人教版（2024）九年级上册第二十四章 圆24.3 正多边形和圆优秀课时作业

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（一）学习目标：
1.了解正多边形和圆的关系，半径，边心距，中心等概念。
2.在作图过程中感受数学结合、转化、类比的数学方法。
3.体会自主学习带来的成就感。
（二）学习重难点：
学习重点：观察图象，得出图象特征和性质
学习难点：正多边形和圆的关系
基础梳理
阅读课本，识记知识：
1.正多边形与圆的关系
把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆．
2.正多边形的有关概念
①中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心．
②正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径．
③中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．
④边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．
典例探究
【例1】 如图，是正五边形的外接圆的切线，已知点为切点，则的度数为（ ）
A．36°B．54°C．72°D．144°
【答案】C
【分析】根据题意得和，进一步得到，设,有，由于为的切线，得，则，根据圆周角定理得，那么即可．
【详解】解：连接，,和，如图，
∵为正五边形，
∴，，，
∴，
则，
∵，
∴，
设,
∵为的切线，
∴，
∵,
∴,
则,
根据圆周角定理得，
那么．
故选：C．
【点睛】本题主要考查正多边形的外接圆的性质、圆周角定理、切线性质和正多边形的性质，解题的关键是连接辅助，并利用圆周角和正多边形性质。
【例2】 如图，点是正方形和正五边形的中心，连接交于点，则的度数等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了圆内接多边形，圆周角定理，三角形外角的性质．熟练掌握圆内接多边形，圆周角定理，三角形外角的性质是解题的关键．
如图，连接，则是正方形和正五边形的外接圆，由圆周角定理可得，，然后根据，计算求解即可．
【详解】解：如图，连接，则是正方形和正五边形的外接圆，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：A．
达标测试
选择题
1．一个圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角为，则该正多边形的边数是( )
A．14B．18C．16D．20
2．正六边形的中心角为（ ）
A．B．C．D．
3.我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算．如图，的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计的面积，可得π的估计值为，若用圆内接正十二边形作近似估计，可得π的估计值为（ ）
A．B．C．3D．
4．如图，正方形内接于，E为的中点，直线交于点F，如果的半径为，则点O到的距离（ ）
A．B．C．1D．
5．齐齐哈尔市龙沙公园内有一楼亭，始建于1908年，1964年7月21日，朱德委员长来齐齐哈尔市视察，登楼远眺，神清气爽，嫩江水碧波荡漾，齐齐哈尔风光尽收眼底，朱老总即兴挥毫题写了“望江楼”三个大字，后将其制成黑底金字的长匾悬挂于飞檐之下，得名“望江楼”．我国古代许多楼亭的地基都是正六边形（如图），若有一个亭子，它的地基是边长为的正六边形，则地基的面积为（ ）

A．B．C．D．
6．我国伟大的数学家刘徽于公元263年攥《九章算术注》中指出，“周三径一”不是圆周率值，实际上是圆内接正六边形周长和直径的比值（如图1）．刘徽发现，圆内接正多边形边数无限增加时，多边形的周长就无限逼近圆周长，从而创立“割圆术”，为计算圆周率建立起相当严密的理论和完善的算法．如图2，六边形是圆内接正六边形，把每段弧二等分，可以作出一个圆内接正十二边形，点为的中点，连结交于点，若，则的长为（ ）
A．B．C．D．
7．如图，在正六边形中，点是边的中点，是边上任意一点，若正六边形的面积是，则的值是（ ）
B．
C．D．由于点的位置不确定，所以的值不确定
8．正六边形的边长与边心距的比是（ ）
A．B．1：2C．D．
9．如图，正六边形内接于，若的周长是，则正六边形的边长是（ ）
A．B．3C．6D．
10．如图，正六边形内接于，若的边心距，则正六边形的边长是（ ）
A．B．3C．6D．
填空题
11．如图，正五边形内接于圆，连接，交于点F，则的度数为 ．
12．正六边形的边心距为，则正六边形的半径为 ．
13．如图，分别是某圆内接正六边形、正方形的一边，若，则的长为

14．剪纸是中国最古老的民间艺术之一，如图，这个剪纸图案绕着它的中心旋转角后能够与它本身完全重合，则角可以为 度（写出一个即可）．
15．如图，在正八边形中，四边形的面积为12，则正八边形的面积为

三、解答题
16．如图，平面直角坐标系中，正六边形的顶点、在轴上，顶点在轴上，若，求中心的坐标．
17．如图，正六边形内接于．
(1)若P是上的动点，连接，，求的度数；
(2)已知的面积为，求的面积．
18．如图①，，分别是半圆的直径上的点，点，在上，且四边形是正方形．

(1)若，则正方形的面积为 ；
(2)如图②，点，，分别在，，上，连接，，四边形是正方形，且其面积为16
①求的值；
②如图③，点，，分别在，，上，连接，，四边形是正方形．直接写出正方形与正方形的面积比．
自学反思
（一）课后反思：
本节课我学会了：
本节课存在的问题：
把本节课所学知识画出思维导图