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第十一章第二课时与三角形有关的角 知识清单＋例题讲解＋课后练习 （含解析）数学人教版八年级上册
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第二课时——与三角形有关的角（答案卷）知识点一：三角形的内角和定理：1. 三角形的内角和定理：三角形的三个内角之和等于 180° ． 2. 三角形内角和的证明：证明思路：过三角形任意一个顶点作对边的平行线即可证明．如图：过点A作PQ平行于BC．∵PQ∥BC∴∠B＝ ∠PAB ；∠C＝ ∠QAC ．∵∠PAB＋∠QAC＋∠BAC＝ 180° ．∴∠BAC＋∠B＋∠C＝ 180° ．【类型一：利用内角和计算判断三角形形状】1．在中，，比小，则是（ ）A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．无法判断2．若一个三角形的三个内角的度数的比为，那么这个三角形是（ ）A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．等边三角形3．满足条件2∠A=2∠B=∠C的△ABC是( )A．锐角三角形 B．等腰直角三角形C．钝角三角形 D．不确定【类型一：求图形角度】4．如图，在△ABC中，∠ACB＝80°，点D在AB上，将△ABC沿CD折叠，点B落在边AC的点E处．若∠ADE＝30°，则∠A的度数为 ．5．如图，已知△ABC中，BD，CE分别是△ABC的角平分线，BD与CE交于点O，如果∠A＝54°，那么∠BOC的度数是（ ）A．97° B．117° C．63° D．153°知识点二：直角三角形的性质与判定：直角三角形的定义：有一个角是直角的三角形．用表示直角三角形ABC．1. 性质：直角三角形的两个锐角 互余 ．数学语言：∵△ABC是直角三角形，且∠C＝90°∴∠A＋∠B＝ 90° ．2. 判定：有两个角 互余 的三角形是直角三角形．数学语言：∵∠A＋∠B＝90°∴△ABC是 直角 三角形【类型一：角度计算】6．如图，在Rt△ABC中，∠A=35°，则∠B=（ ）A．45° B．55° C．65° D．145°7．如图，在中，，垂足为D，下列结论中，不一定成立的是（ ）A．与互余 B．与互余 C． D．8．若直角三角形的两锐角之差为，则较大一个锐角的度数是 度．9．直角三角形中，两个锐角度数之比为1：5，则较小的锐角度数为 ．10．如图，是的高，是的角平分线，，则的大小是（ ）A． B． C． D．11．如图，是的高，是的角平分线，若，，则的度数是（ ）A． B． C． D．12．如图，在ABC中，AD是BC边上的高，AE平分∠BAC，∠C＝46°，∠DAE＝10°，∠B的度数为（ ）A．66° B．68° C．50° D．60°13．如图△ABC中，∠A：∠B=1：2，DE⊥AB于E，且∠FCD=75°，则∠D= ．【类型一：直角三角形的判定】14．具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（ ）A．∠A+∠B＝∠C B．∠A﹣∠B＝∠CC．∠A：∠B：∠C＝1：2：3 D．∠A＝∠B＝3∠C15．在下列条件：①∠A+∠B＝∠C，②∠A：∠B：∠C＝5：3：2，③∠A＝90°﹣∠B，④∠A＝2∠B＝3∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个知识点三：三角形的外角及其性质：1. 外角的定义：如图，三角形的一条边与另一条边的 延长线 构成的夹角叫做三角形的外角．特别提示：三角形一个顶点只算一个外角．2. 外角性质：（1）三角形的一个外角等于它 不相邻 的两个内角之和．即∠1＝ ∠2＋∠3 （2）三角形的外角 大于 它不相邻的任意一个内角．即∠1 ＞ ∠2，∠1 ＞ ∠3．（3）三角形的外角与它相邻的内角 互补 ．即：∠1＋∠4＝ 180° ．（4）三角形的外角和：三角形的三个外角之和等于 360° ．【类型一：内外角关系求角度】16．如图， ， ．17．如图，直线AB∥CD，连接BC，点E是BC上一点，，，则∠AEC的大小为（ ）A．27° B．42° C．45° D．70°18．如图，直线AB∥CD，∠B＝50°，∠D＝20°，则∠E的度数是（ ）A．20° B．30° C．50° D．70°19．将一副三角尺按如图所示的方式摆放，则的大小为（ ）A． B． C． D．20．小枣一笔画成了如图所示的图形，若∠A＝60°，∠B＝40°，∠C＝30°，则∠D+∠E等于（ ）A．100° B．110° C．120° D．130°21．将一副三角板如图所示的位置放在直尺上，则∠1的度数是（ ）A．115° B．105° C．110° D．95°22．如图，已知∠BOF=120°，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F为多少度（ ）A．360° B．720° C．540° D．240°【类型二：角平分线与内外角】23．如图，△ABC中，若∠BAC＝80°，O为三条角平分线的交点，则∠BOC＝ 度．24．如图，△ABC中，若∠BOC＝126°，O为△ABC两条内角平分线的交点，则∠A＝ 度． 25．如图，在△ABC中，∠BAC=60°，BD、CE分别平分∠ABC、∠ACB，BD、CE相交于点O，则∠BOC的度数是 ．26．如图，△ABC中，∠A＝56，BD平分∠ABC，CD平分△ABC的外角∠ACE，BD、CD交于点D，则∠D的度数（ ）A．28 B．56 C．30 D．2627．如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，如果∠ABP=20°，∠ACP=50°，则∠A+∠P= ． 28．如图，在△ABC中，∠C＝62°，△ABC两个外角的角平分线相交于G，则∠G的度数为 ．29．如图，、是的外角角平分线，若，则的大小为（ ）A． B． C． D．30．在中，．(1)如图1，、的平分线相交于点，则 ；(2)如图2，的外角、的平分线相交于点，则 ；(3)探究如图3，的内角的平分线与其外角的平分线相交于点，设，则的度数是 ．（用n的代数式表示）一、选择题（10题）31．如图，在△ABC中，∠B＝50°，∠C＝70°，直线DE经过点A，∠DAB＝55°，则∠EAC的度数是（ ）A．55° B．60° C．65° D．70°32．若三角形三个内角度数之比为2：3：5，则这个三角形一定是（ ）A．等腰直角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形33．如图，直线，如果，，那么的度数是（ ）A．31° B．40° C．39° D．70°34．如图，直线a∥b，在Rt△ABC中，点C在直线a上，若∠1＝58°，∠2＝24°，则∠B的度数为（ ）A．56° B．34° C．36° D．24°35．将两张三角形纸片如图摆放，量得∠1+∠2+∠3+∠4＝220°，则∠5的度数为（ ）A．30° B．40° C．45° D．50°36．如图，五角星的五个角之和，即：（ ）A．180° B．90 C．270° D．240°37．如图，把一副直角三角板如图那样摆放在平行直线AB，CD之间，∠EFG＝30°，∠MNP＝45°．则：①；②∠AEG＝45°；③∠BEF＝75°；④∠CMP＝∠EFN．其中正确的个数是（ ）A．1 B．2 C．3 D．438．如图，在平面直角坐标系中，直线AB与y轴在正半轴、x轴正半轴分别交A、B两点，点C在BA的延长线上，AD平分∠CAO，BD平分∠ABO，则∠D的度数是（ ）A．30° B．45° C．55° D．60°39．如图，P为△ABC的边AB、AC的中垂线的交点，，则的度数为（ ）A．128° B．116° C．138° D．104°40．如图，将纸片沿折叠，使点落在点处，且平分，平分，若，，则的度数为（ ）A． B． C． D．二、填空题（6题）41．如图，在中，，，将沿直线m翻折，点A落在点D的位置，则的度数是 ．42．如图，在△ABC中，∠B＝42°，∠C＝64°，AD、AE分别是△ABC的高与角平分线，则∠DAE＝ °． 43．△ABC的内角关系如图所示，则∠1= ．44．三角形的一个外角是100°，则与它不相邻的两内角平分线夹角（钝角）是 ．45．如图，，于点E，于点F，若，则 ．46．如图，小明在计算机上用“几何画板”画了一个Rt△ABC，∠C＝90º，并画出了两锐角的角平分线AD， BE及其交点F．小明发现，无论怎样变动Rt△ABC的形状和大小，∠AFB的度数是定值．这个定值为 ．三、解答题（4题）47．如图，在△ABC中，E，G分别是AB，AC上的点，F，D是BC上的点，连接EF，AD，DG，，∠1+∠2＝180°．(1)求证： ；(2)若DG是∠ADC的平分线，∠2＝140°，求∠B的度数．48．如图，在中，AD是角平分线，E为边AB上一点，连接DE，，过点E作，垂足为F．(1)试说明；(2)若，，求的度数．49．如图，在中，、分别是的高和角平分线，．(1)若，求的度数；(2)试用、的代数式表示的度数_________．