初中数学人教版（2024）九年级上册第二十四章 圆24.1 圆的有关性质24.1.4 圆周角优秀巩固练习

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（一）学习目标：
1.理解圆周角概念,理解圆周用与圆心角的异同;
2.掌握圆周角的性质和直径所对圆周角的特征;
3.能灵活运用圆周角的性质解决问题
（二）学习重难点：
学习重点：圆周角与圆心角的关系,圆周角的性质和直径所对圆周角的特征
学习难点：发现并证明圆周角定理
基础梳理
阅读课本，识记知识：
1.圆周角定义
像图中∠AEB、∠ADB、∠ACB这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．

2.圆周角定理
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
(1)顶点在圆上,它们的两边在圆内的部分分别是圆的弦.
(2)圆周角定理：
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
(3)圆心角定理：
圆心角的度数等于它所对弧的度数。
推论1： 同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。
推论2： 半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径,高考物理。
圆周角的特点: (1)角的顶点在圆上; (2)角的两边在圆内的部分是圆的弦.
(4)圆周角和圆心角相对于圆心与直径的位置关系有三种: 解题规律:
(5)解决圆周角和圆心角的计算和证明问题,要准确找出同弧所对的圆周角和圆心角,然后再灵活运用圆周角定理
3.圆周角定理的推论
半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
【微点拨】
(1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交.
(2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.
圆心与圆周角存在三种位置关系：圆心在圆周角的一边上；圆心在圆周角的内部；圆心在圆周角的外部．（如下图）
典例探究
【例1】 如图，A，B，C是上的三个点，若∠，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了圆周角定理：一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半，据此即可求解．
【详解】解：由圆周角定理可：，
故选：D．
【例2】 下列四边形中，四个顶点一定在同一个圆上的是（ ）
A．矩形、正方形B．平行四边形、矩形C．菱形、正方形D．矩形、平行四边形
【答案】A
【分析】本题考查四点共圆的知识，解题的关键是掌握四边形的对角互补是四点共圆的关键，依次解答即可．
【详解】解：A、矩形和正方形的四个角都是直角，对角互补，则四个顶点共圆，故A符合题意；
B、平行四边形的对角相等，不一定互补，故B不符合题意，
C、菱形的对角相等，不一定互补，故C不符合题意；
D、平行四边形的对角相等，不一定互补，故D不符合题意，
故选：A．
达标测试
选择题
1．如图，已知是的圆心角，，则圆周角的度数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了圆周角定理，根据同圆中同弧所对的圆周角度数等于圆心角度数的一半即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴，
故选D．
2．如图，正三角形内接于圆，于点交圆于点，动点在优弧上，且不与点，点重合，则等于( )
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了等边三角形的性质，圆周角定理，根据三线合一可得为的平分线，进而根据圆周角定理，即可求解．
【详解】解：为正三角形，，
为的平分线，
，
又，
，
故选：A．
3．如图，过原点，且与两坐标轴分别交于点，点的坐标为，点是第三象限内上一点，，则的半径为（ ）
A．4B．5C．6D．
【答案】B
【分析】由题意知，由，可得为的直径，由四点共圆，可求，则，然后求直径，求半径即可．
【详解】解：∵点的坐标为，
∴，
∵，
∴为的直径，
∵四点共圆，
∴，
∴，
∴，
∴半径为5，
故选：B．
【点睛】本题考查了的圆周角所对的弦为直径，圆内接四边形对角互补，含的直角三角形，三角形内角和定理等知识．熟练掌握的圆周角所对的弦为直径，圆内接四边形对角互补，含的直角三角形是解题的关键．
4．如图，点A、B、C在上，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查的是圆周角定理的含义，根据圆周角定理可得可直接得到答案．
【详解】解：∵，
∴，
故选C
5．如图，在中，弦相交于点，连接，若，则的大小为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了圆周角定理，解题的关键是掌握同弧所对的圆周角相等，据此即可解答．
【详解】解：∵，
∴，
故选：A．
6．如图，已知，O为上一点，以为半径的圆经过点A，且与、交于点N、M，设，，则（ ）
A．若，则所对应的圆心角为
B．若，则所对应的圆心角为
C．若，则所对应的圆心角为
D．若，则所对应的圆心角为
【答案】D
【分析】连接，根据直径所对的圆周角是直角，得到，进而得到，再由三角形外角的性质，得到，再根据选项求解即可．
【详解】连接，
∵是圆的直径，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
当，，
则所对应的圆心角为，
故D正确，符合题意；
其余均是错误，
故选D．
【点睛】本题考查了圆周角定理，直径所对的圆周角是直角，三角形外角的性质，直角三角形的两个锐角互余，连接构造直角三角形是解题关键．
7．如图，在圆形纸片中，为直径．把纸片折叠，使点与点重合，折痕为，把纸片再次折叠，使点与点重合，折痕为，则的度数为（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了折叠的性质．利用折叠的性质得到，，然后根据圆周角定理得到．
【详解】解：如图所示，设与直线交于点E，

