第十一章第一课时与三角形有关的线段 知识清单＋例题讲解＋课后练习（含解析） 数学人教版八年级上册

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第一课时 与三角形有关的线段 知识点一：三角形及其相关概念1．三角形的概念： 如图：由不在___________上的三条线段首位顺次连接所组成的图形叫做三角形．用符号“△”表示．即可表示为△ABC．2．三角形的要素与关系：（1）三角形的边：组成三角形的___________叫做三角形的边．（2）三角形的角：三角形的两条边组成三角形的内角，简称三角形的角．（3）三角形的顶点：三角形两边的___________是三角形的顶点．（4）邻边与邻角、对边与对角：①邻边与邻角：AB与BC构成∠B，则AB与BC是∠B的邻边．∠B是AB和BC的邻角．同理：AB与AC是___________的邻边．∠A是___________和___________的邻角．AC与BC是___________的邻边．∠C是___________和___________的邻角．②对边与对角：不参与构成的角的边是角的对边．∠A的对边是___________．BC的对角是___________． ∠B的对边是___________．AC的对角是___________． ∠C的对边是___________．AB的对角是___________．特别提示：在三角形中角越大，它的对边越长．反之边越长，对角越大．【类型一：三角形的数量判断】1．如图，图中有 个三角形，的对边是 ．2．如图，以AB为边的三角形的个数是（    ）A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个3．若有一条公共边的两个三角形称为一对“共边三角形”，则图中以为公共边的“共边三角形”有 对．知识点二：三角形的分类1．按边是否相等分类：                         2．按内角大小分类：特别提示：等腰三角形相等的两边叫做三角形的腰，另一边叫做三角形的底．【类型一：三角形分类的熟悉】4．下列关于三角形的分类，有如图所示的甲、乙两种分法，则（   ）A．甲分法错误，乙分法正确 B．甲分法正确，乙分法错误C．甲、乙两种分法均正确 D．甲、乙两种分法均错误5．如图表示的是三角形的分类，则正确的表示是（    ）A．M表示三边均不相等的三角形，N表示等腰三角形，P表示等边三角形B．M表示三边均不相等的三角形，N表示等边三角形，P表示等腰三角形C．M表示等腰三角形，N表示等边三角形，P表示三边均不相等的三角形D．M表示等边三角形，N表示等腰三角形，P表示三边均不相等的三角形【类型二：三角形形状的判断】6．下列图形中，是直角三角形的是（    ）A．   B．   C．   D．  7．如图给出的三角形有一部分被遮挡，则这个三角形可能是（    ）A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形8．如图，一个三角形只剩下一个角，这个三角形为(　　)A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．以上都有可能知识点三：三角形的三边关系：1．内容：三角形中，任意两边之和___________第三边，任意两边之差___________第三边．2．符号语言：如图，△ABC中，有：通过移项即可证明任意两边之差小于第三边．特别提示：考题中常用两边之差＜第三边＜两边之和解题．【类型一：判断三边能否构成三角形】9．下列各组数中不可能是一个三角形的边长的是（　　）A．3，4，5 B．5，7，7 C．5，7，12 D．6，8，1010．下列长度的三条线段能构成三角形的是（    ）A．4cm，6cm，10cm B．2cm，5cm，8cmC．3cm，4cm，5cm D．5cm，7cm，13cm【类型二：根据三边关系求值或求取值范围】11．在△ABC中，，，，a的值可能是（    ）A．1 B．3 C．5 D．712．已知三角形的三边长分别为3，4，x，且x为整数，则x的最大值为（    ）A．8 B．7 C．5 D．613．四根长度分别为的木条，以其中三根的长为边长钉成一个三角形框架，那么这个框架的周长可能是（    ）A． B． C． D．14．一个三角形的两边长分别为2和5，且第三边长为整数，这样的三角形的周长最大值是（　　）A．10 B．11 C．12 D．1315．三角形三边为3，5，x，则x的范围是 ．16．在△ABC中，AC＝3，BC＝4，若∠C为钝角，则AB的长的取值范围是 ．17．已知a，b，c是△ABC的三边长，a，b满足|a﹣6|＋（b﹣2）2＝0，c为偶数，则c＝ ．【类型三：根据三边关系化简】18．已知三角形的三边长为4、x、11，化简 ．