判断作答.，
【详解】方法1，甲：为等差数列，设其首项为，公差为，
则，
因此为等差数列，则甲是乙的充分条件；
反之，乙：为等差数列，即为常数，设为，
即，则，有，
两式相减得：，即，对也成立，
因此为等差数列，则甲是乙的必要条件，
所以甲是乙的充要条件，C正确.
方法2，甲：为等差数列，设数列的首项，公差为，即，
则，因此为等差数列，即甲是乙的充分条件；
反之，乙：为等差数列，即，
即，，
当时，上两式相减得：，当时，上式成立，
于是，又为常数，
因此为等差数列，则甲是乙的必要条件，
所以甲是乙的充要条件.
故选：C
19．（2024高二下·辽宁·阶段练习）设函数，数列满足，且数列是递增数列，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题首先可根据题意得出，然后根据数列是递增数列得出不等式组，最后通过计算即可得出结果.
【详解】因为，，
所以，
因为数列是递增数列，
所以，解得，即.
故选：C.
【点睛】关键点睛：本题考查了分段函数以及递增数列的综合应用，主要考查了分段函数的单调性，若分段函数为增函数，关键是函数在各段上均为增函数，且满足前一段的最大值小于或等于后一段的最小值，本题需要额外注意.
20．（2024·北京·三模）等差数列的前项和为，若，，则数列的通项公式可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】解不等式，可得出取最大值时对应的的取值，结合已知条件可得合适的选项.
【详解】由题意可知，，，则数列的最大项为.
对于A选项，，当时，且数列为递增数列，此时无最大项，A选项不满足条件；
对于B选项，由，可得，故数列中最大，B选项不满足条件；
对于C选项，，数列为递增数列且当时，，此时无最大项，C选项不满足条件；
对于D选项，由，可得，故数列中最大，D选项满足条件.
故选：D.
【点睛】方法点睛：在等差数列中，求的最小（大）值的方法：
（1）利用通项公式寻求正、负项的分界点，则从第一项起到分界点该项的各项和最小（大）；
（2）借助二次函数的图象及性质求解.
21．（2024·浙江杭州·模拟预测）已知等差数列公差不为0，正项等比数列，，，则以下命题中正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】设等差数列公差为，正项等比数列公比为，，，
由可得出，从而分析出时，，时，．
把方程变形为，引入函数，利用两个函数的图象可得结论．
【详解】设等差数列公差为，正项等比数列公比为，
因为，所以，即，所以，又，所以，
由得，，，
所以时，，时，．
，，由，，
即，（*），
令，，（*）式为，其中，且，
由已知和是方程的两个解，
记，且，是一次函数，是指数函数，
由一次函数和指数函数性质知当它们同增或同减时，图象才能有两个交点，即方程才可能有两解（题中时，，时，，满足同增减）．
如图，作出和的图象，它们在和时相交，
无论还是，由图象可得，，，
时，，时，，
因此，，，，
即，
故选：B
【点睛】关键点点睛：本题考查等差数列和等比数列的性质，解题时由已知两项相等得出公差和公比的关系，考虑到方程有两解，把此方程变形为，引入函数，通过函数图象观察得到和的关系，从而由数形结合思想得出结论．
22．（2024·海南海口·一模）家庭农场是指以农户家庭成员为主要劳动力的新型农业经营主体．某家庭农场从2019年开始逐年加大投入，加大投入后每年比前一年增加相同额度的收益，已知2019年的收益为30万元，2021年的收益为50万元．照此规律，从2019年至2026年该家庭农场的总收益为（ ）
A．630万元B．350万元C．420万元D．520万元
【答案】D
【分析】
分析可知该家庭农场的收益依次成等差数列，求出公差，利用等差数列的求和公式即可求解.
【详解】依题意，该家庭农场每年收益依次成等差数列，设为，
可得，，所以公差为，
所以2019年至2026年该家庭农场的总收益为，
故选：D
23．（2024·江西·模拟预测）天干地支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支.十天干即：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，…，以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，…，以此类推，2023年是癸卯年，请问：在100年后的2123年为（ ）
A．癸未年B．辛丑年C．己亥年D．戊戌年
【答案】A
【分析】根据题意，天干和地支的年份分别是以和为公差的等差数列，根据等差数列的性质即可求解.
【详解】由题意得：天干可看作公差为10的等差数列，地支可看作公差为12的等差数列，
由于，余数为0，故100年后天干为癸，由于，余数为4，
故100年后地支为未，
综上：100年后的2123年为癸未年.
故选：A .
二、多选题
24．（2024·福建泉州·模拟预测）已知等差数列的公差为，前项和为，且，成等比数列，则（ ）
A．B．
C．当时，是的最大值D．当时，是的最小值
【答案】ACD
【分析】根据等比中项的性质得到方程，即可得到，再根据等差数列的通项公式、求和公式及单调性判断即可.
【详解】因为，，成等比数列，所以，即，
整理得，因为，所以，
所以，则，故A正确、B错误；
当时单调递减，此时，
所以当或时取得最大值，即，故C正确；
当时单调递增，此时，
所以当或时取得最小值，即，故D正确；
故选：ACD
25．（2024·江苏盐城·三模）已知数列对任意的整数，都有，则下列说法中正确的有（ ）
A．若，则
B．若，，则
C．数列可以是等差数列
D．数列可以是等比数列
【答案】BC
【分析】利用赋值，递推式以及假设法，即可逐一选项进行判断.
【详解】若，
当时，，
解得，故A错；
若，，
当时，，
解得，
当时，，
解得，
，
根据递推关系可知，
当为奇数，即时，
，故B正确；
若，
则成立，
故数列可以是等差数列，即C正确；
若数列是等比数列，假设公比为，
则由，
得，
两式相除得，，
即，
解得，不符合题意，
则假设不成立，故D错.
故选：BC
26．（2024·安徽安庆·二模）已知为等差数列，前项和为，，公差d = −2 ，则（ ）
A．=
B．当n = 6或7时，取得最小值
C．数列的前10项和为50
D．当n≤2023时，与数列（m N）共有671项互为相反数．
【答案】ACD
【分析】由等差数列的首项和公差求出等差数列的通项公式，即可结合等差数列的性质判断ACD,由数列的单调性可判断B.
【详解】对于A，等差数列中，，公差，则，，故A正确；
对于B，由A的结论，，则，由d = −2当时，，，当时，，则当或6时，取得最大值，且其最大值为，B错误；
对于C,
,故C正确，
对于D，由，则，
则数列中与数列中的项互为相反数的项依次为：
，，，，，，
可以组成以为首项，为公差的等差数列，设该数列为，则，
若，解可得，即两个数列共有671项互为相反数，D正确．
故选：ACD．
27．（2024·广东佛山·模拟预测）已知数列，下列结论正确的有（ ）
A．若，，则
B．若，，则
C．若，则数列是等比数列
D．若为等差数列的前项和，则数列为等差数列
【答案】ABD
【分析】直接利用累加法可判断选项A项；构造为等比数列可判断B项；利用与的关系可求得通项公式即可判断C项；利用等差数列的前n项和公式及定义法判断等差数列即可判断D项.
【详解】对于选项A，由，得，
则，故A项正确；
对于选项B，由得，
所以为等比数列，首项为，公比为2，
所以，所以，故B项正确；
对于选项C，因为，
当时，，
当时，，
将代入，得，
所以，所以数列不是等比数列，故C项错误.
对于选项D，设等差数列的公差为d，
由等差数列前项和公式可得，
所以与n无关，
所以数列为等差数列，故D项正确.
故选：ABD.
三、填空题
28．（2024高二·全国·专题练习）已知等差数列{an}的首项为3，公差为2，则a10＝ ．
【答案】21
【分析】应用等差数列的通项公式直接求第10项．
【详解】∵等差数列{an}的首项为3，公差为2，
∴a10＝a1+9d＝3+9×2＝21．
故答案为：21．
29．（2024高三上·宁夏·期中）设等差数列的前项和为，若，，则
【答案】27
【分析】根据的定义，可得答案.
【详解】.
故答案为：.
30．（2024·上海·模拟预测）已知是公差不为零的等差数列，且，则
【答案】
【分析】根据已知结合等差数列的通项公式，求出首项与公差的关系，将所求的式子用公差表示，即可求解.
【详解】由条件可知，
.
故答案为：
【点睛】本题考查等差数列通项公式基本量的计算，以及等差数列性质的应用，考查计算求解能力，属于基础题.
31．（2024·全国）记为等差数列的前n项和．若，则公差 ．
【答案】2
【分析】转化条件为，即可得解.
【详解】由可得，化简得，
即，解得.
故答案为：2.
32．（2024·上海·模拟预测）已知等差数列的公差不为零，为其前n项和，若，则中不同的数值有 个.
【答案】98
【分析】由等差数前项和公式求出，从而，由此能求出结果．
【详解】解：等差数列的公差不为零，为其前项和，，
，解得，
，
，，1，，中，，，
其余各项均不相等，
，1，，中不同的数值有：．
故答案为：98．
33．（2024·广东佛山·模拟预测）设随机变量的分布列如下：
其中，，…，构成等差数列，则 .
【答案】
【分析】由等差数列的性质和离散型随机变量的性质可求得结果.
【详解】因为，，…，构成等差数列，
所以，
因为，所以，
故答案为：
34．（2024·上海黄浦·三模）南宋的数学家杨辉“善于把已知形状、大小的几何图形的求面积、体积的连续量问题转化为离散量的垛积问题”，在他的专著《详解九章算法·商功》中，杨辉将堆垛与相应立体图形作类比，推导出了三角垛、方垛、刍童垛等的公式，例如三角垛指的是如图顶层放1个，第二层放3个，第三层放6个，第四层放10个第n层放个物体堆成的堆垛，则 ．
【答案】/
【分析】根据给定条件，求出数列的递推关系，利用累加法求出通项，再利用裂项相消法求和作答.
【详解】依题意，在数列中，，
当时，，满足上式，
因此，，数列的前项和为，
则，
所以.
故答案为：
35．（2024·广东东莞·模拟预测）已知等差数列的首项，公差为，前项和为．若恒成立，则公差的取值范围是 ．
【答案】
【分析】由题可得且，即可求解.
【详解】根据等差数列的前项和满足恒成立，可知且，
所以且，解得．
故答案为：.
36．（2024·云南·三模）已知为等差数列的前项和.若，，则当取最小值时，的值为 .
【答案】
【分析】根据等差数列求和公式及下标和性质得到，，即可判断.
【详解】因为，所以，
又，所以，则
所以为递增的等差数列，且，
所以，即当取最小值时，的值为.
故答案为：
37．（2024高三上·上海嘉定·期中）已知等差数列的各项均为正整数，且，则的最小值是
【答案】4
【分析】若等差数列的各项均为正整数，则数列单增，公差，从而表示出，根据其增减性，求得最小值.
【详解】若等差数列的各项均为正整数，则数列单增，则公差，
故为正整数，关于d单减，
，则当时，故取得最小值为4，
故答案为：4
38．（2024·全国·模拟预测）已知为等差数列的前项和，且，，则当取最大值时，的值为 .
【答案】7
【分析】根据条件，由等差数列通项公式及求和公式求得首项和公差，从而变成函数问题，找到最大值.
【详解】方法一：设数列的公差为，则由题意得，解得
则.又，∴当时，取得最大值.
方法二：设等差数列的公差为.∵，∴，
∴，解得，
则，
令
解得，又，
∴，即数列的前7项为正数，从第8项起各项均为负数，
故当取得最大值时，.
故答案为：7.
39．（2024高三·全国·对口高考）已知等差数列的前项和为，若公差，；则的值为 .
【答案】
【分析】设等差数列的奇数项的和为，偶数项之和为，可得出，再由可求出、的值，即为所求结果.
【详解】设，，
因为数列是等差数列，且公差，，
所以，解得，，
所以.
故答案为：.
40．（2024高二上·上海长宁·阶段练习）已知等差数列的前n项和为，若，，则
【答案】
【分析】由等差数列片段和的性质知成等差数列，再由等差中项的性质求结果.
【详解】由题设成等差数列，
所以，则，
所以.
故答案为：
41．（2024·山东）将数列{2n–1}与{3n–2}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}的前n项和为 ．
【答案】
【分析】首先判断出数列与项的特征，从而判断出两个数列公共项所构成新数列的首项以及公差，利用等差数列的求和公式求得结果.
