还剩53页未读，
继续阅读
成套系列资料，整套一键下载
专题39 两条直线的位置关系9题型分类-备战2025年高考数学一轮专题复习全套考点突破和专题检测（解析版）
展开
这是一份专题39 两条直线的位置关系9题型分类-备战2025年高考数学一轮专题复习全套考点突破和专题检测（解析版），共56页。试卷主要包含了两条直线的位置关系，五种常用对称关系等内容，欢迎下载使用。
1．两条直线的位置关系
直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，l3：A1x＋B1y＋C1＝0，l4：A2x＋B2y＋C2＝0(其中l1与l3是同一条直线，l2与l4是同一条直线)的位置关系如下表：
2.三种距离公式
(1)两点间的距离公式
①条件：点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)．
②结论：|P1P2|＝eq \r(x2－x12＋y2－y12).
③特例：点P(x，y)到原点O(0,0)的距离|OP|＝eq \r(x2＋y2).
(2)点到直线的距离
点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝eq \f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2)).
(3)两条平行直线间的距离
两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝eq \f(|C1－C2|,\r(A2＋B2)).
常用结论
1．直线系方程
(1)与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程是Ax＋By＋m＝0(m∈R且m≠C)．
(2)与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程是Bx－Ay＋n＝0(n∈R)．
(3)过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括l2.
2．五种常用对称关系
(1)点(x，y)关于原点(0,0)的对称点为(－x，－y)．
(2)点(x，y)关于x轴的对称点为(x，－y)，关于y轴的对称点为(－x，y)．
(3)点(x，y)关于直线y＝x的对称点为(y，x)，关于直线y＝－x的对称点为(－y，－x)．
(4)点(x，y)关于直线x＝a的对称点为(2a－x，y)，关于直线y＝b的对称点为(x,2b－y)．
(5)点(x，y)关于点(a，b)的对称点为(2a－x,2b－y)．
一、单选题
1．（2024高二上·浙江·期中）已知点到直线的距离为，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据点到直线得距离公式即可得出答案.
【详解】解：由题意得．
解得或．，．
故选：C.
2．（2024高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知两条直线，，则这两条直线之间的距离为（ ）
A．2B．3C．5D．10
【答案】A
【分析】由两平行线距离公式求解即可.
【详解】这两条直线之间的距离为.
故选：A
3．（2024高二·全国·课后作业）求直线x＋2y－1＝0关于直线x＋2y＋1＝0对称的直线方程（ ）
A．x＋2y－3＝0B．x＋2y＋3＝0
C．x＋2y－2＝0D．x＋2y＋2＝0
【答案】B
【分析】结合两平行线间的距离公式求得正确选项.
【详解】设对称直线方程为，
，解得或（舍去）.
所以所求直线方程为.
故选：B
4．（2024高二·全国·课后作业）直线关于直线对称的直线为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据两直线关于对称直线对称的概念即可求解
【详解】解：设所求直线上的任意一点为
则关于直线对称点为
点在直线上
满足直线方程，即
直线关于直线对称的直线为
故选：C
5．（2024·浙江温州·三模）已知直线，若，则（ ）
A．B．0C．1D．2
【答案】B
【分析】根据给定的条件，利用两直线的垂直关系列式计算作答.
【详解】因为直线，且，则，
所以.
故选：B
6．（2024·安徽蚌埠·三模）已知直线：，：，则条件“”是“”的（ ）
A．充分必要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不必要也不充分条件
【答案】B
【分析】
根据两直线垂直的性质，可得，求出的值，即可判断.
【详解】
若，则，
解得或.
故是的充分不必要条件.
故选：B
7．（2024高二上·全国·课后作业）直线与互相垂直，则这两条直线的交点坐标为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】由两直线垂直可得，联立解方程组可得交点坐标.
【详解】易知直线的斜率为，
由两直线垂直条件得直线的斜率，解得；
联立，解得；
即交点为
故选：C.
8．（2024高二下·四川广元·期中）若直线过点，其中，是正实数，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．5
【答案】B
【分析】
由点在直线上可知，结合均值不等式即可求解．
【详解】
因为直线过点，所以，
由和都是正实数，所以，，．
所以，
当时取等号，即，时取等号，
所以的最小值是.
故选:B．
9．（2024高二上·全国·课后作业）若直线与之间的距离为，则a的值为（ ）
A．4B．C．4或D．8或
【答案】C
【分析】将直线化为，再根据两平行直线的距离公式列出方程，求解即可.
【详解】将直线化为，
则直线与直线之间的距离，
根据题意可得：，即，解得或，
所以a的值为或.
故选：C
10．（2024高二上·全国·课后作业）抛物线的焦点关于直线的对称点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】求出抛物线焦点坐标为，设关于直线的对称点的坐标是，列出关于的方程组求解即可.
【详解】抛物线即，其焦点坐标为，
设关于直线的对称点的坐标是，
则，解得，则，
故选：A．
11．（2024·四川）设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的取值范围是
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】试题分析：易得.设，则消去得：，所以点P在以AB为直径的圆上，，所以，令，则
.因为，所以.所以，.选B.
法二、因为两直线的斜率互为负倒数，所以，点P的轨迹是以AB为直径的圆.以下同法一.
【考点定位】1、直线与圆；2、三角代换.
12．（2024·全国）点(0，﹣1)到直线距离的最大值为（ ）
A．1B．C．D．2
【答案】B
【分析】首先根据直线方程判断出直线过定点，设，当直线与垂直时，点到直线距离最大，即可求得结果.
【详解】由可知直线过定点，设，
当直线与垂直时，点到直线距离最大，
即为.
故选：B.
【点睛】该题考查的是有关解析几何初步的问题，涉及到的知识点有直线过定点问题，利用几何性质是解题的关键，属于基础题.
13．（2024·北京东城·二模）已知三条直线，，将平面分为六个部分，则满足条件的的值共有（ ）
A．个B．2个C．个D．无数个
【答案】C
【分析】考虑三条直线交于一点或与或平行时，满足条件，求出答案.
【详解】当三条直线交于一点时，可将平面分为六个部分，
联立与，解得，
则将代入中，，解得，
当与平行时，满足要求，此时，
当与平行时，满足要求，此时，
综上，满足条件的的值共有3个.
故选：C
14．（2024高二上·辽宁沈阳·阶段练习）两直线方程为，，则关于对称的直线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据题意，设所求直线上任一点M（x，y）且M关于直线的对称点，，利用轴对称的性质列出方程组解出用、表示、的式子，再由点在直线上代入，化简即得所求对称直线方程；
【详解】设所求直线上任一点，关于直线的对称点，，
则，解出
点在直线上， 将式代入，得，
化简得，即为关于对称的直线方程．
故选：C
15．（2024高一下·海南·期末）设分别是中所对边的边长，则直线与的位置关系是（ ）
A．平行B．重合C．垂直D．相交但不垂直
【答案】C
【分析】根据直线方程确定斜率，利用三角形边角关系及直线垂直的判定判断两直线的位置关系即可.
【详解】由题设，的斜率为，的斜率为，
又，则，即两直线垂直.
故选：C
16．（2024高三下·江西·开学考试）费马点是指三角形内到三角形三个顶点距离之和最小的点.当三角形三个内角均小于120°时，费马点与三个顶点连线正好三等分费马点所在的周角，即该点所对的三角形三边的张角相等且均为120°.根据以上性质，.则的最小值为（ ）
A．4B．C．D．
【答案】B
【分析】根据题意作出图形，证明出三角形ABC为等腰直角三角形，作出辅助线，找到费马点，求出最小值.
【详解】由题意得：的几何意义为点到点的距离之和的最小值，
因为，，
，
所以，故三角形ABC为等腰直角三角形，，
取的中点，连接，与交于点，连接，故，，
因为，所以，故，则，
故点到三角形三个顶点距离之和最小，即取得最小值，
因为，所以，同理得：，，
，
故的最小值为.
故选：B
17．（2024·贵州毕节·模拟预测）直线，直线，下列说法正确的是（ ）
A．，使得B．，使得
C．，与都相交D．，使得原点到的距离为3
【答案】B
【分析】
对A，要使，则，所以，解之再验证即可判断；
对B，要使，，，解之再验证即可判断；
对C，当时，与重合，即可判断；
对D，根据点到直线距离列方程即可判断.
【详解】
对A，要使，则，所以，解之得，此时与重合，选项A错误；
对B，要使，，，解之得，所以B正确；
对C，过定点，该定点在上，但是当时，与重合，所以C错误；
对D，，化简得，此方程，无实数解，所以D错误.
故选：B.
18．（2024·全国）如果直线与直线关于直线对称，那么（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由题意在上任取一点，其关于直线的对称点在上，代入可求出，然后在上任取一点，其关于直线的对称点在上，代入可求出.
【详解】在上取一点，
则由题意可得其关于直线的对称点在上，
所以，得，
在上取一点，
则其关于直线的对称点在上，
所以，得，
综上，
故选：A
19．（2024高一·全国·课后作业）已知ΔABC的顶点，，其垂心为，则其顶点的坐标为
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由垂心的定义可知，；根据垂直时斜率乘积为可知，，利用两点连线斜率公式可构造出方程组求得结果.
【详解】为ΔABC的垂心 ，
又，
直线斜率存在且，
设，则，解得：
本题正确选项：
【点睛】本题考查根据直线与直线垂直的位置关系求解参数的问题；关键是能够利用垂心的性质得到直线与直线的垂直关系.
20．（2024高三·全国·课后作业）若动点A，B分别在直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0上移动，则AB的中点M到原点的距离的最小值为( )
A．3B．2C．3D．4
【答案】A
【解析】先求出点M所在直线的方程为l：x＋y＋m＝0，再求出m的值和原点到直线l的距离即得解.
【详解】依题意知AB的中点M的集合为与直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0距离都相等的直线，
则M到原点的距离的最小值为原点到该直线的距离．
设点M所在直线的方程为l：x＋y＋m＝0，
根据平行线间的距离公式得
所以|m＋7|＝|m＋5|，所以m＝－6，
即l：x＋y－6＝0.
根据点到直线的距离公式得M到原点的距离的最小值为.
故选：A.
【点睛】本题主要考查平行线间的距离和点到直线的距离的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
21．（2024高二上·湖北·阶段练习）在等腰直角三角形中，，点是边上异于的一点，光线从点出发，经反射后又回到点，如图，若光线经过的重心，则（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】C
【分析】根据题意，建立坐标系，设点的坐标，可得关于直线的对称点的坐标，和关于轴的对称点的坐标，由，，四点共线可得直线的方程，由于过的重心，代入可得关于的方程，解之可得的坐标，进而可得的值，即可得答案．
【详解】根据题意，建立如图所示的坐标系，可得，，
故直线的方程为，
又由，，，则 的重心为，
设，其中，点关于直线 的对称点，则有，
解得，即，
易得关于 轴的对称点，
由光的反射原理可知，，，四点共成直线的斜率，
故直线的方程为，
由于直线过 的重心，代入化简可得，
解得：或 舍，即，故，
故选：C．
22．（2024高一上·湖南长沙·开学考试）如下图，一次函数的图象与轴，轴分别交于点，，点是轴上一点，点，分别为直线和轴上的两个动点，当周长最小时，点，的坐标分别为（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】C
【分析】作关于轴的对称点，作关于的对称点，连接交轴于，交于，有，即此时周长最小，求出点坐标，可得直线方程，与联立求出点坐标，令可得点坐标.
【详解】作关于轴的对称点，
作关于的对称点，
连接交轴于，交于，所以，
此时周长最小，即，
由，直线方程为，所以，解得，
所以，可得直线方程为，即，
由，解得，所以，
令可，所以.
故选：C.
23．（2024高二上·广东深圳·期中）过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点M，则的最大值是（ ）
A．B．3C．D．
【答案】C
【分析】求出A，B的坐标，并判断两直线垂直，推出点M在以为直径的圆上，求得，即，结合基本不等式即可求得答案.
【详解】由题意知过定点,
动直线即过定点，
对于直线和动直线满足，
故两直线垂直，
因此点M在以为直径的圆上，，
则，
所以，
当且仅当时等号成立，
故的最大值为，
故选：C
24．（2024高二下·陕西西安·期末）设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的最大值是（ ）
A．B．C．5D．10
【答案】C
【分析】先求出两条直线经过的定点，然后根据两条直线的位置关系可判断它们垂直，从而，在利用勾股定理和基本不等式求解.
