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专题30 数列求和5题型分类-备战2025年高考数学一轮专题复习全套考点突破和专题检测（原卷版）
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这是一份专题30 数列求和5题型分类-备战2025年高考数学一轮专题复习全套考点突破和专题检测（原卷版），共19页。试卷主要包含了公式法，分组求和法与并项求和法，错位相减法，裂项相消法等内容，欢迎下载使用。
数列求和的几种常用方法
1．公式法
直接利用等差数列、等比数列的前n项和公式求和．
(1)等差数列的前n项和公式：
Sn＝eq \f(na1＋an,2)＝na1＋eq \f(nn－1,2)d.
(2)等比数列的前n项和公式：
Sn＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(na1，q＝1，,\f(a1－anq,1－q)＝\f(a11－qn,1－q)，q≠1)).
2．分组求和法与并项求和法
(1)分组求和法
若一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减．
(2)并项求和法
一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解．
3．错位相减法
如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的．
4．裂项相消法
把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．
常见的裂项技巧
(1)eq \f(1,nn＋1)＝eq \f(1,n)－eq \f(1,n＋1).
(2)eq \f(1,nn＋2)＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,n)－\f(1,n＋2))).
(3)eq \f(1,2n－12n＋1)＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2n－1)－\f(1,2n＋1))).
(4)eq \f(1,\r(n)＋\r(n＋1))＝eq \r(n＋1)－eq \r(n).
(5)eq \f(1,nn＋1n＋2)＝eq \f(1,2)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,nn＋1)－\f(1,n＋1n＋2))).
常用结论
常用求和公式
(1)1＋2＋3＋4＋…＋n＝eq \f(nn＋1,2).
(2)1＋3＋5＋7＋…＋(2n－1)＝n2.
(3)12＋22＋32＋…＋n2＝eq \f(nn＋12n＋1,6).
(4)13＋23＋33＋…＋n3＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(nn＋1,2)))2.
一、单选题
1．（2024高二上·陕西西安·阶段练习）数列9,99,999，…的前n项和为
A．（10n－1）＋nB．10n－1
C．（10n－1）D．（10n－1）－n
2．（2024高二下·湖北·阶段练习）高斯（Gauss）被认为是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”之称．小学进行的求和运算时，他这样算的：，，…，，共有50组，所以，这就是著名的高斯算法，课本上推导等差数列前n项和的方法正是借助了高斯算法．已知正数数列是公比不等于1的等比数列，且，试根据以上提示探求：若，则（ ）
A．2023B．4046C．2022D．4044
3．（2024高三下·江西·开学考试）已知数列的前n项和为，若对任意的，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
4．（2024·浙江）已知数列满足.记数列的前n项和为，则（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
5．（2024高二下·江苏南京·期中）已知数列的项数为，且，则的前n项和为 ．
6．（2024高二上·湖北黄冈·期末）年意大利数学家列昂那多斐波那契以兔子繁殖为例，引人“兔子数列”，又称斐波那契数列，即该数列中的数字被人们称为神奇数，在现代物理，化学等领域都有着广泛的应用若此数列各项被除后的余数构成一新数列，则数列的前项的和为 .
7．（2024高二上·上海黄浦·期中）数列的前n项和为 .
8．（2024高三下·全国·开学考试）现取长度为2的线段的中点，以为直径作半圆，该半圆的面积为（图1），再取线段的中点，以为直径作半圆．所得半圆的面积之和为（图2），再取线段的中点，以为直径作半圆，所得半圆的面积之和为，以此类推，则 ．
9．（2024高三·全国·对口高考）已知函数，则 ；数列满足，则这个数列的前2015项的和等于 .
10．（2024·江苏·模拟预测）若数列满足，，则的前n项和为 .
11．（2024高三·全国·专题练习）已知为无穷等比数列，，的各项和为9，，则数列的各项和为 ．
12．（2024·全国）某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折，规格为的长方形纸，对折1次共可以得到，两种规格的图形，它们的面积之和，对折2次共可以得到，，三种规格的图形，它们的面积之和，以此类推，则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为 ；如果对折次，那么 .
13．（2024·湖北·模拟预测）“数学王子”高斯是近代数学奠基者之一，他的数学研究几乎遍及所有领域，并且高斯研究出很多数学理论，比如高斯函数､倒序相加法､最小二乘法､每一个阶代数方程必有个复数解等.若函数，设，则 .