【详解】因为数列是以1为首项，以2为公差的等差数列，
数列是以1首项，以3为公差的等差数列，
所以这两个数列的公共项所构成的新数列是以1为首项，以6为公差的等差数列，
所以的前项和为，
故答案为：.
【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有两个等差数列的公共项构成新数列的特征，等差数列求和公式，属于简单题目.
42．（2024·上海嘉定·三模）已知，，将数列与数列的公共项从小到大排列得到新数列，则 .
【答案】
【分析】分析可知是正奇数列，根据题意求得，然后利用裂项相消法求和即可.
【详解】因为数列是正奇数列，
对于数列，当为奇数时，设，则为偶数；
当为偶数时，设，则为奇数，
所以，则，
所以.
故答案为：.
43．（2024·甘肃张掖·模拟预测）已知等差数列的前n项和为，公差d为奇数，且同时满足：①存在最大值；②；③．则数列的一个通项公式可以为 ．（写出满足题意的一个通项公式）
【答案】（答案不唯一）
【分析】由可得，由存在最大值可得，结合d为奇数且可得的取值，从而可得.
【详解】由得，即．
因为数列是等差数列，所以由等差数列的性质可知．
设等差数列的公差为d，则，．
因为存在最大值，所以公差，又因为d为奇数且，
故可取．当时，，；
当时，，；
当时，，．
故答案为：（答案不唯一）
44．（2024·江苏南京·模拟预测）设等差数列的前n项和为.已知，.若存在正整数k，使得对任意的都有恒成立，则k的值为 ．
【答案】10
【分析】根据等差数列解出首项与公差，写出，找到取最大值时的值即为答案.
【详解】解：因为为等差数列，
所以.
所以，最大值为，
．
故答案为:10.
【点睛】本题考查等差数列前项和的最值.属于基础题.熟练掌握等差数列的通项公式与前项和公式是解本题的关键.
45．（2024·河南新乡·模拟预测）已知数列的前项和为，（），且，.若恒成立，则实数的取值范围为 .
【答案】
【分析】由得，两式相减可证明数列为等差数列，继而可求出，令，通过可知，当时，数列单调递减，故可求出最大值，进而可求 的取值范围.
【详解】由，可得.
两式相减，可得，所以数列为等差数列.
因为，，所以，所以，，
则.令，则.
当时，，数列单调递减，
而，，，
所以数列中的最大项为1，故，
即实数的取值范围为.
故答案为: .
46．（2024高二下·北京·阶段练习）设是公差为的无穷等差数列的前项和，则下列命题正确的是 .
①若，则数列有最大项；②若数列有最大项，则
③若数列对任意的，恒成立，则
④若对任意的，均有，则恒成立
【答案】①②④
【分析】①当时，分和 讨论判断；②由时，存在，当时，判断；③举例判断；④由对任意的，均有，得到，再分和判断.
【详解】①当时，若，则数列有最大项为 ，若 ，则存在，有 ，所以数列有最大项为，故正确；
②当时，存在，当时，，此时，故数列无最大项，所以若数列有最大项，则，故正确；
③若， 恒成立，则，故错误；
④若对任意的，均有，则，若，则，若，则设（为不大于的最大整数），，则，故不成立，故正确；
故答案为：①②④
47．（2024高二下·甘肃定西·期中）已知等差数列的前n项和为，并且，若对恒成立，则正整数的值为 .
【答案】
【分析】根据已知条件将恒成立问题转化为求最值问题，再利用等差数列的下角标性质及等差数列前项和公式即可求解.
【详解】由题意可知，所以，
同理得，所以.
结合，可得.
当时，取得最大值为，
要使对恒成立，只需要，即可，
所以,，即.
所以正整数的值为.
故答案为：.
48．（2024高二上·上海静安·期末）已知数列是等差数列，若，，且数列的前项和有最大值，那么当时，的最大值为 ．
【答案】20
【分析】根据等差数列的性质得出，，再结合等差数列前项和与等差中项求解即可.
【详解】因为，所以和异号，
又数列的前项和有最大值，
所以数列是递减的等差数列，
所以，，又，
所以，，
所以的最大值为20．
故答案为：20.
49．（2024高二下·北京海淀·期中）已知是等差数列{}的前n项和，若仅当时取到最小值，且，则满足的n的最小值为 .
【答案】11
【分析】由前n项和有最小值可知，得出，所以，再由即可求出n的最小值.
【详解】因为，当时取到最小值，
所以，所以，
因为，所以，即，所以.
，则，因为，
所以，解之得：,因为，所以n的最小值为11.
故答案为：11.
50．（2024高三·全国·课后作业）记等差数列的前n项和为，若，，则当取得最大值时，n＝ ．
【答案】
【分析】由求出和的关系，结合等差数列前项和公式即可求解.
【详解】设等差数列的公差为，由可得：，
所以，
因为，所以，则是关于的二次函数，开口向下，对称轴，
由二次函数的图象和性质可得：当时，取最大值，
故答案为：.
51．（2024高二下·湖南衡阳·期末）已知等差数列的通项公式为，当且仅当时，数列的前项和最大.则满足的的最大值为 .
【答案】19
【分析】利用等差数列的单调性、求和公式以及以及一元二次不等式进行求解.
【详解】由题可知，等差数列为递减数列，且，又，
所以，解得，所以，所以，
所以，解得，
所以满足的的最大值为19.
故答案为：19.
52．（2024高二上·河南郑州·开学考试）等差数列中，，，给出下列命题：①，②，③是各项中最大的项，④是中最大的值，⑤为递增数列.其中正确命题的序号是 .
【答案】①②④
【分析】直接利用等差数列中，，，进行转换，进一步求出公差为负值，且，，最后求出结果．
【详解】等差数列中，，，所以，则．
所以，则．
所以①正确．
②整理得正确．
③是各项中最大的项，应该是最小的正数项．故错误．
④是中最大的值，正确；
⑤为递增数列．错误，应改为递减数列．
故答案为：①②④．
【点睛】本题主要考查等差数列的性质的应用、数列的单调性的应用、数列的前项和公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于基础题．
53．（2024高二上·江苏盐城·期中）已知数列满足，则的最小值为 .
【答案】.
【解析】根据递推公式和累加法可求得数列的通项公式.代入中,由数列中的性质,结合数列的单调性即可求得最小值.
【详解】因为,所以,
从而
…,
,
累加可得,
而
所以,
则,
因为在递减,在递增
当时,,
当时,,
所以时取得最小值,最小值为.
故答案为:
【点睛】本题考查了利用递推公式及累加法求数列通项公式的方法,数列单调性及自变量取值的特征,属于中档题.
54．（2024·新疆乌鲁木齐·一模）设是等差数列的前项和，若，，则数列中的最大项是第 项.
【答案】13
【解析】由已知可得数列是递减数列，且前13项大于0，自第14项起小于0，可得数列从第14项起为负值，而为递增数列，则答案可求．
【详解】解：在等差数列中，
由，，得，
，
则数列是递减数列，且前13项大于0，自第14项起小于0，
数列从第14项起为负值，
而为递增数列，
数列的最大项是第13项．
故答案为：13．
【点睛】本题考查数列的函数特性，考查等差数列前项和的应用，属于中档题．
55．（2024高二下·山东潍坊·期中）在数列中，若，前项和，则的最大值为 ．
【答案】66
【分析】根据得到，根据二次函数的性质计算最值即可.
【详解】=21，解得，故，属于二次函数，
对称轴为，故当或时取得最大值，
，，，
故的最大值为66.
故答案为：66.
56．（2024·福建·模拟预测）在等差数列中，前m项（m为奇数）和为70，其中偶数项之和为30，且，则的通项公式为 .
【答案】
【分析】由等差数列的求和公式以及性质得出，从而得出的值，再求出，即可得出答案.
【详解】设等差数列的公差为
，解得，且
，解得
故答案为：
【点睛】本题主要考查了求等差数列奇数项或偶数项的和，等差数列通项公式的基本量的计算，属于中档题.
57．（2024高二下·辽宁·阶段练习）设等差数列，的前n项和分别为，，且，则 .
【答案】/
【分析】根据给定条件，利用等差数列性质化简计算作答.
【详解】等差数列，的前n项和分别为，，
所以.
故答案为：
58．（2024高二下·辽宁沈阳·阶段练习）两个等差数列，的前n项和分别为和，已知，则 ．
【答案】
【分析】根据题意，由等差数列前项和的性质有即可得到结果.
【详解】由题意可知，，
所以.
故答案为:.
四、解答题
59．（2024·江苏·模拟预测）设数列的前n项和为，且满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)证明：数列中的任意不同的三项均不能构成等差数列.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由与的关系公式得出数列是一个等比数列，并求其通项.
（2）利用反证法，先假设数列中存在三项，，满足已知条件，结合通项公式推理出矛盾得出结论.
【详解】（1）令，得.
当时，①，
又②，
①②两式相减，得，
所以.
所以数列是首项为－3，公比为2的等比数列，
所以
（2）假设数列中存在三项数列，，（其中）成等差数列，
则，
由（1）得，即，
两边同时除以，得（*），
因为（*）式右边为奇数，左边为偶数，
所以（*）式不成立，假设不成立.
所以数列中得任意不同的三项均不能构成等差数列.
60．（2024·湖南·模拟预测）记等差数列的前n项和为，已知，．
(1)求的通项公式；
(2)设，数列的前n项和为，若，求m的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据下标和定理及得出，结合即可求出，进而写出通项公式；
（2）首先写出的表达式，由裂项相消法得出，由解出即可．
【详解】（1）设的公差为d，因为，
所以，解得，
又，所以．
所以．
（2）因为，
所以
，
由，解得，
所以．
61．（2024·湖南·二模）记为等差数列的前项和，，．
(1)求数列的通项公式；
(2)求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设等差数列的首项和公差分别为、，依题意得到方程组，解得、，即可得解；
（2）由（1）可得，根据等差数列求和公式计算可得.
【详解】（1）设等差数列的首项和公差分别为、，
由题意可知，
化简得，解得，
所以．
（2）由（1）知：当时，；当时，，
所以
．
62．（2024高二下·江苏南京·期末）记为数列的前项和．
(1)从下面两个条件中选一个，证明：数列是等差数列；
①数列是等差数列；②
(2)若数列为等差数列，且，，求数列的前项和．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）选择条件①，设数列的首项为，公差为，求出，表示出，即可得证.选择条件②，利用与的关系式和等差中项的性质即可得证；
（2）由（1）根据已知得出，然后利用裂项相消法即可求解.
【详解】（1）选择条件①：设数列的首项为，公差为，
则，故，
当时，
，
当时，，，
又．
数列是等差数列．
选择条件②：，
，
两式相减可得，
即，
，
两式相减可得，
化简可得，
，数列是等差数列．
（2）数列是等差数列，且公差，
．
，
故
．
63．（2024·全国）记是公差不为0的等差数列的前n项和，若．
（1）求数列的通项公式；
（2）求使成立的n的最小值．
【答案】(1)；(2)7.
【分析】(1)由题意首先求得的值，然后结合题意求得数列的公差即可确定数列的通项公式；
(2)首先求得前n项和的表达式，然后求解二次不等式即可确定n的最小值.
【详解】(1)由等差数列的性质可得：，则：，
设等差数列的公差为，从而有：，
，
从而：，由于公差不为零，故：，
数列的通项公式为：.
(2)由数列的通项公式可得：，则：，
则不等式即：，整理可得：，
解得：或，又为正整数，故的最小值为.
【点睛】等差数列基本量的求解是等差数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等差数列的有关公式并能灵活运用.
64．（2024·重庆万州·模拟预测）已知数列的前项和为，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列的前项和为，设，求的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据与的关系可直接求解；
（2）先求出，然后得到，然后根据的单调性可求解.
【详解】（1）因为，所以，
所以当时，，所以；
当时，，
所以，
所以，
又满足上式，
所以数列的通项公式为.
（2）由（1）知，
当时，；
当时，
；
所以，
当时，递减，所以；
当时，，
设，
则，令得，此时单调递增，
令得，此时单调递减，
所以在时递减，在时递增，
而，，且，
所以；
综上，的最小值为.
65．（2024·广东深圳·模拟预测）已知等差数列满足，．
(1)求；
(2)数列满足，为数列的前项和，求．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据条件建立方程组，即可求出等差数列的首项和公差，即可求；
（2）利用分组求和及等差数列、等比数列的求和公式即可求数列的前项和．
【详解】（1）设等差数列的公差为d，
因为，．则，解得，
所以．
（2）由（1）可得，
则
，
所以.