【详解】
显然过定点，直线可化成，则经过定点，
根据两条直线垂直的一般式方程的条件，，
于是直线和直线垂直，又为两条直线的交点，则，
又，由勾股定理和基本不等式，
，则，
当时，的最大值是.
故选：C
25．（河北省张家口市2023-2024学年高二上学期期末数学试题）已知，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】设点为直线上的动点，题意可转化成求与的距离和与的距离之和的最小值，求出关于直线的对称点，故，即可求出答案
【详解】设点为直线上的动点，
由可看作与的距离和与的距离之和，
设点则点为点关于直线的对称点，
故，且，
所以，
当且仅当三点共线时，取等号，
所以的最小值为.
故选：C
26．（2024·贵州·模拟预测）已知，满足，则的最小值为（ ）
A．B．C．1D．
【答案】B
【分析】先求出点关于线段的对称点的坐标，且有.根据几何意义，结合图象，即可得出取最小值时，点的位置，进而得出答案.
【详解】
如图，过点作点关于线段的对称点，则.
设，则有，解得，所以.
设，则，所以，
又，所以点到轴的距离为，
所以，可视为线段上的点到轴的距离和到的距离之和.
过作轴，过点作轴，显然有，当且仅当三点共线时，和有最小值.
则即为最小值，与线段的交点，即为最小值时的位置.
因为，所以的最小值为.
故选：B．
27．（2024·上海静安·二模）设直线与关于直线对称，则直线的方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据三条直线交于一点，再利用点关于直线的对称点公式，求直线上一点，即可求解.
【详解】联立，得，
取直线上一点，设点关于直线的对称点为，则，解得：，
直线的斜率，所以直线的方程为，
整理为：.
故选：A
28．（2024高三·北京·强基计划）的最小值所属区间为（ ）
A．B．
C．D．前三个答案都不对
【答案】C
【分析】利用代数式的几何意义可求最小值.
【详解】如图，设．
根据题意，设题中代数式为M，则，
等号当P，Q分别为直线与x轴，y轴交点时取得．
因此所求最小值为13．
故选：C.
29．（2024·北京）在平面直角坐标系中，记为点到直线的距离，当、变化时，的最大值为
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】为单位圆上一点，而直线过点，则根据几何意义得的最大值为.
【详解】为单位圆上一点，而直线过点，
所以的最大值为，选C.
【点睛】与圆有关的最值问题主要表现在求几何图形的长度、面积的最值，求点到直线的距离的最值，求相关参数的最值等方面．解决此类问题的主要思路是利用圆的几何性质将问题转化．
二、多选题
30．（2024高二下·江苏南京·期末）已知动点分别在直线与上移动，则线段的中点到坐标原点的距离可能为（ ）
A．B．C．D．
【答案】CD
【分析】根据直线平行可得在直线上运动，即可根据点到直线的距离公式即可求解.
【详解】解：动点分别在直线与上移动，
又线段的中点为，，
在直线上运动，
到直线的距离．
到坐标原点的距离大于等于．
故选：CD．
31．（24-25高二上·全国·单元测试）已知两条直线，的方程分别为与，下列结论正确的是（ ）
A．若，则B．若，则两条平行直线之间的距离为
C．若，则D．若，则直线，一定相交
【答案】AD
【分析】根据两直线平行求出的值，可判断A选项；利用平行线间的距离公式可判断B选项；根据两直线垂直求出的值，可判断C选项；根据两直线相交求出的范围，可判断D选项.
【详解】两条直线，的方程分别为与，它们不重合，
若，则，得，检验符合，故A选项正确；
若，由A选项可知，：，直线的方程可化为，
故两条平行直线之间的距离为，故B选项不正确；
若，则，得，故C选项不正确；
由A选项知，当时，，所以若，则直线，一定相交，故D选项正确.
故选：AD.
32．（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线l：，则下列结论正确的是（ ）
A．直线l的一个法向量为
B．若直线m：，则
C．点到直线l的距离是2
D．过与直线l平行的直线方程是
【答案】CD
【分析】对于A：根据直线方向向量与斜率之间的关系分析判断；对于B：根据直线垂直分析判断；对于C：根据点到直线的距离公式运算求解；对于D：根据直线平行分析求解.
【详解】对于A，因为直线l：的斜率，
但，可知不为直线l的一个法向量，故A错误；
对于B，因为直线m：的斜率，且，
所以直线l与直线m不垂直，故B错误；
对于C，点到直线l的距离，故C正确；
对于D，过与直线l平行的直线方程是，即，故D正确．
故选：CD.
33．（2024高二下·江西南昌·阶段练习）已知曲线和直线，则（ ）
A．曲线上与直线l平行的切线的切点为
B．曲线上与直线l平行的切线的切点为
C．曲线上的点到直线l的最短距离为
D．曲线上的点到直线l的最短距离为
【答案】BC
【分析】根据导数得出切线斜率求切点判断A,B,再结合点到直线距离求出最短距离判断C,D.
【详解】设与直线平行的直线和相切，则斜率为.
因为，所以，令，可得切点为，故A错误，B正确；
则点到直线的距离就是曲线上的点到直线的最短距离，
由点到直线的距离公式知最短距高为，故C正确，D错误.
故选：BC.
34．（福建省莆田第三中学，励志学校2023-2024学年高二上学期期中联考数学试卷）以下四个命题叙述正确的是（ ）
A．直线在轴上的截距是1
B．直线和的交点为，且在直线上，则的值是
C．设点是直线上的动点，为原点，则的最小值是2
D．直线，若，则或2
【答案】BC
【分析】求出直线的横截距判断A；解方程组求出判断B；求出点到直线的距离判断C；验证判断D.
【详解】对于A，直线在轴上的截距是，A错误；
对于B，由解得，即，则，解得，B正确；
对于C，依题意，，C正确；
对于D，当时，直线重合，D错误.
故选：BC
三、填空题
35．（2024高二·全国·课后作业）已知，，点是线段的中点，则 .
【答案】
【分析】利用中点坐标公式可求得，由此可得结果.
【详解】由中点坐标公式知：，，解得：，，.
故答案为：.
36．（2024高二·江苏·假期作业）已知点与点间的距离为，则 ．
【答案】9或
【分析】根据两点间的距离公式列方程求解即可.
【详解】由，
得，
即，解得或．
故答案为：9或.
37．（2024高三上·河北廊坊·阶段练习）与直线关于点对称的直线的方程为 .
【答案】
【分析】根据直线关于点对称方程的特点可设直线方程，在利用点到两条直线的距离相等即可求解直线方程.
【详解】解：直线关于点对称的直线的方程可设为，其中
又点到直线与到直线的距离相等
所以，即，所以或（舍）.
故所求直线方程为：.
故答案为：.
38．（2024高一·全国·课后作业）已知直线l与直线及直线分别交于点P，Q．若PQ的中点为点，则直线l的斜率为 ．
【答案】
【分析】由点关于点对称,运算可得解.
【详解】解：设，则．由点Q在直线上，得，．故．
所以直线l的斜率为，所以
故答案为
【点睛】本题考查了点关于点对称问题，属基础题.
39．（2024高二上·辽宁大连·阶段练习）设点A在x轴上，点B在y轴上，的中点是，则等于
【答案】
【解析】根据点A在x轴上，点B在y轴上，且的中点是，利用中点坐标公式得到A，B的坐标，再利用两点间的距离公式求解.
【详解】因为点A在x轴上，点B在y轴上，且的中点是，
所以，
所以，
故答案为：
【点睛】本题主要考查两点间的距离公式和中点坐标公式的应用，属于基础题.
40．（2024高三上·黑龙江哈尔滨·期中）点到直线的距离的最大值是 ．
【答案】
【分析】直线恒过点，根据几何关系可得，点到直线的距离的最大值为.
【详解】因为直线恒过点，
记，直线为直线，
则当时，此时点到直线的距离最大，
∴点到直线距离的最大值为：
.
故答案为：.
41．（2024高二上·江苏南通·期中）已知点在轴上，点在轴上，线段的中点的坐标为，则线段的长度为 .
【答案】
【分析】利用直角三角形的几何性质得出，利用两点间的距离公式可求得结果.
【详解】在平面直角坐标系中，，
则为直角三角形，且为斜边，
故.
故答案为：
42．（2024高二·全国·课堂例题）已知点，，，则的面积为 ．
【答案】5
【分析】利用两点间距离公式求出一边长，再根据两点式求出该边所在直线的方程，利用点到直线的距离公式求高，进而求得三角形面积.
【详解】设边上的高为，则就是点C到AB所在直线的距离．
易知．
由两点式可得边所在直线的方程为，即．
点到直线的距离，
所以的面积为．
故答案为：5
43．（2024·云南保山·一模）已知坐标原点为O，过点作直线n不同时为零)的垂线，垂足为M，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据题意，将直线变形为，分析可得该直线恒过点，设，进而分析可得点的轨迹是以为直径的圆，其方程为，据此分析可得答案．
【详解】根据题意，直线，即，
则有，解可得，则直线恒过点．
设，又由与直线垂直，且为垂足，
则点的轨迹是以为直径的圆，其方程为，
所以；即的取值范围是；
故答案为．
【点睛】此类问题为“隐形圆问题”，常规的处理办法是找出动点所在的轨迹（通常为圆），常见的“隐形圆”有：
（1）如果为定点，且动点满足，则动点 的轨迹为圆；
（2）如果ΔABC中，为定长，为定值，则动点的轨迹为一段圆弧．特别地，当，则的轨迹为圆（除去）；
（3）如果为定点，且动点满足(为正常数)，则动点的轨迹为圆；
44．（2024高二上·全国·课后作业）已知点、、，且，则 .
【答案】
【分析】
利用平面内两点间的距离公式可得出关于的等式，解之即可.
【详解】
已知点、、，且，
则，解得.
故答案为：.
45．（2024高二上·安徽六安·期中）已知两直线和的交点为，则过两点的直线方程为 .
【答案】
【分析】根据两直线和的交点列方程，对比后求得直线的方程.
【详解】依题意两直线和的交点为，
所以在直线上，
所以过两点所在直线方程为.
故答案为：
46．（2024高三上·上海青浦·阶段练习）在平面直角坐标系中，若动点到两直线和的距离之和为，则的最大值为 .
【答案】8
【分析】由已知可知两直线，取在的右侧时，分别过作两直线的垂线，结合几何性质确定点轨迹，即可求得的最大值,其他位置同理可得．
【详解】若动点到两直线和的距离之和为，
交点为的斜率分别为，则，
在的右侧时，过分别向引垂线，
垂足分别为，那么，
过作轴的平行线，与交点为如图，
则，所以，
其它位置同理，那么点轨迹为正方形，
当在时，取得最大值，即取得最大值8.
故答案为：8．
47．（2024·四川）在平面直角坐标系内，到点A（1，2），B（1，5），C（3，6），D（7，﹣1）的距离之和最小的点的坐标是 ．
【答案】（2，4）
【详解】取四边形ABCD对角线的交点，这个交点到四点的距离之和就是最小值．可证明如下：
假设在四边形ABCD中任取一点P，在△APC中，有AP＋PC＞AC，在△BPD中，有PB＋PD＞BD，
而如果P在线段AC上，那么AP＋PC＝AC；同理，如果P在线段BD上，那么BP＋PD＝BD.
如果同时取等号，那么意味着距离之和最小，此时P就只能是AC与BD的交点．
易求得P(2,4)．
48．（2024高三·陕西·阶段练习）若直线m被两平行线与所截得的线段的长为，则m的倾斜角可以是①15°，②30°，③45°，④60°，⑤75°.其中正确答案的序号是 (写出所有正确答案的序号)．
【答案】①⑤
【分析】先求两平行线间的距离为，结合题意直线m被两平行线所截得的线段的长为得到直线m与两平行线的夹角为30°，再根据已知直线的倾斜角进行求解．
【详解】因为，所以直线，间的距离．
设直线m与直线，分别相交于点B，A，
则，
过点A作直线l垂直于直线，垂足为C，
则，
则在中，，
所以，
又直线的倾斜角为45°，
所以直线m的倾斜角为或．
故答案为：①⑤．
49．（2024高三·全国·专题练习）在平面直角坐标系xOy中，将直线l沿x轴正方向平移3个单位长度，沿y轴正方向平移5个单位长度，得到直线l1.再将直线l1沿x轴正方向平移1个单位长度，沿y轴负方向平移2个单位长度，又与直线l重合.若直线l与直线l1关于点（2，3）对称，则直线l的方程是 .