50．某校八年级数学兴趣小组对“三角形内角或外角平分线的夹角与第三个内角的数量关系”进行了探究．(1)如图1，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点P，若∠A＝66°，则∠BPC＝ °；(2)如图2，△ABC的内角∠ACB的平分线与△ABC的外角∠ABD的平分线交于点E．其中∠A＝α，则∠BEC＝ （用α表示∠BEC）；(3)如图3，BQ平分外角∠CBM，CQ平分外角∠BCN．试确定∠BQC与∠A的数量关系，并说明理由． 参考答案：1．C【分析】根据，比小，求出和的度数，作出选择即可．【详解】解：∵中，，比小，∴，∴，∴是锐角三角形，故选：C．【点睛】本题考查了角度的计算，三角形内角和定理，掌握钝角三角形、直角三角形、锐角三角形的角的特征是解答本题的关键．2．B【分析】由三角形内角和定理结合已知条件，求出三角形各内角的度数，即可得出答案．【详解】解：∵三角形的三个内角的度数的比为，且三个内角的和为，∴这个三角形的三个内角的度数分别为： ， ，，∴这个三角形是锐角三角形，故选：B．【点睛】本题考查了三角形内角和定理，掌握三角形内角和定理的内容是解决问题的关键．3．B【详解】解：设∠A=x，则∠B=x，∠C=2x．又∠A+∠B+∠C=180°，则则．△ABC是等腰直角三角形．故选B．4．35°##35度【分析】利用翻折不变性，三角形内角和定理和三角形外角的性质即可解决问题．【详解】解：，，是由翻折得到，，，，解得．故答案为：35°．【点睛】本题考查三角形内角和定理和三角形外角的性质，翻折变换等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．5．B【分析】根据角平分线的性质，得到∠BOC＝180°﹣(∠ABC+∠ACB)，再根据三角形内角和计算即可．【详解】∵BD，CE分别是△ABC的角平分线，∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，∴∠BOC＝180°﹣∠OBC﹣∠OCB＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣(∠ABC+∠ACB)，∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∠A＝54°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝126°，∴∠BOC＝180°﹣×126°＝117°，故选：B．【点睛】本题考查角平分线的定义，解决本题的关键是充分利用角平分线的定义得到角的关系，再与三角形内角和建立联系．6．B【分析】利用直角三角形的两个锐角互余进行求解．【详解】解：在中，，．故选：B．【点睛】本题考查了直角三角形的两个锐角互余，本题也可用三角形内角和等于进行求解．7．D【分析】根据CD⊥AB，可得到∠A+∠1=90°，∠B+∠2=90°，故A、B正确；再由∠ACB=90°，可得∠A+∠B=90°，从而得到，故C正确；而无法判断∠1、∠2的大小，故D错误，即可求解．【详解】解：∵CD⊥AB，∴∠ADC=∠CDB=90°，∴∠A+∠1=90°，∠B+∠2=90°，故A、B正确，不合题意；∵∠ACB=90°，∴∠A+∠B=90°，∴，故C正确，不合题意；无法判断∠1、∠2的大小，故D错误，符合题意；故选：D【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，余角的性质，熟练掌握直角三角形两锐角互余，同角的余角相等是解题的关键．8．62【分析】根据直角三角形的性质、结合题意列出方程组，解方程组得到答案．【详解】解：设直角三角形中，较大的锐角为∠A，较小的锐角为∠B，由题意得：，解得：，则较大一个锐角的度数是62°，故答案为：62．【点睛】本题考查的是直角三角形的性质，掌握直角三角形的两锐角互余是解题的关键．9．##15度【分析】根据直角三角形的两锐角互余列出方程，解方程得到答案．【详解】解：设较小的一个锐角为x，则另一个锐角为5x，则，解得，则较小的一个锐角为15°．故答案为：15°．【点睛】本题考查的是直角三角形的性质、解一元一次方程，掌握直角三角形的两锐角互余是解题的关键．10．D【分析】根据三角形的高线和三角形内角和定理求出的度数，再利用角平分线的定义求出的度数，然后由三角形内角和定理求出的度数，最后用三角形内角和定理求解．【详解】解：∵是的高，∴．∵，∴．∵是的角平分线，∴．∵，∴．∵，∴．故选：D．【点睛】本题主要考查了三角形的高线和角平分线的定义，三角形内角和定理．求出的度数是解答关键．11．A【分析】根据三角形内角和定理求出，根据角平分线的定义求出，求出，再求出答案即可．【详解】解：∵，，∴，∵平分，∴，∵是的边上的高，∴，∵，∴，∴，故选：A．【点睛】此题考查了三角形内角和的性质，解题的关键是掌握三角形内角和有关性质．12．A【分析】先根据直角三角形的两锐角互余可得，从而可得，再根据角平分线的定义可得，然后根据三角形的内角和定理即可得．【详解】解：是边上的高，，，，，，平分，，，故选：A．【点睛】本题考查了直角三角形的两锐角互余、角平分线的定义、三角形的内角和定理，熟练掌握三角形的内角和定理是解题关键．13．40°##40度【分析】先根据及三角形内角与外角的性质及可求出的度数，再由及三角形内角和定理解答可求出的度数，再根据三角形内角和定理即可求出答案．【详解】解：，，，，于，，，，．故答案为：【点睛】本题考查了直角三角形的性质，垂直定义，三角形内角和定理，三角形外角性质的应用，解题的关键是求出的度数．14．D【分析】由直角三角形内角和为180°求得三角形的每一个角，再判断形状.【详解】解：A.∠A+∠B＝∠C，即2∠C＝180°，∠C＝90°，为直角三角形，不符合题意；B.∠A﹣∠B＝∠C，即2∠A＝180°，∠A＝90°，为直角三角形，不符合题意；C.∠A：∠B：∠C＝1：2：3，即∠A+∠B＝∠C，同A选项，不符合题意；D.∠A＝∠B＝3∠C，即7∠C＝180°，三个角没有90°角，故不是直角三角形，符合题意．故选：D．【点睛】本题考查三角形内角和定理以及直角的判定条件，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键．15．C【分析】根据直角三角形的判定对各个条件进行分析，即可得到答案．【详解】解：①∵∠A+∠B＝∠C，∴2∠C＝180°，∴∠C＝90°，∴△ABC是直角三角形；②∵∠A：∠B：∠C＝1：2：3，设∠A＝x，则x+2x+3x＝180，解得：x＝30°，∴∠C＝30°×3＝90°，∴△ABC是直角三角形；③∵∠A＝90°﹣∠B，∴∠A+∠B＝90°，∴∠C＝180°﹣90°＝90°，∴△ABC是直角三角形；④∵3∠C＝2∠B＝∠A，∴∠A+∠B+∠C＝∠A+∠A+∠A＝180°，∴∠A＝（）°，∴△ABC为钝角三角形．∴能确定△ABC是直角三角形的有①②③共3个，故选：C．【点睛】本题主要考查了直角三角形的判定，三角形内角和定理，掌握有一个内角为90°的三角形是直角三角形是解决问题的关键．16． 60 50【分析】根据三角形的外角的性质列出方程，解方程求出x的值，根据邻补角的性质计算，求出y的值．【详解】解：根据三角形的外角的性质得，，解得，，则，，则，故答案为：60；50．【点睛】此题考查了三角形外角的性质，解题的关键是根据三角形外角的性质列出方程，正确求得的值．17．B【分析】根据平行线的性质、三角形的外角的定义进行求解即可；【详解】解：∵AB∥CD，∴∵∴故选：B【点睛】本题主要考查平行线的性质、三角形的外角的定义，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键．18．B【分析】根据平行线的性质，得出∠BMD＝∠B＝50°，再根据∠BMD是△MDE的外角，即可得出∠E．【详解】解：∵AB∥CD，∴∠BMD＝∠B＝50°，又∵∠BMD是△MDE的外角，∴∠E＝∠BMD﹣∠D＝50°﹣20°＝30°．故选：B．【点睛】本题考查平行线的性质及三角形外角的性质，掌握相关性质定理正确推理计算是解题关键．19．B【分析】先根据直角三角板的性质得出∠ACD的度数，再由三角形内角和定理即可得出结论．【详解】解：如图所示，由一副三角板的性质可知：∠ECD=60°，∠BCA=45°，∠D=90°，∴∠ACD=∠ECD－∠BCA=60°－45°=15°，∴∠α=180°－∠D－∠ACD=180°－90°－15°=75°， 故选：B．【点睛】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键．20．B【分析】根据三角形内角和定理与内角与外角的关系求出，由此得出，进而求出，即可求出∠D+∠E【详解】解：如图，∵∠A＝60°，∠B＝40°，∴∠BGF＝∠C+∠AFC＝∠A+∠B＝100°，∵∠C＝30°，∴∠AFC＝100°﹣30°＝70°，∴∠EFD＝∠AFC＝70°，∵∠E+∠D+∠EFD＝180°，∴∠D+∠E＝180°﹣70°＝110°，故选：B．