14．（2024·黑龙江齐齐哈尔·三模）已知数列的前n项和为，且，设函数，则 ．
15．（2024高三上·河北·阶段练习）德国大数学家高斯年少成名，被誉为数学届的王子，19岁的高斯得到了一个数学史上非常重要的结论，就是《正十七边形尺规作图之理论与方法》．在其年幼时，对的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称之为高斯算法，现有函数，设数列满足，若，则的前n项和 ．
16．（2024高三上·福建泉州·期中）已知，则 .
17．（2024高三·全国·对口高考）数列的前n项和 .
18．（2024高二上·湖北黄冈·期末）已知的前项和为，，，则 .
三、解答题
19．（2024高一下·山西·阶段练习）已知数列，求数列的前项和.
20．（2024高三上·河北·期末）已知数列满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
21．（2024高三上·河北邯郸·阶段练习）已知数列的前项和为，且满足．
(1)证明：数列是等比数列；
(2)求数列的前项和．
22．（2024·陕西商洛·模拟预测）已知公差为正数的等差数列的前项和为，且成等比数列.
(1)求和.
(2)设，求数列的前项和.
23．（2024高三上·海南·期末）已知数列满足，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和．
24．（2024高一下·广东梅州·期末）已知等差数列的前四项和为10，且成等比数列
(1)求通项公式
(2)设，求数列的前项和
25．（2024高三上·辽宁大连·期末）已知数列满足：.设.
(1)证明：数列为等比数列，并求出的通项公式；
(2)求数列的前项和.
26．（2024高三上·重庆·阶段练习）已知数列中，，且.
(1)求的通项公式；
(2)求的前10项和.
27．（2024·云南红河·一模）已知等比数列的前n项和为，其中公比，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和．
28．（2024·全国·模拟预测）已知数列的前项积为．
(1)求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；
(2)令，求数列的前项和．
29．（2024高三上·云南·阶段练习）已知数列满足：（），数列满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)求.
30．（2024高二下·江西萍乡·期末）已知函数关于点对称，其中为实数.
(1)求实数的值；
(2)若数列的通项满足，其前项和为，求.
31．（2024高三上·天津河北·期末）已知是等差数列，其公差不等于，其前项和为是等比数列，且.
(1)求和的通项公式；
(2)求数列的前项和；
(3)记，求的前项和.
32．（2024高三·全国·专题练习）记为数列的前项和，，.
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前项和.
33．（2024高三上·全国·期末）数列为等差数列，为等比数列，公比.
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前项和.
34．（2024·吉林白山·一模）已知等比数列满足，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，其前项和记为，求．
35．（2024·全国·模拟预测）已知是等差数列，是等比数列．
(1)求证：；
(2)记的前n项和为，对任意，，求的取值范围．
36．（2024高二上·湖南张家界·阶段练习）已知等差数列满足，，公比不为的等比数列满足，．
(1)求与通项公式；
(2)设，求的前项和．
37．（2024·全国·模拟预测）已知正项等比数列的前项和为，且，．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
38．（2024·新疆·一模）非零数列满足，且．
(1)设，证明：数列是等差数列；
(2)设，求的前项和．
39．（2024高三上·辽宁沈阳·期中）已知正项数列的前n项和为，且满足，
(1)求
(2)求
40．（2024·广东广州·模拟预测）设数列的前n项和为，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，求数列的前2n项和.
41．（2024高三上·山西忻州·阶段练习）已知数列的前n项和为，，（）.
(1)求的通项公式；
(2)设数列，满足，，求数列的前n项和.