【答案】6x－8y＋1＝0
【解析】根据平移得到l1：y＝k（x－3）＋5＋b和直线：y＝kx＋3－4k＋b，解得k＝，再根据对称解得b＝，计算得到答案.
【详解】由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx＋b，
则直线l1：y＝k（x－3）＋5＋b，平移后的直线方程为y＝k（x－3－1）＋b＋5－2
即y＝kx＋3－4k＋b，∴b＝3－4k＋b，解得k＝ ，
∴直线l的方程为y＝x＋b，直线l1为y＝x＋＋b
取直线l上的一点 ，则点P关于点（2，3）的对称点为 ，
，解得b＝.
∴直线l的方程是 ，即6x－8y＋1＝0.
故答案为：6x－8y＋1＝0
【点睛】本题考查了直线的平移和对称，意在考查学生对于直线知识的综合应用.
50．（2024高三·全国·专题练习）点，到直线l的距离分别为1和4，写出一个满足条件的直线l的方程： .
【答案】或或（填其中一个即可）
【分析】设，，以M为圆心，1为半径作圆M，以N为圆心4为半径作圆N，转化为找公切线问题.
【详解】设，，连接MN，则.
以M为圆心，1为半径作圆M，以N为圆心4为半径作圆N，则两圆外切，
所以两圆有3条公切线，即符合条件的直线l有3条.
当公切线的斜率不存在时，显然公切线的方程为.
当公切线的斜率存在时，设公切线的方程为，则有，
由①②得，所以或.
由①及得，由①及得，
所以公切线方程为或.
综上，直线l的方程为或或.
故答案为：或或
51．（2024高一·全国·课后作业）经过直线3x+2y+6=0和2x+5y-7=0的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为 .
【答案】x+y+1=0或3x+4y=0
【详解】由题意可设所求直线方程为，即
令，得
令，得
∵所求直线方程在两坐标轴上的截距相等
∴，即或
∴所求直线方程为或
故答案为或
52．（2024高二上·全国·课后作业）经过点和两直线；交点的直线方程为 .
【答案】
【分析】设所求直线方程为，将点代入方程，求得，即可求解.
【详解】设所求直线方程为，
点在直线上，
，
解得，
所求直线方程为，即．
故答案为：.
53．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知实数，满足，，，则的最小值是 ．
【答案】/
【分析】根据给定条件，求出各等式表示的几何意义，及所求最值的表达式的几何意义，再把问题转化为求圆上的点到直线距离的最小值作答.
【详解】依题意，方程、分别表示以原点为圆心，2、3为半径的圆，
令，即点分别在、上，如图，
显然，，即有，
，取线段中点，连接，则，
因此点在以原点为圆心，为半径的圆上，
而，
即表示点到直线的距离和的倍，
过分别作直线的垂线，垂足分别为，过作垂直于直线于点，
于是，，
，原点到直线的距离，
显然，当且仅当点共线，且点在线段上时取等号，
所以.
故答案为：
【点睛】思路点睛：涉及与圆相离的图形F上的点与圆上点的距离最值问题，转化为图形F上的点与圆心距离加或减圆半径求解.
四、解答题
54．（2024高二上·广东东莞·期中）在平面直角坐标系中，已知的三个顶点.
(1)求边所在直线的方程;
(2)若的面积等于7，且点的坐标满足，求点的坐标.
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）根据直线的两点式求解直线方程即可；
（2）首先求出点到直线的距离及，再根据，得到，最后解方程组即可求出点的坐标.
【详解】（1）因为B2,1、，
所以边所在直线的方程为，整理得；
（2）点到直线的距离，
又，因为，
所以有，即，
又点的坐标满足，
因此有或，
解得或，
所以点的坐标为或．
55．（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线l经过点，且平行于向量.
(1)求直线l的方程；
(2)若直线m与l平行且点P到直线m的距离为，求直线m的方程.
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）根据直线方向向量的性质，结合直线的点斜式方程进行求解即可；
（2）根据两平行线间方程的特征，结合两平行直线的距离公式进行求解即可.
【详解】（1）由题意知直线l的斜率为1，所求直线方程为，即.
（2）由直线m与直线l平行，可设直线m的方程为，
由点到直线的距离公式得，即，
解得或.
所以所求直线m的方程为或.
56．（2024高二上·天津河西·阶段练习）已知直线，.
(1)若坐标原点O到直线m的距离为，求a的值；
(2)当时，直线l过m与n的交点，且它在两坐标轴上的截距相反，求直线l的方程.
【答案】(1)或
(2)或
【分析】（1）依据点到直线的距离公式建立方程求解即可.
（2）联立求出直线交点，再分类讨论直线是否过原点，求解即可.
【详解】（1）设原点O到直线m的距离为，
则，解得或；
（2）由解得，即m与n的交点为.
当直线l过原点时，此时直线斜率为，
所以直线l的方程为；
当直线l不过原点时，设l的方程为，
将代入得，
所以直线l的方程为.
故满足条件的直线l的方程为或.
57．（2024高二·全国·课后作业）已知点，点P在x轴上使最大，求点P的坐标．
【答案】
【分析】首先求得点A关于x轴的对称点，然后数形结合根据直线方程求解点P的坐标即可.
【详解】点关于x轴的对称点为,如图所示，若点不在直线上则,
连接并延长交x轴于点P，即为最大值．
直线的方程是，
即.
令，得．
则点P的坐标是.
位置关系
l1，l2满足的条件
l3，l4满足的条件
平行
k1＝k2且b1≠b2
A1B2－A2B1＝0且A1C2－A2C1≠0
垂直
k1·k2＝－1
A1A2＋B1B2＝0
相交
k1≠k2
A1B2－A2B1≠0
（一）
判断两条直线位置关系的注意点
(1)斜率不存在的特殊情况．
(2)可直接利用直线方程系数间的关系得出结论．
题型1：两条直线的平行与垂直
1-1．（2024高三上·广东东莞·阶段练习）直线：与直线：平行， 则（ ）
A．或B．C．D．
【答案】A
【分析】根据平行直线的斜率相等关系列出方程，求得的值，然后检验即可.
【详解】因为直线：与直线：平行，
所以或，
当时，直线：，直线：，
此时直线与直线平行，满足题意，
当时，直线：，直线：，
此时直线与直线平行，满足题意，
故选：A.
1-2．（2024高二下·广东深圳·阶段练习）已知曲线在点处的切线与直线垂直，则点的坐标为（ ）
A．B．
C．或D．
【答案】C
【分析】由题设知处的切线斜率为2，应用导数几何意义列方程求点的横坐标则P点可求.
【详解】由题直线的斜率为，故曲线在处的切线斜率为2，而，
所以，则，即，故点的坐标为或.
故选：C.
1-3．（2024高二下·四川南充·阶段练习）与直线平行且过点的直线方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】设所求直线方程为，代入点的坐标求得C，即可得出答案.
【详解】设所求直线方程为，
又过点，则可得，解得，
则所求直线方程为
故选：A
1-4．（2024高二·全国·专题练习）已知A(－1，2)，B(1，3)，C(0，－2)，点D使AD⊥BC，AB∥CD，则点D的坐标为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】设D(x，y)，根据两直线平行和垂直时，其斜率间的关系得出方程组，解之可求得点D的坐标得选项.
【详解】解：设D(x，y)，∵AD⊥BC，∴·＝－1，∴x＋5y－9＝0，
∵AB∥CD，∴＝，∴x－2y－4＝0，由得，，
故选：D.
1-5．（2024高二上·浙江温州·开学考试）设直线，，则是的（ ）
A．充要条件B．必要不充分条件
C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】利用充分条件和必要条件的定义，结合直线垂直的性质判断即可.
【详解】当时，直线，，
此时，则，所以，故充分性成立；
当时，，解得或，故必要性不成立；
所以“”是“”的充分不必要条件，
故选：C.
1-6．（2024高一·全国·课后作业）已知过点和点的直线为l1，. 若，则的值为（ ）
A．B．
C．0D．8
【答案】A
【分析】由平行、垂直直线的斜率关系得出的值.
【详解】因为，所以，解得，又，所以，
解得.所以.
故选：A.
（二）
利用距离公式应注意的点
(1)点P(x0，y0)到直线x＝a的距离d＝|x0－a|，到直线y＝b的距离d＝|y0－b|.
(2)两条平行线间的距离公式要把两条直线方程中x，y的系数化为相等．
题型2：两直线的交点问题
2-1．（2024高二下·全国·课堂例题）直线与直线相交，则实数的值为（ ）
A．或B．或
C．或D．且
【答案】D
【分析】根据给定条件，利用两条直线相交的充要条件，列式求解即得.
【详解】由直线与直线相交，得，
即，解得且，
所以实数k的值为且.
故选：D
2-2．（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线与直线互相垂直，交点坐标为，则的值为（ ）
A．20B．C．0D．24
【答案】B
【分析】根据两直线垂直可求出的值，将公共点的坐标代入直线的方程，可得出的值，再将公共点的坐标代入直线的方程，可得出的值，由此可得出的值.
【详解】已知直线的斜率为，直线的斜率为．
又两直线垂直，则，解得．
，即，
将交点代入直线的方程中，得．
将交点代入直线的方程中，得．
所以，．
故选：B．
2-3．（2024高三·全国·专题练习）若三条直线不能围成三角形，则实数的取值最多有（ ）
A．个B．个
C．个D．个
【答案】C
【分析】分析可知至少有两条直线平行或三条直线相交于同一点，则三条直线不能构成三角形.
【详解】三条直线不能构成三角形 至少有两条直线平行或三条直线相交于同一点.
若∥，则；若∥，则；
若∥，则的值不存在；
若三条直线相交于同一点，
直线和联立：，直线和交点为;
直线和联立：，直线和交点为;
三条直线相交于同一点两点重合或.
故实数的取值最多有个.
故选:C
2-4．（2024高三·全国·专题练习）若直线与直线的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】法一：联立直线方程求交点，根据所在象限求斜率范围，进而确定倾斜角范围；法二：确定直线位于第一象限部分的端点，结合直线l与其交点在第一象限，数形结合确定倾斜角范围.
【详解】法一：联立两直线方程，得，解得，
所以两直线的交点坐标为.
因为两直线的交点在第一象限，所以，解得，
设直线l的倾斜角为θ，则，又，所以.
法二：由题意，直线l过定点，
设直线与x轴、y轴的交点分别为.
如图，当直线l在阴影部分（不含边界）运动时，两直线的交点在第一象限，易知，
∴的倾斜角为，的倾斜角为.
∴直线l的倾斜角的取值范围是.
故选：D
题型3：点到直线的距离问题
3-1．（2024高二上·江苏淮安·期中）已知平面上点和直线，点P到直线l的距离为d，则 .
【答案】/4.5
【分析】根据直线的特征，直接列式计算作答.
【详解】依题意，直线，而点，
所以.
故答案为：
3-2．（2024高二上·江西新余·开学考试）若点到直线的距离为3，则 .
【答案】
【分析】
根据题意，利用点到直线的距离公式，列出方程，即可求解.
【详解】因为点到直线的距离为3，
可得，即，解得或，
又因为，所以.
故答案为：.
3-3．（2024高二上·全国·课后作业）过直线与直线的交点，且到点的距离为1的直线l的方程为 ．
【答案】或x=1
【分析】联立直线方程求出，的交点坐标，设直线方程，由点到直线距离公式建立方程得解，注意对斜率不存在讨论.
【详解】解析：由解得
所以l1，l2的交点为.
显然，直线满足条件；
当直线斜率存在时，设直线方程为，
即，
依题意有，解得.
所以所求直线方程为或．
故答案为：或．
3-4．（2024高二上·吉林长春·期中）已知点在直线上，则的最小值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】就是到原点距离，只需求出原点到直线的距离即可.
【详解】就是到原点距离，
到原点距离的最小值为
则的最小值为2，
故选：B.
3-5．（2024高二上·江苏宿迁·阶段练习）若点在直线上，O是原点，则OP的最小值为（ ）
A．B．2C．D．4
【答案】C
【分析】
根据题意，由点到直线的距离公式即可得到结果.
【详解】由题意可知，OP的最小值即为原点到直线的距离，
则.
故选：C
题型4：平行线间距离问题
4-1．（2024高二上·新疆·期末）已知不过原点的直线与直线平行，且直线与的距离为，则直线的一般式方程为 ．
【答案】
【分析】假设方程，利用平行直线间距离公式可构造方程求得结果.