19．△ABC的三边分别是a，b，c，化简|a﹣b＋c|＋|a﹣c﹣b|﹣|b﹣c﹣a|的结果为 ．20．已知的三边长分别为3、5、a，化简的结果为 ．知识点四：三角形的高、中线、角平分线：1．高线：（1）定义如图，从三角形的一个顶点作它对边所在直线的___________，顶点和垂足之间的___________线段___________叫做三角形这条边上的高线．BD是△ABC的高BD___________AC（2）三角形高线的画法：如下图图① 图② 图③ （3）垂心：由（2）中图可知，三角形都有___________条高，且三条高都交于同一点．这个交点叫做三角形的___________．由图①可知，锐角三角形的三条高与垂心均在三角形___________．由图②可知，直角三角形有两条高是直角三角形的边，垂心在三角形___________．由图③可知，钝角三角形有两条高在三角形外，垂心也在三角形___________．特别提示：可以通过高线与垂心所在位置判断三角形的形状．【类型一：高线的理解】21．如图，，，下列说法正确的是（    ）A．是的高 B．是的高C．是的高 D．是的高22．如图，△ABC中∠C=90°，CD⊥AB，图中线段中可以作为△ABC的高的有（　　）A．2条 B．3条 C．4条 D．5条23．数学课上，同学们在作中AC边上的高时，共画出下列四种图形，其中正确的是（    ）．A． B． C． D．24．如图，AC⊥BC，CD⊥AB，DE⊥BC，垂足分别为C，D，E，则下列说法不正确的是(　　)A．AC是△ABC的高 B．DE是△BCD的高C．DE是△ABE的高 D．AD是△ACD的高【类型二：利用高线与垂心所在位置判断三角形形状】25．有两条高在三角形外部的三角形是（    ）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定26．如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是(   )A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．不能确定【类型三：等面积法求线段长度】27．如图，直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC于点D，AB＝3，AD＝1.8，BD＝2.4，DC＝3.2，BC＝4，则点A到BD的距离是 ．28．如图，在中，的面积与的面积相等，于点E，于点F，，则 ．2．中线：（1）定义：如图，连接三角形的一个顶点与它所对的边的___________得到的___________线段___________叫做三角形的中线．AM是三角形的中线M是BC的___________BM___________CM=___________BC （2）中线的性质：①中线平分三角形的___________．即：②中线分三角三角形的周长差等于对应另两边的差．即：（3）重心：三角形的三条中线都在三角形的内部，且他们交于同一点，这个点叫做三角形的重心．【类型一：中线的理解】29．如图，AD，BE，CF是△ABC的三条中线，则下列结论正确的是（    ）A． B． C． D．30．如图，CM是△ABC的中线，AB＝10cm，则BM的长为（    ）A．7cm B．6cm C．5cm D．4cm31．如图，是的中线，，则的长为（    ）A． B． C． D．【类型二：中线与面积的计算】32．三角形一边上的中线把原三角形分成两个（ ）A．形状相同的三角形 B．面积相等的三角形C．直角三角形 D．周长相等的三角形33．如图，点、分别是边、的中点，的面积等于，则的面积为（   ）A． B． C． D．34．已知：如图所示，在△ABC中，点D，E，F分别为BC，AD，CE的中点，且，则阴影部分的面积为 ．【类型三：中线与周长的计算】35．如图，△ABC中，AB＝10，AC＝8，点D是BC边上的中点，连接AD，若△ACD的周长为20，则△ABD的周长是（　　）A．16 B．18 C．20 D．2236．如图，中，是边上的中线，，，那么和的周长的差是（    ）A．3cm B．6cm C．12cm D．无法确定37．如图，AD是△ABC的中线．若△ABD的周长比△ACD的周长长6cm，则AB-AC= cm．3．角平分线：（1）定义：如图．三角形的一个内角平分线与这个角对边相交，顶点和交点之间的___________是三角形的角平分线．AD是三角形的角平分线∠1___________∠2．特别提示：三角形的角平分线是线段，角的角平分线是射线．（2）内心：三角形的三角角平分线交于一点，这一点叫做三角形的___________．【类型一：角平分线认识理解】38．