42．（2024·四川攀枝花·二模）已知数列满足．
(1)证明：是等比数列；
(2)求数列的前n项和．
43．（2024高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知数列的前项和为，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和．
44．（2024高三上·云南曲靖·阶段练习）已知数列是公差为的等差数列，是的前n项和，．
(1)若，且，求数列的通项公式；
(2)若，数列的首项为，满足，记数列的前n项和为，求．
45．（2024高三上·广东东莞·期末）数列的前n项积为，且满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)记，求数列的前2n项和．
46．（2024·全国·模拟预测）已知数列满足，记．
(1)求数列的通项公式；
(2)已知，记数列的前项和为．求证：．
47．（2024高二下·福建厦门·阶段练习）数列的前项和为，数列的前项积为，且．
(1)求和的通项公式；
(2)若，求的前项和．
48．（2024高三上·云南德宏·阶段练习）已知数列的前项和为，满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
49．（2024高三上·河北廊坊·期末）已知数列是递增的等比数列，.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
50．（2024·四川绵阳·二模）已知等差数列的前n项和为，且．
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
51．（2024高三·全国·专题练习）仓库有一种堆垛方式，如图所示，最高一层盒，第二层盒，第三层盒，第四层20盒，第五层30盒，，请你寻找至少两个堆放的规律．
52．（2024·广东广州·三模）已知正项数列和为数列的前项和，且满足，
（1）分别求数列和的通项公式；
（2）将数列中与数列相同的项剔除后，按从条到大的顺序构成数列，记数列的前项和为，求．
53．（2024·湖南岳阳·三模）已知等比数列的前n项和为，其公比，，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)已知，求数列的前n项和．
54．（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知等差数列与等比数列的前项和分别为：，且满足：，
(1)求数列的通项公式；
(2)若求数列的前项的和.
55．（2024高三下·湖南常德·阶段练习）已知数列，，为数列的前n项和，，若，，且，.
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列的通项公式为，令为的前n项的和，求.
56．（2024高三上·江苏南京·阶段练习）已知等比数列的公比，前n项和为，满足：.
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
57．（2024·广东汕头·一模）已知数列的前n项和为，.
(1)证明：数列为等比数列，并求数列的前n项和为；
(2)设，证明：.
58．（2024·浙江宁波·模拟预测）设各项均为正数的数列的前项和为，满足.
(1)求的值：
(2)求数列的通项公式：
(3)证明：对一切正整数，有.
59．（2024高三上·天津和平·阶段练习）已知为等差数列，前n项和为是首项为2的等比数列，且公比大于0，．
(1)和的通项公式；
(2)求数列的前8项和；
(3)证明：．
60．（2024·河北沧州·模拟预测）已知数列为等差数列，为其前n项和，若．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前18项和．
61．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知数列满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)求的前项和．
62．（2024·安徽合肥·模拟预测）设数列的前n项和为，已知，，．
(1)证明：数列是等差数列；
(2)记，为数列的前n项和，求．
63．（2024·浙江·模拟预测）已知数列满足.
(1)求数列的通项；
(2)设为数列的前项和，求证．
64．（2024·江西南昌·三模）已知是数列的前项和，满足，且.
(1)求；
(2)若，求数列的前项和.
65．（2024·山东烟台·三模）已知数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，求数列的前项和
66．（2024·福建漳州·模拟预测）已知数列的前项和为，且，.
(1)求的通项公式；
(2)记数列的前项和为，求集合中元素的个数.
67．（2024·福建厦门·模拟预测）已知数列满足．
(1)证明为等差数列，并的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
68．（2024高三上·河北邢台·阶段练习）已知数列的前n项和为，且．
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和．
69．（2024高三上·江西赣州·阶段练习）已知等差数列的前项和为，且，.
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和，并证明：.
70．（2024·广东汕头·三模）已知各项均为正数的数列{an}中，a1=1且满足，数列{bn}的前n项和为Sn，满足2Sn+1=3bn.
(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和Sn；
(3)若在bk与bk+1之间依次插入数列{an}中的k项构成新数列：b1，a1，b2，a2，a3，b3，a4，a5，a6，b4，……，求数列{cn}中前50项的和T50.
71．（2024·福建福州·模拟预测）已知数列的首项，，.
(1)设，求数列的通项公式；
(2)在与（其中）之间插入个3，使它们和原数列的项构成一个新的数列.记为数列的前n项和，求.
72．（2024高三上·江苏镇江·阶段练习）已知等差数列的前n项和为，数列为等比数列，满足是与的等差中项.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前20项和.
73．（2024·广东广州·模拟预测）设数列的前项和为，已知，且数列是公比为的等比数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求其前项和
74．（2024高三上·湖南长沙·阶段练习）已知数列的首项为1，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)若为前项的和，求.
75．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知是数列的前项和，，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和．
76．（2024高三上·重庆沙坪坝·阶段练习）已知数列为等差数列，数列为等比数列，且，若．
(1)求数列，的通项公式；
(2)设由，的公共项构成的新数列记为，求数列的前5项之和．
77．（2024高三·全国·专题练习）求和．
78．（2024·天津津南·模拟预测）已知是单调递增的等差数列，其前项和为.是公比为的等比数列..