66．（2024·湖南长沙·模拟预测）已知数列的前n项和为，数列的前n项积为，且满足．
(1)求证：为等差数列；
(2)记，求数列的前2023项的和M．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据所给递推公式及前项和、积的定义化简，由等差数列定义可得证；
（2）求出，利用裂项相消法求和.
【详解】（1）因为，
当时，，解得或，
又，所以，故，
由，可得，所以，
当时，．
所以，即，
所以，所以
所以是以为首项，1为公差的等差数列.
（2）所以，则，
因为，
故．
67．（2024高三·全国·专题练习）已知数列满足，．
(1)证明：是等差数列，并求出的通项．
(2)证明：．
【答案】(1)证明见解析，；
(2)证明见解析.
【分析】（1）由递推公式可得，两边取倒数，即可得到，从而得到是以为首项，为公差的等差数列，即可求出的通项公式；
（2）令，再由，可得，两式相乘即可得证.
【详解】（1）由，可得，
∴，即，
∵，即，
∴是以为首项，为公差的等差数列，
∴，即．
（2）令①，
∵，∴②，
①×②得，
∴，即．
68．（2024·福建福州·模拟预测）已知数列的前项和为，且.
(1)求证：数列是等差数列；
(2)求数列的前项和.
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【分析】
（1）利用与的关系变形给定的递推公式，构造常数列求出数列的通项，再利用等差数列定义推理作答.
（2）利用（1）的结论，结合裂项相消法求和作答.
【详解】（1）数列中，，当时，，
两式相减得，即，则，
于是，因此数列是常数列，则，
从而，即，
所以数列是以1为首项，为公差的等差数列.
（2）由（1）知，，
所以.
69．（2024高三上·山东济南·期末）已知数列满足：，，.
(1)记，求数列的通项公式；
(2)记数列的前项和为，求.
【答案】(1)
(2)353
【分析】（1）令n取代入已知条件可以得到，从而求出数列的通项公式
（2）先分奇偶求出数列的表达式，分别求奇数项的和与偶数项的和，相加得到
【详解】（1）因为，令n取，则，
即，，所以数列是以1为首项，3为公差的等差数列，所以
（2）令n取2n，则，
所以，
由（1）可知，；
；所以
（一）
等差数列基本量的运算
(1)等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，n，d，an，Sn，知道其中三个就能求出另外两个(简称“知三求二”)．
(2)确定等差数列的关键是求出两个最基本的量，即首项a1和公差d.
题型1：等差数列基本量的运算
1-1．（2024·广西·模拟预测）设为等差数列，若，则公差（ ）
A．－2B．－1C．1D．2
【答案】D
【分析】由等差数列的基本量法列方程组求解．
【详解】由题意得解得，
故选：D.
1-2．（2024高二上·广东珠海·期末）已知等差数列的前项和为，，则 （ ）
A．54B．71C．80D．81
【答案】D
【分析】设等差数列的公差为，根据题意求得，结合等差数列的求和公式，即可求解.
【详解】设等差数列的公差为，
因为，可得，解得，
所以.
故选：D.
1-3．（2024·安徽安庆·二模）记为等差数列的前项和，若，则（ ）
A．30B．28C．26D．13
【答案】C
【分析】根据条件，列出首项和公差的方程组，即可求解.
【详解】设等差数列的首项为，公差为，
则，，，
所以.
故选：C
（二）
等差数列的判定与证明
判断数列{an}是等差数列的常用方法
(1)定义法．
(2)等差中项法．
(3)通项公式法．
(4)前n项和公式法．
题型2：等差数列的判定与证明
2-1．（2024·浙江·模拟预测）已知正项等比数列和数列，满足是和的等差中项，.
(1)证明：数列是等差数列，
(2)若数列的前项积满足，记，求数列的前20项和.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用等差数列的定义法判断即可.
（2）由（1）和，求得，，然后表示出的前20项和即可得出答案.
【详解】（1）由题知，是等比数列，
设其公比为，
由，
可得：当时，，
两式相减得，，
故数列是等差数列.
（2）由知：
当时，，
又，所以，
由（1）设的公差为，
则，
由，
则，，
所以
.
即数列的前20项和为.
2-2．（2024·山西晋中·模拟预测）数列中，，前n项和满足．
（1）证明：为等差数列；
（2）求．
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【分析】（1）根据题中递推关系推出，然后推出，结合等差数列的定义，即可证明结果．
（2）由（1）可知是以1首项，2为公差的等差数列，可得是以为首项，2为公差的等差数列，然后通过求解前101项的偶数项和，前101项的奇数项和，再将两者和相加，即可得到结果．
【详解】解：（1）∵①，
∴②，
①②：③，
∴④，
④③：，
∴，
∴是以1首项，2为公差的等差数列.
（2）由（1）得是以1首项，2为公差的等差数列，
同理可得是以为首项，2为公差的等差数列，
又，故，
∴前101项的偶数项和为，
前101项的奇数项和为，
∴．
【点睛】关键点点睛：在解决第二问时，由（1）得是以首项，2为公差的等差数列，同理得到是以为首项，2为公差的等差数列，为后面求求解前101项的偶数项和，前101项的奇数项和奠定了重要的基础，是解决这个问题的关键点和突破点.
2-3．（2024高一下·浙江宁波·期末）已知数列中，，当时，其前项和满足：，且，数列满足：对任意有.
(1)求证：数列是等差数列；
(2)求数列的通项公式；
(3)设是数列的前项和，求证：.
【答案】(1)证明见解析；
(2)；
(3)证明见解析.
【分析】（1）把代入得，即，从而得证；
（2）利用和与项的关系即可求解得；
（3）利用放缩法，得，再结合裂项相消求和法即可证明.
【详解】（1），，
，即①
由题意，
将①式两边同除以，得，
数列是首项为，公差为1的等差数列.
（2）由（1）可知
当时， ，即，
当时，②，
则③，
②③，，即，
因为满足，
所以.
（3）由（2）可知，
当时，，
当时，，
所以
.
所以.
（三）
等差数列的性质
1.等差数列项的性质的关注点
(1)在等差数列题目中，只要出现项的和问题，一般先考虑应用项的性质．
(2)项的性质常与等差数列的前n项和公式Sn＝eq \f(na1＋an,2)相结合．
2.等差数列前n项和的常用的性质是：
在等差数列{an}中，数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列，且有S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)；S2n－1＝(2n－1)an.
题型3：等差数列项的性质
3-1．（2024·河南·模拟预测）已知数列是等差数列，其前项和为，则等于（ ）
A．63B．C．45D．
【答案】D
【分析】根据题意结合等差数列性质分析运算.
【详解】因为数列是等差数列，则，可得，
且，可得，
所以.
故选：D.
3-2．（2024·全国）记为等差数列的前项和．若，则（ ）
A．25B．22C．20D．15
【答案】C
【分析】方法一：根据题意直接求出等差数列的公差和首项，再根据前项和公式即可解出；
方法二：根据等差数列的性质求出等差数列的公差，再根据前项和公式的性质即可解出．
【详解】方法一：设等差数列的公差为，首项为，依题意可得，
，即,
又，解得：，
所以．
故选：C.
方法二：，，所以，，
从而，于是，
所以．
故选：C.
3-3．（2024高二下·全国·课后作业）已知等差数列中，，则（ ）
A．30B．15C．5D．10
【答案】B
【分析】根据等差数列的性质计算.
【详解】∵数列为等差数列，，所以
∴.
故选：B
题型4：等差数列前n项和的性质
4-1．（2024高一下·四川成都·阶段练习）若两个等差数列，的前n项和分别是，，已知，则 .
【答案】/
【分析】利用等差数列的性质和求和公式，把转化为求解.
【详解】因为，为等差数列，所以，
因为，所以.
故答案为：.
4-2．（2024高三·全国·课后作业）已知数列与均为等差数列，且前n项和分别为与，若，则 ．
【答案】
【分析】根据等差数列的求和公式以及性质即可求解.
【详解】由等差数列的求和公式得，所以，
故答案为：
4-3．（2024高三·全国·专题练习）已知等差数列的项数为奇数，且奇数项的和为40，偶数项的和为32，则 .
【答案】8
【分析】利用等差数列前项和公式分别求奇数项，偶数项和，再求项数，最后同样利用等差数列的前项和公式求.
【详解】设等差数列有奇数项项，，偶数项为项，公差为．
奇数项和为40，偶数项和为32，，，
，
即，解得：
即等差数列共项，且
故答案为：8
【点睛】本题考查等差数列奇数项，偶数项和，重点考查计算能力，属于中档题型.
4-4．（2024高二下·辽宁·期末）等差数列中，，前项和为，若，则 .
【答案】
【分析】由已知结合等差数列的性质可得为等差数列，再设公差为及通项公式即可求解．
【详解】设的公差为，由等差数列的性质可知，因为，故，故为常数，所以为等差数列，设公差为
，，
，
，
，则
故答案为：
（四）
等差数列前n项和的最值
求等差数列前项和最值的2种方法
（1）函数法：利用等差数列前项和的函数表达式，通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解．
（2）邻项变号法：①若，则满足的项数使得取得最大值；
②若，则满足的项数使得取得最小值．
题型5：等差数列前n项和的最值
5-1．（2024·河南郑州·模拟预测）在等差数列中，已知，且，则当取最大值时，（ ）
A．10B．11C．12或13D．13
【答案】C
【分析】由结合等差数列的性质可得，再由，可求得结果.
【详解】因为在等差数列中，
所以
，
所以，
又因为，
所以可知等差数列为递减数列，且前12项为正，第13项以后均为负，
所以当取最大值时，或13．
故选：C．
5-2．（2024·四川成都·模拟预测）设为等差数列的前n项和，且，都有，若，则（ ）
A．的最小值是B．的最小值是
C．的最大值是D．的最大值是
【答案】A
【分析】由结合等差数列的前n项和公式可知数列为递增的等差数列，由可得，，即可求出，有最小值，且最小值为.
【详解】由，得，即，
所以数列为递增的等差数列.
因为，所以，即，
则，，所以当且时，；
当且时，.因此，有最小值，且最小值为.
故选：A.
5-3．（2024高二上·陕西渭南·期中）设等差数列的前项和为，已知，，则以下选项中，最大的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用等差数列前项和公式以及等差数列下标和性质分析出的单调性以及项的取值正负，从而确定出，由此可得选项.
【详解】因为，所以，所以，
又因为，所以，所以，
又，所以，
所以为递减数列，且前项为正值，从第项开始为负值，
所以，
故选：C.
5-4．（2024高三上·湖南长沙·阶段练习）已知数列满足:对恒成立,且,其前项和有最大值,则使得的最大的的值是 .
【答案】15
【分析】先根据递推关系式得数列为等差数列,再根据前项和有最大值得单调性,由,可得,根据等差数列性质,分别判断的正负,即可得出结果.
【详解】解:由题知,
即对恒成立,
所以数列为等差数列,
因为前项和有最大值,
所以数列单调递减,
因为,所以异号,且,
所以可化简为:,即,
因为,
,
所以使得的最大的的值为15.
故答案为:15
（五）
等差数列的实际应用
(1)与等差数列前n项和有关的应用题，其关键在于构造合适的等差数列．
(2)遇到与正整数有关的应用题时，可以考虑与数列知识联系，抽象出数列的模型，并用有关知识解决相关的问题，是数学建模的核心素养的体现．
题型6：等差数列的实际应用
6-1．（2024·江苏南通·模拟预测）现有茶壶九只，容积从小到大成等差数列，最小的三只茶壶容积之和为0.5升，最大的三只茶壶容积之和为2.5升，则从小到大第5只茶壶的容积为（ ）
A．0.25升B．0.5升C．1升D．1.5升
【答案】B
【分析】根据等差数列的性质即可求解.
【详解】设九只茶壶按容积从小到大依次记为 ，
由题意可得，
所以，
故选：B
6-2．（2024·北京）《中国共产党党旗党徽制作和使用的若干规定》指出，中国共产党党旗为旗面缀有金黄色党徽图案的红旗，通用规格有五种.这五种规格党旗的长(单位:cm)成等差数列，对应的宽为(单位: cm),且长与宽之比都相等，已知，，，则
A．64B．96C．128D．160
【答案】C
【分析】设等差数列公差为，求得，得到，结合党旗长与宽之比都相等和，列出方程，即可求解.
【详解】由题意，五种规格党旗的长(单位:cm)成等差数列，设公差为，
因为，，可得，
可得，
又由长与宽之比都相等，且，可得，所以.