【点睛】本题考查三角形内角和定理与内角与外角的关系，知道两内角之和为不相邻的外角是解题关键．21．B【分析】由题意可求得∠BAD＝75°，利用邻补角可求得∠DAF＝105°，再由平行线的性质即可求∠1的度数．【详解】解：如图，由题意得：∠BAC＝45°，∠CAD＝30°，∴∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝75°，∴∠DAF＝180°－∠BAD＝105°，∵EG//BF，∴∠1＝∠DAF＝105°．故选：B．【点睛】本题主要考查平行线的性质和邻补角的定义，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，同位角相等．22．D【分析】根据三角形内角和定理和三角形的外角性质，利用已知角求未知角即可.【详解】如图，根据三角形的外角性质，∠1=∠A+∠C，∠2=∠B+∠D，∵∠BOF=120°，∴∠3=180°﹣120°=60°，根据三角形内角和定理，∠E+∠1=180°﹣60°=120°，∠F+∠2=180°﹣60°=120°，所以，∠1+∠2+∠E+∠F=120°+120°=240°，即∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=240°．故选D.【点睛】本题考查三角形内角和定理和三角形外角的性质.把未知角转化为未知角是解题的关键.23．130【分析】根据三角形内角和定理求出，再用角平分线的定义求解．【详解】解：在△ABC中，∵∠BAC＝80°，∴．又∵O为三条角平分线的交点∴，∴在中，．故答案为：130°．【点睛】本题主要考查了角平分线的定义和三角形内角和定理，理解角平分线的概念以及掌握三角形的内角和定理是解答关键．24．72【分析】利用三角形内角和定理结合已知条件可得出的度数，从而可得出的度数，继而可得出的度数．【详解】解：∵△BOC中，∠BOC＝126°，∴∠1+∠2＝180°－126°＝54°．∵BO和CO是△ABC的角平分线，∴∠ABC+∠ACB＝2（∠1+∠2）＝2×54°＝108°，在△ABC中，∵∠ABC+∠ACB＝108°，∴∠A＝180°－（∠ABC+∠ACB）＝180°－108°＝72°．故答案为：72． 【点睛】本题考查的知识点是三角形的内角和定理以及角平分线定理，属于基础题目，熟记定理内容是解题的关键．25．120°【分析】根据三角形的内角和是180°，可知∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB，由BD，CE分别平分∠ABC，∠ACB，可知∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，即∠BOC=180°-（∠ABC+∠ACB），再由三角形的内角和是180°，得出∠ABC+∠ACB=180°-∠BAC，从而求出∠BOC的度数．【详解】解：∵∠BAC=60°，∴∠ABC+∠ACB=180°-∠BAC=120°，∵BD，CE分别平分∠ABC，∠ACB，∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-（∠ABC+∠ACB）=180°-×120°=120°．故答案为：120°．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义．求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°”这一隐含的条件．26．A【分析】根据角平分线的性质和三角形外角的性质进行计算即可．【详解】解∶设∠ABC=2m，∵∠A＝56，∴∠ACE=∠A+∠ABC=56°+2m，∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACE，∴∠DBC=∠ABC=m，∠DCE=∠ACE=28°+m ．∵∠DCE=∠DBC+∠D，∴∠D=∠DCE-∠DBC=28°+m-m=28°．故选∶A．【点睛】本题考查三角形外角和角平分线的定义，结合图形，利用三角形外角的性质进行角的计算是解题的关键．27．90°．【详解】试题解析：∵BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，∵∠ABP=20°，∠ACP=50°，∴∠ABC=2∠ABP=40°，∠ACM=2∠ACP=100°，∴∠A=∠ACM-∠ABC=60°，∠ACB=180°-∠ACM=80°，∴∠BCP=∠ACB+∠ACP=130°，∵∠PBC=20°，∴∠P=180°-∠PBC-∠BCP=30°，∴∠A+∠P=90°．考点：1．三角形内角和定理；2．三角形的角平分线、中线和高；3．三角形的外角性质．28．59°##59度【分析】先利用三角形内角和定理求出∠CAB+∠CBA=180°-∠C=118°，从而利用三角形外角的性质求出∠DAB+∠EBA=2∠C+∠CAB+∠CBA=242°，再由角平分线的定义求出，由此求解即可．【详解】解：∵∠C=62°，∴∠CAB+∠CBA=180°-∠C=118°，∵∠DAB=∠C+∠CBA，∠EBA=∠C+∠CAB，∴∠DAB+∠EBA=2∠C+∠CAB+∠CBA=242°，∵△ABC两个外角的角平分线相交于G，∴，，∴，∴∠G=180°-∠GAB-∠GBA=59°，故答案为：59°．【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义，熟知相关知识是解题的关键．29．B【分析】首先根据三角形内角和与∠P得出∠PBC+∠PCB，然后根据角平分线的性质得出∠ABC和∠ACB的外角和，进而得出∠ABC+∠ACB，即可得解.【详解】∵∴∠PBC+∠PCB=180°-∠P=180°-60°=120°∵、是的外角角平分线∴∠DBC+∠ECB=2（∠PBC+∠PCB）=240°∴∠ABC+∠ACB=180°-∠DBC+180°-∠ECB=360°-240°=120°∴∠A=60°故选：B.【点睛】此题主要考查角平分线以及三角形内角和的运用，熟练掌握，即可解题.30．(1)(2)(3)【分析】（1）根据三角形内角和定理，由，得．根据角平分线的定义，由平分，平分，得，，那么，从而推断出．（2）根据三角形外角的性质，得，，故．根据角平分线的定义，由平分，平分，得，，故，那么．（3）根据角平分线的定义，由平分，平分，得，．根据三角形外角的性质，得，故，那么．【详解】（1）解：，．平分，平分，，．．．故答案为：．（2）解：，，．平分，平分，，．．．故答案为：．（3）解：平分，平分，，．，．．故答案为：．【点睛】本题主要考查角平分线的定义、三角形内角和定理、三角形外角的性质，熟练掌握角平分线的定义、三角形内角和定理、三角形外角的性质是解决本题的关键．31．C【分析】根据∠B＝50°，∠C＝70°可得，根据即可得出结论．【详解】∠B＝50°，∠C＝70°，∴，∴故选：C．【点睛】本题考查了三角形内角和定理，邻补角的定义，求得是解题关键．32．C【分析】设三个内角的度数为2x，3x，5x，根据三角形的内角和定理，转化为解一元一次方程．【详解】解：设三个内角的度数为2x，3x，5x，根据三角形的内角和定理，可得2x+3x+5x＝180°，解得x＝18°，∴三个内角的度数为36°，54°，90°，故三角形是直角三角形，故选：C．【点睛】本题考查三角形内角和定理，涉及一元一次方程的解法，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．33．C【分析】根据平行线的性质得∠EMB=，再根据三角形外角的性质求解即可；【详解】解：∵ABCD，∴∠EMB=，∵∠EMB=∠E+∠EFB，∴∠E=∠EMB-∠EFB=70°-31°=39°，故选：C．【点睛】本题考查平行线的性质，三角形的外角性质，本题属基础题目，难度不大．34．A【分析】利用平行线的性质，三角形的外角的性质求出∠A即可解决问题．【详解】解：如图，∵a∥b，∴∠1=∠3=58°，∵∠3=∠2+∠A，∴∠A=58°-24°=34°，∵∠ACB=90°，∴∠B=90°-34°=56°，故选：A．【点睛】本题考查平行线的性质，三角形的外角的性质，三角形的内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．35．B【分析】利用三角形内角和是180°进行角的转化即可．【详解】解：∵∠1+∠2+∠A=180°，∠B+∠3+∠4=180°，又∵∠1+∠2+∠3+∠4=220°，∴∠A+∠B=140°，∵∠A+∠B+∠C=180°，∴∠C=40°，故选：B．【点睛】本题考查了三角形内角和是180°的知识，解题关键是掌握三角形内角和是180°．36．A【分析】连接CD，由∠BOE=∠COD得：∠B+∠E=∠OCD+∠ODC，再由三角形的内角和定理，即可得出五角星的五个角之和．【详解】解：连接CD，设BD与CE交于点O，由∠BOE=∠COD得：∠B+∠E=∠OCD+∠ODC，在△ACD中，∠A+∠ACD+∠ADC=180°，即∠A+∠ACE+∠OCD+∠ODC+∠ADB=180°，∴∠A+∠ACE+∠B+∠E+ADB=180°，即五角星的五个内角之和为180°．