(1)求和的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
79．（2024·天津）已知为等差数列，为等比数列，．
（Ⅰ）求和的通项公式；
（Ⅱ）记的前项和为，求证：；
（Ⅲ）对任意的正整数，设求数列的前项和．
80．（2024·天津·一模）已知数列是等差数列，其前n项和为，，；数列的前n项和为，.
(1)求数列，的通项公式；
(2)求数列的前n项和；
(3)求证：.
（一）
分组求和
(1)若数列{cn}的通项公式为cn＝an±bn，且{an}，{bn}为等差或等比数列，可采用分组求和法求数列{cn}的前n项和．
(2)若数列{cn}的通项公式为cn＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(an，n为奇数，,bn，n为偶数，))其中数列{an}，{bn}是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求{cn}的前n项和．
题型1：分组求和
1-1．（2024·吉林通化·模拟预测）为数列的前项和，已知，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)数列依次为：，规律是在和中间插入项，所有插入的项构成以3为首项，3为公比的等比数列，求数列的前100项的和.
1-2．（2024高二上·全国·课后作业）在数列中，已知，．
(1)求证：是等比数列．
(2)求数列的前n项和．
1-3．（2024高三上·广东深圳·阶段练习）已知数列的前n项和为，且满足，，.
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列满足，，，按照如下规律构造新数列：，求数列的前2n项和.
1-4．（2024高三上·贵州贵阳·期末）已知数列和满足：，，，，其中．
(1)求证：；
(2)求数列的前项和．
题型2：并项求和
2-1．（2024·河北沧州·模拟预测）已知正项数列的前项和为，满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
2-2．（2024·河南·三模）在等比数列中，，且，，成等差数列．
(1)求的通项公式；
(2)设，数列的前n项和为，求满足的k的值．
2-3．（2024·江西·模拟预测）记为等差数列的前项和，已知，.
(1)求的通项公式；
(2)记，求数列的前30项的和.
2-4．（2024高三·北京海淀·专题练习）已知数列的前项和为，则 ．
（二）
错位相减法求和
(1)如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{an·bn}的前n项和时，常采用错位相减法．
(2)错位相减法求和时，应注意：
①在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便于下一步准确地写出“Sn－qSn”的表达式．
②应用等比数列求和公式时必须注意公比q是否等于1，如果q＝1，应用公式Sn＝na1.
题型3：错位相减法求和
3-1．（2024·广东东莞·三模）已知数列和，，，.
(1)求证数列是等比数列；
(2)求数列的前项和.
3-2．（2024·西藏日喀则·一模）已知数列的前项和为，且.
(1)求，并求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
3-3．（2024高三上·山东济南·期末）设数列 的前项和为，且; 数列为等差数列，且.
(1)求数列的通项公式.
(2)若 ，求数列的前项和.
3-4．（2024高三下·广东茂名·阶段练习）已知数列满足且
(1)若存在一个实数，使得数列为等差数列，请求出的值；
(2)在（1）的条件下，求出数列的前n项和．
（三）
裂项相消法的原则及规律
(1)裂项原则
一般是前面裂几项，后面就裂几项，直到发现被消去项的规律为止．
(2)消项规律
消项后前面剩几项，后面就剩几项，前面剩第几项，后面就剩倒数第几项．
题型4：裂项相消法求和
4-1．（2024高二下·云南临沧·期中）设数列的前项和为，且.
(1)求；
(2)记，数列的前项和为，求.
4-2．（2024·山东德州·三模）已知为数列的前项和，．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，记的前项和为，证明：．
4-3．（2024高三·全国·专题练习）在数列中，已知，．
(1)求；
(2)若，为的前n项和，证明：．
4-4．（2024·宁夏石嘴山·一模）已知是数列的前项和，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和．
4-5．（2024·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知数列的前项和，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和.
（四）
倒序相加法
将一个数列倒过来排列，当它与原数列相加时，若有规律可循，并且容易求和，则这样的数列求和时可用倒序相加法（等差数列前项和公式的推导即用此方法）．
题型5：倒序相加法
5-1．（2024·黑龙江哈尔滨·三模）设函数，，．则数列的前n项和 ．
5-2．（2024高三·全国·课后作业）设函数，利用课本中推导等差数列前n项和的方法，求得的值为 .
