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初中数学北师大版（2024）八年级上册1 函数优秀学案设计
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这是一份初中数学北师大版（2024）八年级上册1 函数优秀学案设计，共5页。学案主要包含了常量和变量的概念，函数，一次函数等内容，欢迎下载使用。
在一个变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，而数值保持不变的量叫做常量.
二、函数
1.函数的概念
在某一变化过程中，有两个量，例如和，对于的每一个值，都有唯一的值与之对应，其中是自变量，是因变量，此时也称是的函数；函数不是数，它是指在一个变化过程中两个变量之间的关系，函数本质就是变量间的对应关系。
判断y是x的函数，要抓住三个点：
（1）在同一个变化过程中；
（2）有两个变量；
（3）一个变量的数值随另一个变量的数值的变化而变化；
（4）本质上是一种对应关系，即对于每一个给定的值，有一个唯一确定的值与之对应，否则就不是的函数．例如就不是函数，因为当时，，即有两个值与对应． 对于每一个给定的值，可以有一个值与之对应，也可以有多个值与之对应．例如在函数中，时，；时，．
2.在研究函数问题时，自变量的取值范围应注意以下两点：
（1）自变量的取值要符合实际问题.
在实际问题中，自变量的取值范围应该符合实际意义，通常往往取非负数，整数之类．
（2）自变量的取值要使函数表达式自身有意义.
①表达式是整式时，自变量取全体实数；
②表达式是分式时，自变量的取值要使分母不为0；
③表达式是偶次根式时，自变量的取值必须使被开方数为非负数.表达式是奇次根式时，自变量取全体实数；
④表达式是零次幂或负整数次幂时，自变量的取值必须使底数不为零的实数．
⑤表达式是复合式时，自变量的取值是使各式成立的公共解.
3、函数的表示方法：①列表法；②解析法；③图像法
4、函数图像画法：①列表；②描点；③连线
三、一次函数
1、一次函数的概念
一般地，形如（，是常数，）的函数，叫做一次函数，特别的，当时，即，是正比例函数．
⑴一次函数的解析式的形式是，要判断一个函数是否是一次函数，就是判断是否能化成以上形式．
⑵当，时，仍是一次函数．
⑶当，时，它不是一次函数．
⑷正比例函数是一次函数的特例，一次函数包括正比例函数．
“正比例函数”与“成正比例”的区别：
正比例函数一定是y=kx这种形式，而成正比例则意义要广泛得多，它反映了两个量之间的固定正比例关系，如a+3与b-2成正比例，则可表示为：a+3=k（b-2）（k≠0）
2、一次函数的图象
⑴一次函数（，，为常数）的图象是一条直线．
⑵由于两点确定一条直线，所以在平面直角坐标系内画一次函数的图象时，只要先描出两个点，再连成直线即可．
①如果这个函数是正比例函数，通常取，两点；
②如果这个函数是一般的一次函数（），通常取，，即直线与两坐标轴的交点．
⑶由函数图象的意义知，满足函数关系式的点在其对应的图象上，这个图象就是一条直线，反之，直线上的点的坐标满足，也就是说，直线与是一一对应的，所以通常把一次函数的图象叫做直线：，有时直接称为直线．
注意：若两个不同的一次函数的一次项的系数相同，则这它们的图象平行。
3、性质：
（1）当时，一次函数的图象从左到右上升，随的增大而增大；
（2）当时，一次函数的图象从左到右下降，随的增大而减小．
4、待定系数法求一次函数解析式：
a) 定义：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而具体写出这个式子的方法，叫做待字系数法．
b) 步骤
①根据已知条件写出含有待定系数的解析式；
②将的几对值，或图象上的几个点的坐标代入上述的解析式中，得到以待定系数为未知数的方程或方程组；