故选：A．【点睛】本题考查的是三角形内角和定理，根据题意作出辅助线，利用三角形的内角和定理进行推理是解答此题的关键．37．C【分析】利用“在同一平面内，若两直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线相互平行”可判断①，通过添加平行线利用平行线的性质可判断②③，根据平角知识可判断④，最终可得出答案．【详解】解：由直角三角板特征可知：．，①正确．过点G作，如图所示 在直角板中，，②正确．由②可知，∠AEG＝45°，，则，③正确．，④不正确．故只有①②③正确，共3个故选：C．【点睛】本题主要考查了平行线的性质、平角知识以及平行线的判定，熟知平行线的性质以及构造必要的平行线求解所需角度是解决本题的关键．38．B【分析】由OA⊥OB即可得出∠OAB+∠ABO=90°、∠AOB=90°，再根据角平分线的定义以及三角形内角和定理即可求出∠D的度数．【详解】解：∵OA⊥OB，∴∠OAB+∠ABO=90°，∠AOB=90°．∵DA平分∠CAO，∴∠DAO=∠OAC=（180°-∠OAB）．∵DB平分∠ABO，∴∠ABD=∠ABO，∴∠D=180°-∠DAO-∠OAB-∠ABD=180°-（180°-∠OAB）-∠OAB-∠ABO=90°-（∠OAB+∠ABO）=45°．故选：B．【点睛】本题考查了三角形内角和定理，解题的关键是找出∠D=90°-（∠OAB+∠ABO）．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，熟练运用三角形内角和定理解决问题是关键．39．D【分析】根据三角形边的中垂线的交点可得，点为的外接圆圆心，利用同弧所对圆心角与圆周角的关系即可求得．【详解】解：∵P为△ABC的边AB、AC的中垂线的交点，点为的外接圆圆心， 与是同弧所对的圆心角与圆周角，且，，故选D．【点睛】本题考查了三角形三边的垂直平分线的交点就是三角形的外接圆圆心及同弧所对的圆心角与圆周角的关系，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．40．B【分析】连接，根据三角形内角和求出，再根据，，得出，从而得出答案．【详解】解：如图，连接，∵平分，平分，，∴，∴，∴，∵，，∵，，∴，∵，∴．故选：B．【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理、三角形外角的定义和性质、角平分线的定义等知识，正确作出辅助线，灵活运用相关知识是解题关键．41．##60度【分析】首先利用三角形的外角等于和它不相邻的两个内角之和得到∠1和∠2的关系，然后利用折叠的结论即可求解．【详解】解：如图，∵，又，∴，而根据折叠得，∴，∴．故答案为．【点睛】此题考查了折叠的性质，三角形外角的性质，解题的关键是灵活利用相关性质进行求解．42．11【分析】由三角形内角和定理可求∠BAC，再根据AE是△ABC的角平分线可求出∠EAC，根据AD是△ABC的高求出∠DAC，然后即可求出∠DAE．【详解】解：∵∠B＝42°，∠C＝64°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝74°．∵AE是△ABC的角平分线，∴∠EAC．∵AD是△ABC的高，∴∠ADC＝90°．∴∠DAC＝180°﹣∠C﹣∠ADC＝26°，∴∠DAE＝∠EAC﹣∠DAC＝37°﹣26°＝11°．故答案为：11．【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理、三角形的高和角平分线等知识，解题的关键是结合图形利用三角形内角和定理进行角的计算．43．##150度【分析】由三角形内角和定理求出x，再利用外角的性质求解．【详解】解：由三角形内角和定理得，，解得，由三角形外角的性质得，．故答案为：．【点睛】本题考查三角形内角和定理及三角形外角的性质，掌握“三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和”是解题的关键．44．130°【分析】由三角形的外角性质可得∠BAC+∠ABC＝100°，再由角平分线的定义得∠1∠BAC，∠3∠ABC，从而可求得∠1+∠3＝50°，再利用三角形的内角和定理即可求解．【详解】解：∵∠ACQ是△ABC的外角，且∠ACQ＝100°，∴∠BAC+∠ABC＝100°，∵AD平分∠BAC，BD平分∠ABC，∴∠1∠BAC，∠3∠ABC，∴∠1+∠3（∠BAC+∠ABC）＝50°，∴∠D＝180°﹣（∠1+∠3）＝130°．故答案为：130°．【点睛】本题主要考查三角形的外角性质，三角形的内角和定理，解答的关键是结合图形分析清楚各角之间的关系．45．##55度【分析】根据邻补角的概念求出，根据直角三角形的性质求出，进而求出，根据直角三角形的性质、平角的概念计算即可．【详解】解：∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，故答案为：．【点睛】此题考查了直角三角形两锐角互余的性质，解题的关键是关键是灵活利用相关性质进行求解．46．135°【分析】利用三角形的内角和定理求解即可【详解】解：在Rt△ABC中，，由∵AD，BE分别平分，，∴=，=∴=，∴，故无论怎么变动Rt△ABC，只要∠C＝90º，∠AFB的度数是定值，始终为135°故答案为：135°【点睛】本题考查三角形内角和定理，角平分线的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．47．(1)见解析(2)∠B=40°【分析】（1）由两直线平行，内错角相等得出，再根据题意可得出，最后根据同旁内角互补，两直线平行，即可得出；（2）根据题意可求出的大小，再根据角平分线的定义，得出，最后根据两直线平行，同位角相等，即可求出的大小．【详解】（1）证明：∵，∴，∵，∴，∴．（2）解：∵，，∴，∵DG是∠ADC的平分线，∴，∵，∴．【点睛】本题考查平行线的判定和性质，角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握同旁内角互补，两直线平行，两直线平行，内错角相等和两直线平行，同位角相等．48．(1)见解析(2)46°【分析】（1）根据AD平分，结合，得出，最后内错角相等两直线平行，得出即可；（2）根据三角形内角和定理得出，根据平行线的性质，得出，根据垂直定义，得出，最后根据三角形内角和得出．【详解】（1）证明：∵AD平分，∴，∵，∴，∴．（2）∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴．【点睛】本题主要考查了平行线的判定和性质，三角形内角和定理，角平分线的定义，垂直的定义，熟练掌握平行线的判定与性质，是解题的关键．49．(1)(2)【分析】（1）根据三角形的内角和定理求出∠ACB的值，再由角平分线的性质以及直角三角形的性质求出∠DCE．（2）由（1）的解题思路即可得正确结果．【详解】（1）解：，，是的平分线，．是高线，，，．（2）解：，，是的平分线，．是高线，，，．【点睛】本题主要考查角平分线，高线以及角的转换，掌握角平分线，高线的性质是解题的关键．50．(1)122(2)(3)∠BQC＝90°，理由见解析【分析】（1）根据三角形的内角和角平分线的定义；（2）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，可得∠ABD＝∠A+∠ACB，再利用∠BEC＝∠DBE﹣∠BCE，即可得到结论；（3）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和以及角平分线的定义表示出∠EBC与∠ECB，然后再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解．【详解】（1）解：∵BP、CP分别平分∠ABC和∠ACB，∴∠PBC∠ABC，∠PCB∠ACB，∴∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝180°﹣（∠ABC∠ACB）＝180°（∠ABC+∠ACB）＝180°（180°﹣∠A）＝180°﹣90°∠A＝90°+32°＝122°故答案为：122；（2）解：∵CE和BE分别是∠ACB和∠ABD的角平分线，∴∠BCE∠ACB，∠DBE∠ABD，又∵∠ABD是△ABC的一外角，∴∠ABD＝∠A+∠ACB，∴∠DBE（∠A+∠ABC）∠A+∠BCE，∵∠DBE是△BEC的一外角，∴∠BEC＝∠DBE﹣∠BCE∠A+∠BCE﹣∠BCE∠A；（3）解：∠BQC＝90°，理由如下：根据题意得：∠CBM=∠A+∠ACB，∠BCN=∠A+∠ABC，∵BQ平分外角∠CBM，CQ平分外角∠BCN．∴∠QBC（∠A+∠ACB），∠QCB（∠A+∠ABC），∴∠BQC＝180°﹣∠QBC﹣∠QCB＝180°（∠A+∠ACB）（∠A+∠ABC）＝180°∠A（∠A+∠ABC+∠ACB）即∠BQC＝90°．【点睛】本题主要考查了有关角平分线的计算，三角形外角的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握三角形外角的性质，三角形的内角和定理是解题的关键．