【详解】直线不过原点且与平行，可设直线，
与之间的距离，解得：或（舍），
直线的一般式方程为：.
故答案为：.
4-2．（2024高二上·江苏宿迁·阶段练习）平行直线与之间的距离为 ．
【答案】/0.3
【分析】
根据平行线间的距离公式即可求得答案.
【详解】由题意得即
则平行直线与之间的距离为，
故答案为：
4-3．（2024高二上·浙江温州·开学考试）若两条直线与平行，则与间的距离是 .
【答案】55/155
【分析】先利用两直线平行的公式求出参数，再用两平行线间距离公式求距离即可.
【详解】两条直线与平行,
解得，
经检验时，,两直线不重合；
所以，
则与间的距离,
故答案为：.
题型5：有关距离的最值问题
5-1．（2024高二上·福建·期中）著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，割裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为点到点的距离，则的最小值为（ ）．
A．3B．C．D．
【答案】D
【分析】把目标式进行转化，看作动点到两个定点距离和的最值，利用对称性可得答案.
【详解】,
可以看作点到点的距离之和，
作点关于轴的对称点，显然当三点共线时，取到最小值，
最小值为间的距离.
故选：D.
5-2．（2024高二·全国·课堂例题）已知直线过定点M，点在直线上，则的最小值是（ ）
A．5B．C．D．
【答案】B
【分析】先求定点，再根据点到直线距离求解点到直线上动点距离最小值即可.
【详解】由得，所以直线l过定点，
依题意可知的最小值就是点M到直线的距离，
由点到直线的距离公式可得．
故选:B.
5-3．（2024高一·全国·课后作业）在直线上求一点P，使得：
(1)P到和的距离之差最大；
(2)P到和的距离之和最小.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）作点B关于直线的对称点，连接,则直线和直线l的交点即为P， 求得坐标，进而求得直线方程，联立直线，求得答案；
（2）作点C关于直线的对称点，连接,则直线和直线l的交点即为P， 求得坐标，进而求得直线方程，联立直线，求得答案；
【详解】（1）画出直线和点和，如图：在两侧，
作B关于直线的对称点，连接,
则直线和直线l的交点即为P，
设D为l上异于P的一点，则 ,
故,
故最大，即此时P到和的距离之差最大，
设，则 ，解得 ，
故直线方程为，联立 ，解得 ，
即；
（2）如图：在同侧，
作C关于直线的对称点，连接,
则直线和直线l的交点即为P，
设E为l上异于P的一点，则 ,
故,
故最小，即此时P到和的距离之和最小.，
设，则 ，解得 ，
故直线方程为，联立 ，解得 ，
即即；
5-4．（2024高三下·江西·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点，点为直线上一动点，则的最小值是（ ）
A．B．4C．5D．6
【答案】B
【分析】求点关于直线的对称点的坐标，由此可得，结合结论两点之间线段最短可求的最小值.
【详解】设点关于直线的对称点为，
则，解得，
所以，
所以，
当且仅当点为线段与直线的交点时等号成立，
所以的最小值是4，
故选：B.
5-5．（2024高二下·上海浦东新·阶段练习）已知点分别在直线与直线上，且，点，，则的最小值为 .
【答案】
【分析】作出图象，易知，则然后易求得当时，此时可过作直线与垂直，易知得的方程，然后在上，直线，之间找点，使得到的距离等于点到的距离，此时最小距离和即为，由此求解．
【详解】易知，作出图象如下，过点作直线，则，
直线，过作直线，与直线交于点，易知四边形为平行四边形，
故，且到直线的距离等于到的距离，
设，则，解得或（舍，所以，
而，且（定值），
故只需求出的最小值即可，显然，
故的最小值为．
故答案为：．
5-6．（2024高三下·河南·阶段练习）已知函数的图象恒过定点A，圆上的两点，满足，则的最小值为( )
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】
设直线l为.取圆O的弦PQ的中点为E，求出其轨迹方程，求出E到直线l距离的最小值.过P、E、Q分别作直线l的垂线，垂足分别为M、R、N，将转化为，即可求其最小值．
【详解】由题可知A为(0，1)，且P、A、Q三点共线，
设弦PQ的中点为E(x，y)，连接OE，则OE⊥PQ，即OE⊥AE，
∴，由此可得E的轨迹方程为x2+y−122=14，
即E的轨迹是以为圆心，为半径的圆，
设直线l为，
则E到l的最小距离为．
过P、E、Q分别作直线l的垂线，垂足分别为M、R、N，
则四边形MNQP是直角梯形，且R是MN的中点， 则ER是直角梯形的中位线，
∴，
即，
即．
故选：C．
【点睛】
本题需充分利用数形结合思想进行简答，问题的关键是求出PQ的中点的轨迹，将要求最小值的式子与点到直线的距离公式联系在一起，数形结合求解最值.
5-7．（2024高三下·上海宝山·开学考试）如图，平面上两点，在直线上取两点使，且使的值取最小，则的坐标为 ．
【答案】
【分析】求出关于直线的对称点，过作平行于的直线为，将的值转化为的最小值，利用数形结合以及根据两点间的距离公式，求解出的坐标.
【详解】关于直线的对称点为，则有.过作平行于的直线为，由得，即此时直线为.过作，则，则.由于是常数，要使的值取最小，则的值取最小，即三点共线时最小.设，由得，即，解得（舍去.），即.设，则，解得，即，设，.由得，得，解得或（舍去），故.
故答案为：.
【点睛】本小题主要考查两点间距离公式的应用，考查对称性，考查化归与转化的数学思想方法，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.
（三）
对称问题的求解策略
(1)解决对称问题的思路是利用待定系数法将几何关系转化为代数关系求解．
(2)中心对称问题可以利用中点坐标公式解题，两点轴对称问题可以利用垂直和中点两个条件列方程组解题．
求直线l关于直线对称的直线
若直线，则，且对称轴与直线l及之间的距离相等．
此时分别为，由，求得，从而得．
若直线l与不平行，则．在直线l上取异于Q的一点，然后求得关于直线对称的点，再由两点确定直线（其中）．
题型6：点线对称
6-1．（2024高二上·全国·课后作业）若直线和直线关于直线对称，则直线恒过定点（ ）
A．B． C．D．
【答案】C
【分析】先求出直线过定点，再根据对称性求得直线所过定点.
【详解】因为直线过定点，
点关于直线对称的点为，
故直线恒过定点.
故选：C
6-2．（2024高二下·江西·开学考试）如图，一束光线从出发，经过坐标轴反射两次经过点，则总路径长即总长为（ ）
A．B．6C．D．
【答案】C
【分析】求点关于轴的对称点和点关于轴的对称点的坐标，由反射性质知总路径长为，用两点距离公式求其长度即可.
【详解】设点关于轴的对称点为点，点关于轴的对称点为点，
由光线反射知识可得三点共线，三点共线，
故四点共线，
因为点的坐标为，点的坐标为，
所以点的坐标为，点的坐标为，
由对称的性质可得，
所以，
又，
所以.
故选：C.
6-3．（2024高二上·四川遂宁·期末）已知点A与点关于直线对称，则点A的坐标为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】
因点A与点B关于直线对称，则AB中点在直线上且直线AB与直线垂直.
【详解】设，因点A与点B关于直线对称，则AB中点在直线上且直线AB与直线垂直，
则，
即点A坐标为.
故选：C
题型7：线点对称
7-1．（2024高二·全国·单元测试）直线关于点的对称直线方程是 ．
【答案】
【分析】由直线关于点对称的直线与已知直线平行，设出所求直线方程，再根据点到两条直线的距离相等可解出答案.
【详解】设对称直线为，
则有，即
解这个方程得（舍）或.
所以对称直线的方程中.
故答案为：.
7-2．（2024高三上·辽宁营口·期末）若直线：与直线关于点对称，则当经过点时，点到直线的距离为 .
【答案】
【分析】先找到直线上的定点，然后求出定点关于点的对称点，再利用直线经过两点，求出直线方程，再利用点到直线的距离公式即可得到答案．
【详解】因为直线恒过定点，
所以关于点对称，
所以关于点的对称点为，
此时和都在直线上，
由直线方程的两点式可得，即，
所以点到直线的距离为．
故答案为：．
【点睛】方法点睛：求直线方程常用的方法：先定式（一般式、点斜式、截距式、两点式、斜截式），后定量（求待定系数）.
7-3．（2024高二上·江苏苏州·周测）直线恒过定点，则直线关于点对称的直线方程为 ．
【答案】
【分析】根据直线过定点的求法可求得点坐标，根据关于对称的两条直线平行，且到点距离相等可构造方程求得结果.
【详解】由得：，当时，，；
设直线关于点对称的直线方程为，
，解得：或（舍），
直线关于点对称的直线方程为.
故答案为：.
7-4．（2024高二上·全国·课后作业）直线关于点对称的直线的方程为 ．
【答案】
【分析】
根据直线关于点对称，设上的点坐标，写出关于对称的点坐标，根据点在已知直线上求直线方程.
【详解】设为上任意一点，则关于点的对称点为，
因为在直线l上，所以，即直线的方程为．
故答案为：
题型8：线线对称
8-1．（2024高三·全国·专题练习）已知直线，直线，若直线关于直线l的对称直线为，则直线的方程为 ．
【答案】.
【分析】由于两条直线平行，所以可设，利用对称的性质，可求得，进而求得直线方程为.
【详解】由题意知，设直线，在直线上取点，
设点关于直线的对称点为，
则， 解得，即，
将代入的方程得，
所以直线的方程为.
故答案为：
8-2．（2024高二上·湖北黄石·阶段练习）若两条平行直线：与：之间的距离是，则直线关于直线对称的直线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】利用两条直线平行的性质求出n,再利用两条平行直线间的距离求出m，再由平行线间距离即可求解.
【详解】因为直线：与：，
所以，
又两条平行直线：与：之间的距离是，
所以解得
即直线：，：，
设直线关于直线对称的直线方程为，
则，解得，
故所求直线方程为，
故选：A
8-3．（2024高三·全国·专题练习）直线关于直线对称的直线方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】在直线上任取一点，设其关于直线的对称点为，然后根据对称关系列方程可表示出，再代入中化简可得答案
【详解】在直线上任取一点，设点关于直线的对称点为，
则，解得，即，
因为点在直线上，
所以，即，
所以所求直线方程为，
故选：A.
（四）
题型9：直线系方程
9-1．（2024高二·全国·课后作业）设直线经过和的交点，且与两坐标轴围成等腰直角三角形，则直线的方程为 .
【答案】或
【分析】由题可求交点，结合条件即可求出；或设直线系方程，结合已知即求.
【详解】方法一：由，得，
所以两条直线的交点坐标为（14，10）,
由题意可得直线的斜率为1或-1，
所以直线的方程为或，
即或.
方法二：设直线的方程为，整理得，
由题意，得，解得或，
所以直线的方程为或.
故答案为：或.
9-2．（2024高二·全国·课堂例题）若直线l经过两直线和的交点，且斜率为，则直线l的方程为 ．
【答案】
【分析】先设经过交点的直线系，应用斜率求出参数即可得直线方程.
【详解】设直线l的方程为（其中为常数），即 ①．
又直线l的斜率为，则，解得．
将代入①式并整理，得，此即所求直线l的方程．
故答案为：.
9-3．（2024高三·全国·专题练习）经过直线3x－2y＋1＝0和直线x＋3y＋4＝0的交点，且平行于直线x－y＋4＝0的直线方程为 ．
【答案】x－y＝0.
【解析】设直线方程为3x－2y＋1＋λ(x＋3y＋4)＝0，再求出的值即得解.
【详解】过两直线交点的直线方程可设为3x－2y＋1＋λ(x＋3y＋4)＝0，
即(3＋λ)x＋(3λ－2)y＋4λ＋1＝0，
因为它与直线x－y＋4＝0平行，
所以3＋λ＋3λ－2＝0，
即λ＝－，
故所求直线为x－y＝0.
故答案为：x－y＝0.
【点睛】本题主要考查平行直线的斜率关系，考查直线方程的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
1．两条直线的位置关系
直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，l3：A1x＋B1y＋C1＝0，l4：A2x＋B2y＋C2＝0(其中l1与l3是同一条直线，l2与l4是同一条直线)的位置关系如下表：
2.三种距离公式
(1)两点间的距离公式
①条件：点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)．
②结论：|P1P2|＝eq \r(x2－x12＋y2－y12).