故选：C.
6-3．（2024高二下·北京昌平·期中）从冬至日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影长度依次成等差数列，冬至、立春、春分这三个节气的日影长度之和为尺，前九个节气日影长度之和为尺，则谷雨这一天的日影长度为（ ）
A．尺B．尺C．尺D．尺
【答案】A
【分析】根据题意，分别设十二个节气为 ，再运用等差中项求解.
【详解】设冬至，小寒，大寒，立春，雨水，惊蛰，春分，清明，谷雨，立夏，小满，芒种这十二个节气为：，且其公差为，
依题意有：，，
，公差 ，
则，
所以谷雨这一天的日影长度为尺，
故选：A
6-4．（2024·河北唐山·模拟预测）2022年卡塔尔世界杯是第二十二届世界杯足球赛，是历史上首次在卡塔尔和中东国家境内举行，也是继2002年韩日世界杯之后时隔二十年第二次在亚洲举行的世界杯足球赛.某网站全程转播了该次世界杯，为纪念本次世界杯，该网站举办了一针对本网站会员的奖品派发活动，派发规则如下：①对于会员编号能被2整除余1且被7整除余1的可以获得精品足球一个；②对于不符合①中条件的可以获得普通足球一个.已知该网站的会员共有1456人（编号为1号到1456号，中间没有空缺），则获得精品足球的人数为（ ）
A．102B．103C．104D．105
【答案】C
【分析】将能被2整除余1且被7整除余1的正整数按从小到大排列所得的数列记为，求出其通项，结合条件列不等式求出结果.
【详解】将能被2整除余1且被7整除余1的正整数按从小到大排列所得的数列记为，
由已知是的倍数，也是的倍数，
故为的倍数，
所以首项为，公差为的等差数列，
所以，
令，可得，又
解得，且，
故获得精品足球的人数为.
故选：C.
6-5．（2024·全国）北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)（ ）
A．3699块B．3474块C．3402块D．3339块
【答案】C
【分析】第n环天石心块数为，第一层共有n环，则是以9为首项，9为公差的等差数列，
设为的前n项和，由题意可得，解方程即可得到n，进一步得到.
【详解】设第n环天石心块数为，第一层共有n环，
则是以9为首项，9为公差的等差数列，，
设为的前n项和，则第一层、第二层、第三层的块数分
别为，因为下层比中层多729块，
所以，
即
即，解得，
所以.
故选：C
【点晴】本题主要考查等差数列前n项和有关的计算问题，考查学生数学运算能力，是一道容易题.
（六）
关于等差数列奇偶项问题的讨论
对于奇偶项通项不统一的数列的求和问题要注意分类讨论．主要是从为奇数、偶数进行分类．
题型7：关于等差数列奇偶项问题的讨论
7-1．（2024·全国）已知为等差数列，，记，分别为数列，的前n项和，，．
(1)求的通项公式；
(2)证明：当时，．
【答案】(1)；
(2)证明见解析.
【分析】（1）设等差数列的公差为，用表示及，即可求解作答.
（2）方法1，利用（1）的结论求出，，再分奇偶结合分组求和法求出，并与作差比较作答；方法2，利用（1）的结论求出，，再分奇偶借助等差数列前n项和公式求出，并与作差比较作答.
【详解】（1）设等差数列的公差为，而，
则，
于是，解得，，
所以数列的通项公式是.
（2）方法1：由（1）知，，，
当为偶数时，，
，
当时，，因此，
当为奇数时，，
当时，，因此，
所以当时，.
方法2：由（1）知，，，
当为偶数时，，
当时，，因此，
当为奇数时，若，则
，显然满足上式，因此当为奇数时，，
当时，，因此，
所以当时，.
7-2．（2024高二下·陕西西安·期末）已知数列满足， ，.
(1)若数列为数列的奇数项组成的数列，证明：数列为等差数列；
(2)求数列的前50项和.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由题设递推式可得，据此可得答案；
（2）设为数列的偶数项组成的数列，由题可得数列是首项为2，公差为的等差数列，后由分组求和法可得答案.
【详解】（1）由题，，
且，所以数列是首项为1，公差为的等差数列；
（2）设为数列的偶数项组成的数列，注意到，
，
所以数列是首项为2，公差为的等差数列，
结合可知，的奇数项和偶数项都是以为公差的等差数列，
所以
.
7-3．（2024·江苏南京·一模）已知数列和满足：.
（1）若，求数列的通项公式；
（2）若.
求证：数列为等差数列；
记数列的前项和为，求满足的所有正整数和的值.
【答案】(1) ;(2)①见解析② ，．
【分析】（1）当时，有，得，
构造数列是首项为，公比为的等比数列,进而得通项;（2）①当时，有（），按照n被4整除的余数分四类分别证明数列为等差数列;②由①知，，则（）；由，得；按照,和时分别讨论,求出正整数和.
【详解】（1）当时，有，得，
令，，所以，
所以数列是首项为，公比为的等比数列；所以，
即，所以（）．
（2）①当时，有（），
（）时，，所以为等差数列；
（）；
（）时，，所以为等差数列；
（）；
（）时，，所以为等差数列；
（）；
（）时，，所以为等差数列；
（）；
所以（），，所以数列为等差数列．
②由①知，，则（）；
由，得；
当时，；
当时，则，因为，所以；
从而，因为和为正整数，所以不存在正整数；
当时，则，因为为正整数，所以，
从而，即，
因为为正整数，所以或；
当时，，不是正整数；当时，，不是正整数；
综上，满足题意的所有正整数和分别为，．
（七）
对于含绝对值的等差数列求和问题
由正项开始的递减等差数列的绝对值求和的计算题解题步骤如下：
（1）首先找出零值或者符号由正变负的项
（2）在对进行讨论，当时，，当时，
题型8：对于含绝对值的等差数列求和问题
8-1．（2024·辽宁大连·模拟预测）已知等差数列的前n项和为，其中，．
(1)求数列的通项；
(2)求数列的前n项和为．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用等差数列的通项公式以及等比数列的性质列方程求出的公差即可求解；
（2）由等差数列的求和公式求出，讨论当时，，；当时，，，写成分段的形式即可.
【详解】（1）设的公差为，
则，解得，
所以；
（2）因为，所以，
当时，，此时，
，
当时，，此时，
，
综上所述：.
8-2．（2024·全国）记为等差数列的前项和，已知．
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意列式求解，进而可得结果；
（2）先求，讨论的符号去绝对值，结合运算求解.
【详解】（1）设等差数列的公差为，
由题意可得，即，解得，
所以，
（2）因为，
令，解得，且，
当时，则，可得；
当时，则，可得
；
综上所述：.
8-3．（2024高三·全国·专题练习）在公差为的等差数列中，已知，且，，成等比数列．
(1)求，；
(2)若，求
【答案】(1)或，或；
(2)
【分析】（1）根据等比中项列式求出，可得；
（2）根据，得，，分类讨论去绝对值，转化为等差数列求和可得结果.
【详解】（1）由题意得，得，
将代入并整理得，解得或．
当时，．
当时，．
所以或；
（2）设数列的前项和为，因为，由（1）得，．
则当时，，
则．
当时，，
则
.
综上所述，.
（八）
等差数列中的范围与恒成立问题
与数列有关的恒成立问题主要有两大类,一是根据数列不等式恒成立,求参数范围,二是数列不等式的
证明
题型9：等差数列中的范围与恒成立问题
9-1．（2024高三上·重庆九龙坡·期中）等差数列的前n项和记为，已知，，若存在正数k，使得对任意，都有恒成立，则k的值为 ．
【答案】9
【分析】先根据条件解出首项与公差，再求取最大值时对应项数.
【详解】，，
所以
当时取最大值，
因为对任意，都有恒成立，所以k的值为
故答案为9
【点睛】本题考查等差数列通项公式与求和公式，考查基本分析求解能力，属基础题.
9-2．（2024·上海杨浦·二模）数列满足对任意恒成立，则 .
【答案】3031
【分析】由已知再写出，两式相减可得数列的偶数项成等差数列，求出后，由等差数列的通项公式可得．
【详解】由，两式相减得.而，
∴.
故答案为：3031．
【点睛】本题考查等差数列的通项公式与等差数列的判断，解题关键是由已知递推式写出相邻式（用代）后两式相减．
9-3．（2024·安徽·模拟预测）已知数列满足：，，，从第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列．
(1)求；
(2)设，若恒成立，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意，数列是等差数列，求出通项后，利用累加法求；
（2）由已知条件求出，作差法判断数列单调性，找到数列最大项，求出的取值范围．
【详解】（1）由题意得，，，…，
数列是以为首项，公差的等差数列，
，
，，，…，，
将所有上式累加可得，．
又也满足上式，．
（2）由（1）得，，则，
恒成立，，
恒成立，，即的取值范围是．
1
2
3
4
5
6
P
1．等差数列的有关概念
(1)等差数列的定义
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示，定义表达式为an－an－1＝d(常数)(n≥2，n∈N*)．
(2)等差中项
由三个数a，A，b组成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，且有2A＝a＋b.
2．等差数列的有关公式
(1)通项公式：an＝a1＋(n－1)d.
(2)前n项和公式：Sn＝na1＋eq \f(nn－1,2)d或Sn＝eq \f(na1＋an,2).
3．等差数列的常用性质
(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)．
(2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an.
(3)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列．
(4)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列．
(5)S2n－1＝(2n－1)an.
(6)等差数列{an}的前n项和为Sn，eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(Sn,n)))为等差数列．
常用结论
1．已知数列{an}的通项公式是an＝pn＋q(其中p，q为常数)，则数列{an}一定是等差数列，且公差为p.
2．在等差数列{an}中，a1＞0，d＜0，则Sn存在最大值；若a1＜0，d＞0，则Sn存在最小值．
3．等差数列{an}的单调性：当d＞0时，{an}是递增数列；当d＜0时，{an}是递减数列；当d＝0时，{an}是常数列．
4．数列{an}是等差数列⇔Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)．这里公差d＝2A.
一、单选题
1．（2024·河南郑州·模拟预测）公差不为零的等差数列中，，则下列各式一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据等差数列通项求出，再利用基本不等式即可求出，对于CD选项，利用特殊值法反驳即可.
【详解】因为,所以,
因为公差不为零,,所以，B正确，A错误，
取,则,此时,C,D均不正确,
故选：B.
2．（2024·北京海淀·三模）已知等差数列的公差为，数列满足，则“”是“为递减数列”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】利用反例说明充分性不成立，再根据等差数列的性质判断必要性.
【详解】因为，所以且，则，
若，不妨令，则，，，，，，
显然不单调，故充分性不成立，
若为递减数列，则不是常数数列，所以单调，
若单调递减，又在，上单调递减，则为递增数列，矛盾；
所以单调递增，则，且，其中当，时也不能满足为递减数列，故必要性成立，
故“”是“为递减数列”的必要不充分条件.
故选：B
3．（2024高二上·浙江温州·期末）在等差数列中，为的前n项和，，，则无法判断正负的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据等差数列，，，可以求出，且，，，从而判断出，，的正负，选出正确答案.
【详解】设公差为，因为，，可知：，且，，所以，从而，不确定正负，，
故选：B
4．（2024高二·全国·课后作业）设是等差数列，则“”是“数列是递增数列”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】根据等差数列的单调性的判定方法，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.
【详解】由题意可得公差，所以数列是递增数列，即充分性成立；
若数列是递增数列，则必有，即必要性成立．
故选：C．
5．（2024高三上·北京·阶段练习）已知等差数列单调递增且满足，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】设出公差，根据单调递增，得到，结合等差数列的性质得到，变形为，解不等式求出答案.
【详解】因为为等差数列，设公差为，
因为数列单调递增，所以，
所以，
则，解得：，
故选：C
6．（2024·江西上饶·模拟预测）2022年10月16日上午10时，举世瞩目的中国共产党第二十次全国代表大会在北京人民大会堂隆重开幕，某单位组织全体人员在报告厅集体收看，已知该报告厅共有16排座位，共有432个座位数，并且从第二排起，每排比前一排多2个座位数，则最后一排的座位数为（ ）
A．12B．26C．42D．50
【答案】C
【分析】根据题意，把各排座位数看作等差数列，设等差数列通项为，首项为，公差为，前项和为，由已知求出，再根据等差数列通项公式求出即可．
【详解】根据题意，把各排座位数看作等差数列，
设等差数列通项为，首项为，公差为，前项和为，则，
所以，解得，
所以，
故选：C．
7．（2024高二下·全国·课后作业）已知数列是等差数列，若，则等于（ ）
A．7B．14C．21D．7(n-1)
【答案】B
【分析】根据等差数列的性质计算.