如图，在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，则（　　）A．∠1=∠BAC B．∠1=∠ABC C．∠1=∠BAC D．∠1=∠ABC39．如图，在中，，则下列说法中，正确的是（　　）A．是的中线 B．是的角平分线C．是的高线 D．是的中线【类型二：角平分线有关的计算】40．如图，点D是的角平分线上的一点，过点D作，．(1)若，，求的度数．(2)是的角平分线吗？请说明理由．知识点五：三角形的稳定性如图三角形的三条边确定，则这个三角形的___________和___________就会确定．这就是三角形的稳定性．特别提示：稳定性是三角形的特有性质，只有三角形具有．【类型一：三角形稳定性的实际应用】41．下列图形中，不具有稳定性的是（    ）A． B．C． D．42．下列事物所运用的原理不属于三角形稳定性的是（   ）A．长方形门框的斜拉条 B．埃及金字塔 C．三角形房架 D．学校的电动伸缩大门43．如图，人字梯中间一般会设计一“拉杆”，以增加使用梯子时的安全性，这样做蕴含的道理是（　　）A．两点之间线段最短 B．三角形具有稳定性C．经过两点有且只有一条直线 D．垂线段最短一、选择题（10题）44．下列判断错误的是（    ）A．三角形的三条高的交点在三角形内B．三角形的三条中线交于三角形内一点C．直角三角形的三条高的交点在直角顶点D．三角形的三条角平分线交于三角形内一点45．若一个三角形的两边长分别为4，8，则它的第三边的长可能是（    ）A．3 B．4 C．10 D．1246．如图，在中，BD为AC边上的中线，已知，，的周长为20，则的周长为（    ）A．17 B．23 C．25 D．2847．王师傅用4根木条钉成一个四边形木架，如图，要使这个木架不变形，他至少还要再钉上几根木条？（　　）A．0根 B．1根 C．2根 D．3根48．长度为3，7，的三条线段构成三角形，则的值可能是（    ）A．3 B．4 C．8 D．1249．在中，作出边上的高，正确的是（    ）A． B．C． D．50．若线段满足，则关于点的位置，下列说法正确的是（    ）A．点一定在直线上 B．点一定在直线外C．点一定在线段上 D．点一定在线段外51．已知一个三角形的两边长分别为3和4，第三边的长为整数，则该三角形的周长可能为（    ）A．7 B．8 C．13 D．1452．如图,在△ABC中,∠1=∠2,G为AD的中点,延长BG交AC于E、 F为AB上的一点,CF⊥AD于H，下列判断正确的有(    )A．AD是△ABE的角平分线 B．BE是△ABD边AD上的中线C．AH为△ABC的角平分线 D．CH为△ACD边AD上的高53．如图，在中， 是高， 是中线， 是角平分线， 交于点G，交于点H，下面说法正确的是（ ）①的面积的面积    ②； ③ ④．A．①②③④ B．①②④ C．①②③ D．③④一、填空题（6题）54．如图所示的自行车架设计成三角形，这样做的依据是三角形具有 ．55．已知三角形的三边长为4、x、11，化简 ．56．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，△ADC的周长比△ABD的周长多2cm，已知AB＝4cm，则AC的长为 cm．57．已知关于x的不等式组至少有两个整数解，且存在以3，a，7为边的三角形，则a的整数解有 个．58．已知a，b，c是的三边长，满足，c为奇数，则 ．59．△ABC的三边分别是a，b，c，化简|a﹣b＋c|＋|a﹣c﹣b|﹣|b﹣c﹣a|的结果为 ．一、解答题（4题）60．先化简，再求值．已知a，b，c为△ABC的三边长，化简|a-b-c|-|b-c+a|，当a=2、c=3时，求出代数式的值．61．在△ABC中，BC＝8，AB＝1；(1)若AC是整数，求AC的长；(2)已知BD是△ABC的中线，若△ABD的周长为20，求△BCD的周长．62．已知a，b，c是△ABC的三边长．（1）若a，b，c满足（a﹣b）（b﹣c）＝0，试判断△ABC的形状；（2）化简：|a+b﹣c|+|b﹣c﹣a|．63．若△ABC的三边长分别为m－2，2m＋1，8．（1）求m的取值范围；（2）若△ABC的三边均为整数，求△ABC的周长．参考答案：1． 3 ，【分析】按照从左到右的顺序，分单个的三角形和复合的三角形找出所有的三角形，然后再计算个数，再由对边的定义进行填空即可．【详解】解：图中的三角形有：△ABC、△ACD、△ABD共3个．∠B的对边是AD和AC．故答案为：①3；②AD和AC.【点睛】本题主要考查了数三角形的个数和角对边的定义，解题的关键在于能够熟练的掌握相关知识进行求解.2．D【分析】根据三角形的概念、结合图形写出以AB为边的三角形．【详解】解：以AB为边的三角形的有△ABC，△ABD，△ABF，△ABE，一共有4个．故选：D．