③特例：点P(x，y)到原点O(0,0)的距离|OP|＝eq \r(x2＋y2).
(2)点到直线的距离
点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝eq \f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2)).
(3)两条平行直线间的距离
两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝eq \f(|C1－C2|,\r(A2＋B2)).
常用结论
1．直线系方程
(1)与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程是Ax＋By＋m＝0(m∈R且m≠C)．
(2)与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程是Bx－Ay＋n＝0(n∈R)．
(3)过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括l2.
2．五种常用对称关系
(1)点(x，y)关于原点(0,0)的对称点为(－x，－y)．
(2)点(x，y)关于x轴的对称点为(x，－y)，关于y轴的对称点为(－x，y)．
(3)点(x，y)关于直线y＝x的对称点为(y，x)，关于直线y＝－x的对称点为(－y，－x)．
(4)点(x，y)关于直线x＝a的对称点为(2a－x，y)，关于直线y＝b的对称点为(x,2b－y)．
(5)点(x，y)关于点(a，b)的对称点为(2a－x,2b－y)．
一、单选题
1．（2024高二上·浙江·期中）已知点到直线的距离为，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据点到直线得距离公式即可得出答案.
【详解】解：由题意得．
解得或．，．
故选：C.
2．（2024高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知两条直线，，则这两条直线之间的距离为（ ）
A．2B．3C．5D．10
【答案】A
【分析】由两平行线距离公式求解即可.
【详解】这两条直线之间的距离为.
故选：A
3．（2024高二·全国·课后作业）求直线x＋2y－1＝0关于直线x＋2y＋1＝0对称的直线方程（ ）
A．x＋2y－3＝0B．x＋2y＋3＝0
C．x＋2y－2＝0D．x＋2y＋2＝0
【答案】B
【分析】结合两平行线间的距离公式求得正确选项.
【详解】设对称直线方程为，
，解得或（舍去）.
所以所求直线方程为.
故选：B
4．（2024高二·全国·课后作业）直线关于直线对称的直线为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据两直线关于对称直线对称的概念即可求解
【详解】解：设所求直线上的任意一点为
则关于直线对称点为
点在直线上
满足直线方程，即
直线关于直线对称的直线为
故选：C
5．（2024·浙江温州·三模）已知直线，若，则（ ）
A．B．0C．1D．2
【答案】B
【分析】根据给定的条件，利用两直线的垂直关系列式计算作答.
【详解】因为直线，且，则，
所以.
故选：B
6．（2024·安徽蚌埠·三模）已知直线：，：，则条件“”是“”的（ ）
A．充分必要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不必要也不充分条件
【答案】B
【分析】
根据两直线垂直的性质，可得，求出的值，即可判断.
【详解】
若，则，
解得或.
故是的充分不必要条件.
故选：B
7．（2024高二上·全国·课后作业）直线与互相垂直，则这两条直线的交点坐标为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】由两直线垂直可得，联立解方程组可得交点坐标.
【详解】易知直线的斜率为，
由两直线垂直条件得直线的斜率，解得；
联立，解得；
即交点为
故选：C.
8．（2024高二下·四川广元·期中）若直线过点，其中，是正实数，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．5
【答案】B
【分析】
由点在直线上可知，结合均值不等式即可求解．
【详解】
因为直线过点，所以，
由和都是正实数，所以，，．
所以，
当时取等号，即，时取等号，
所以的最小值是.
故选:B．
9．（2024高二上·全国·课后作业）若直线与之间的距离为，则a的值为（ ）
A．4B．C．4或D．8或
【答案】C
【分析】将直线化为，再根据两平行直线的距离公式列出方程，求解即可.
【详解】将直线化为，
则直线与直线之间的距离，
根据题意可得：，即，解得或，
所以a的值为或.
故选：C
10．（2024高二上·全国·课后作业）抛物线的焦点关于直线的对称点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】求出抛物线焦点坐标为，设关于直线的对称点的坐标是，列出关于的方程组求解即可.
【详解】抛物线即，其焦点坐标为，
设关于直线的对称点的坐标是，
则，解得，则，
故选：A．
11．（2024·四川）设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的取值范围是
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】试题分析：易得.设，则消去得：，所以点P在以AB为直径的圆上，，所以，令，则
.因为，所以.所以，.选B.
法二、因为两直线的斜率互为负倒数，所以，点P的轨迹是以AB为直径的圆.以下同法一.
【考点定位】1、直线与圆；2、三角代换.
12．（2024·全国）点(0，﹣1)到直线距离的最大值为（ ）
A．1B．C．D．2
【答案】B
【分析】首先根据直线方程判断出直线过定点，设，当直线与垂直时，点到直线距离最大，即可求得结果.
【详解】由可知直线过定点，设，
当直线与垂直时，点到直线距离最大，
即为.
故选：B.
【点睛】该题考查的是有关解析几何初步的问题，涉及到的知识点有直线过定点问题，利用几何性质是解题的关键，属于基础题.
13．（2024·北京东城·二模）已知三条直线，，将平面分为六个部分，则满足条件的的值共有（ ）
A．个B．2个C．个D．无数个
【答案】C
【分析】考虑三条直线交于一点或与或平行时，满足条件，求出答案.
【详解】当三条直线交于一点时，可将平面分为六个部分，
联立与，解得，
则将代入中，，解得，
当与平行时，满足要求，此时，
当与平行时，满足要求，此时，
综上，满足条件的的值共有3个.
故选：C
14．（2024高二上·辽宁沈阳·阶段练习）两直线方程为，，则关于对称的直线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据题意，设所求直线上任一点M（x，y）且M关于直线的对称点，，利用轴对称的性质列出方程组解出用、表示、的式子，再由点在直线上代入，化简即得所求对称直线方程；
【详解】设所求直线上任一点，关于直线的对称点，，
则，解出
点在直线上， 将式代入，得，
化简得，即为关于对称的直线方程．
故选：C
15．（2024高一下·海南·期末）设分别是中所对边的边长，则直线与的位置关系是（ ）
A．平行B．重合C．垂直D．相交但不垂直
【答案】C
【分析】根据直线方程确定斜率，利用三角形边角关系及直线垂直的判定判断两直线的位置关系即可.
【详解】由题设，的斜率为，的斜率为，
又，则，即两直线垂直.
故选：C
16．（2024高三下·江西·开学考试）费马点是指三角形内到三角形三个顶点距离之和最小的点.当三角形三个内角均小于120°时，费马点与三个顶点连线正好三等分费马点所在的周角，即该点所对的三角形三边的张角相等且均为120°.根据以上性质，.则的最小值为（ ）
A．4B．C．D．
【答案】B
【分析】根据题意作出图形，证明出三角形ABC为等腰直角三角形，作出辅助线，找到费马点，求出最小值.
【详解】由题意得：的几何意义为点到点的距离之和的最小值，
因为，，
，
所以，故三角形ABC为等腰直角三角形，，
取的中点，连接，与交于点，连接，故，，
因为，所以，故，则，
故点到三角形三个顶点距离之和最小，即取得最小值，
因为，所以，同理得：，，
，
故的最小值为.
故选：B
17．（2024·贵州毕节·模拟预测）直线，直线，下列说法正确的是（ ）
A．，使得B．，使得
C．，与都相交D．，使得原点到的距离为3
【答案】B
【分析】
对A，要使，则，所以，解之再验证即可判断；
对B，要使，，，解之再验证即可判断；
对C，当时，与重合，即可判断；
对D，根据点到直线距离列方程即可判断.
【详解】
对A，要使，则，所以，解之得，此时与重合，选项A错误；
对B，要使，，，解之得，所以B正确；
对C，过定点，该定点在上，但是当时，与重合，所以C错误；
对D，，化简得，此方程，无实数解，所以D错误.
故选：B.
18．（2024·全国）如果直线与直线关于直线对称，那么（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由题意在上任取一点，其关于直线的对称点在上，代入可求出，然后在上任取一点，其关于直线的对称点在上，代入可求出.
【详解】在上取一点，
则由题意可得其关于直线的对称点在上，
所以，得，
在上取一点，
则其关于直线的对称点在上，
所以，得，
综上，
故选：A
19．（2024高一·全国·课后作业）已知ΔABC的顶点，，其垂心为，则其顶点的坐标为
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由垂心的定义可知，；根据垂直时斜率乘积为可知，，利用两点连线斜率公式可构造出方程组求得结果.
【详解】为ΔABC的垂心 ，
又，
直线斜率存在且，
设，则，解得：
本题正确选项：
【点睛】本题考查根据直线与直线垂直的位置关系求解参数的问题；关键是能够利用垂心的性质得到直线与直线的垂直关系.
20．（2024高三·全国·课后作业）若动点A，B分别在直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0上移动，则AB的中点M到原点的距离的最小值为( )
A．3B．2C．3D．4
【答案】A
【解析】先求出点M所在直线的方程为l：x＋y＋m＝0，再求出m的值和原点到直线l的距离即得解.
【详解】依题意知AB的中点M的集合为与直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0距离都相等的直线，
则M到原点的距离的最小值为原点到该直线的距离．
设点M所在直线的方程为l：x＋y＋m＝0，
根据平行线间的距离公式得
所以|m＋7|＝|m＋5|，所以m＝－6，
即l：x＋y－6＝0.
根据点到直线的距离公式得M到原点的距离的最小值为.
故选：A.
【点睛】本题主要考查平行线间的距离和点到直线的距离的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
21．（2024高二上·湖北·阶段练习）在等腰直角三角形中，，点是边上异于的一点，光线从点出发，经反射后又回到点，如图，若光线经过的重心，则（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】C
【分析】根据题意，建立坐标系，设点的坐标，可得关于直线的对称点的坐标，和关于轴的对称点的坐标，由，，四点共线可得直线的方程，由于过的重心，代入可得关于的方程，解之可得的坐标，进而可得的值，即可得答案．
【详解】根据题意，建立如图所示的坐标系，可得，，
故直线的方程为，
又由，，，则 的重心为，
设，其中，点关于直线 的对称点，则有，
解得，即，
易得关于 轴的对称点，
由光的反射原理可知，，，四点共成直线的斜率，
故直线的方程为，
由于直线过 的重心，代入化简可得，
解得：或 舍，即，故，
故选：C．
22．（2024高一上·湖南长沙·开学考试）如下图，一次函数的图象与轴，轴分别交于点，，点是轴上一点，点，分别为直线和轴上的两个动点，当周长最小时，点，的坐标分别为（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】C
【分析】作关于轴的对称点，作关于的对称点，连接交轴于，交于，有，即此时周长最小，求出点坐标，可得直线方程，与联立求出点坐标，令可得点坐标.
【详解】作关于轴的对称点，
作关于的对称点，
连接交轴于，交于，所以，
此时周长最小，即，
由，直线方程为，所以，解得，
所以，可得直线方程为，即，
由，解得，所以，
令可，所以.
故选：C.
23．（2024高二上·广东深圳·期中）过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点M，则的最大值是（ ）
A．B．3C．D．
【答案】C
【分析】求出A，B的坐标，并判断两直线垂直，推出点M在以为直径的圆上，求得，即，结合基本不等式即可求得答案.
【详解】由题意知过定点,
动直线即过定点，
对于直线和动直线满足，
故两直线垂直，
因此点M在以为直径的圆上，，
则，
所以，
当且仅当时等号成立，
故的最大值为，
故选：C
24．（2024高二下·陕西西安·期末）设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的最大值是（ ）
A．B．C．5D．10
【答案】C
【分析】先求出两条直线经过的定点，然后根据两条直线的位置关系可判断它们垂直，从而，在利用勾股定理和基本不等式求解.
【详解】
显然过定点，直线可化成，则经过定点，
根据两条直线垂直的一般式方程的条件，，
于是直线和直线垂直，又为两条直线的交点，则，
又，由勾股定理和基本不等式，
，则，
当时，的最大值是.
故选：C
25．（河北省张家口市2023-2024学年高二上学期期末数学试题）已知，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】设点为直线上的动点，题意可转化成求与的距离和与的距离之和的最小值，求出关于直线的对称点，故，即可求出答案
【详解】设点为直线上的动点，
由可看作与的距离和与的距离之和，
设点则点为点关于直线的对称点，
故，且，
所以，
当且仅当三点共线时，取等号，
所以的最小值为.
故选：C
26．（2024·贵州·模拟预测）已知，满足，则的最小值为（ ）
A．B．C．1D．
【答案】B
【分析】先求出点关于线段的对称点的坐标，且有.根据几何意义，结合图象，即可得出取最小值时，点的位置，进而得出答案.