【详解】因为，所以.
故选：B
8．（2024高二下·全国·课后作业）如果等差数列中，，那么（ ）
A．14B．12C．28D．36
【答案】C
【分析】根据等差数列的性质计算.
【详解】∵，∴，则，又，
故.
故选:C.
9．（2024高三下·河南·阶段练习）已知数列满足，其前n项和为，若，则（ ）
A．B．0C．2D．4
【答案】C
【分析】先利用等差中项判定数列为等差数列，再利用等差数列前n项和公式、等差数列的性质即可求解.
【详解】根据题意，可得数列为等差数列，所以，所以，
所以，所以.
故选：C．
10．（2024·陕西榆林·模拟预测）设为等差数列的前项和，若，则（ ）
A．5B．6C．7D．8
【答案】A
【分析】根据等差数列的中项公式和等差数列的求和公式，准确运算，即可求解.
【详解】由等差数列性质和的求和公式，可得，所以.
故选：A.
11．（2024·安徽蚌埠·模拟预测）已知等差数列满足，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用等差中项求解即可.
【详解】因为数列是等差数列，
所以，即，
所以，
故选：A
12．（2024·江西新余·二模）记是公差不为0的等差数列的前项和，若，，则数列的公差为（ ）
A．B．C．2D．4
【答案】A
【分析】由等差数列和等差数列的前项和公式代入求解即可得出答案.
【详解】由可得：①，
由可得：②，
由①②可得：或(舍去).
故选：A.
13．（2024·四川凉山·三模）在等差数列中，，，则（ ）．
A．3B．5C．7D．9
【答案】C
【分析】由等差中项性质得，利用等差数列通项公式求基本量公差，进而写出通项公式，即可得.
【详解】由题设，则，而，
若等差数列公差为，则，
所以，通项公式为，故.
故选：C
14．（2024·河北·模拟预测）已知等差数列的前项和是，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】设等差数列的公差为，根据等差数列的通项公式与前项和求解，即可求得.
【详解】由已知设等差数列的公差为，则，，
解得，，所以．
故选：D.
15．（2024高三下·云南昆明·阶段练习）已知数列满足：，且满足，则（ ）
A．1012B．1013C．2022D．2023
【答案】A
【分析】变形得到，即中的奇数项是1为公差的等差数列，利用等差数列通项公式求出答案.
【详解】因为，所以，两式相减，得：，
所以数列中的奇数项是以为首项，1为公差的等差数列，
所以.
故选：A.
16．（2024·北京）在等差数列中，，．记，则数列（ ）．
A．有最大项，有最小项B．有最大项，无最小项
C．无最大项，有最小项D．无最大项，无最小项
【答案】B
【分析】首先求得数列的通项公式，然后结合数列中各个项数的符号和大小即可确定数列中是否存在最大项和最小项.
【详解】由题意可知，等差数列的公差，
则其通项公式为：，
注意到，
且由可知，
由可知数列不存在最小项，
由于，
故数列中的正项只有有限项：，.
故数列中存在最大项，且最大项为.
故选：B.
【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式，等差数列中项的符号问题，分类讨论的数学思想等知识，属于中等题.
17．（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知数列中，，当时，，，成等差数列.若，那么（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】依题意可得数列的递推关系，再一一代入即可求解.
【详解】当时，，，成等差数列，则，
由于，则，
故选：D.
18．（2024·全国）记为数列的前项和，设甲：为等差数列；乙：为等差数列，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】C
【分析】利用充分条件、必要条件的定义及等差数列的定义，再结合数列前n项和与第n项的关系推理判断作答.，
【详解】方法1，甲：为等差数列，设其首项为，公差为，
则，
因此为等差数列，则甲是乙的充分条件；
反之，乙：为等差数列，即为常数，设为，
即，则，有，
两式相减得：，即，对也成立，
因此为等差数列，则甲是乙的必要条件，
所以甲是乙的充要条件，C正确.
方法2，甲：为等差数列，设数列的首项，公差为，即，
则，因此为等差数列，即甲是乙的充分条件；
反之，乙：为等差数列，即，
即，，
当时，上两式相减得：，当时，上式成立，
于是，又为常数，
因此为等差数列，则甲是乙的必要条件，
所以甲是乙的充要条件.
故选：C
19．（2024高二下·辽宁·阶段练习）设函数，数列满足，且数列是递增数列，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题首先可根据题意得出，然后根据数列是递增数列得出不等式组，最后通过计算即可得出结果.
【详解】因为，，
所以，
因为数列是递增数列，
所以，解得，即.
故选：C.
【点睛】关键点睛：本题考查了分段函数以及递增数列的综合应用，主要考查了分段函数的单调性，若分段函数为增函数，关键是函数在各段上均为增函数，且满足前一段的最大值小于或等于后一段的最小值，本题需要额外注意.
20．（2024·北京·三模）等差数列的前项和为，若，，则数列的通项公式可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】解不等式，可得出取最大值时对应的的取值，结合已知条件可得合适的选项.
【详解】由题意可知，，，则数列的最大项为.
对于A选项，，当时，且数列为递增数列，此时无最大项，A选项不满足条件；
对于B选项，由，可得，故数列中最大，B选项不满足条件；
对于C选项，，数列为递增数列且当时，，此时无最大项，C选项不满足条件；
对于D选项，由，可得，故数列中最大，D选项满足条件.
故选：D.
【点睛】方法点睛：在等差数列中，求的最小（大）值的方法：
（1）利用通项公式寻求正、负项的分界点，则从第一项起到分界点该项的各项和最小（大）；
（2）借助二次函数的图象及性质求解.
21．（2024·浙江杭州·模拟预测）已知等差数列公差不为0，正项等比数列，，，则以下命题中正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】设等差数列公差为，正项等比数列公比为，，，
由可得出，从而分析出时，，时，．
把方程变形为，引入函数，利用两个函数的图象可得结论．
【详解】设等差数列公差为，正项等比数列公比为，
因为，所以，即，所以，又，所以，
由得，，，
所以时，，时，．
，，由，，
即，（*），
令，，（*）式为，其中，且，
由已知和是方程的两个解，
记，且，是一次函数，是指数函数，
由一次函数和指数函数性质知当它们同增或同减时，图象才能有两个交点，即方程才可能有两解（题中时，，时，，满足同增减）．
如图，作出和的图象，它们在和时相交，
无论还是，由图象可得，，，
时，，时，，
因此，，，，
即，
故选：B
【点睛】关键点点睛：本题考查等差数列和等比数列的性质，解题时由已知两项相等得出公差和公比的关系，考虑到方程有两解，把此方程变形为，引入函数，通过函数图象观察得到和的关系，从而由数形结合思想得出结论．
22．（2024·海南海口·一模）家庭农场是指以农户家庭成员为主要劳动力的新型农业经营主体．某家庭农场从2019年开始逐年加大投入，加大投入后每年比前一年增加相同额度的收益，已知2019年的收益为30万元，2021年的收益为50万元．照此规律，从2019年至2026年该家庭农场的总收益为（ ）
A．630万元B．350万元C．420万元D．520万元
【答案】D
【分析】
分析可知该家庭农场的收益依次成等差数列，求出公差，利用等差数列的求和公式即可求解.
【详解】依题意，该家庭农场每年收益依次成等差数列，设为，
可得，，所以公差为，
所以2019年至2026年该家庭农场的总收益为，
故选：D
23．（2024·江西·模拟预测）天干地支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支.十天干即：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，…，以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，…，以此类推，2023年是癸卯年，请问：在100年后的2123年为（ ）
A．癸未年B．辛丑年C．己亥年D．戊戌年
【答案】A
【分析】根据题意，天干和地支的年份分别是以和为公差的等差数列，根据等差数列的性质即可求解.
【详解】由题意得：天干可看作公差为10的等差数列，地支可看作公差为12的等差数列，
由于，余数为0，故100年后天干为癸，由于，余数为4，
故100年后地支为未，
综上：100年后的2123年为癸未年.
故选：A .
二、多选题
24．（2024·福建泉州·模拟预测）已知等差数列的公差为，前项和为，且，成等比数列，则（ ）
A．B．
C．当时，是的最大值D．当时，是的最小值
【答案】ACD
【分析】根据等比中项的性质得到方程，即可得到，再根据等差数列的通项公式、求和公式及单调性判断即可.
【详解】因为，，成等比数列，所以，即，
整理得，因为，所以，
所以，则，故A正确、B错误；
当时单调递减，此时，
所以当或时取得最大值，即，故C正确；
当时单调递增，此时，
所以当或时取得最小值，即，故D正确；
故选：ACD
25．（2024·江苏盐城·三模）已知数列对任意的整数，都有，则下列说法中正确的有（ ）
A．若，则
B．若，，则
C．数列可以是等差数列
D．数列可以是等比数列
【答案】BC
【分析】利用赋值，递推式以及假设法，即可逐一选项进行判断.
【详解】若，
当时，，
解得，故A错；
若，，
当时，，
解得，
当时，，
解得，
，
根据递推关系可知，
当为奇数，即时，
，故B正确；
若，
则成立，
故数列可以是等差数列，即C正确；
若数列是等比数列，假设公比为，
则由，
得，
两式相除得，，
即，
解得，不符合题意，
则假设不成立，故D错.
故选：BC
26．（2024·安徽安庆·二模）已知为等差数列，前项和为，，公差d = −2 ，则（ ）
A．=
B．当n = 6或7时，取得最小值
C．数列的前10项和为50
D．当n≤2023时，与数列（m N）共有671项互为相反数．
【答案】ACD
【分析】由等差数列的首项和公差求出等差数列的通项公式，即可结合等差数列的性质判断ACD,由数列的单调性可判断B.
【详解】对于A，等差数列中，，公差，则，，故A正确；
对于B，由A的结论，，则，由d = −2当时，，，当时，，则当或6时，取得最大值，且其最大值为，B错误；
对于C,
,故C正确，
对于D，由，则，
则数列中与数列中的项互为相反数的项依次为：
，，，，，，
可以组成以为首项，为公差的等差数列，设该数列为，则，
若，解可得，即两个数列共有671项互为相反数，D正确．
故选：ACD．
27．（2024·广东佛山·模拟预测）已知数列，下列结论正确的有（ ）
A．若，，则
B．若，，则
C．若，则数列是等比数列
D．若为等差数列的前项和，则数列为等差数列
【答案】ABD
【分析】直接利用累加法可判断选项A项；构造为等比数列可判断B项；利用与的关系可求得通项公式即可判断C项；利用等差数列的前n项和公式及定义法判断等差数列即可判断D项.
【详解】对于选项A，由，得，
则，故A项正确；
对于选项B，由得，
所以为等比数列，首项为，公比为2，
所以，所以，故B项正确；
对于选项C，因为，
当时，，
当时，，
将代入，得，
所以，所以数列不是等比数列，故C项错误.
对于选项D，设等差数列的公差为d，
由等差数列前项和公式可得，
所以与n无关，
所以数列为等差数列，故D项正确.
故选：ABD.
三、填空题
28．（2024高二·全国·专题练习）已知等差数列{an}的首项为3，公差为2，则a10＝ ．
【答案】21
【分析】应用等差数列的通项公式直接求第10项．
【详解】∵等差数列{an}的首项为3，公差为2，
∴a10＝a1+9d＝3+9×2＝21．
故答案为：21．
29．（2024高三上·宁夏·期中）设等差数列的前项和为，若，，则
【答案】27
【分析】根据的定义，可得答案.
【详解】.
故答案为：.
30．（2024·上海·模拟预测）已知是公差不为零的等差数列，且，则
【答案】
【分析】根据已知结合等差数列的通项公式，求出首项与公差的关系，将所求的式子用公差表示，即可求解.
【详解】由条件可知，
.
故答案为：
【点睛】本题考查等差数列通项公式基本量的计算，以及等差数列性质的应用，考查计算求解能力，属于基础题.
31．（2024·全国）记为等差数列的前n项和．若，则公差 ．
【答案】2
【分析】转化条件为，即可得解.
【详解】由可得，化简得，
即，解得.
故答案为：2.
32．（2024·上海·模拟预测）已知等差数列的公差不为零，为其前n项和，若，则中不同的数值有 个.