第二课时——与三角形有关的角（答案卷）知识点一：三角形的内角和定理：1. 三角形的内角和定理：三角形的三个内角之和等于 180° ． 2. 三角形内角和的证明：证明思路：过三角形任意一个顶点作对边的平行线即可证明．如图：过点A作PQ平行于BC．∵PQ∥BC∴∠B＝ ∠PAB ；∠C＝ ∠QAC ．∵∠PAB＋∠QAC＋∠BAC＝ 180° ．∴∠BAC＋∠B＋∠C＝ 180° ．【类型一：利用内角和计算判断三角形形状】1．在中，，比小，则是（ ）A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．无法判断2．若一个三角形的三个内角的度数的比为，那么这个三角形是（ ）A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．等边三角形3．满足条件2∠A=2∠B=∠C的△ABC是( )A．锐角三角形 B．等腰直角三角形C．钝角三角形 D．不确定【类型一：求图形角度】4．如图，在△ABC中，∠ACB＝80°，点D在AB上，将△ABC沿CD折叠，点B落在边AC的点E处．若∠ADE＝30°，则∠A的度数为 ．5．如图，已知△ABC中，BD，CE分别是△ABC的角平分线，BD与CE交于点O，如果∠A＝54°，那么∠BOC的度数是（ ）A．97° B．117° C．63° D．153°知识点二：直角三角形的性质与判定：直角三角形的定义：有一个角是直角的三角形．用表示直角三角形ABC．1. 性质：直角三角形的两个锐角 互余 ．数学语言：∵△ABC是直角三角形，且∠C＝90°∴∠A＋∠B＝ 90° ．2. 判定：有两个角 互余 的三角形是直角三角形．数学语言：∵∠A＋∠B＝90°∴△ABC是 直角 三角形【类型一：角度计算】6．如图，在Rt△ABC中，∠A=35°，则∠B=（ ）A．45° B．55° C．65° D．145°7．如图，在中，，垂足为D，下列结论中，不一定成立的是（ ）A．与互余 B．与互余 C． D．8．若直角三角形的两锐角之差为，则较大一个锐角的度数是 度．9．直角三角形中，两个锐角度数之比为1：5，则较小的锐角度数为 ．10．如图，是的高，是的角平分线，，则的大小是（ ）A． B． C． D．11．如图，是的高，是的角平分线，若，，则的度数是（ ）A． B． C． D．12．如图，在ABC中，AD是BC边上的高，AE平分∠BAC，∠C＝46°，∠DAE＝10°，∠B的度数为（ ）A．66° B．68° C．50° D．60°13．如图△ABC中，∠A：∠B=1：2，DE⊥AB于E，且∠FCD=75°，则∠D= ．【类型一：直角三角形的判定】14．具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（ ）A．∠A+∠B＝∠C B．∠A﹣∠B＝∠CC．∠A：∠B：∠C＝1：2：3 D．∠A＝∠B＝3∠C15．在下列条件：①∠A+∠B＝∠C，②∠A：∠B：∠C＝5：3：2，③∠A＝90°﹣∠B，④∠A＝2∠B＝3∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个知识点三：三角形的外角及其性质：1. 外角的定义：如图，三角形的一条边与另一条边的 延长线 构成的夹角叫做三角形的外角．特别提示：三角形一个顶点只算一个外角．2. 外角性质：（1）三角形的一个外角等于它 不相邻 的两个内角之和．即∠1＝ ∠2＋∠3 （2）三角形的外角 大于 它不相邻的任意一个内角．即∠1 ＞ ∠2，∠1 ＞ ∠3．（3）三角形的外角与它相邻的内角 互补 ．即：∠1＋∠4＝ 180° ．（4）三角形的外角和：三角形的三个外角之和等于 360° ．【类型一：内外角关系求角度】16．如图， ， ．17．如图，直线AB∥CD，连接BC，点E是BC上一点，，，则∠AEC的大小为（ ）A．27° B．42° C．45° D．70°18．如图，直线AB∥CD，∠B＝50°，∠D＝20°，则∠E的度数是（ ）A．20° B．30° C．50° D．70°19．将一副三角尺按如图所示的方式摆放，则的大小为（ ）A． B． C． D．20．小枣一笔画成了如图所示的图形，若∠A＝60°，∠B＝40°，∠C＝30°，则∠D+∠E等于（ ）A．100° B．110° C．120° D．130°21．将一副三角板如图所示的位置放在直尺上，则∠1的度数是（ ）A．115° B．105° C．110° D．95°22．如图，已知∠BOF=120°，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F为多少度（ ）A．360° B．720° C．540° D．240°【类型二：角平分线与内外角】23．如图，△ABC中，若∠BAC＝80°，O为三条角平分线的交点，则∠BOC＝ 度．24．如图，△ABC中，若∠BOC＝126°，O为△ABC两条内角平分线的交点，则∠A＝ 度． 25．如图，在△ABC中，∠BAC=60°，BD、CE分别平分∠ABC、∠ACB，BD、CE相交于点O，则∠BOC的度数是 ．26．如图，△ABC中，∠A＝56，BD平分∠ABC，CD平分△ABC的外角∠ACE，BD、CD交于点D，则∠D的度数（ ）A．28 B．56 C．30 D．2627．如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，如果∠ABP=20°，∠ACP=50°，则∠A+∠P= ． 28．如图，在△ABC中，∠C＝62°，△ABC两个外角的角平分线相交于G，则∠G的度数为 ．29．如图，、是的外角角平分线，若，则的大小为（ ）A． B． C． D．30．在中，．(1)如图1，、的平分线相交于点，则 ；(2)如图2，的外角、的平分线相交于点，则 ；(3)探究如图3，的内角的平分线与其外角的平分线相交于点，设，则的度数是 ．（用n的代数式表示）一、选择题（10题）31．如图，在△ABC中，∠B＝50°，∠C＝70°，直线DE经过点A，∠DAB＝55°，则∠EAC的度数是（ ）A．55° B．60° C．65° D．70°32．若三角形三个内角度数之比为2：3：5，则这个三角形一定是（ ）A．等腰直角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形33．如图，直线，如果，，那么的度数是（ ）A．31° B．40° C．39° D．70°34．如图，直线a∥b，在Rt△ABC中，点C在直线a上，若∠1＝58°，∠2＝24°，则∠B的度数为（ ）A．56° B．34° C．36° D．24°35．将两张三角形纸片如图摆放，量得∠1+∠2+∠3+∠4＝220°，则∠5的度数为（ ）A．30° B．40° C．45° D．50°36．如图，五角星的五个角之和，即：（ ）A．180° B．90 C．270° D．240°37．如图，把一副直角三角板如图那样摆放在平行直线AB，CD之间，∠EFG＝30°，∠MNP＝45°．则：①；②∠AEG＝45°；③∠BEF＝75°；④∠CMP＝∠EFN．其中正确的个数是（ ）A．1 B．2 C．3 D．438．如图，在平面直角坐标系中，直线AB与y轴在正半轴、x轴正半轴分别交A、B两点，点C在BA的延长线上，AD平分∠CAO，BD平分∠ABO，则∠D的度数是（ ）A．30° B．45° C．55° D．60°39．如图，P为△ABC的边AB、AC的中垂线的交点，，则的度数为（ ）A．128° B．116° C．138° D．104°40．如图，将纸片沿折叠，使点落在点处，且平分，平分，若，，则的度数为（ ）A． B． C． D．二、填空题（6题）41．如图，在中，，，将沿直线m翻折，点A落在点D的位置，则的度数是 ．42．如图，在△ABC中，∠B＝42°，∠C＝64°，AD、AE分别是△ABC的高与角平分线，则∠DAE＝ °． 43．△ABC的内角关系如图所示，则∠1= ．44．三角形的一个外角是100°，则与它不相邻的两内角平分线夹角（钝角）是 ．45．如图，，于点E，于点F，若，则 ．46．如图，小明在计算机上用“几何画板”画了一个Rt△ABC，∠C＝90º，并画出了两锐角的角平分线AD， BE及其交点F．小明发现，无论怎样变动Rt△ABC的形状和大小，∠AFB的度数是定值．这个定值为 ．三、解答题（4题）47．如图，在△ABC中，E，G分别是AB，AC上的点，F，D是BC上的点，连接EF，AD，DG，，∠1+∠2＝180°．(1)求证： ；(2)若DG是∠ADC的平分线，∠2＝140°，求∠B的度数．48．如图，在中，AD是角平分线，E为边AB上一点，连接DE，，过点E作，垂足为F．(1)试说明；(2)若，，求的度数．49．如图，在中，、分别是的高和角平分线，．(1)若，求的度数；(2)试用、的代数式表示的度数_________．50．某校八年级数学兴趣小组对“三角形内角或外角平分线的夹角与第三个内角的数量关系”进行了探究．