③解方程（组），得到待定系数的值；
④将求出的待定系数代回所求的函数解析式中，得到所求的函数解析式
5、一次函数与方程、不等式：
a) 一次函数与一元一次方程的关系：
直线与x轴交点的横坐标，就是一元一次方程的解。求直线与x轴交点时，可令，得到方程，解方程得，直线交x轴于，就是直线与x轴交点的横坐标。
b) 一次函数与一元一次不等式的关系：
任何一元一次不等式都可以转化为或(为常数，)的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数值大（小）于0时，求自变量相应的取值范围。
c) 一次函数与二元一次方程（组）的关系：
一次函数的解析式本身就是一个二元一次方程，直线上有无数个点，每个点的横纵坐标都满足二元一次方程，因此二元一次方程的解也就有无数个。
6、直线（）与（）位置关系
（1）两直线平行且
（2）两直线相交
（3）两直线重合且
（4）两直线垂直
7、一次函数、正比例函数图像的主要特征：
一次函数的图像是经过点（0，b）、（ ，0）的直线；正比例函数的图像是经过原点（0，0）的直线。
一次
函数
，
符号
图象
性质
随的增大而增大
随的增大而减小
正比例函数
一次函数
概 念
一般地，形如y=kx(k是常数，k≠0)的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数
一般地，形如y=kx＋b(k,b是常数，k≠0)，那么y叫做x的一次函数.当b=0时，是y=kx，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.
自变量范围
X为全体实数
图 象
一条直线
必过点
（0，0）、（1，k）
（0，b）和（-，0）
走 向
k>0时，直线经过一、三象限；
k<0时，直线经过二、四象限
k＞0，b＞0,直线经过第一、二、三象限
k＞0，b＜0直线经过第一、三、四象限
k＜0，b＞0直线经过第一、二、四象限
k＜0，b＜0直线经过第二、三、四象限
增减性
k>0，y随x的增大而增大；（从左向右上升）
k<0，y随x的增大而减小。（从左向右下降）
倾斜度
|k|越大，越接近y轴；|k|越小，越接近x轴
图像的平移
k相同
b>0时，将直线y=kx的图象向上平移个单位；
b<0时，将直线y=kx的图象向下平移个单位.
在一个变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，而数值保持不变的量叫做常量.
二、函数
1.函数的概念
在某一变化过程中，有两个量，例如和，对于的每一个值，都有唯一的值与之对应，其中是自变量，是因变量，此时也称是的函数；函数不是数，它是指在一个变化过程中两个变量之间的关系，函数本质就是变量间的对应关系。
判断y是x的函数，要抓住三个点：
（1）在同一个变化过程中；
（2）有两个变量；
（3）一个变量的数值随另一个变量的数值的变化而变化；
（4）本质上是一种对应关系，即对于每一个给定的值，有一个唯一确定的值与之对应，否则就不是的函数．例如就不是函数，因为当时，，即有两个值与对应． 对于每一个给定的值，可以有一个值与之对应，也可以有多个值与之对应．例如在函数中，时，；时，．
2.在研究函数问题时，自变量的取值范围应注意以下两点：
（1）自变量的取值要符合实际问题.
在实际问题中，自变量的取值范围应该符合实际意义，通常往往取非负数，整数之类．
（2）自变量的取值要使函数表达式自身有意义.
①表达式是整式时，自变量取全体实数；
②表达式是分式时，自变量的取值要使分母不为0；
③表达式是偶次根式时，自变量的取值必须使被开方数为非负数.表达式是奇次根式时，自变量取全体实数；
④表达式是零次幂或负整数次幂时，自变量的取值必须使底数不为零的实数．
⑤表达式是复合式时，自变量的取值是使各式成立的公共解.