∵为直径．把纸片折叠，使点A与点B重合，
∴，
∴，
∵折叠纸片，使点A与点C重合，折痕为直线，
∴平分，
∴，
∴．
故选：B．
8．如图，的直径与弦相交，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了圆周角定理和直角三角形的性质，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．连接，根据的直径与弦相交得到，求出即可得到答案．
【详解】解：连接，
是的直径，
，
，
，
，
故选A．
9．如图，四边形是的内接四边形，是的直径，．若．则的大小为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据题意连接，利用圆周角定理得，再得出，从而判定是等腰三角形，借助条件得，利用内角和定理即可得出的度数．
【详解】解：连接，
，
∵是的直径，
∴，
∵四边形是的内接四边形，
∴，，
∵，
∴，
∴是等腰三角形，
∴，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查圆周角定理，等腰三角形判定及性质，三角形内角和定理，圆内接四边形对角互补．
10．如图所示，四边形是半圆的内接四边形，是直径，，点为的中点，连接．若，则的度数等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了圆 内接四边形对角互补、圆中弧、弦、角的关系以及等腰三角形的“三线合一”性质等知识点，连接可得，进而得，；根据得，再求出即可求解．
【详解】解：连接，如图所示：
∵，
∴
∵，
∴
∴
∴
∵，
∴
∵点为的中点，
∴
∴
故选：C
填空题
11．如图，在矩形中，，点E在上，，点F是边上一动点，以为斜边作．若点P在矩形的边上，且这样的直角三角形恰好有两个，则的值是 ．
【答案】0或或4
【分析】先根据圆周角定理确定点P在以为直径的圆O上，且是与矩形的交点，先确定特殊点时的长，当F与A和B重合时，都有两个直角三角形．符合条件，即或4，再找与和相切时的长，此时与矩形边各有一个交点或三个交点，在之间运动过程中符合条件，确定的取值．
【详解】解：∵是直角三角形，且点P在矩形的边上，
∴P是以为直径的圆O与矩形的交点，
①当时，如图1，此时点P有两个，一个与D重合，一个交在边上；
②当与相切时，设与边的切点为P，如图2，
此时是直角三角形，点P只有一个，
③当与相切时，如图4，连接，此时构成三个直角三角形，
则，设，则，
∵，
∴，
∴的半径为：，
在中，由勾股定理得：，
∴，
解得：，
∴当时，这样的直角三角形恰好有两个，如图3，
④当，即F与B重合时，这样的直角三角形恰好有两个，如图5，
综上所述，则的值是：0或或4．
故答案为：0或或4．
【点睛】本题考查了矩形的性质的运用，勾股定理的运用，三角形中位线定理的运用，圆的性质的运用，分类讨论思想的运用，解答时运用勾股定理求解是关键，并注意运用数形结合的思想解决问题．
12．如图，内接于．若的半径为3，，则弦的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查等腰直角三角形三边关系，圆周角和圆心角关系．根据题意连接，利用在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角是圆周角的二倍，可以得到，再利用等腰直角三角形三边关系即可得到本题答案．
【详解】解：连接，
∵，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∵的半径为3，即，
∴，
故答案为：．
13．同一圆中，一条弧所对的圆心角和圆周角分别为和，则 .
【答案】55
【分析】此题考查了圆周角定理．注意掌握掌握一条弧所对的圆心角是圆周角的倍是解题的关键．
【详解】解：由圆周角定理知，，
解得．
故答案为：．
14．如图，A，B，C三点在⊙O上，，则 °．
【答案】120
【分析】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质．先作出弧所对的圆周角，根据圆周角定理得到，然后根据圆内接四边形的性质求的度数．
【详解】解：如图，先作出弧所对的圆周角，
为弧所对的圆周角，
，
，
．
故答案为：120．
15．如图，四边形内接于，若四边形是平行四边形，则 ．
【答案】/60度
【分析】本题考查圆内接四边形，圆周角定理，平行四边形的性质，由平行四边形的性质，得，由圆周角定理可知，，可知，在结合内接四边形对角互补可知，即可求解，熟练掌握相关图形的性质是解决问题的关键．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
由圆周角定理可知，，
则，
又∵四边形是圆的内接四边形，
∴，即：，
∴，
故答案为：．
三、解答题
16．如图，已知是的直径，弦，垂足为P，N是弧上一点，连接和，并分别延长、相交于点M，求证：．