【答案】98
【分析】由等差数前项和公式求出，从而，由此能求出结果．
【详解】解：等差数列的公差不为零，为其前项和，，
，解得，
，
，，1，，中，，，
其余各项均不相等，
，1，，中不同的数值有：．
故答案为：98．
33．（2024·广东佛山·模拟预测）设随机变量的分布列如下：
其中，，…，构成等差数列，则 .
【答案】
【分析】由等差数列的性质和离散型随机变量的性质可求得结果.
【详解】因为，，…，构成等差数列，
所以，
因为，所以，
故答案为：
34．（2024·上海黄浦·三模）南宋的数学家杨辉“善于把已知形状、大小的几何图形的求面积、体积的连续量问题转化为离散量的垛积问题”，在他的专著《详解九章算法·商功》中，杨辉将堆垛与相应立体图形作类比，推导出了三角垛、方垛、刍童垛等的公式，例如三角垛指的是如图顶层放1个，第二层放3个，第三层放6个，第四层放10个第n层放个物体堆成的堆垛，则 ．
【答案】/
【分析】根据给定条件，求出数列的递推关系，利用累加法求出通项，再利用裂项相消法求和作答.
【详解】依题意，在数列中，，
当时，，满足上式，
因此，，数列的前项和为，
则，
所以.
故答案为：
35．（2024·广东东莞·模拟预测）已知等差数列的首项，公差为，前项和为．若恒成立，则公差的取值范围是 ．
【答案】
【分析】由题可得且，即可求解.
【详解】根据等差数列的前项和满足恒成立，可知且，
所以且，解得．
故答案为：.
36．（2024·云南·三模）已知为等差数列的前项和.若，，则当取最小值时，的值为 .
【答案】
【分析】根据等差数列求和公式及下标和性质得到，，即可判断.
【详解】因为，所以，
又，所以，则
所以为递增的等差数列，且，
所以，即当取最小值时，的值为.
故答案为：
37．（2024高三上·上海嘉定·期中）已知等差数列的各项均为正整数，且，则的最小值是
【答案】4
【分析】若等差数列的各项均为正整数，则数列单增，公差，从而表示出，根据其增减性，求得最小值.
【详解】若等差数列的各项均为正整数，则数列单增，则公差，
故为正整数，关于d单减，
，则当时，故取得最小值为4，
故答案为：4
38．（2024·全国·模拟预测）已知为等差数列的前项和，且，，则当取最大值时，的值为 .
【答案】7
【分析】根据条件，由等差数列通项公式及求和公式求得首项和公差，从而变成函数问题，找到最大值.
【详解】方法一：设数列的公差为，则由题意得，解得
则.又，∴当时，取得最大值.
方法二：设等差数列的公差为.∵，∴，
∴，解得，
则，
令
解得，又，
∴，即数列的前7项为正数，从第8项起各项均为负数，
故当取得最大值时，.
故答案为：7.
39．（2024高三·全国·对口高考）已知等差数列的前项和为，若公差，；则的值为 .
【答案】
【分析】设等差数列的奇数项的和为，偶数项之和为，可得出，再由可求出、的值，即为所求结果.
【详解】设，，
因为数列是等差数列，且公差，，
所以，解得，，
所以.
故答案为：.
40．（2024高二上·上海长宁·阶段练习）已知等差数列的前n项和为，若，，则
【答案】
【分析】由等差数列片段和的性质知成等差数列，再由等差中项的性质求结果.
【详解】由题设成等差数列，
所以，则，
所以.
故答案为：
41．（2024·山东）将数列{2n–1}与{3n–2}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}的前n项和为 ．
【答案】
【分析】首先判断出数列与项的特征，从而判断出两个数列公共项所构成新数列的首项以及公差，利用等差数列的求和公式求得结果.
【详解】因为数列是以1为首项，以2为公差的等差数列，
数列是以1首项，以3为公差的等差数列，
所以这两个数列的公共项所构成的新数列是以1为首项，以6为公差的等差数列，
所以的前项和为，
故答案为：.
【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有两个等差数列的公共项构成新数列的特征，等差数列求和公式，属于简单题目.
42．（2024·上海嘉定·三模）已知，，将数列与数列的公共项从小到大排列得到新数列，则 .
【答案】
【分析】分析可知是正奇数列，根据题意求得，然后利用裂项相消法求和即可.
【详解】因为数列是正奇数列，
对于数列，当为奇数时，设，则为偶数；
当为偶数时，设，则为奇数，
所以，则，
所以.
故答案为：.
43．（2024·甘肃张掖·模拟预测）已知等差数列的前n项和为，公差d为奇数，且同时满足：①存在最大值；②；③．则数列的一个通项公式可以为 ．（写出满足题意的一个通项公式）
【答案】（答案不唯一）
【分析】由可得，由存在最大值可得，结合d为奇数且可得的取值，从而可得.
【详解】由得，即．
因为数列是等差数列，所以由等差数列的性质可知．
设等差数列的公差为d，则，．
因为存在最大值，所以公差，又因为d为奇数且，
故可取．当时，，；
当时，，；
当时，，．
故答案为：（答案不唯一）
44．（2024·江苏南京·模拟预测）设等差数列的前n项和为.已知，.若存在正整数k，使得对任意的都有恒成立，则k的值为 ．
【答案】10
【分析】根据等差数列解出首项与公差，写出，找到取最大值时的值即为答案.
【详解】解：因为为等差数列，
所以.
所以，最大值为，
．
故答案为:10.
【点睛】本题考查等差数列前项和的最值.属于基础题.熟练掌握等差数列的通项公式与前项和公式是解本题的关键.
45．（2024·河南新乡·模拟预测）已知数列的前项和为，（），且，.若恒成立，则实数的取值范围为 .
【答案】
【分析】由得，两式相减可证明数列为等差数列，继而可求出，令，通过可知，当时，数列单调递减，故可求出最大值，进而可求 的取值范围.
【详解】由，可得.
两式相减，可得，所以数列为等差数列.
因为，，所以，所以，，
则.令，则.
当时，，数列单调递减，
而，，，
所以数列中的最大项为1，故，
即实数的取值范围为.
故答案为: .
46．（2024高二下·北京·阶段练习）设是公差为的无穷等差数列的前项和，则下列命题正确的是 .
①若，则数列有最大项；②若数列有最大项，则
③若数列对任意的，恒成立，则
④若对任意的，均有，则恒成立
【答案】①②④
【分析】①当时，分和 讨论判断；②由时，存在，当时，判断；③举例判断；④由对任意的，均有，得到，再分和判断.
【详解】①当时，若，则数列有最大项为 ，若 ，则存在，有 ，所以数列有最大项为，故正确；
②当时，存在，当时，，此时，故数列无最大项，所以若数列有最大项，则，故正确；
③若， 恒成立，则，故错误；
④若对任意的，均有，则，若，则，若，则设（为不大于的最大整数），，则，故不成立，故正确；
故答案为：①②④
47．（2024高二下·甘肃定西·期中）已知等差数列的前n项和为，并且，若对恒成立，则正整数的值为 .
【答案】
【分析】根据已知条件将恒成立问题转化为求最值问题，再利用等差数列的下角标性质及等差数列前项和公式即可求解.
【详解】由题意可知，所以，
同理得，所以.
结合，可得.
当时，取得最大值为，
要使对恒成立，只需要，即可，
所以,，即.
所以正整数的值为.
故答案为：.
48．（2024高二上·上海静安·期末）已知数列是等差数列，若，，且数列的前项和有最大值，那么当时，的最大值为 ．
【答案】20
【分析】根据等差数列的性质得出，，再结合等差数列前项和与等差中项求解即可.
【详解】因为，所以和异号，
又数列的前项和有最大值，
所以数列是递减的等差数列，
所以，，又，
所以，，
所以的最大值为20．
故答案为：20.
49．（2024高二下·北京海淀·期中）已知是等差数列{}的前n项和，若仅当时取到最小值，且，则满足的n的最小值为 .
【答案】11
【分析】由前n项和有最小值可知，得出，所以，再由即可求出n的最小值.
【详解】因为，当时取到最小值，
所以，所以，
因为，所以，即，所以.
，则，因为，
所以，解之得：,因为，所以n的最小值为11.
故答案为：11.
50．（2024高三·全国·课后作业）记等差数列的前n项和为，若，，则当取得最大值时，n＝ ．
【答案】
【分析】由求出和的关系，结合等差数列前项和公式即可求解.
【详解】设等差数列的公差为，由可得：，
所以，
因为，所以，则是关于的二次函数，开口向下，对称轴，
由二次函数的图象和性质可得：当时，取最大值，
故答案为：.
51．（2024高二下·湖南衡阳·期末）已知等差数列的通项公式为，当且仅当时，数列的前项和最大.则满足的的最大值为 .
【答案】19
【分析】利用等差数列的单调性、求和公式以及以及一元二次不等式进行求解.
【详解】由题可知，等差数列为递减数列，且，又，
所以，解得，所以，所以，
所以，解得，
所以满足的的最大值为19.
故答案为：19.
52．（2024高二上·河南郑州·开学考试）等差数列中，，，给出下列命题：①，②，③是各项中最大的项，④是中最大的值，⑤为递增数列.其中正确命题的序号是 .
【答案】①②④
【分析】直接利用等差数列中，，，进行转换，进一步求出公差为负值，且，，最后求出结果．
【详解】等差数列中，，，所以，则．
所以，则．
所以①正确．
②整理得正确．
③是各项中最大的项，应该是最小的正数项．故错误．
④是中最大的值，正确；
⑤为递增数列．错误，应改为递减数列．
故答案为：①②④．
【点睛】本题主要考查等差数列的性质的应用、数列的单调性的应用、数列的前项和公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于基础题．
53．（2024高二上·江苏盐城·期中）已知数列满足，则的最小值为 .
【答案】.
【解析】根据递推公式和累加法可求得数列的通项公式.代入中,由数列中的性质,结合数列的单调性即可求得最小值.
【详解】因为,所以,
从而
…,
,
累加可得,
而
所以,
则,
因为在递减,在递增
当时,,
当时,,
所以时取得最小值,最小值为.
故答案为:
【点睛】本题考查了利用递推公式及累加法求数列通项公式的方法,数列单调性及自变量取值的特征,属于中档题.
54．（2024·新疆乌鲁木齐·一模）设是等差数列的前项和，若，，则数列中的最大项是第 项.
【答案】13
【解析】由已知可得数列是递减数列，且前13项大于0，自第14项起小于0，可得数列从第14项起为负值，而为递增数列，则答案可求．
【详解】解：在等差数列中，
由，，得，
，
则数列是递减数列，且前13项大于0，自第14项起小于0，
数列从第14项起为负值，
而为递增数列，
数列的最大项是第13项．
故答案为：13．
【点睛】本题考查数列的函数特性，考查等差数列前项和的应用，属于中档题．
55．（2024高二下·山东潍坊·期中）在数列中，若，前项和，则的最大值为 ．
【答案】66
【分析】根据得到，根据二次函数的性质计算最值即可.
【详解】=21，解得，故，属于二次函数，
对称轴为，故当或时取得最大值，
，，，
故的最大值为66.
故答案为：66.
56．（2024·福建·模拟预测）在等差数列中，前m项（m为奇数）和为70，其中偶数项之和为30，且，则的通项公式为 .
【答案】
【分析】由等差数列的求和公式以及性质得出，从而得出的值，再求出，即可得出答案.
【详解】设等差数列的公差为
，解得，且
，解得
故答案为：
【点睛】本题主要考查了求等差数列奇数项或偶数项的和，等差数列通项公式的基本量的计算，属于中档题.
57．（2024高二下·辽宁·阶段练习）设等差数列，的前n项和分别为，，且，则 .
【答案】/
【分析】根据给定条件，利用等差数列性质化简计算作答.
【详解】等差数列，的前n项和分别为，，
所以.
故答案为：
58．（2024高二下·辽宁沈阳·阶段练习）两个等差数列，的前n项和分别为和，已知，则 ．
【答案】
【分析】根据题意，由等差数列前项和的性质有即可得到结果.
【详解】由题意可知，，
所以.
故答案为:.
四、解答题
59．（2024·江苏·模拟预测）设数列的前n项和为，且满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)证明：数列中的任意不同的三项均不能构成等差数列.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由与的关系公式得出数列是一个等比数列，并求其通项.
（2）利用反证法，先假设数列中存在三项，，满足已知条件，结合通项公式推理出矛盾得出结论.
【详解】（1）令，得.
当时，①，
又②，
①②两式相减，得，
所以.