(1)如图1，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点P，若∠A＝66°，则∠BPC＝ °；(2)如图2，△ABC的内角∠ACB的平分线与△ABC的外角∠ABD的平分线交于点E．其中∠A＝α，则∠BEC＝ （用α表示∠BEC）；(3)如图3，BQ平分外角∠CBM，CQ平分外角∠BCN．试确定∠BQC与∠A的数量关系，并说明理由． 参考答案：1．C【分析】根据，比小，求出和的度数，作出选择即可．【详解】解：∵中，，比小，∴，∴，∴是锐角三角形，故选：C．【点睛】本题考查了角度的计算，三角形内角和定理，掌握钝角三角形、直角三角形、锐角三角形的角的特征是解答本题的关键．2．B【分析】由三角形内角和定理结合已知条件，求出三角形各内角的度数，即可得出答案．【详解】解：∵三角形的三个内角的度数的比为，且三个内角的和为，∴这个三角形的三个内角的度数分别为： ， ，，∴这个三角形是锐角三角形，故选：B．【点睛】本题考查了三角形内角和定理，掌握三角形内角和定理的内容是解决问题的关键．3．B【详解】解：设∠A=x，则∠B=x，∠C=2x．又∠A+∠B+∠C=180°，则则．△ABC是等腰直角三角形．故选B．4．35°##35度【分析】利用翻折不变性，三角形内角和定理和三角形外角的性质即可解决问题．【详解】解：，，是由翻折得到，，，，解得．故答案为：35°．【点睛】本题考查三角形内角和定理和三角形外角的性质，翻折变换等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．5．B【分析】根据角平分线的性质，得到∠BOC＝180°﹣(∠ABC+∠ACB)，再根据三角形内角和计算即可．【详解】∵BD，CE分别是△ABC的角平分线，∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，∴∠BOC＝180°﹣∠OBC﹣∠OCB＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣(∠ABC+∠ACB)，∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∠A＝54°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝126°，∴∠BOC＝180°﹣×126°＝117°，故选：B．【点睛】本题考查角平分线的定义，解决本题的关键是充分利用角平分线的定义得到角的关系，再与三角形内角和建立联系．6．B【分析】利用直角三角形的两个锐角互余进行求解．【详解】解：在中，，．故选：B．【点睛】本题考查了直角三角形的两个锐角互余，本题也可用三角形内角和等于进行求解．7．D【分析】根据CD⊥AB，可得到∠A+∠1=90°，∠B+∠2=90°，故A、B正确；再由∠ACB=90°，可得∠A+∠B=90°，从而得到，故C正确；而无法判断∠1、∠2的大小，故D错误，即可求解．【详解】解：∵CD⊥AB，∴∠ADC=∠CDB=90°，∴∠A+∠1=90°，∠B+∠2=90°，故A、B正确，不合题意；∵∠ACB=90°，∴∠A+∠B=90°，∴，故C正确，不合题意；无法判断∠1、∠2的大小，故D错误，符合题意；故选：D【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，余角的性质，熟练掌握直角三角形两锐角互余，同角的余角相等是解题的关键．8．62【分析】根据直角三角形的性质、结合题意列出方程组，解方程组得到答案．【详解】解：设直角三角形中，较大的锐角为∠A，较小的锐角为∠B，由题意得：，解得：，则较大一个锐角的度数是62°，故答案为：62．【点睛】本题考查的是直角三角形的性质，掌握直角三角形的两锐角互余是解题的关键．9．##15度【分析】根据直角三角形的两锐角互余列出方程，解方程得到答案．【详解】解：设较小的一个锐角为x，则另一个锐角为5x，则，解得，则较小的一个锐角为15°．故答案为：15°．【点睛】本题考查的是直角三角形的性质、解一元一次方程，掌握直角三角形的两锐角互余是解题的关键．10．D【分析】根据三角形的高线和三角形内角和定理求出的度数，再利用角平分线的定义求出的度数，然后由三角形内角和定理求出的度数，最后用三角形内角和定理求解．【详解】解：∵是的高，∴．∵，∴．∵是的角平分线，∴．∵，∴．∵，∴．故选：D．【点睛】本题主要考查了三角形的高线和角平分线的定义，三角形内角和定理．求出的度数是解答关键．11．A【分析】根据三角形内角和定理求出，根据角平分线的定义求出，求出，再求出答案即可．【详解】解：∵，，∴，∵平分，∴，∵是的边上的高，∴，∵，∴，∴，故选：A．【点睛】此题考查了三角形内角和的性质，解题的关键是掌握三角形内角和有关性质．12．A【分析】先根据直角三角形的两锐角互余可得，从而可得，再根据角平分线的定义可得，然后根据三角形的内角和定理即可得．【详解】解：是边上的高，，，，，，平分，，，故选：A．【点睛】本题考查了直角三角形的两锐角互余、角平分线的定义、三角形的内角和定理，熟练掌握三角形的内角和定理是解题关键．13．40°##40度【分析】先根据及三角形内角与外角的性质及可求出的度数，再由及三角形内角和定理解答可求出的度数，再根据三角形内角和定理即可求出答案．【详解】解：，，，，于，，，，．故答案为：【点睛】本题考查了直角三角形的性质，垂直定义，三角形内角和定理，三角形外角性质的应用，解题的关键是求出的度数．14．D【分析】由直角三角形内角和为180°求得三角形的每一个角，再判断形状.【详解】解：A.∠A+∠B＝∠C，即2∠C＝180°，∠C＝90°，为直角三角形，不符合题意；B.∠A﹣∠B＝∠C，即2∠A＝180°，∠A＝90°，为直角三角形，不符合题意；C.∠A：∠B：∠C＝1：2：3，即∠A+∠B＝∠C，同A选项，不符合题意；D.∠A＝∠B＝3∠C，即7∠C＝180°，三个角没有90°角，故不是直角三角形，符合题意．故选：D．【点睛】本题考查三角形内角和定理以及直角的判定条件，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键．15．C【分析】根据直角三角形的判定对各个条件进行分析，即可得到答案．【详解】解：①∵∠A+∠B＝∠C，∴2∠C＝180°，∴∠C＝90°，∴△ABC是直角三角形；②∵∠A：∠B：∠C＝1：2：3，设∠A＝x，则x+2x+3x＝180，解得：x＝30°，∴∠C＝30°×3＝90°，∴△ABC是直角三角形；③∵∠A＝90°﹣∠B，∴∠A+∠B＝90°，∴∠C＝180°﹣90°＝90°，∴△ABC是直角三角形；④∵3∠C＝2∠B＝∠A，∴∠A+∠B+∠C＝∠A+∠A+∠A＝180°，∴∠A＝（）°，∴△ABC为钝角三角形．∴能确定△ABC是直角三角形的有①②③共3个，故选：C．【点睛】本题主要考查了直角三角形的判定，三角形内角和定理，掌握有一个内角为90°的三角形是直角三角形是解决问题的关键．16． 60 50【分析】根据三角形的外角的性质列出方程，解方程求出x的值，根据邻补角的性质计算，求出y的值．【详解】解：根据三角形的外角的性质得，，解得，，则，，则，故答案为：60；50．【点睛】此题考查了三角形外角的性质，解题的关键是根据三角形外角的性质列出方程，正确求得的值．17．B【分析】根据平行线的性质、三角形的外角的定义进行求解即可；【详解】解：∵AB∥CD，∴∵∴故选：B【点睛】本题主要考查平行线的性质、三角形的外角的定义，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键．18．B【分析】根据平行线的性质，得出∠BMD＝∠B＝50°，再根据∠BMD是△MDE的外角，即可得出∠E．【详解】解：∵AB∥CD，∴∠BMD＝∠B＝50°，又∵∠BMD是△MDE的外角，∴∠E＝∠BMD﹣∠D＝50°﹣20°＝30°．故选：B．【点睛】本题考查平行线的性质及三角形外角的性质，掌握相关性质定理正确推理计算是解题关键．19．B【分析】先根据直角三角板的性质得出∠ACD的度数，再由三角形内角和定理即可得出结论．【详解】解：如图所示，由一副三角板的性质可知：∠ECD=60°，∠BCA=45°，∠D=90°，∴∠ACD=∠ECD－∠BCA=60°－45°=15°，∴∠α=180°－∠D－∠ACD=180°－90°－15°=75°， 故选：B．【点睛】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键．20．B【分析】根据三角形内角和定理与内角与外角的关系求出，由此得出，进而求出，即可求出∠D+∠E【详解】解：如图，∵∠A＝60°，∠B＝40°，∴∠BGF＝∠C+∠AFC＝∠A+∠B＝100°，∵∠C＝30°，∴∠AFC＝100°﹣30°＝70°，∴∠EFD＝∠AFC＝70°，∵∠E+∠D+∠EFD＝180°，∴∠D+∠E＝180°﹣70°＝110°，故选：B．【点睛】本题考查三角形内角和定理与内角与外角的关系，知道两内角之和为不相邻的外角是解题关键．21．B【分析】由题意可求得∠BAD＝75°，利用邻补角可求得∠DAF＝105°，再由平行线的性质即可求∠1的度数．