【答案】见解析
【分析】本题考查垂径定理，圆周角定理，圆内接四边形的性质．根据弦可得，根据同弧或等弧所对的圆周角相等，可得，根据圆内接四边形对角互补，可得，结合可得，通过等量代换即可证明．
【详解】证明：如图，连接，

是的直径，弦，
，
，
四边形是圆内接四边形，
，
，
，
．
17．如图，是的内接三角形，为的直径，平分，交于点D，连接，点E在弦上，且，连接．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据题意得到，根据等边对等角得到，进而得到，进而求解即可；
（2）连接，首先证明出，得到，，然后由勾股定理得到，然后证明出是等边三角形，进而得到．
【详解】（1）证明：∵平分
∴
∵
∴
∵
∴
即
（2）解：连接，
∵为的直径
∴
∵
∴
∴，
∵在中，
∴
∵
∴
∵
∴是等边三角形
∴．
【点睛】此题考查了同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，等边三角形的性质和判定，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
18．尺规作图，保留痕迹，写出必要的文字说明．

(1)如图①，已知线段，求作点，使；
(2)如图②，已知线段，求作，使得，在线段上，，，且．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）先画出的中垂线，再以为直径画半圆交的中垂线于点，根据“直径所对的圆周角是直角”，则得，然后以为圆心，为半径画圆，圆与中垂线的交点，根据圆周角定理得所对的圆周角是，根据“圆内接四边形对角互补”即可得；
（2）令线段的两个端点分别为，，以为直径作圆，在圆上取一点，连接，，并在上取一点，使得，且因，则点不在线段的中垂线与的交点上，根据“直径所对的圆周角是直角”，即可得，作的角平分线交于点，连接，，根据等腰三角形“三线合一”性质，则垂直平分，根据“等边对等角”即可得，由垂直平分线的性质得，可得，再作的垂直平分线，可得，，即可得，，即为所求．
【详解】（1）解：如图，①先画出的中垂线：分别以点，为圆心，以大于的长为半径画弧交于两点，连接这两点得的中垂线；
②再以为直径画半圆交的中垂线于点；
③然后以为圆心，为半径画圆，则圆与中垂线的交点即为所求．
（2）解：如图，①令线段的两个端点分别为，，先画出线段的中垂线，然后以线段为直径画圆，在圆上取一点，连接，，并以为圆心，为半径画弧，交于点，使点不在线段的中垂线与的交点上；
②作的角平分线交线段于点，连接；
③作的垂直平分线，交线段于点，连接，则，即为所求；
理由如下：
是圆的直径，是所对的圆周角，
，
，
，
是等腰三角形，，
为的角平分线，
所在直线是的垂直平分线，
，
，
点在的垂直平分线上，
，
，
，
，
，
，
当时，则，，
，
，
，即点在垂直平分线上，
当点不与线段的中垂线与的交点重合时，，即为所求．
【点睛】本题综合考查了尺规作图的方法，垂直平分线的性质，圆周角定理，圆周角定理推论，等腰三角形的性质，熟练掌握基本尺规作图法及圆周角定理的应用，利用为直径作半圆找到圆心，使得即是以为直径的圆的圆周角，又是以为圆心为半径的圆的圆心角是解第（1）问的关键；以线段为直径作圆构造直角三角形，利用等腰三角形“三线合一”性质及垂直平分线性质确定点和点位置是解第（2）问关键．
自学反思
（一）课后反思：
本节课我学会了：
本节课存在的问题：
把本节课所学知识画出思维导图