【详解】
如图，过点作点关于线段的对称点，则.
设，则有，解得，所以.
设，则，所以，
又，所以点到轴的距离为，
所以，可视为线段上的点到轴的距离和到的距离之和.
过作轴，过点作轴，显然有，当且仅当三点共线时，和有最小值.
则即为最小值，与线段的交点，即为最小值时的位置.
因为，所以的最小值为.
故选：B．
27．（2024·上海静安·二模）设直线与关于直线对称，则直线的方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据三条直线交于一点，再利用点关于直线的对称点公式，求直线上一点，即可求解.
【详解】联立，得，
取直线上一点，设点关于直线的对称点为，则，解得：，
直线的斜率，所以直线的方程为，
整理为：.
故选：A
28．（2024高三·北京·强基计划）的最小值所属区间为（ ）
A．B．
C．D．前三个答案都不对
【答案】C
【分析】利用代数式的几何意义可求最小值.
【详解】如图，设．
根据题意，设题中代数式为M，则，
等号当P，Q分别为直线与x轴，y轴交点时取得．
因此所求最小值为13．
故选：C.
29．（2024·北京）在平面直角坐标系中，记为点到直线的距离，当、变化时，的最大值为
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】为单位圆上一点，而直线过点，则根据几何意义得的最大值为.
【详解】为单位圆上一点，而直线过点，
所以的最大值为，选C.
【点睛】与圆有关的最值问题主要表现在求几何图形的长度、面积的最值，求点到直线的距离的最值，求相关参数的最值等方面．解决此类问题的主要思路是利用圆的几何性质将问题转化．
二、多选题
30．（2024高二下·江苏南京·期末）已知动点分别在直线与上移动，则线段的中点到坐标原点的距离可能为（ ）
A．B．C．D．
【答案】CD
【分析】根据直线平行可得在直线上运动，即可根据点到直线的距离公式即可求解.
【详解】解：动点分别在直线与上移动，
又线段的中点为，，
在直线上运动，
到直线的距离．
到坐标原点的距离大于等于．
故选：CD．
31．（24-25高二上·全国·单元测试）已知两条直线，的方程分别为与，下列结论正确的是（ ）
A．若，则B．若，则两条平行直线之间的距离为
C．若，则D．若，则直线，一定相交
【答案】AD
【分析】根据两直线平行求出的值，可判断A选项；利用平行线间的距离公式可判断B选项；根据两直线垂直求出的值，可判断C选项；根据两直线相交求出的范围，可判断D选项.
【详解】两条直线，的方程分别为与，它们不重合，
若，则，得，检验符合，故A选项正确；
若，由A选项可知，：，直线的方程可化为，
故两条平行直线之间的距离为，故B选项不正确；
若，则，得，故C选项不正确；
由A选项知，当时，，所以若，则直线，一定相交，故D选项正确.
故选：AD.
32．（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线l：，则下列结论正确的是（ ）
A．直线l的一个法向量为
B．若直线m：，则
C．点到直线l的距离是2
D．过与直线l平行的直线方程是
【答案】CD
【分析】对于A：根据直线方向向量与斜率之间的关系分析判断；对于B：根据直线垂直分析判断；对于C：根据点到直线的距离公式运算求解；对于D：根据直线平行分析求解.
【详解】对于A，因为直线l：的斜率，
但，可知不为直线l的一个法向量，故A错误；
对于B，因为直线m：的斜率，且，
所以直线l与直线m不垂直，故B错误；
对于C，点到直线l的距离，故C正确；
对于D，过与直线l平行的直线方程是，即，故D正确．
故选：CD.
33．（2024高二下·江西南昌·阶段练习）已知曲线和直线，则（ ）
A．曲线上与直线l平行的切线的切点为
B．曲线上与直线l平行的切线的切点为
C．曲线上的点到直线l的最短距离为
D．曲线上的点到直线l的最短距离为
【答案】BC
【分析】根据导数得出切线斜率求切点判断A,B,再结合点到直线距离求出最短距离判断C,D.
【详解】设与直线平行的直线和相切，则斜率为.
因为，所以，令，可得切点为，故A错误，B正确；
则点到直线的距离就是曲线上的点到直线的最短距离，
由点到直线的距离公式知最短距高为，故C正确，D错误.
故选：BC.
34．（福建省莆田第三中学，励志学校2023-2024学年高二上学期期中联考数学试卷）以下四个命题叙述正确的是（ ）
A．直线在轴上的截距是1
B．直线和的交点为，且在直线上，则的值是
C．设点是直线上的动点，为原点，则的最小值是2
D．直线，若，则或2
【答案】BC
【分析】求出直线的横截距判断A；解方程组求出判断B；求出点到直线的距离判断C；验证判断D.
【详解】对于A，直线在轴上的截距是，A错误；
对于B，由解得，即，则，解得，B正确；
对于C，依题意，，C正确；
对于D，当时，直线重合，D错误.
故选：BC
三、填空题
35．（2024高二·全国·课后作业）已知，，点是线段的中点，则 .
【答案】
【分析】利用中点坐标公式可求得，由此可得结果.
【详解】由中点坐标公式知：，，解得：，，.
故答案为：.
36．（2024高二·江苏·假期作业）已知点与点间的距离为，则 ．
【答案】9或
【分析】根据两点间的距离公式列方程求解即可.
【详解】由，
得，
即，解得或．
故答案为：9或.
37．（2024高三上·河北廊坊·阶段练习）与直线关于点对称的直线的方程为 .
【答案】
【分析】根据直线关于点对称方程的特点可设直线方程，在利用点到两条直线的距离相等即可求解直线方程.
【详解】解：直线关于点对称的直线的方程可设为，其中
又点到直线与到直线的距离相等
所以，即，所以或（舍）.
故所求直线方程为：.
故答案为：.
38．（2024高一·全国·课后作业）已知直线l与直线及直线分别交于点P，Q．若PQ的中点为点，则直线l的斜率为 ．
【答案】
【分析】由点关于点对称,运算可得解.
【详解】解：设，则．由点Q在直线上，得，．故．
所以直线l的斜率为，所以
故答案为
【点睛】本题考查了点关于点对称问题，属基础题.
39．（2024高二上·辽宁大连·阶段练习）设点A在x轴上，点B在y轴上，的中点是，则等于
【答案】
【解析】根据点A在x轴上，点B在y轴上，且的中点是，利用中点坐标公式得到A，B的坐标，再利用两点间的距离公式求解.
【详解】因为点A在x轴上，点B在y轴上，且的中点是，
所以，
所以，
故答案为：
【点睛】本题主要考查两点间的距离公式和中点坐标公式的应用，属于基础题.
40．（2024高三上·黑龙江哈尔滨·期中）点到直线的距离的最大值是 ．
【答案】
【分析】直线恒过点，根据几何关系可得，点到直线的距离的最大值为.
【详解】因为直线恒过点，
记，直线为直线，
则当时，此时点到直线的距离最大，
∴点到直线距离的最大值为：
.
故答案为：.
41．（2024高二上·江苏南通·期中）已知点在轴上，点在轴上，线段的中点的坐标为，则线段的长度为 .
【答案】
【分析】利用直角三角形的几何性质得出，利用两点间的距离公式可求得结果.
【详解】在平面直角坐标系中，，
则为直角三角形，且为斜边，
故.
故答案为：
42．（2024高二·全国·课堂例题）已知点，，，则的面积为 ．
【答案】5
【分析】利用两点间距离公式求出一边长，再根据两点式求出该边所在直线的方程，利用点到直线的距离公式求高，进而求得三角形面积.
【详解】设边上的高为，则就是点C到AB所在直线的距离．
易知．
由两点式可得边所在直线的方程为，即．
点到直线的距离，
所以的面积为．
故答案为：5
43．（2024·云南保山·一模）已知坐标原点为O，过点作直线n不同时为零)的垂线，垂足为M，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据题意，将直线变形为，分析可得该直线恒过点，设，进而分析可得点的轨迹是以为直径的圆，其方程为，据此分析可得答案．
【详解】根据题意，直线，即，
则有，解可得，则直线恒过点．
设，又由与直线垂直，且为垂足，
则点的轨迹是以为直径的圆，其方程为，
所以；即的取值范围是；
故答案为．
【点睛】此类问题为“隐形圆问题”，常规的处理办法是找出动点所在的轨迹（通常为圆），常见的“隐形圆”有：
（1）如果为定点，且动点满足，则动点 的轨迹为圆；
（2）如果ΔABC中，为定长，为定值，则动点的轨迹为一段圆弧．特别地，当，则的轨迹为圆（除去）；
（3）如果为定点，且动点满足(为正常数)，则动点的轨迹为圆；
44．（2024高二上·全国·课后作业）已知点、、，且，则 .
【答案】
【分析】
利用平面内两点间的距离公式可得出关于的等式，解之即可.
【详解】
已知点、、，且，
则，解得.
故答案为：.
45．（2024高二上·安徽六安·期中）已知两直线和的交点为，则过两点的直线方程为 .
【答案】
【分析】根据两直线和的交点列方程，对比后求得直线的方程.
【详解】依题意两直线和的交点为，
所以在直线上，
所以过两点所在直线方程为.
故答案为：
46．（2024高三上·上海青浦·阶段练习）在平面直角坐标系中，若动点到两直线和的距离之和为，则的最大值为 .
【答案】8
【分析】由已知可知两直线，取在的右侧时，分别过作两直线的垂线，结合几何性质确定点轨迹，即可求得的最大值,其他位置同理可得．
【详解】若动点到两直线和的距离之和为，
交点为的斜率分别为，则，
在的右侧时，过分别向引垂线，
垂足分别为，那么，
过作轴的平行线，与交点为如图，
则，所以，
其它位置同理，那么点轨迹为正方形，
当在时，取得最大值，即取得最大值8.
故答案为：8．
47．（2024·四川）在平面直角坐标系内，到点A（1，2），B（1，5），C（3，6），D（7，﹣1）的距离之和最小的点的坐标是 ．
【答案】（2，4）
【详解】取四边形ABCD对角线的交点，这个交点到四点的距离之和就是最小值．可证明如下：
假设在四边形ABCD中任取一点P，在△APC中，有AP＋PC＞AC，在△BPD中，有PB＋PD＞BD，
而如果P在线段AC上，那么AP＋PC＝AC；同理，如果P在线段BD上，那么BP＋PD＝BD.
如果同时取等号，那么意味着距离之和最小，此时P就只能是AC与BD的交点．
易求得P(2,4)．
48．（2024高三·陕西·阶段练习）若直线m被两平行线与所截得的线段的长为，则m的倾斜角可以是①15°，②30°，③45°，④60°，⑤75°.其中正确答案的序号是 (写出所有正确答案的序号)．
【答案】①⑤
【分析】先求两平行线间的距离为，结合题意直线m被两平行线所截得的线段的长为得到直线m与两平行线的夹角为30°，再根据已知直线的倾斜角进行求解．
【详解】因为，所以直线，间的距离．
设直线m与直线，分别相交于点B，A，
则，
过点A作直线l垂直于直线，垂足为C，
则，
则在中，，
所以，
又直线的倾斜角为45°，
所以直线m的倾斜角为或．
故答案为：①⑤．
49．（2024高三·全国·专题练习）在平面直角坐标系xOy中，将直线l沿x轴正方向平移3个单位长度，沿y轴正方向平移5个单位长度，得到直线l1.再将直线l1沿x轴正方向平移1个单位长度，沿y轴负方向平移2个单位长度，又与直线l重合.若直线l与直线l1关于点（2，3）对称，则直线l的方程是 .
【答案】6x－8y＋1＝0
【解析】根据平移得到l1：y＝k（x－3）＋5＋b和直线：y＝kx＋3－4k＋b，解得k＝，再根据对称解得b＝，计算得到答案.
【详解】由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx＋b，
则直线l1：y＝k（x－3）＋5＋b，平移后的直线方程为y＝k（x－3－1）＋b＋5－2
即y＝kx＋3－4k＋b，∴b＝3－4k＋b，解得k＝ ，
∴直线l的方程为y＝x＋b，直线l1为y＝x＋＋b
取直线l上的一点 ，则点P关于点（2，3）的对称点为 ，
，解得b＝.
∴直线l的方程是 ，即6x－8y＋1＝0.