5-3．（2024·广西玉林·三模）已知函数，若函数，数列为等差数列，，则 ．
数列求和的几种常用方法
1．公式法
直接利用等差数列、等比数列的前n项和公式求和．
(1)等差数列的前n项和公式：
Sn＝eq \f(na1＋an,2)＝na1＋eq \f(nn－1,2)d.
(2)等比数列的前n项和公式：
Sn＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(na1，q＝1，,\f(a1－anq,1－q)＝\f(a11－qn,1－q)，q≠1)).
2．分组求和法与并项求和法
(1)分组求和法
若一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减．
(2)并项求和法
一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解．
3．错位相减法
如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的．
4．裂项相消法
把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．
常见的裂项技巧
(1)eq \f(1,nn＋1)＝eq \f(1,n)－eq \f(1,n＋1).
(2)eq \f(1,nn＋2)＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,n)－\f(1,n＋2))).
(3)eq \f(1,2n－12n＋1)＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2n－1)－\f(1,2n＋1))).
(4)eq \f(1,\r(n)＋\r(n＋1))＝eq \r(n＋1)－eq \r(n).
(5)eq \f(1,nn＋1n＋2)＝eq \f(1,2)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,nn＋1)－\f(1,n＋1n＋2))).
常用结论
常用求和公式
(1)1＋2＋3＋4＋…＋n＝eq \f(nn＋1,2).
(2)1＋3＋5＋7＋…＋(2n－1)＝n2.
(3)12＋22＋32＋…＋n2＝eq \f(nn＋12n＋1,6).
(4)13＋23＋33＋…＋n3＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(nn＋1,2)))2.
一、单选题
1．（2024高二上·陕西西安·阶段练习）数列9,99,999，…的前n项和为
A．（10n－1）＋nB．10n－1
C．（10n－1）D．（10n－1）－n
2．（2024高二下·湖北·阶段练习）高斯（Gauss）被认为是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”之称．小学进行的求和运算时，他这样算的：，，…，，共有50组，所以，这就是著名的高斯算法，课本上推导等差数列前n项和的方法正是借助了高斯算法．已知正数数列是公比不等于1的等比数列，且，试根据以上提示探求：若，则（ ）
A．2023B．4046C．2022D．4044
3．（2024高三下·江西·开学考试）已知数列的前n项和为，若对任意的，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
4．（2024·浙江）已知数列满足.记数列的前n项和为，则（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
5．（2024高二下·江苏南京·期中）已知数列的项数为，且，则的前n项和为 ．
6．（2024高二上·湖北黄冈·期末）年意大利数学家列昂那多斐波那契以兔子繁殖为例，引人“兔子数列”，又称斐波那契数列，即该数列中的数字被人们称为神奇数，在现代物理，化学等领域都有着广泛的应用若此数列各项被除后的余数构成一新数列，则数列的前项的和为 .
7．（2024高二上·上海黄浦·期中）数列的前n项和为 .
8．（2024高三下·全国·开学考试）现取长度为2的线段的中点，以为直径作半圆，该半圆的面积为（图1），再取线段的中点，以为直径作半圆．所得半圆的面积之和为（图2），再取线段的中点，以为直径作半圆，所得半圆的面积之和为，以此类推，则 ．
9．（2024高三·全国·对口高考）已知函数，则 ；数列满足，则这个数列的前2015项的和等于 .
10．（2024·江苏·模拟预测）若数列满足，，则的前n项和为 .
11．（2024高三·全国·专题练习）已知为无穷等比数列，，的各项和为9，，则数列的各项和为 ．
12．（2024·全国）某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折，规格为的长方形纸，对折1次共可以得到，两种规格的图形，它们的面积之和，对折2次共可以得到，，三种规格的图形，它们的面积之和，以此类推，则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为 ；如果对折次，那么 .
13．（2024·湖北·模拟预测）“数学王子”高斯是近代数学奠基者之一，他的数学研究几乎遍及所有领域，并且高斯研究出很多数学理论，比如高斯函数､倒序相加法､最小二乘法､每一个阶代数方程必有个复数解等.若函数，设，则 .