所以数列是首项为－3，公比为2的等比数列，
所以
（2）假设数列中存在三项数列，，（其中）成等差数列，
则，
由（1）得，即，
两边同时除以，得（*），
因为（*）式右边为奇数，左边为偶数，
所以（*）式不成立，假设不成立.
所以数列中得任意不同的三项均不能构成等差数列.
60．（2024·湖南·模拟预测）记等差数列的前n项和为，已知，．
(1)求的通项公式；
(2)设，数列的前n项和为，若，求m的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据下标和定理及得出，结合即可求出，进而写出通项公式；
（2）首先写出的表达式，由裂项相消法得出，由解出即可．
【详解】（1）设的公差为d，因为，
所以，解得，
又，所以．
所以．
（2）因为，
所以
，
由，解得，
所以．
61．（2024·湖南·二模）记为等差数列的前项和，，．
(1)求数列的通项公式；
(2)求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设等差数列的首项和公差分别为、，依题意得到方程组，解得、，即可得解；
（2）由（1）可得，根据等差数列求和公式计算可得.
【详解】（1）设等差数列的首项和公差分别为、，
由题意可知，
化简得，解得，
所以．
（2）由（1）知：当时，；当时，，
所以
．
62．（2024高二下·江苏南京·期末）记为数列的前项和．
(1)从下面两个条件中选一个，证明：数列是等差数列；
①数列是等差数列；②
(2)若数列为等差数列，且，，求数列的前项和．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）选择条件①，设数列的首项为，公差为，求出，表示出，即可得证.选择条件②，利用与的关系式和等差中项的性质即可得证；
（2）由（1）根据已知得出，然后利用裂项相消法即可求解.
【详解】（1）选择条件①：设数列的首项为，公差为，
则，故，
当时，
，
当时，，，
又．
数列是等差数列．
选择条件②：，
，
两式相减可得，
即，
，
两式相减可得，
化简可得，
，数列是等差数列．
（2）数列是等差数列，且公差，
．
，
故
．
63．（2024·全国）记是公差不为0的等差数列的前n项和，若．
（1）求数列的通项公式；
（2）求使成立的n的最小值．
【答案】(1)；(2)7.
【分析】(1)由题意首先求得的值，然后结合题意求得数列的公差即可确定数列的通项公式；
(2)首先求得前n项和的表达式，然后求解二次不等式即可确定n的最小值.
【详解】(1)由等差数列的性质可得：，则：，
设等差数列的公差为，从而有：，
，
从而：，由于公差不为零，故：，
数列的通项公式为：.
(2)由数列的通项公式可得：，则：，
则不等式即：，整理可得：，
解得：或，又为正整数，故的最小值为.
【点睛】等差数列基本量的求解是等差数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等差数列的有关公式并能灵活运用.
64．（2024·重庆万州·模拟预测）已知数列的前项和为，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列的前项和为，设，求的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据与的关系可直接求解；
（2）先求出，然后得到，然后根据的单调性可求解.
【详解】（1）因为，所以，
所以当时，，所以；
当时，，
所以，
所以，
又满足上式，
所以数列的通项公式为.
（2）由（1）知，
当时，；
当时，
；
所以，
当时，递减，所以；
当时，，
设，
则，令得，此时单调递增，
令得，此时单调递减，
所以在时递减，在时递增，
而，，且，
所以；
综上，的最小值为.
65．（2024·广东深圳·模拟预测）已知等差数列满足，．
(1)求；
(2)数列满足，为数列的前项和，求．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据条件建立方程组，即可求出等差数列的首项和公差，即可求；
（2）利用分组求和及等差数列、等比数列的求和公式即可求数列的前项和．
【详解】（1）设等差数列的公差为d，
因为，．则，解得，
所以．
（2）由（1）可得，
则
，
所以.
66．（2024·湖南长沙·模拟预测）已知数列的前n项和为，数列的前n项积为，且满足．
(1)求证：为等差数列；
(2)记，求数列的前2023项的和M．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据所给递推公式及前项和、积的定义化简，由等差数列定义可得证；
（2）求出，利用裂项相消法求和.
【详解】（1）因为，
当时，，解得或，
又，所以，故，
由，可得，所以，
当时，．
所以，即，
所以，所以
所以是以为首项，1为公差的等差数列.
（2）所以，则，
因为，
故．
67．（2024高三·全国·专题练习）已知数列满足，．
(1)证明：是等差数列，并求出的通项．
(2)证明：．
【答案】(1)证明见解析，；
(2)证明见解析.
【分析】（1）由递推公式可得，两边取倒数，即可得到，从而得到是以为首项，为公差的等差数列，即可求出的通项公式；
（2）令，再由，可得，两式相乘即可得证.
【详解】（1）由，可得，
∴，即，
∵，即，
∴是以为首项，为公差的等差数列，
∴，即．
（2）令①，
∵，∴②，
①×②得，
∴，即．
68．（2024·福建福州·模拟预测）已知数列的前项和为，且.
(1)求证：数列是等差数列；
(2)求数列的前项和.
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【分析】
（1）利用与的关系变形给定的递推公式，构造常数列求出数列的通项，再利用等差数列定义推理作答.
（2）利用（1）的结论，结合裂项相消法求和作答.
【详解】（1）数列中，，当时，，
两式相减得，即，则，
于是，因此数列是常数列，则，
从而，即，
所以数列是以1为首项，为公差的等差数列.
（2）由（1）知，，
所以.
69．（2024高三上·山东济南·期末）已知数列满足：，，.
(1)记，求数列的通项公式；
(2)记数列的前项和为，求.
【答案】(1)
(2)353
【分析】（1）令n取代入已知条件可以得到，从而求出数列的通项公式
（2）先分奇偶求出数列的表达式，分别求奇数项的和与偶数项的和，相加得到
【详解】（1）因为，令n取，则，
即，，所以数列是以1为首项，3为公差的等差数列，所以
（2）令n取2n，则，
所以，
由（1）可知，；
；所以
（一）
等差数列基本量的运算
(1)等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，n，d，an，Sn，知道其中三个就能求出另外两个(简称“知三求二”)．
(2)确定等差数列的关键是求出两个最基本的量，即首项a1和公差d.
题型1：等差数列基本量的运算
1-1．（2024·广西·模拟预测）设为等差数列，若，则公差（ ）
A．－2B．－1C．1D．2
【答案】D
【分析】由等差数列的基本量法列方程组求解．
【详解】由题意得解得，
故选：D.
1-2．（2024高二上·广东珠海·期末）已知等差数列的前项和为，，则 （ ）
A．54B．71C．80D．81
【答案】D
【分析】设等差数列的公差为，根据题意求得，结合等差数列的求和公式，即可求解.
【详解】设等差数列的公差为，
因为，可得，解得，
所以.
故选：D.
1-3．（2024·安徽安庆·二模）记为等差数列的前项和，若，则（ ）
A．30B．28C．26D．13
【答案】C
【分析】根据条件，列出首项和公差的方程组，即可求解.
【详解】设等差数列的首项为，公差为，
则，，，
所以.
故选：C
（二）
等差数列的判定与证明
判断数列{an}是等差数列的常用方法
(1)定义法．
(2)等差中项法．
(3)通项公式法．
(4)前n项和公式法．
题型2：等差数列的判定与证明
2-1．（2024·浙江·模拟预测）已知正项等比数列和数列，满足是和的等差中项，.
(1)证明：数列是等差数列，
(2)若数列的前项积满足，记，求数列的前20项和.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用等差数列的定义法判断即可.
（2）由（1）和，求得，，然后表示出的前20项和即可得出答案.
【详解】（1）由题知，是等比数列，
设其公比为，
由，
可得：当时，，
两式相减得，，
故数列是等差数列.
（2）由知：
当时，，
又，所以，
由（1）设的公差为，
则，
由，
则，，
所以
.
即数列的前20项和为.
2-2．（2024·山西晋中·模拟预测）数列中，，前n项和满足．
（1）证明：为等差数列；
（2）求．
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【分析】（1）根据题中递推关系推出，然后推出，结合等差数列的定义，即可证明结果．
（2）由（1）可知是以1首项，2为公差的等差数列，可得是以为首项，2为公差的等差数列，然后通过求解前101项的偶数项和，前101项的奇数项和，再将两者和相加，即可得到结果．
【详解】解：（1）∵①，
∴②，
①②：③，
∴④，
④③：，
∴，
∴是以1首项，2为公差的等差数列.
（2）由（1）得是以1首项，2为公差的等差数列，
同理可得是以为首项，2为公差的等差数列，
又，故，
∴前101项的偶数项和为，
前101项的奇数项和为，
∴．
【点睛】关键点点睛：在解决第二问时，由（1）得是以首项，2为公差的等差数列，同理得到是以为首项，2为公差的等差数列，为后面求求解前101项的偶数项和，前101项的奇数项和奠定了重要的基础，是解决这个问题的关键点和突破点.
2-3．（2024高一下·浙江宁波·期末）已知数列中，，当时，其前项和满足：，且，数列满足：对任意有.
(1)求证：数列是等差数列；
(2)求数列的通项公式；
(3)设是数列的前项和，求证：.
【答案】(1)证明见解析；
(2)；
(3)证明见解析.
【分析】（1）把代入得，即，从而得证；
（2）利用和与项的关系即可求解得；
（3）利用放缩法，得，再结合裂项相消求和法即可证明.
【详解】（1），，
，即①
由题意，
将①式两边同除以，得，
数列是首项为，公差为1的等差数列.
（2）由（1）可知
当时， ，即，
当时，②，
则③，
②③，，即，
因为满足，
所以.
（3）由（2）可知，
当时，，
当时，，
所以
.
所以.
（三）
等差数列的性质
1.等差数列项的性质的关注点
(1)在等差数列题目中，只要出现项的和问题，一般先考虑应用项的性质．
(2)项的性质常与等差数列的前n项和公式Sn＝eq \f(na1＋an,2)相结合．
2.等差数列前n项和的常用的性质是：
在等差数列{an}中，数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列，且有S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)；S2n－1＝(2n－1)an.
题型3：等差数列项的性质
3-1．（2024·河南·模拟预测）已知数列是等差数列，其前项和为，则等于（ ）
A．63B．C．45D．
【答案】D
【分析】根据题意结合等差数列性质分析运算.
【详解】因为数列是等差数列，则，可得，
且，可得，
所以.
故选：D.
3-2．（2024·全国）记为等差数列的前项和．若，则（ ）
A．25B．22C．20D．15
【答案】C
【分析】方法一：根据题意直接求出等差数列的公差和首项，再根据前项和公式即可解出；
方法二：根据等差数列的性质求出等差数列的公差，再根据前项和公式的性质即可解出．
【详解】方法一：设等差数列的公差为，首项为，依题意可得，
，即,
又，解得：，
所以．
故选：C.
方法二：，，所以，，
从而，于是，
所以．
故选：C.
3-3．（2024高二下·全国·课后作业）已知等差数列中，，则（ ）
A．30B．15C．5D．10
【答案】B
【分析】根据等差数列的性质计算.
【详解】∵数列为等差数列，，所以
∴.
故选：B
题型4：等差数列前n项和的性质
4-1．（2024高一下·四川成都·阶段练习）若两个等差数列，的前n项和分别是，，已知，则 .
【答案】/
【分析】利用等差数列的性质和求和公式，把转化为求解.
【详解】因为，为等差数列，所以，
因为，所以.
故答案为：.
4-2．（2024高三·全国·课后作业）已知数列与均为等差数列，且前n项和分别为与，若，则 ．
【答案】
【分析】根据等差数列的求和公式以及性质即可求解.
【详解】由等差数列的求和公式得，所以，
故答案为：
4-3．（2024高三·全国·专题练习）已知等差数列的项数为奇数，且奇数项的和为40，偶数项的和为32，则 .
【答案】8
【分析】利用等差数列前项和公式分别求奇数项，偶数项和，再求项数，最后同样利用等差数列的前项和公式求.
【详解】设等差数列有奇数项项，，偶数项为项，公差为．
奇数项和为40，偶数项和为32，，，
，
即，解得：
即等差数列共项，且
故答案为：8
【点睛】本题考查等差数列奇数项，偶数项和，重点考查计算能力，属于中档题型.
4-4．（2024高二下·辽宁·期末）等差数列中，，前项和为，若，则 .