故答案为：6x－8y＋1＝0
【点睛】本题考查了直线的平移和对称，意在考查学生对于直线知识的综合应用.
50．（2024高三·全国·专题练习）点，到直线l的距离分别为1和4，写出一个满足条件的直线l的方程： .
【答案】或或（填其中一个即可）
【分析】设，，以M为圆心，1为半径作圆M，以N为圆心4为半径作圆N，转化为找公切线问题.
【详解】设，，连接MN，则.
以M为圆心，1为半径作圆M，以N为圆心4为半径作圆N，则两圆外切，
所以两圆有3条公切线，即符合条件的直线l有3条.
当公切线的斜率不存在时，显然公切线的方程为.
当公切线的斜率存在时，设公切线的方程为，则有，
由①②得，所以或.
由①及得，由①及得，
所以公切线方程为或.
综上，直线l的方程为或或.
故答案为：或或
51．（2024高一·全国·课后作业）经过直线3x+2y+6=0和2x+5y-7=0的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为 .
【答案】x+y+1=0或3x+4y=0
【详解】由题意可设所求直线方程为，即
令，得
令，得
∵所求直线方程在两坐标轴上的截距相等
∴，即或
∴所求直线方程为或
故答案为或
52．（2024高二上·全国·课后作业）经过点和两直线；交点的直线方程为 .
【答案】
【分析】设所求直线方程为，将点代入方程，求得，即可求解.
【详解】设所求直线方程为，
点在直线上，
，
解得，
所求直线方程为，即．
故答案为：.
53．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知实数，满足，，，则的最小值是 ．
【答案】/
【分析】根据给定条件，求出各等式表示的几何意义，及所求最值的表达式的几何意义，再把问题转化为求圆上的点到直线距离的最小值作答.
【详解】依题意，方程、分别表示以原点为圆心，2、3为半径的圆，
令，即点分别在、上，如图，
显然，，即有，
，取线段中点，连接，则，
因此点在以原点为圆心，为半径的圆上，
而，
即表示点到直线的距离和的倍，
过分别作直线的垂线，垂足分别为，过作垂直于直线于点，
于是，，
，原点到直线的距离，
显然，当且仅当点共线，且点在线段上时取等号，
所以.
故答案为：
【点睛】思路点睛：涉及与圆相离的图形F上的点与圆上点的距离最值问题，转化为图形F上的点与圆心距离加或减圆半径求解.
四、解答题
54．（2024高二上·广东东莞·期中）在平面直角坐标系中，已知的三个顶点.
(1)求边所在直线的方程;
(2)若的面积等于7，且点的坐标满足，求点的坐标.
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）根据直线的两点式求解直线方程即可；
（2）首先求出点到直线的距离及，再根据，得到，最后解方程组即可求出点的坐标.
【详解】（1）因为B2,1、，
所以边所在直线的方程为，整理得；
（2）点到直线的距离，
又，因为，
所以有，即，
又点的坐标满足，
因此有或，
解得或，
所以点的坐标为或．
55．（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线l经过点，且平行于向量.
(1)求直线l的方程；
(2)若直线m与l平行且点P到直线m的距离为，求直线m的方程.
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）根据直线方向向量的性质，结合直线的点斜式方程进行求解即可；
（2）根据两平行线间方程的特征，结合两平行直线的距离公式进行求解即可.
【详解】（1）由题意知直线l的斜率为1，所求直线方程为，即.
（2）由直线m与直线l平行，可设直线m的方程为，
由点到直线的距离公式得，即，
解得或.
所以所求直线m的方程为或.
56．（2024高二上·天津河西·阶段练习）已知直线，.
(1)若坐标原点O到直线m的距离为，求a的值；
(2)当时，直线l过m与n的交点，且它在两坐标轴上的截距相反，求直线l的方程.
【答案】(1)或
(2)或
【分析】（1）依据点到直线的距离公式建立方程求解即可.
（2）联立求出直线交点，再分类讨论直线是否过原点，求解即可.
【详解】（1）设原点O到直线m的距离为，
则，解得或；
（2）由解得，即m与n的交点为.
当直线l过原点时，此时直线斜率为，
所以直线l的方程为；
当直线l不过原点时，设l的方程为，
将代入得，
所以直线l的方程为.
故满足条件的直线l的方程为或.
57．（2024高二·全国·课后作业）已知点，点P在x轴上使最大，求点P的坐标．
【答案】
【分析】首先求得点A关于x轴的对称点，然后数形结合根据直线方程求解点P的坐标即可.
【详解】点关于x轴的对称点为,如图所示，若点不在直线上则,
连接并延长交x轴于点P，即为最大值．
直线的方程是，
即.
令，得．
则点P的坐标是.
位置关系
l1，l2满足的条件
l3，l4满足的条件
平行
k1＝k2且b1≠b2
A1B2－A2B1＝0且A1C2－A2C1≠0
垂直
k1·k2＝－1
A1A2＋B1B2＝0
相交
k1≠k2
A1B2－A2B1≠0
（一）
判断两条直线位置关系的注意点
(1)斜率不存在的特殊情况．
(2)可直接利用直线方程系数间的关系得出结论．
题型1：两条直线的平行与垂直
1-1．（2024高三上·广东东莞·阶段练习）直线：与直线：平行， 则（ ）
A．或B．C．D．
【答案】A
【分析】根据平行直线的斜率相等关系列出方程，求得的值，然后检验即可.
【详解】因为直线：与直线：平行，
所以或，
当时，直线：，直线：，
此时直线与直线平行，满足题意，
当时，直线：，直线：，
此时直线与直线平行，满足题意，
故选：A.
1-2．（2024高二下·广东深圳·阶段练习）已知曲线在点处的切线与直线垂直，则点的坐标为（ ）
A．B．
C．或D．
【答案】C
【分析】由题设知处的切线斜率为2，应用导数几何意义列方程求点的横坐标则P点可求.
【详解】由题直线的斜率为，故曲线在处的切线斜率为2，而，
所以，则，即，故点的坐标为或.
故选：C.
1-3．（2024高二下·四川南充·阶段练习）与直线平行且过点的直线方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】设所求直线方程为，代入点的坐标求得C，即可得出答案.
【详解】设所求直线方程为，
又过点，则可得，解得，
则所求直线方程为
故选：A
1-4．（2024高二·全国·专题练习）已知A(－1，2)，B(1，3)，C(0，－2)，点D使AD⊥BC，AB∥CD，则点D的坐标为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】设D(x，y)，根据两直线平行和垂直时，其斜率间的关系得出方程组，解之可求得点D的坐标得选项.
【详解】解：设D(x，y)，∵AD⊥BC，∴·＝－1，∴x＋5y－9＝0，
∵AB∥CD，∴＝，∴x－2y－4＝0，由得，，
故选：D.
1-5．（2024高二上·浙江温州·开学考试）设直线，，则是的（ ）
A．充要条件B．必要不充分条件
C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】利用充分条件和必要条件的定义，结合直线垂直的性质判断即可.
【详解】当时，直线，，
此时，则，所以，故充分性成立；
当时，，解得或，故必要性不成立；
所以“”是“”的充分不必要条件，
故选：C.
1-6．（2024高一·全国·课后作业）已知过点和点的直线为l1，. 若，则的值为（ ）
A．B．
C．0D．8
【答案】A
【分析】由平行、垂直直线的斜率关系得出的值.
【详解】因为，所以，解得，又，所以，
解得.所以.
故选：A.
（二）
利用距离公式应注意的点
(1)点P(x0，y0)到直线x＝a的距离d＝|x0－a|，到直线y＝b的距离d＝|y0－b|.
(2)两条平行线间的距离公式要把两条直线方程中x，y的系数化为相等．
题型2：两直线的交点问题
2-1．（2024高二下·全国·课堂例题）直线与直线相交，则实数的值为（ ）
A．或B．或
C．或D．且
【答案】D
【分析】根据给定条件，利用两条直线相交的充要条件，列式求解即得.
【详解】由直线与直线相交，得，
即，解得且，
所以实数k的值为且.
故选：D
2-2．（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线与直线互相垂直，交点坐标为，则的值为（ ）
A．20B．C．0D．24
【答案】B
【分析】根据两直线垂直可求出的值，将公共点的坐标代入直线的方程，可得出的值，再将公共点的坐标代入直线的方程，可得出的值，由此可得出的值.
【详解】已知直线的斜率为，直线的斜率为．
又两直线垂直，则，解得．
，即，
将交点代入直线的方程中，得．
将交点代入直线的方程中，得．
所以，．
故选：B．
2-3．（2024高三·全国·专题练习）若三条直线不能围成三角形，则实数的取值最多有（ ）
A．个B．个
C．个D．个
【答案】C
【分析】分析可知至少有两条直线平行或三条直线相交于同一点，则三条直线不能构成三角形.
【详解】三条直线不能构成三角形 至少有两条直线平行或三条直线相交于同一点.
若∥，则；若∥，则；
若∥，则的值不存在；
若三条直线相交于同一点，
直线和联立：，直线和交点为;
直线和联立：，直线和交点为;
三条直线相交于同一点两点重合或.
故实数的取值最多有个.
故选:C
2-4．（2024高三·全国·专题练习）若直线与直线的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】法一：联立直线方程求交点，根据所在象限求斜率范围，进而确定倾斜角范围；法二：确定直线位于第一象限部分的端点，结合直线l与其交点在第一象限，数形结合确定倾斜角范围.
【详解】法一：联立两直线方程，得，解得，
所以两直线的交点坐标为.
因为两直线的交点在第一象限，所以，解得，
设直线l的倾斜角为θ，则，又，所以.
法二：由题意，直线l过定点，
设直线与x轴、y轴的交点分别为.
如图，当直线l在阴影部分（不含边界）运动时，两直线的交点在第一象限，易知，
∴的倾斜角为，的倾斜角为.
∴直线l的倾斜角的取值范围是.
故选：D
题型3：点到直线的距离问题
3-1．（2024高二上·江苏淮安·期中）已知平面上点和直线，点P到直线l的距离为d，则 .
【答案】/4.5
【分析】根据直线的特征，直接列式计算作答.
【详解】依题意，直线，而点，
所以.
故答案为：
3-2．（2024高二上·江西新余·开学考试）若点到直线的距离为3，则 .
【答案】
【分析】
根据题意，利用点到直线的距离公式，列出方程，即可求解.
【详解】因为点到直线的距离为3，
可得，即，解得或，
又因为，所以.
故答案为：.
3-3．（2024高二上·全国·课后作业）过直线与直线的交点，且到点的距离为1的直线l的方程为 ．
【答案】或x=1
【分析】联立直线方程求出，的交点坐标，设直线方程，由点到直线距离公式建立方程得解，注意对斜率不存在讨论.
【详解】解析：由解得
所以l1，l2的交点为.
显然，直线满足条件；
当直线斜率存在时，设直线方程为，
即，
依题意有，解得.
所以所求直线方程为或．
故答案为：或．
3-4．（2024高二上·吉林长春·期中）已知点在直线上，则的最小值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】就是到原点距离，只需求出原点到直线的距离即可.
【详解】就是到原点距离，
到原点距离的最小值为
则的最小值为2，
故选：B.
3-5．（2024高二上·江苏宿迁·阶段练习）若点在直线上，O是原点，则OP的最小值为（ ）
A．B．2C．D．4
【答案】C
【分析】
根据题意，由点到直线的距离公式即可得到结果.
【详解】由题意可知，OP的最小值即为原点到直线的距离，
则.
故选：C
题型4：平行线间距离问题
4-1．（2024高二上·新疆·期末）已知不过原点的直线与直线平行，且直线与的距离为，则直线的一般式方程为 ．
【答案】
【分析】假设方程，利用平行直线间距离公式可构造方程求得结果.
【详解】直线不过原点且与平行，可设直线，
与之间的距离，解得：或（舍），
直线的一般式方程为：.
故答案为：.
4-2．（2024高二上·江苏宿迁·阶段练习）平行直线与之间的距离为 ．
【答案】/0.3
【分析】
根据平行线间的距离公式即可求得答案.
【详解】由题意得即
则平行直线与之间的距离为，
故答案为：
4-3．（2024高二上·浙江温州·开学考试）若两条直线与平行，则与间的距离是 .
【答案】55/155
【分析】先利用两直线平行的公式求出参数，再用两平行线间距离公式求距离即可.
【详解】两条直线与平行,
解得，
经检验时，,两直线不重合；
所以，
则与间的距离,
故答案为：.