14．（2024·黑龙江齐齐哈尔·三模）已知数列的前n项和为，且，设函数，则 ．
15．（2024高三上·河北·阶段练习）德国大数学家高斯年少成名，被誉为数学届的王子，19岁的高斯得到了一个数学史上非常重要的结论，就是《正十七边形尺规作图之理论与方法》．在其年幼时，对的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称之为高斯算法，现有函数，设数列满足，若，则的前n项和 ．
16．（2024高三上·福建泉州·期中）已知，则 .
17．（2024高三·全国·对口高考）数列的前n项和 .
18．（2024高二上·湖北黄冈·期末）已知的前项和为，，，则 .
三、解答题
19．（2024高一下·山西·阶段练习）已知数列，求数列的前项和.
20．（2024高三上·河北·期末）已知数列满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
21．（2024高三上·河北邯郸·阶段练习）已知数列的前项和为，且满足．
(1)证明：数列是等比数列；
(2)求数列的前项和．
22．（2024·陕西商洛·模拟预测）已知公差为正数的等差数列的前项和为，且成等比数列.
(1)求和.
(2)设，求数列的前项和.
23．（2024高三上·海南·期末）已知数列满足，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和．
24．（2024高一下·广东梅州·期末）已知等差数列的前四项和为10，且成等比数列
(1)求通项公式
(2)设，求数列的前项和
25．（2024高三上·辽宁大连·期末）已知数列满足：.设.
(1)证明：数列为等比数列，并求出的通项公式；
(2)求数列的前项和.
26．（2024高三上·重庆·阶段练习）已知数列中，，且.
(1)求的通项公式；
(2)求的前10项和.
27．（2024·云南红河·一模）已知等比数列的前n项和为，其中公比，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和．
28．（2024·全国·模拟预测）已知数列的前项积为．
(1)求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；
(2)令，求数列的前项和．
29．（2024高三上·云南·阶段练习）已知数列满足：（），数列满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)求.
30．（2024高二下·江西萍乡·期末）已知函数关于点对称，其中为实数.
(1)求实数的值；
(2)若数列的通项满足，其前项和为，求.
31．（2024高三上·天津河北·期末）已知是等差数列，其公差不等于，其前项和为是等比数列，且.
(1)求和的通项公式；
(2)求数列的前项和；
(3)记，求的前项和.
32．（2024高三·全国·专题练习）记为数列的前项和，，.
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前项和.
33．（2024高三上·全国·期末）数列为等差数列，为等比数列，公比.
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前项和.
34．（2024·吉林白山·一模）已知等比数列满足，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，其前项和记为，求．
35．（2024·全国·模拟预测）已知是等差数列，是等比数列．
(1)求证：；
(2)记的前n项和为，对任意，，求的取值范围．
36．（2024高二上·湖南张家界·阶段练习）已知等差数列满足，，公比不为的等比数列满足，．
(1)求与通项公式；
(2)设，求的前项和．
37．（2024·全国·模拟预测）已知正项等比数列的前项和为，且，．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
38．（2024·新疆·一模）非零数列满足，且．
(1)设，证明：数列是等差数列；
(2)设，求的前项和．
39．（2024高三上·辽宁沈阳·期中）已知正项数列的前n项和为，且满足，
(1)求
(2)求
40．（2024·广东广州·模拟预测）设数列的前n项和为，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，求数列的前2n项和.
41．（2024高三上·山西忻州·阶段练习）已知数列的前n项和为，，（）.
(1)求的通项公式；
(2)设数列，满足，，求数列的前n项和.
42．（2024·四川攀枝花·二模）已知数列满足．
(1)证明：是等比数列；
(2)求数列的前n项和．
43．（2024高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知数列的前项和为，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和．
44．（2024高三上·云南曲靖·阶段练习）已知数列是公差为的等差数列，是的前n项和，．
(1)若，且，求数列的通项公式；
(2)若，数列的首项为，满足，记数列的前n项和为，求．
45．（2024高三上·广东东莞·期末）数列的前n项积为，且满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)记，求数列的前2n项和．
46．（2024·全国·模拟预测）已知数列满足，记．
(1)求数列的通项公式；
(2)已知，记数列的前项和为．求证：．
47．（2024高二下·福建厦门·阶段练习）数列的前项和为，数列的前项积为，且．
(1)求和的通项公式；
(2)若，求的前项和．
48．（2024高三上·云南德宏·阶段练习）已知数列的前项和为，满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
49．（2024高三上·河北廊坊·期末）已知数列是递增的等比数列，.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
50．（2024·四川绵阳·二模）已知等差数列的前n项和为，且．
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
51．（2024高三·全国·专题练习）仓库有一种堆垛方式，如图所示，最高一层盒，第二层盒，第三层盒，第四层20盒，第五层30盒，，请你寻找至少两个堆放的规律．
52．（2024·广东广州·三模）已知正项数列和为数列的前项和，且满足，
（1）分别求数列和的通项公式；
（2）将数列中与数列相同的项剔除后，按从条到大的顺序构成数列，记数列的前项和为，求．
53．（2024·湖南岳阳·三模）已知等比数列的前n项和为，其公比，，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)已知，求数列的前n项和．
54．（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知等差数列与等比数列的前项和分别为：，且满足：，
(1)求数列的通项公式；
(2)若求数列的前项的和.