3、函数的表示方法：①列表法；②解析法；③图像法
4、函数图像画法：①列表；②描点；③连线
三、一次函数
1、一次函数的概念
一般地，形如（，是常数，）的函数，叫做一次函数，特别的，当时，即，是正比例函数．
⑴一次函数的解析式的形式是，要判断一个函数是否是一次函数，就是判断是否能化成以上形式．
⑵当，时，仍是一次函数．
⑶当，时，它不是一次函数．
⑷正比例函数是一次函数的特例，一次函数包括正比例函数．
“正比例函数”与“成正比例”的区别：
正比例函数一定是y=kx这种形式，而成正比例则意义要广泛得多，它反映了两个量之间的固定正比例关系，如a+3与b-2成正比例，则可表示为：a+3=k（b-2）（k≠0）
2、一次函数的图象
⑴一次函数（，，为常数）的图象是一条直线．
⑵由于两点确定一条直线，所以在平面直角坐标系内画一次函数的图象时，只要先描出两个点，再连成直线即可．
①如果这个函数是正比例函数，通常取，两点；
②如果这个函数是一般的一次函数（），通常取，，即直线与两坐标轴的交点．
⑶由函数图象的意义知，满足函数关系式的点在其对应的图象上，这个图象就是一条直线，反之，直线上的点的坐标满足，也就是说，直线与是一一对应的，所以通常把一次函数的图象叫做直线：，有时直接称为直线．
注意：若两个不同的一次函数的一次项的系数相同，则这它们的图象平行。
3、性质：
（1）当时，一次函数的图象从左到右上升，随的增大而增大；
（2）当时，一次函数的图象从左到右下降，随的增大而减小．
4、待定系数法求一次函数解析式：
a) 定义：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而具体写出这个式子的方法，叫做待字系数法．
b) 步骤
①根据已知条件写出含有待定系数的解析式；
②将的几对值，或图象上的几个点的坐标代入上述的解析式中，得到以待定系数为未知数的方程或方程组；
③解方程（组），得到待定系数的值；
④将求出的待定系数代回所求的函数解析式中，得到所求的函数解析式
5、一次函数与方程、不等式：
a) 一次函数与一元一次方程的关系：
直线与x轴交点的横坐标，就是一元一次方程的解。求直线与x轴交点时，可令，得到方程，解方程得，直线交x轴于，就是直线与x轴交点的横坐标。
b) 一次函数与一元一次不等式的关系：
任何一元一次不等式都可以转化为或(为常数，)的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数值大（小）于0时，求自变量相应的取值范围。
c) 一次函数与二元一次方程（组）的关系：
一次函数的解析式本身就是一个二元一次方程，直线上有无数个点，每个点的横纵坐标都满足二元一次方程，因此二元一次方程的解也就有无数个。
6、直线（）与（）位置关系
（1）两直线平行且
（2）两直线相交
（3）两直线重合且
（4）两直线垂直
7、一次函数、正比例函数图像的主要特征：
一次函数的图像是经过点（0，b）、（ ，0）的直线；正比例函数的图像是经过原点（0，0）的直线。
一次
函数
，
符号
图象
性质
随的增大而增大
随的增大而减小
正比例函数
一次函数
概 念
一般地，形如y=kx(k是常数，k≠0)的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数
一般地，形如y=kx＋b(k,b是常数，k≠0)，那么y叫做x的一次函数.当b=0时，是y=kx，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.
自变量范围
X为全体实数
图 象
一条直线
必过点
（0，0）、（1，k）
（0，b）和（-，0）
走 向
k>0时，直线经过一、三象限；
k<0时，直线经过二、四象限
k＞0，b＞0,直线经过第一、二、三象限
k＞0，b＜0直线经过第一、三、四象限
k＜0，b＞0直线经过第一、二、四象限
k＜0，b＜0直线经过第二、三、四象限
增减性
k>0，y随x的增大而增大；（从左向右上升）
k<0，y随x的增大而减小。（从左向右下降）
倾斜度
|k|越大，越接近y轴；|k|越小，越接近x轴
图像的平移
k相同
b>0时，将直线y=kx的图象向上平移个单位；
b<0时，将直线y=kx的图象向下平移个单位.
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