【点睛】本题考查的是三角形的认识，不重不漏的写出所有的三角形是解题的关键．3．3【分析】找到以为边的三角形，即可得解．【详解】解：以为公共边的“共边三角形”有与、与、与共3对．故答案为：3．【点睛】本题考查三角形的定义．理解并掌握“共边三角形”的定义，是解题的关键．4．A【分析】根据三角形的分类可直接选出答案．【详解】按边分类：不等边三角形和等腰三角形（底和腰不等的等腰三角形、底和腰相等的等腰三角形即等边三角形）；按角分类：锐角三角形，直角三角形，钝角三角形．∴甲分法错误，乙分法正确．故选：A．【点睛】本题主要考查了三角形的分类，关键是掌握分类方法．根据三角形角、边的特点，按边或按角分类．5．B【分析】根据三角形按照边的分类方法解答．【详解】解：根据三角形的分类，三角形可以分为三边都不相等的三角形和等腰三角形，等腰三角形分为底边和腰不相等的三角形和底边三角形，故选择B．【点睛】本题考查三角形的分类，牢记三角形按照边的分类方法是解决问题的关键．6．B【详解】略7．B【分析】根据三角形按角分类的方法进行判断即可．【详解】观察图形可知：图中的三角形有两个锐角，且第三个角也小于90度，由此判定为锐角三角形，故选：B．【点睛】本题考查三角形的分类，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．8．B【分析】三角形按角分类，可以分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形．有一个角是直角的三角形是直角三角形；有一个角是钝角的三角形是钝角三角形；三个角都是锐角的三角形是锐角三角形．【详解】从题中可知，只能看到一个角是钝角．所以这个三角形为钝角三角形．故选：B．【点睛】本题考查了三角形的分类的灵活应用．9．C【分析】判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．【详解】解：A.，∴能组成三角形，故选项正确，不符合题意；B. ，∴能组成三角形，故选项正确，不符合题意；C. ，∴不能组成三角形，故选项错误，符合题意；D. ，∴能组成三角形，故选项正确，不符合题意．故选：C．【点睛】本题主要考查了三角形三边关系的运用，解题关键是：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边．10．C【分析】利用三角形的三边关系进行分析即可．【详解】解：A.4+6=10，不能构成三角形，故此选项不符合题意；B.2+5＜8，不能构成三角形，故此选项不符合题意；C.3+4＞5，能构成三角形，符合题意；D.5+7＜13，不能构成三角形，故此选项不符合题意．故选：C．【点睛】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．11．B【分析】根据三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边即可求解．【详解】解：，即，故选：B．【点睛】本题考查了三角形的三边关系，正确理解三角形三边关系是解本题的关键．12．D【分析】根据三角形的三边关系“第三边大于两边之差，而小于两边之和”，求得第三边的取值范围；再根据第三边是整数，从而求得第三边长的最大值．【详解】解：根据三角形的三边关系，得：4-3＜x＜4+3，即1＜x＜7，∵x为整数，∴x的最大值为6．故选：D．【点睛】此题考查了三角形的三边关系．注意第三边是整数的已知条件．13．B【分析】根据三角形三条边的关系计算即可，三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边.【详解】∵只有的三条线段能组成三角形，∴周长可能是：3+5+7=.故选B.【点睛】题考查了三角形三条边的关系，熟练掌握三角形三条边的关系是解答本题的关键.14．D【分析】先根据三角形的三边关系定理求得第三边的取值范围；再根据第三边是整数，从而求得周长最大时，对应的第三边的长．【详解】解：设第三边为a，根据三角形的三边关系，得：5-2＜a＜5+2，即3＜a＜7，∵a为整数，∴a的最大值为6，则三角形的最大周长为6+2+5=13．故选：D．【点睛】此题考查了三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．15．【分析】根据三角形的三边关系“第三边大于两边之差，而小于两边之和”列出不等式，进行求解即可．【详解】解：∵三角形三边为3，5，x， 故答案为：．【点睛】此题主要考查了三角形的三边关系，解题的关键是掌握三角形两边之和大于第三边；三角形的两边差小于第三边．16．【分析】根据勾股定理求出AB的长，再根据两边之和大于第三边，即可得答案．【详解】解：在△ABC中，若∠C为直角，AC＝3，BC＝4，则；∵∠C为钝角，两边之和大于第三边，∴5