55．（2024高三下·湖南常德·阶段练习）已知数列，，为数列的前n项和，，若，，且，.
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列的通项公式为，令为的前n项的和，求.
56．（2024高三上·江苏南京·阶段练习）已知等比数列的公比，前n项和为，满足：.
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
57．（2024·广东汕头·一模）已知数列的前n项和为，.
(1)证明：数列为等比数列，并求数列的前n项和为；
(2)设，证明：.
58．（2024·浙江宁波·模拟预测）设各项均为正数的数列的前项和为，满足.
(1)求的值：
(2)求数列的通项公式：
(3)证明：对一切正整数，有.
59．（2024高三上·天津和平·阶段练习）已知为等差数列，前n项和为是首项为2的等比数列，且公比大于0，．
(1)和的通项公式；
(2)求数列的前8项和；
(3)证明：．
60．（2024·河北沧州·模拟预测）已知数列为等差数列，为其前n项和，若．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前18项和．
61．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知数列满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)求的前项和．
62．（2024·安徽合肥·模拟预测）设数列的前n项和为，已知，，．
(1)证明：数列是等差数列；
(2)记，为数列的前n项和，求．
63．（2024·浙江·模拟预测）已知数列满足.
(1)求数列的通项；
(2)设为数列的前项和，求证．
64．（2024·江西南昌·三模）已知是数列的前项和，满足，且.
(1)求；
(2)若，求数列的前项和.
65．（2024·山东烟台·三模）已知数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，求数列的前项和
66．（2024·福建漳州·模拟预测）已知数列的前项和为，且，.
(1)求的通项公式；
(2)记数列的前项和为，求集合中元素的个数.
67．（2024·福建厦门·模拟预测）已知数列满足．
(1)证明为等差数列，并的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
68．（2024高三上·河北邢台·阶段练习）已知数列的前n项和为，且．
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和．
69．（2024高三上·江西赣州·阶段练习）已知等差数列的前项和为，且，.
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和，并证明：.
70．（2024·广东汕头·三模）已知各项均为正数的数列{an}中，a1=1且满足，数列{bn}的前n项和为Sn，满足2Sn+1=3bn.
(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和Sn；
(3)若在bk与bk+1之间依次插入数列{an}中的k项构成新数列：b1，a1，b2，a2，a3，b3，a4，a5，a6，b4，……，求数列{cn}中前50项的和T50.
71．（2024·福建福州·模拟预测）已知数列的首项，，.
(1)设，求数列的通项公式；
(2)在与（其中）之间插入个3，使它们和原数列的项构成一个新的数列.记为数列的前n项和，求.
72．（2024高三上·江苏镇江·阶段练习）已知等差数列的前n项和为，数列为等比数列，满足是与的等差中项.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前20项和.
73．（2024·广东广州·模拟预测）设数列的前项和为，已知，且数列是公比为的等比数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求其前项和
74．（2024高三上·湖南长沙·阶段练习）已知数列的首项为1，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)若为前项的和，求.
75．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知是数列的前项和，，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和．
76．（2024高三上·重庆沙坪坝·阶段练习）已知数列为等差数列，数列为等比数列，且，若．
(1)求数列，的通项公式；
(2)设由，的公共项构成的新数列记为，求数列的前5项之和．
77．（2024高三·全国·专题练习）求和．
78．（2024·天津津南·模拟预测）已知是单调递增的等差数列，其前项和为.是公比为的等比数列..