【详解】解：如图，由题意得：∠BAC＝45°，∠CAD＝30°，∴∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝75°，∴∠DAF＝180°－∠BAD＝105°，∵EG//BF，∴∠1＝∠DAF＝105°．故选：B．【点睛】本题主要考查平行线的性质和邻补角的定义，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，同位角相等．22．D【分析】根据三角形内角和定理和三角形的外角性质，利用已知角求未知角即可.【详解】如图，根据三角形的外角性质，∠1=∠A+∠C，∠2=∠B+∠D，∵∠BOF=120°，∴∠3=180°﹣120°=60°，根据三角形内角和定理，∠E+∠1=180°﹣60°=120°，∠F+∠2=180°﹣60°=120°，所以，∠1+∠2+∠E+∠F=120°+120°=240°，即∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=240°．故选D.【点睛】本题考查三角形内角和定理和三角形外角的性质.把未知角转化为未知角是解题的关键.23．130【分析】根据三角形内角和定理求出，再用角平分线的定义求解．【详解】解：在△ABC中，∵∠BAC＝80°，∴．又∵O为三条角平分线的交点∴，∴在中，．故答案为：130°．【点睛】本题主要考查了角平分线的定义和三角形内角和定理，理解角平分线的概念以及掌握三角形的内角和定理是解答关键．24．72【分析】利用三角形内角和定理结合已知条件可得出的度数，从而可得出的度数，继而可得出的度数．【详解】解：∵△BOC中，∠BOC＝126°，∴∠1+∠2＝180°－126°＝54°．∵BO和CO是△ABC的角平分线，∴∠ABC+∠ACB＝2（∠1+∠2）＝2×54°＝108°，在△ABC中，∵∠ABC+∠ACB＝108°，∴∠A＝180°－（∠ABC+∠ACB）＝180°－108°＝72°．故答案为：72． 【点睛】本题考查的知识点是三角形的内角和定理以及角平分线定理，属于基础题目，熟记定理内容是解题的关键．25．120°【分析】根据三角形的内角和是180°，可知∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB，由BD，CE分别平分∠ABC，∠ACB，可知∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，即∠BOC=180°-（∠ABC+∠ACB），再由三角形的内角和是180°，得出∠ABC+∠ACB=180°-∠BAC，从而求出∠BOC的度数．【详解】解：∵∠BAC=60°，∴∠ABC+∠ACB=180°-∠BAC=120°，∵BD，CE分别平分∠ABC，∠ACB，∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-（∠ABC+∠ACB）=180°-×120°=120°．故答案为：120°．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义．求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°”这一隐含的条件．26．A【分析】根据角平分线的性质和三角形外角的性质进行计算即可．【详解】解∶设∠ABC=2m，∵∠A＝56，∴∠ACE=∠A+∠ABC=56°+2m，∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACE，∴∠DBC=∠ABC=m，∠DCE=∠ACE=28°+m ．∵∠DCE=∠DBC+∠D，∴∠D=∠DCE-∠DBC=28°+m-m=28°．故选∶A．【点睛】本题考查三角形外角和角平分线的定义，结合图形，利用三角形外角的性质进行角的计算是解题的关键．27．90°．【详解】试题解析：∵BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，∵∠ABP=20°，∠ACP=50°，∴∠ABC=2∠ABP=40°，∠ACM=2∠ACP=100°，∴∠A=∠ACM-∠ABC=60°，∠ACB=180°-∠ACM=80°，∴∠BCP=∠ACB+∠ACP=130°，∵∠PBC=20°，∴∠P=180°-∠PBC-∠BCP=30°，∴∠A+∠P=90°．考点：1．三角形内角和定理；2．三角形的角平分线、中线和高；3．三角形的外角性质．28．59°##59度【分析】先利用三角形内角和定理求出∠CAB+∠CBA=180°-∠C=118°，从而利用三角形外角的性质求出∠DAB+∠EBA=2∠C+∠CAB+∠CBA=242°，再由角平分线的定义求出，由此求解即可．【详解】解：∵∠C=62°，∴∠CAB+∠CBA=180°-∠C=118°，∵∠DAB=∠C+∠CBA，∠EBA=∠C+∠CAB，∴∠DAB+∠EBA=2∠C+∠CAB+∠CBA=242°，∵△ABC两个外角的角平分线相交于G，∴，，∴，∴∠G=180°-∠GAB-∠GBA=59°，故答案为：59°．【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义，熟知相关知识是解题的关键．29．B【分析】首先根据三角形内角和与∠P得出∠PBC+∠PCB，然后根据角平分线的性质得出∠ABC和∠ACB的外角和，进而得出∠ABC+∠ACB，即可得解.【详解】∵∴∠PBC+∠PCB=180°-∠P=180°-60°=120°∵、是的外角角平分线∴∠DBC+∠ECB=2（∠PBC+∠PCB）=240°∴∠ABC+∠ACB=180°-∠DBC+180°-∠ECB=360°-240°=120°∴∠A=60°故选：B.【点睛】此题主要考查角平分线以及三角形内角和的运用，熟练掌握，即可解题.30．(1)(2)(3)【分析】（1）根据三角形内角和定理，由，得．根据角平分线的定义，由平分，平分，得，，那么，从而推断出．（2）根据三角形外角的性质，得，，故．根据角平分线的定义，由平分，平分，得，，故，那么．（3）根据角平分线的定义，由平分，平分，得，．根据三角形外角的性质，得，故，那么．【详解】（1）解：，．平分，平分，，．．．故答案为：．（2）解：，，．平分，平分，，．．．故答案为：．（3）解：平分，平分，，．，．．故答案为：．【点睛】本题主要考查角平分线的定义、三角形内角和定理、三角形外角的性质，熟练掌握角平分线的定义、三角形内角和定理、三角形外角的性质是解决本题的关键．31．C【分析】根据∠B＝50°，∠C＝70°可得，根据即可得出结论．【详解】∠B＝50°，∠C＝70°，∴，∴故选：C．【点睛】本题考查了三角形内角和定理，邻补角的定义，求得是解题关键．32．C【分析】设三个内角的度数为2x，3x，5x，根据三角形的内角和定理，转化为解一元一次方程．【详解】解：设三个内角的度数为2x，3x，5x，根据三角形的内角和定理，可得2x+3x+5x＝180°，解得x＝18°，∴三个内角的度数为36°，54°，90°，故三角形是直角三角形，故选：C．【点睛】本题考查三角形内角和定理，涉及一元一次方程的解法，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．33．C【分析】根据平行线的性质得∠EMB=，再根据三角形外角的性质求解即可；【详解】解：∵ABCD，∴∠EMB=，∵∠EMB=∠E+∠EFB，∴∠E=∠EMB-∠EFB=70°-31°=39°，故选：C．【点睛】本题考查平行线的性质，三角形的外角性质，本题属基础题目，难度不大．34．A【分析】利用平行线的性质，三角形的外角的性质求出∠A即可解决问题．【详解】解：如图，∵a∥b，∴∠1=∠3=58°，∵∠3=∠2+∠A，∴∠A=58°-24°=34°，∵∠ACB=90°，∴∠B=90°-34°=56°，故选：A．【点睛】本题考查平行线的性质，三角形的外角的性质，三角形的内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．35．B【分析】利用三角形内角和是180°进行角的转化即可．【详解】解：∵∠1+∠2+∠A=180°，∠B+∠3+∠4=180°，又∵∠1+∠2+∠3+∠4=220°，∴∠A+∠B=140°，∵∠A+∠B+∠C=180°，∴∠C=40°，故选：B．【点睛】本题考查了三角形内角和是180°的知识，解题关键是掌握三角形内角和是180°．36．A【分析】连接CD，由∠BOE=∠COD得：∠B+∠E=∠OCD+∠ODC，再由三角形的内角和定理，即可得出五角星的五个角之和．【详解】解：连接CD，设BD与CE交于点O，由∠BOE=∠COD得：∠B+∠E=∠OCD+∠ODC，在△ACD中，∠A+∠ACD+∠ADC=180°，即∠A+∠ACE+∠OCD+∠ODC+∠ADB=180°，∴∠A+∠ACE+∠B+∠E+ADB=180°，即五角星的五个内角之和为180°．故选：A．【点睛】本题考查的是三角形内角和定理，根据题意作出辅助线，利用三角形的内角和定理进行推理是解答此题的关键．37．