【答案】
【分析】由已知结合等差数列的性质可得为等差数列，再设公差为及通项公式即可求解．
【详解】设的公差为，由等差数列的性质可知，因为，故，故为常数，所以为等差数列，设公差为
，，
，
，
，则
故答案为：
（四）
等差数列前n项和的最值
求等差数列前项和最值的2种方法
（1）函数法：利用等差数列前项和的函数表达式，通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解．
（2）邻项变号法：①若，则满足的项数使得取得最大值；
②若，则满足的项数使得取得最小值．
题型5：等差数列前n项和的最值
5-1．（2024·河南郑州·模拟预测）在等差数列中，已知，且，则当取最大值时，（ ）
A．10B．11C．12或13D．13
【答案】C
【分析】由结合等差数列的性质可得，再由，可求得结果.
【详解】因为在等差数列中，
所以
，
所以，
又因为，
所以可知等差数列为递减数列，且前12项为正，第13项以后均为负，
所以当取最大值时，或13．
故选：C．
5-2．（2024·四川成都·模拟预测）设为等差数列的前n项和，且，都有，若，则（ ）
A．的最小值是B．的最小值是
C．的最大值是D．的最大值是
【答案】A
【分析】由结合等差数列的前n项和公式可知数列为递增的等差数列，由可得，，即可求出，有最小值，且最小值为.
【详解】由，得，即，
所以数列为递增的等差数列.
因为，所以，即，
则，，所以当且时，；
当且时，.因此，有最小值，且最小值为.
故选：A.
5-3．（2024高二上·陕西渭南·期中）设等差数列的前项和为，已知，，则以下选项中，最大的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用等差数列前项和公式以及等差数列下标和性质分析出的单调性以及项的取值正负，从而确定出，由此可得选项.
【详解】因为，所以，所以，
又因为，所以，所以，
又，所以，
所以为递减数列，且前项为正值，从第项开始为负值，
所以，
故选：C.
5-4．（2024高三上·湖南长沙·阶段练习）已知数列满足:对恒成立,且,其前项和有最大值,则使得的最大的的值是 .
【答案】15
【分析】先根据递推关系式得数列为等差数列,再根据前项和有最大值得单调性,由,可得,根据等差数列性质,分别判断的正负,即可得出结果.
【详解】解:由题知,
即对恒成立,
所以数列为等差数列,
因为前项和有最大值,
所以数列单调递减,
因为,所以异号,且,
所以可化简为:,即,
因为,
,
所以使得的最大的的值为15.
故答案为:15
（五）
等差数列的实际应用
(1)与等差数列前n项和有关的应用题，其关键在于构造合适的等差数列．
(2)遇到与正整数有关的应用题时，可以考虑与数列知识联系，抽象出数列的模型，并用有关知识解决相关的问题，是数学建模的核心素养的体现．
题型6：等差数列的实际应用
6-1．（2024·江苏南通·模拟预测）现有茶壶九只，容积从小到大成等差数列，最小的三只茶壶容积之和为0.5升，最大的三只茶壶容积之和为2.5升，则从小到大第5只茶壶的容积为（ ）
A．0.25升B．0.5升C．1升D．1.5升
【答案】B
【分析】根据等差数列的性质即可求解.
【详解】设九只茶壶按容积从小到大依次记为 ，
由题意可得，
所以，
故选：B
6-2．（2024·北京）《中国共产党党旗党徽制作和使用的若干规定》指出，中国共产党党旗为旗面缀有金黄色党徽图案的红旗，通用规格有五种.这五种规格党旗的长(单位:cm)成等差数列，对应的宽为(单位: cm),且长与宽之比都相等，已知，，，则
A．64B．96C．128D．160
【答案】C
【分析】设等差数列公差为，求得，得到，结合党旗长与宽之比都相等和，列出方程，即可求解.
【详解】由题意，五种规格党旗的长(单位:cm)成等差数列，设公差为，
因为，，可得，
可得，
又由长与宽之比都相等，且，可得，所以.
故选：C.
6-3．（2024高二下·北京昌平·期中）从冬至日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影长度依次成等差数列，冬至、立春、春分这三个节气的日影长度之和为尺，前九个节气日影长度之和为尺，则谷雨这一天的日影长度为（ ）
A．尺B．尺C．尺D．尺
【答案】A
【分析】根据题意，分别设十二个节气为 ，再运用等差中项求解.
【详解】设冬至，小寒，大寒，立春，雨水，惊蛰，春分，清明，谷雨，立夏，小满，芒种这十二个节气为：，且其公差为，
依题意有：，，
，公差 ，
则，
所以谷雨这一天的日影长度为尺，
故选：A
6-4．（2024·河北唐山·模拟预测）2022年卡塔尔世界杯是第二十二届世界杯足球赛，是历史上首次在卡塔尔和中东国家境内举行，也是继2002年韩日世界杯之后时隔二十年第二次在亚洲举行的世界杯足球赛.某网站全程转播了该次世界杯，为纪念本次世界杯，该网站举办了一针对本网站会员的奖品派发活动，派发规则如下：①对于会员编号能被2整除余1且被7整除余1的可以获得精品足球一个；②对于不符合①中条件的可以获得普通足球一个.已知该网站的会员共有1456人（编号为1号到1456号，中间没有空缺），则获得精品足球的人数为（ ）
A．102B．103C．104D．105
【答案】C
【分析】将能被2整除余1且被7整除余1的正整数按从小到大排列所得的数列记为，求出其通项，结合条件列不等式求出结果.
【详解】将能被2整除余1且被7整除余1的正整数按从小到大排列所得的数列记为，
由已知是的倍数，也是的倍数，
故为的倍数，
所以首项为，公差为的等差数列，
所以，
令，可得，又
解得，且，
故获得精品足球的人数为.
故选：C.
6-5．（2024·全国）北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)（ ）
A．3699块B．3474块C．3402块D．3339块
【答案】C
【分析】第n环天石心块数为，第一层共有n环，则是以9为首项，9为公差的等差数列，
设为的前n项和，由题意可得，解方程即可得到n，进一步得到.
【详解】设第n环天石心块数为，第一层共有n环，
则是以9为首项，9为公差的等差数列，，
设为的前n项和，则第一层、第二层、第三层的块数分
别为，因为下层比中层多729块，
所以，
即
即，解得，
所以.
故选：C
【点晴】本题主要考查等差数列前n项和有关的计算问题，考查学生数学运算能力，是一道容易题.
（六）
关于等差数列奇偶项问题的讨论
对于奇偶项通项不统一的数列的求和问题要注意分类讨论．主要是从为奇数、偶数进行分类．
题型7：关于等差数列奇偶项问题的讨论
7-1．（2024·全国）已知为等差数列，，记，分别为数列，的前n项和，，．
(1)求的通项公式；
(2)证明：当时，．
【答案】(1)；
(2)证明见解析.
【分析】（1）设等差数列的公差为，用表示及，即可求解作答.
（2）方法1，利用（1）的结论求出，，再分奇偶结合分组求和法求出，并与作差比较作答；方法2，利用（1）的结论求出，，再分奇偶借助等差数列前n项和公式求出，并与作差比较作答.
【详解】（1）设等差数列的公差为，而，
则，
于是，解得，，
所以数列的通项公式是.
（2）方法1：由（1）知，，，
当为偶数时，，
，
当时，，因此，
当为奇数时，，
当时，，因此，
所以当时，.
方法2：由（1）知，，，
当为偶数时，，
当时，，因此，
当为奇数时，若，则
，显然满足上式，因此当为奇数时，，
当时，，因此，
所以当时，.
7-2．（2024高二下·陕西西安·期末）已知数列满足， ，.
(1)若数列为数列的奇数项组成的数列，证明：数列为等差数列；
(2)求数列的前50项和.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由题设递推式可得，据此可得答案；
（2）设为数列的偶数项组成的数列，由题可得数列是首项为2，公差为的等差数列，后由分组求和法可得答案.
【详解】（1）由题，，
且，所以数列是首项为1，公差为的等差数列；
（2）设为数列的偶数项组成的数列，注意到，
，
所以数列是首项为2，公差为的等差数列，
结合可知，的奇数项和偶数项都是以为公差的等差数列，
所以
.
7-3．（2024·江苏南京·一模）已知数列和满足：.
（1）若，求数列的通项公式；
（2）若.
求证：数列为等差数列；
记数列的前项和为，求满足的所有正整数和的值.
【答案】(1) ;(2)①见解析② ，．
【分析】（1）当时，有，得，
构造数列是首项为，公比为的等比数列,进而得通项;（2）①当时，有（），按照n被4整除的余数分四类分别证明数列为等差数列;②由①知，，则（）；由，得；按照,和时分别讨论,求出正整数和.
【详解】（1）当时，有，得，
令，，所以，
所以数列是首项为，公比为的等比数列；所以，
即，所以（）．
（2）①当时，有（），
（）时，，所以为等差数列；
（）；
（）时，，所以为等差数列；
（）；
（）时，，所以为等差数列；
（）；
（）时，，所以为等差数列；
（）；
所以（），，所以数列为等差数列．
②由①知，，则（）；
由，得；
当时，；
当时，则，因为，所以；
从而，因为和为正整数，所以不存在正整数；
当时，则，因为为正整数，所以，
从而，即，
因为为正整数，所以或；
当时，，不是正整数；当时，，不是正整数；
综上，满足题意的所有正整数和分别为，．
（七）
对于含绝对值的等差数列求和问题
由正项开始的递减等差数列的绝对值求和的计算题解题步骤如下：
（1）首先找出零值或者符号由正变负的项
（2）在对进行讨论，当时，，当时，
题型8：对于含绝对值的等差数列求和问题
8-1．（2024·辽宁大连·模拟预测）已知等差数列的前n项和为，其中，．
(1)求数列的通项；
(2)求数列的前n项和为．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用等差数列的通项公式以及等比数列的性质列方程求出的公差即可求解；
（2）由等差数列的求和公式求出，讨论当时，，；当时，，，写成分段的形式即可.
【详解】（1）设的公差为，
则，解得，
所以；
（2）因为，所以，
当时，，此时，
，
当时，，此时，
，
综上所述：.
8-2．（2024·全国）记为等差数列的前项和，已知．
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意列式求解，进而可得结果；
（2）先求，讨论的符号去绝对值，结合运算求解.
【详解】（1）设等差数列的公差为，
由题意可得，即，解得，
所以，
（2）因为，
令，解得，且，
当时，则，可得；
当时，则，可得
；
综上所述：.
8-3．（2024高三·全国·专题练习）在公差为的等差数列中，已知，且，，成等比数列．
(1)求，；
(2)若，求
【答案】(1)或，或；
(2)
【分析】（1）根据等比中项列式求出，可得；
（2）根据，得，，分类讨论去绝对值，转化为等差数列求和可得结果.
【详解】（1）由题意得，得，
将代入并整理得，解得或．
当时，．
当时，．
所以或；
（2）设数列的前项和为，因为，由（1）得，．
则当时，，
则．
当时，，
则
.
综上所述，.
（八）
等差数列中的范围与恒成立问题
与数列有关的恒成立问题主要有两大类,一是根据数列不等式恒成立,求参数范围,二是数列不等式的
证明
题型9：等差数列中的范围与恒成立问题
9-1．（2024高三上·重庆九龙坡·期中）等差数列的前n项和记为，已知，，若存在正数k，使得对任意，都有恒成立，则k的值为 ．
【答案】9
【分析】先根据条件解出首项与公差，再求取最大值时对应项数.
【详解】，，
所以
当时取最大值，
因为对任意，都有恒成立，所以k的值为
故答案为9
【点睛】本题考查等差数列通项公式与求和公式，考查基本分析求解能力，属基础题.
9-2．（2024·上海杨浦·二模）数列满足对任意恒成立，则 .
【答案】3031
【分析】由已知再写出，两式相减可得数列的偶数项成等差数列，求出后，由等差数列的通项公式可得．
【详解】由，两式相减得.而，
∴.
故答案为：3031．
【点睛】本题考查等差数列的通项公式与等差数列的判断，解题关键是由已知递推式写出相邻式（用代）后两式相减．
9-3．（2024·安徽·模拟预测）已知数列满足：，，，从第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列．
(1)求；
(2)设，若恒成立，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意，数列是等差数列，求出通项后，利用累加法求；
（2）由已知条件求出，作差法判断数列单调性，找到数列最大项，求出的取值范围．
【详解】（1）由题意得，，，…，
数列是以为首项，公差的等差数列，
，
，，，…，，
将所有上式累加可得，．
又也满足上式，．
（2）由（1）得，，则，
恒成立，，
恒成立，，即的取值范围是．
1
2
3
4
5
6
P
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