(1)求和的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
79．（2024·天津）已知为等差数列，为等比数列，．
（Ⅰ）求和的通项公式；
（Ⅱ）记的前项和为，求证：；
（Ⅲ）对任意的正整数，设求数列的前项和．
80．（2024·天津·一模）已知数列是等差数列，其前n项和为，，；数列的前n项和为，.
(1)求数列，的通项公式；
(2)求数列的前n项和；
(3)求证：.
（一）
分组求和
(1)若数列{cn}的通项公式为cn＝an±bn，且{an}，{bn}为等差或等比数列，可采用分组求和法求数列{cn}的前n项和．
(2)若数列{cn}的通项公式为cn＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(an，n为奇数，,bn，n为偶数，))其中数列{an}，{bn}是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求{cn}的前n项和．
题型1：分组求和
1-1．（2024·吉林通化·模拟预测）为数列的前项和，已知，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)数列依次为：，规律是在和中间插入项，所有插入的项构成以3为首项，3为公比的等比数列，求数列的前100项的和.
1-2．（2024高二上·全国·课后作业）在数列中，已知，．
(1)求证：是等比数列．
(2)求数列的前n项和．
1-3．（2024高三上·广东深圳·阶段练习）已知数列的前n项和为，且满足，，.
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列满足，，，按照如下规律构造新数列：，求数列的前2n项和.
1-4．（2024高三上·贵州贵阳·期末）已知数列和满足：，，，，其中．
(1)求证：；
(2)求数列的前项和．
题型2：并项求和
2-1．（2024·河北沧州·模拟预测）已知正项数列的前项和为，满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
2-2．（2024·河南·三模）在等比数列中，，且，，成等差数列．
(1)求的通项公式；
(2)设，数列的前n项和为，求满足的k的值．
2-3．（2024·江西·模拟预测）记为等差数列的前项和，已知，.
(1)求的通项公式；
(2)记，求数列的前30项的和.
2-4．（2024高三·北京海淀·专题练习）已知数列的前项和为，则 ．
（二）
错位相减法求和
(1)如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{an·bn}的前n项和时，常采用错位相减法．
(2)错位相减法求和时，应注意：
①在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便于下一步准确地写出“Sn－qSn”的表达式．
②应用等比数列求和公式时必须注意公比q是否等于1，如果q＝1，应用公式Sn＝na1.
题型3：错位相减法求和
3-1．（2024·广东东莞·三模）已知数列和，，，.
(1)求证数列是等比数列；
(2)求数列的前项和.
3-2．（2024·西藏日喀则·一模）已知数列的前项和为，且.
(1)求，并求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
3-3．（2024高三上·山东济南·期末）设数列 的前项和为，且; 数列为等差数列，且.
(1)求数列的通项公式.
(2)若 ，求数列的前项和.
3-4．（2024高三下·广东茂名·阶段练习）已知数列满足且
(1)若存在一个实数，使得数列为等差数列，请求出的值；
(2)在（1）的条件下，求出数列的前n项和．
（三）
裂项相消法的原则及规律
(1)裂项原则
一般是前面裂几项，后面就裂几项，直到发现被消去项的规律为止．
(2)消项规律
消项后前面剩几项，后面就剩几项，前面剩第几项，后面就剩倒数第几项．
题型4：裂项相消法求和
4-1．（2024高二下·云南临沧·期中）设数列的前项和为，且.
(1)求；
(2)记，数列的前项和为，求.
4-2．（2024·山东德州·三模）已知为数列的前项和，．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，记的前项和为，证明：．
4-3．（2024高三·全国·专题练习）在数列中，已知，．
(1)求；
(2)若，为的前n项和，证明：．
4-4．（2024·宁夏石嘴山·一模）已知是数列的前项和，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和．
4-5．（2024·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知数列的前项和，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和.
（四）
倒序相加法
将一个数列倒过来排列，当它与原数列相加时，若有规律可循，并且容易求和，则这样的数列求和时可用倒序相加法（等差数列前项和公式的推导即用此方法）．
题型5：倒序相加法
5-1．（2024·黑龙江哈尔滨·三模）设函数，，．则数列的前n项和 ．
5-2．（2024高三·全国·课后作业）设函数，利用课本中推导等差数列前n项和的方法，求得的值为 .
5-3．（2024·广西玉林·三模）已知函数，若函数，数列为等差数列，，则 ．
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