C【分析】利用“在同一平面内，若两直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线相互平行”可判断①，通过添加平行线利用平行线的性质可判断②③，根据平角知识可判断④，最终可得出答案．【详解】解：由直角三角板特征可知：．，①正确．过点G作，如图所示 在直角板中，，②正确．由②可知，∠AEG＝45°，，则，③正确．，④不正确．故只有①②③正确，共3个故选：C．【点睛】本题主要考查了平行线的性质、平角知识以及平行线的判定，熟知平行线的性质以及构造必要的平行线求解所需角度是解决本题的关键．38．B【分析】由OA⊥OB即可得出∠OAB+∠ABO=90°、∠AOB=90°，再根据角平分线的定义以及三角形内角和定理即可求出∠D的度数．【详解】解：∵OA⊥OB，∴∠OAB+∠ABO=90°，∠AOB=90°．∵DA平分∠CAO，∴∠DAO=∠OAC=（180°-∠OAB）．∵DB平分∠ABO，∴∠ABD=∠ABO，∴∠D=180°-∠DAO-∠OAB-∠ABD=180°-（180°-∠OAB）-∠OAB-∠ABO=90°-（∠OAB+∠ABO）=45°．故选：B．【点睛】本题考查了三角形内角和定理，解题的关键是找出∠D=90°-（∠OAB+∠ABO）．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，熟练运用三角形内角和定理解决问题是关键．39．D【分析】根据三角形边的中垂线的交点可得，点为的外接圆圆心，利用同弧所对圆心角与圆周角的关系即可求得．【详解】解：∵P为△ABC的边AB、AC的中垂线的交点，点为的外接圆圆心， 与是同弧所对的圆心角与圆周角，且，，故选D．【点睛】本题考查了三角形三边的垂直平分线的交点就是三角形的外接圆圆心及同弧所对的圆心角与圆周角的关系，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．40．B【分析】连接，根据三角形内角和求出，再根据，，得出，从而得出答案．【详解】解：如图，连接，∵平分，平分，，∴，∴，∴，∵，，∵，，∴，∵，∴．故选：B．【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理、三角形外角的定义和性质、角平分线的定义等知识，正确作出辅助线，灵活运用相关知识是解题关键．41．##60度【分析】首先利用三角形的外角等于和它不相邻的两个内角之和得到∠1和∠2的关系，然后利用折叠的结论即可求解．【详解】解：如图，∵，又，∴，而根据折叠得，∴，∴．故答案为．【点睛】此题考查了折叠的性质，三角形外角的性质，解题的关键是灵活利用相关性质进行求解．42．11【分析】由三角形内角和定理可求∠BAC，再根据AE是△ABC的角平分线可求出∠EAC，根据AD是△ABC的高求出∠DAC，然后即可求出∠DAE．【详解】解：∵∠B＝42°，∠C＝64°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝74°．∵AE是△ABC的角平分线，∴∠EAC．∵AD是△ABC的高，∴∠ADC＝90°．∴∠DAC＝180°﹣∠C﹣∠ADC＝26°，∴∠DAE＝∠EAC﹣∠DAC＝37°﹣26°＝11°．故答案为：11．【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理、三角形的高和角平分线等知识，解题的关键是结合图形利用三角形内角和定理进行角的计算．43．##150度【分析】由三角形内角和定理求出x，再利用外角的性质求解．【详解】解：由三角形内角和定理得，，解得，由三角形外角的性质得，．故答案为：．【点睛】本题考查三角形内角和定理及三角形外角的性质，掌握“三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和”是解题的关键．44．130°【分析】由三角形的外角性质可得∠BAC+∠ABC＝100°，再由角平分线的定义得∠1∠BAC，∠3∠ABC，从而可求得∠1+∠3＝50°，再利用三角形的内角和定理即可求解．【详解】解：∵∠ACQ是△ABC的外角，且∠ACQ＝100°，∴∠BAC+∠ABC＝100°，∵AD平分∠BAC，BD平分∠ABC，∴∠1∠BAC，∠3∠ABC，∴∠1+∠3（∠BAC+∠ABC）＝50°，∴∠D＝180°﹣（∠1+∠3）＝130°．故答案为：130°．【点睛】本题主要考查三角形的外角性质，三角形的内角和定理，解答的关键是结合图形分析清楚各角之间的关系．45．##55度【分析】根据邻补角的概念求出，根据直角三角形的性质求出，进而求出，根据直角三角形的性质、平角的概念计算即可．【详解】解：∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，故答案为：．【点睛】此题考查了直角三角形两锐角互余的性质，解题的关键是关键是灵活利用相关性质进行求解．46．135°【分析】利用三角形的内角和定理求解即可【详解】解：在Rt△ABC中，，由∵AD，BE分别平分，，∴=，=∴=，∴，故无论怎么变动Rt△ABC，只要∠C＝90º，∠AFB的度数是定值，始终为135°故答案为：135°【点睛】本题考查三角形内角和定理，角平分线的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．47．(1)见解析(2)∠B=40°【分析】（1）由两直线平行，内错角相等得出，再根据题意可得出，最后根据同旁内角互补，两直线平行，即可得出；（2）根据题意可求出的大小，再根据角平分线的定义，得出，最后根据两直线平行，同位角相等，即可求出的大小．【详解】（1）证明：∵，∴，∵，∴，∴．（2）解：∵，，∴，∵DG是∠ADC的平分线，∴，∵，∴．【点睛】本题考查平行线的判定和性质，角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握同旁内角互补，两直线平行，两直线平行，内错角相等和两直线平行，同位角相等．48．(1)见解析(2)46°【分析】（1）根据AD平分，结合，得出，最后内错角相等两直线平行，得出即可；（2）根据三角形内角和定理得出，根据平行线的性质，得出，根据垂直定义，得出，最后根据三角形内角和得出．【详解】（1）证明：∵AD平分，∴，∵，∴，∴．（2）∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴．【点睛】本题主要考查了平行线的判定和性质，三角形内角和定理，角平分线的定义，垂直的定义，熟练掌握平行线的判定与性质，是解题的关键．49．(1)(2)【分析】（1）根据三角形的内角和定理求出∠ACB的值，再由角平分线的性质以及直角三角形的性质求出∠DCE．（2）由（1）的解题思路即可得正确结果．【详解】（1）解：，，是的平分线，．是高线，，，．（2）解：，，是的平分线，．是高线，，，．【点睛】本题主要考查角平分线，高线以及角的转换，掌握角平分线，高线的性质是解题的关键．50．(1)122(2)(3)∠BQC＝90°，理由见解析【分析】（1）根据三角形的内角和角平分线的定义；（2）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，可得∠ABD＝∠A+∠ACB，再利用∠BEC＝∠DBE﹣∠BCE，即可得到结论；（3）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和以及角平分线的定义表示出∠EBC与∠ECB，然后再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解．【详解】（1）解：∵BP、CP分别平分∠ABC和∠ACB，∴∠PBC∠ABC，∠PCB∠ACB，∴∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝180°﹣（∠ABC∠ACB）＝180°（∠ABC+∠ACB）＝180°（180°﹣∠A）＝180°﹣90°∠A＝90°+32°＝122°故答案为：122；（2）解：∵CE和BE分别是∠ACB和∠ABD的角平分线，∴∠BCE∠ACB，∠DBE∠ABD，又∵∠ABD是△ABC的一外角，∴∠ABD＝∠A+∠ACB，∴∠DBE（∠A+∠ABC）∠A+∠BCE，∵∠DBE是△BEC的一外角，∴∠BEC＝∠DBE﹣∠BCE∠A+∠BCE﹣∠BCE∠A；（3）解：∠BQC＝90°，理由如下：根据题意得：∠CBM=∠A+∠ACB，∠BCN=∠A+∠ABC，∵BQ平分外角∠CBM，CQ平分外角∠BCN．∴∠QBC（∠A+∠ACB），∠QCB（∠A+∠ABC），∴∠BQC＝180°﹣∠QBC﹣∠QCB＝180°（∠A+∠ACB）（∠A+∠ABC）＝180°∠A（∠A+∠ABC+∠ACB）即∠BQC＝90°．【点睛】本题主要考查了有关角平分线的计算，三角形外角的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握三角形外角的性质，三角形的内角和定理是解题的关键．
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