题型5：有关距离的最值问题
5-1．（2024高二上·福建·期中）著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，割裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为点到点的距离，则的最小值为（ ）．
A．3B．C．D．
【答案】D
【分析】把目标式进行转化，看作动点到两个定点距离和的最值，利用对称性可得答案.
【详解】,
可以看作点到点的距离之和，
作点关于轴的对称点，显然当三点共线时，取到最小值，
最小值为间的距离.
故选：D.
5-2．（2024高二·全国·课堂例题）已知直线过定点M，点在直线上，则的最小值是（ ）
A．5B．C．D．
【答案】B
【分析】先求定点，再根据点到直线距离求解点到直线上动点距离最小值即可.
【详解】由得，所以直线l过定点，
依题意可知的最小值就是点M到直线的距离，
由点到直线的距离公式可得．
故选:B.
5-3．（2024高一·全国·课后作业）在直线上求一点P，使得：
(1)P到和的距离之差最大；
(2)P到和的距离之和最小.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）作点B关于直线的对称点，连接,则直线和直线l的交点即为P， 求得坐标，进而求得直线方程，联立直线，求得答案；
（2）作点C关于直线的对称点，连接,则直线和直线l的交点即为P， 求得坐标，进而求得直线方程，联立直线，求得答案；
【详解】（1）画出直线和点和，如图：在两侧，
作B关于直线的对称点，连接,
则直线和直线l的交点即为P，
设D为l上异于P的一点，则 ,
故,
故最大，即此时P到和的距离之差最大，
设，则 ，解得 ，
故直线方程为，联立 ，解得 ，
即；
（2）如图：在同侧，
作C关于直线的对称点，连接,
则直线和直线l的交点即为P，
设E为l上异于P的一点，则 ,
故,
故最小，即此时P到和的距离之和最小.，
设，则 ，解得 ，
故直线方程为，联立 ，解得 ，
即即；
5-4．（2024高三下·江西·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点，点为直线上一动点，则的最小值是（ ）
A．B．4C．5D．6
【答案】B
【分析】求点关于直线的对称点的坐标，由此可得，结合结论两点之间线段最短可求的最小值.
【详解】设点关于直线的对称点为，
则，解得，
所以，
所以，
当且仅当点为线段与直线的交点时等号成立，
所以的最小值是4，
故选：B.
5-5．（2024高二下·上海浦东新·阶段练习）已知点分别在直线与直线上，且，点，，则的最小值为 .
【答案】
【分析】作出图象，易知，则然后易求得当时，此时可过作直线与垂直，易知得的方程，然后在上，直线，之间找点，使得到的距离等于点到的距离，此时最小距离和即为，由此求解．
【详解】易知，作出图象如下，过点作直线，则，
直线，过作直线，与直线交于点，易知四边形为平行四边形，
故，且到直线的距离等于到的距离，
设，则，解得或（舍，所以，
而，且（定值），
故只需求出的最小值即可，显然，
故的最小值为．
故答案为：．
5-6．（2024高三下·河南·阶段练习）已知函数的图象恒过定点A，圆上的两点，满足，则的最小值为( )
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】
设直线l为.取圆O的弦PQ的中点为E，求出其轨迹方程，求出E到直线l距离的最小值.过P、E、Q分别作直线l的垂线，垂足分别为M、R、N，将转化为，即可求其最小值．
【详解】由题可知A为(0，1)，且P、A、Q三点共线，
设弦PQ的中点为E(x，y)，连接OE，则OE⊥PQ，即OE⊥AE，
∴，由此可得E的轨迹方程为x2+y−122=14，
即E的轨迹是以为圆心，为半径的圆，
设直线l为，
则E到l的最小距离为．
过P、E、Q分别作直线l的垂线，垂足分别为M、R、N，
则四边形MNQP是直角梯形，且R是MN的中点， 则ER是直角梯形的中位线，
∴，
即，
即．
故选：C．
【点睛】
本题需充分利用数形结合思想进行简答，问题的关键是求出PQ的中点的轨迹，将要求最小值的式子与点到直线的距离公式联系在一起，数形结合求解最值.
5-7．（2024高三下·上海宝山·开学考试）如图，平面上两点，在直线上取两点使，且使的值取最小，则的坐标为 ．
【答案】
【分析】求出关于直线的对称点，过作平行于的直线为，将的值转化为的最小值，利用数形结合以及根据两点间的距离公式，求解出的坐标.
【详解】关于直线的对称点为，则有.过作平行于的直线为，由得，即此时直线为.过作，则，则.由于是常数，要使的值取最小，则的值取最小，即三点共线时最小.设，由得，即，解得（舍去.），即.设，则，解得，即，设，.由得，得，解得或（舍去），故.
故答案为：.
【点睛】本小题主要考查两点间距离公式的应用，考查对称性，考查化归与转化的数学思想方法，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.
（三）
对称问题的求解策略
(1)解决对称问题的思路是利用待定系数法将几何关系转化为代数关系求解．
(2)中心对称问题可以利用中点坐标公式解题，两点轴对称问题可以利用垂直和中点两个条件列方程组解题．
求直线l关于直线对称的直线
若直线，则，且对称轴与直线l及之间的距离相等．
此时分别为，由，求得，从而得．
若直线l与不平行，则．在直线l上取异于Q的一点，然后求得关于直线对称的点，再由两点确定直线（其中）．
题型6：点线对称
6-1．（2024高二上·全国·课后作业）若直线和直线关于直线对称，则直线恒过定点（ ）
A．B． C．D．
【答案】C
【分析】先求出直线过定点，再根据对称性求得直线所过定点.
【详解】因为直线过定点，
点关于直线对称的点为，
故直线恒过定点.
故选：C
6-2．（2024高二下·江西·开学考试）如图，一束光线从出发，经过坐标轴反射两次经过点，则总路径长即总长为（ ）
A．B．6C．D．
【答案】C
【分析】求点关于轴的对称点和点关于轴的对称点的坐标，由反射性质知总路径长为，用两点距离公式求其长度即可.
【详解】设点关于轴的对称点为点，点关于轴的对称点为点，
由光线反射知识可得三点共线，三点共线，
故四点共线，
因为点的坐标为，点的坐标为，
所以点的坐标为，点的坐标为，
由对称的性质可得，
所以，
又，
所以.
故选：C.
6-3．（2024高二上·四川遂宁·期末）已知点A与点关于直线对称，则点A的坐标为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】
因点A与点B关于直线对称，则AB中点在直线上且直线AB与直线垂直.
【详解】设，因点A与点B关于直线对称，则AB中点在直线上且直线AB与直线垂直，
则，
即点A坐标为.
故选：C
题型7：线点对称
7-1．（2024高二·全国·单元测试）直线关于点的对称直线方程是 ．
【答案】
【分析】由直线关于点对称的直线与已知直线平行，设出所求直线方程，再根据点到两条直线的距离相等可解出答案.
【详解】设对称直线为，
则有，即
解这个方程得（舍）或.
所以对称直线的方程中.
故答案为：.
7-2．（2024高三上·辽宁营口·期末）若直线：与直线关于点对称，则当经过点时，点到直线的距离为 .
【答案】
【分析】先找到直线上的定点，然后求出定点关于点的对称点，再利用直线经过两点，求出直线方程，再利用点到直线的距离公式即可得到答案．
【详解】因为直线恒过定点，
所以关于点对称，
所以关于点的对称点为，
此时和都在直线上，
由直线方程的两点式可得，即，
所以点到直线的距离为．
故答案为：．
【点睛】方法点睛：求直线方程常用的方法：先定式（一般式、点斜式、截距式、两点式、斜截式），后定量（求待定系数）.
7-3．（2024高二上·江苏苏州·周测）直线恒过定点，则直线关于点对称的直线方程为 ．
【答案】
【分析】根据直线过定点的求法可求得点坐标，根据关于对称的两条直线平行，且到点距离相等可构造方程求得结果.
【详解】由得：，当时，，；
设直线关于点对称的直线方程为，
，解得：或（舍），
直线关于点对称的直线方程为.
故答案为：.
7-4．（2024高二上·全国·课后作业）直线关于点对称的直线的方程为 ．
【答案】
【分析】
根据直线关于点对称，设上的点坐标，写出关于对称的点坐标，根据点在已知直线上求直线方程.
【详解】设为上任意一点，则关于点的对称点为，
因为在直线l上，所以，即直线的方程为．
故答案为：
题型8：线线对称
8-1．（2024高三·全国·专题练习）已知直线，直线，若直线关于直线l的对称直线为，则直线的方程为 ．
【答案】.
【分析】由于两条直线平行，所以可设，利用对称的性质，可求得，进而求得直线方程为.
【详解】由题意知，设直线，在直线上取点，
设点关于直线的对称点为，
则， 解得，即，
将代入的方程得，
所以直线的方程为.
故答案为：
8-2．（2024高二上·湖北黄石·阶段练习）若两条平行直线：与：之间的距离是，则直线关于直线对称的直线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】利用两条直线平行的性质求出n,再利用两条平行直线间的距离求出m，再由平行线间距离即可求解.
【详解】因为直线：与：，
所以，
又两条平行直线：与：之间的距离是，
所以解得
即直线：，：，
设直线关于直线对称的直线方程为，
则，解得，
故所求直线方程为，
故选：A
8-3．（2024高三·全国·专题练习）直线关于直线对称的直线方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】在直线上任取一点，设其关于直线的对称点为，然后根据对称关系列方程可表示出，再代入中化简可得答案
【详解】在直线上任取一点，设点关于直线的对称点为，
则，解得，即，
因为点在直线上，
所以，即，
所以所求直线方程为，
故选：A.
（四）
题型9：直线系方程
9-1．（2024高二·全国·课后作业）设直线经过和的交点，且与两坐标轴围成等腰直角三角形，则直线的方程为 .
【答案】或
【分析】由题可求交点，结合条件即可求出；或设直线系方程，结合已知即求.
【详解】方法一：由，得，
所以两条直线的交点坐标为（14，10）,
由题意可得直线的斜率为1或-1，
所以直线的方程为或，
即或.
方法二：设直线的方程为，整理得，
由题意，得，解得或，
所以直线的方程为或.
故答案为：或.
9-2．（2024高二·全国·课堂例题）若直线l经过两直线和的交点，且斜率为，则直线l的方程为 ．
【答案】
【分析】先设经过交点的直线系，应用斜率求出参数即可得直线方程.
【详解】设直线l的方程为（其中为常数），即 ①．
又直线l的斜率为，则，解得．
将代入①式并整理，得，此即所求直线l的方程．
故答案为：.
9-3．（2024高三·全国·专题练习）经过直线3x－2y＋1＝0和直线x＋3y＋4＝0的交点，且平行于直线x－y＋4＝0的直线方程为 ．
【答案】x－y＝0.
【解析】设直线方程为3x－2y＋1＋λ(x＋3y＋4)＝0，再求出的值即得解.
【详解】过两直线交点的直线方程可设为3x－2y＋1＋λ(x＋3y＋4)＝0，
即(3＋λ)x＋(3λ－2)y＋4λ＋1＝0，
因为它与直线x－y＋4＝0平行，
所以3＋λ＋3λ－2＝0，
即λ＝－，
故所求直线为x－y＝0.
故答案为：x－y＝0.
【点睛】本题主要考查平行直线的斜率关系，考查直线方程的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
相关试卷
专题40 圆的方程9题型分类-备战2025年高考数学一轮专题复习全套考点突破和专题检测（解析版）： 这是一份专题40 圆的方程9题型分类-备战2025年高考数学一轮专题复习全套考点突破和专题检测（解析版），共64页。试卷主要包含了圆的定义和圆的方程，圆心在任一弦的垂直平分线上等内容，欢迎下载使用。
专题40 圆的方程9题型分类-备战2025年高考数学一轮专题复习全套考点突破和专题检测（原卷版）： 这是一份专题40 圆的方程9题型分类-备战2025年高考数学一轮专题复习全套考点突破和专题检测（原卷版），共16页。试卷主要包含了圆的定义和圆的方程，圆心在任一弦的垂直平分线上等内容，欢迎下载使用。
专题39 两条直线的位置关系9题型分类-备战2025年高考数学一轮专题复习全套考点突破和专题检测（原卷版）： 这是一份专题39 两条直线的位置关系9题型分类-备战2025年高考数学一轮专题复习全套考点突破和专题检测（原卷版），共15页。试卷主要包含了两条直线的位置关系，五种常用对称关系等内容，欢迎下载使用。
